考点02 平行四边形的存在性问题（专项训练）数学新教材北师大版八年级下册

**基本信息** 以分类讨论和数形结合为核心，构建“方法点拨-步骤规范-题型突破”的平行四边形存在性问题解决体系，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |考点方法|2方法+3步骤|分类讨论顶点/动点位置，数形结合转化代数问题|从性质（对角线平分）到判定（对边平行相等）的逻辑延伸| |格点作图|3题|网格平移找点，中心对称验证，多解分类|利用网格特性具象化平行四边形判定条件| |尺规作图|3题|依据判定定理作等线段/等角，保留作图痕迹|结合尺规操作强化判定定理应用| |动点存在性|3题|设参数列方程，分边/对角线情形讨论，验取值范围|联动方程思想与动态几何，培养模型意识| |坐标系确定|5题|中点坐标公式，平移规律，分对角线分类计算|坐标化几何问题，提升抽象能力与运算能力|

考点02 平行四边形的存在性问题 考点一：方法点拨 ·分类讨论：①根据顶点的字母顺序进行分类讨论；②根据动点的位置、形状等进行分类讨论； ·数形结合：利用设未知数-列方程、建系-设动点坐标等方法将几何问题转化为代数问题。 考点二：解平行四边形存在性问题的一般步骤 第一步：坐标表达：写出或设出平行四边形四个顶点的坐标； 第二步：①分类讨论动点位置：“三定点”图形中以对角线为分类标准分三种情况讨论；“两定点”图形中，分别以这两点组成的线段为边或为对角线分两种情况讨论；②列方程求坐标：根据对角线互相平分，表示出中点坐标，再利用上述模型分情况建立等式解方程，求四个顶点的坐标；（常用） 第三步：检验求出的点是否符合题意或能否构成平行四边形. 题型一：格点作图——确定一个平行四边形 1. 依托网格横竖线段平行、等长特点，利用对边平行且相等判定作图 2. 固定两个顶点为基准边，通过格点平移找点，锁定第四个顶点 3. 按顶点顺序依次连线，可结合中心对称特征验证图形合规性 4. 多解情况分类排布顶点位置，避免遗漏符合条件图形 1．（25-26九年级上·宁夏银川·期末）已知：格纸中每个小正方形的边长均为1，点A、点B在小正方形的顶点上． (1)在图中求的长． (2)在图中画出平行四边形（点C、D在小正方形的顶点上），使平行四边形的面积为16； 【答案】(1)5 (2)见详解； 【难度】0.65 【分析】本题考查勾股定理的应用，求网格中两点间的距离，作指定面积的平行四边形，作指定的等腰三角形， （1）观察图形利用勾股定理求解即可； （2）确定底和高的乘积为16，描点连线即可； 【详解】（1）解：观察图形可得， （2）解：如图，四边形即为所求； 2．（25-26八年级下·江苏镇江·期中）工艺美术中常需要设计几何图案．如图，正方形网格中，已确定三个格点、、的位置，需要在图中确定点，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形．若点的坐标是，请你在图中建立平面直角坐标系，且平面直角坐标系的横轴与网格线的水平线平行．在图中描出点的位置，并写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】描点见解析，、、 【难度】0.85 【分析】分三种情况考虑：，，，在图上描出点、、的位置，写出点、、的坐标． 【详解】 如图，建立平面直角坐标系，的坐标是，则、、． 3．（25-26八年级下·浙江绍兴·期中）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下面的要求画图： (1)在图①中，画出一个格点平行四边形（不能画成长方形），使其面积为3； (2)在图②中，画出一个格点平行四边形（不能画成长方形），使其一条对角线等于5 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【难度】0.57 【分析】（1）画一个底边长为1，高为3的平行四边形即可； （2）取格点E、F、G、H，连接，可得四边形是平行四边形，且． 【详解】（1）解：如图所示，四边形即为所求； （2）解：如图所示，四边形即为所求． 题型二：尺规作图——作平行四边形 1. 依据判定定理选作图思路，常用两组对边相等、一组对边平行且相等作法 2. 运用作等线段、作等角基础尺规操作，确定边角位置 3. 分步勾勒边与顶点，保留完整作图圆弧痕迹 4. 作图完成后对照平行四边形性质核验图形 1．（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，已知点B是的边上一点．请用尺规作图法作，连接，使点D在射线上，且．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【难度】0.65 【详解】解：如图，即为所求．（作法不唯一） ． 2．（2026·山东青岛·二模）如图，已知，求作：平行四边形．使对角线与边垂直．且点D到的距离相等． 【答案】见解析 【难度】0.35 【分析】作出的平分线，过点作的垂线，垂足为点，再以B为圆心、长为半径作弧，以D为圆心、长为半径作弧，两弧交点即为E，则四边形即为所作． 【详解】解：平行四边形如图所示． 3．（2026·福建莆田·二模）数学课上，张老师出示了这样一个问题：如图，在梯形中，，点E，F在对角线上，．用尺规作，使得点H，G分别落在边，上．    (1)经过思考，甲、乙两位同学分别提出以下作法． 甲同学的作法： 在上任取一点G，连接，； 以点B为圆心，长为半径作弧，交于点H； 连接，，则即为所求． 乙同学的作法： 在上取一点G，连接，，； 以点E为圆心，长为半径作弧，交BC于点H； 连接，，则即为所求． 请你分别判断甲、乙两位同学的作法是否有问题，若存在问题请说明原因； (2)丙同学完成上述问题后，提出一个新的问题：求作，使得点H，G分别落在边，上，且．请你按下述要求，完成作图． ①尺规作图，不写作法，保留作图痕迹； ②只需作出一种情况即可． 【答案】(1)甲同学正确、乙两位同学有问题，理由见解析 (2)见解析 【难度】0.5 【分析】（1）根据平行四边形的判定方法进行判断即可； （2）取平行四边形对角线也就是的中点，过作直线交于点，交于点，使，连接，即可得到答案． 【详解】（1）解：甲同学：以点B为圆心，长为半径作弧，交于点H； 由题意可得， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； 乙同学：以点E为圆心，长为半径作弧，交BC于点H； 与可能有两个交点，故无法进行判断； （2）解：取平行四边形对角线也就是的中点， 在上任取一点G，连接，；以点B为圆心，长为半径作弧，交于点H，保证，使得， 由题意可得， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； ， ， ， 则四边形是平行四边形且． 题型三：动点的存在性问题 1. 分类讨论动点位置，分边为底、对角线两种核心情形分析 2. 设动点坐标或线段长度，结合对边平行相等、对角线互相平分列关系式 3. 联动全等、勾股定理、方程思想求解动点参数 4. 检验结果取值范围，舍去不符合题意的情况 1．（24-25八年级下·河南郑州·阶段检测）如图，在四边形中，，交于点O，，，，，动点P从点A出发，沿射线方向匀速运动，同时动点Q从点C出发，沿线段匀速运动，当运动到点D时停止运动，设运动的时间为． (1)求证：四边形为平行四边形． (2)若点P的运动速度为，点Q的运动速度为，当运动到以P，B，C，Q为顶点的四边形为平行四边形时，求t的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)或 【难度】0.85 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理， 对于，要证明四边形是平行四边形，根据已知条件，通过证明对角线互相平分来得出结论； 对于，根据平行四边形的对边相等这一性质，分情况列出关于时间t的方程求解． 【详解】（1）证明：， . ， ≌， ， 四边形为平行四边形； （2）解：∵，，， . 四边形是平行四边形， ，， 由题意可知，，， ①当点P在线段上时，此时，， 四边形是平行四边形， ， ， 解得； ②当点P在线段的延长线上时，此时，， 四边形是平行四边形， ， ， 解得 综上，当t的值为或时，以P，B，C，Q为顶点的四边形为平行四边形． 3．（25-26八年级下·四川泸州·阶段检测）如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发，沿射线的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点同时从点出发，在线段上以每秒1个单位长的速度向点运动，当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为（秒）． (1)设的面积为，请用含的式子表示； (2)当为何值时，四边形是平行四边形？ (3)当为何值时，的长度为？ 【答案】(1) (2)当时，四边形是平行四边形 (3)当或时，的长度为 【难度】0.52 【分析】（1）由题可知：，，则，可得点到的距离等于的长，再由求解即可； （2）若要使四边形为平行四边形，只需，得到，即可求解； （3）过点作于点，可得四边形为平行四边形，则，，，然后对运用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，点运动到点需要：（秒），点运动到点需要：（秒）， ∵其中一个动点到达端点时运动停止， ∴的取值范围是， 由题可知：，，则， ∵， ∴ ∵， ∴点到的距离等于的长， ∴； （2）解：∵，点在上，点在上， ∴， 若要使四边形为平行四边形，只需， 即： 解得： 经检验，在范围内，符合题意， ∴当时，四边形是平行四边形； （3）解：过点作于点，则 ∵， ∴， ∴ 又 ∴四边形为平行四边形， ∴，， 在中，由勾股定理得： 其中，，， ∴ ∴ 由此可得两种情况： ①当时，解得 ②当时：解得 经检验，和均在范围内，均符合题意， ∴当或时，的长度为． 4．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图，在平行四边形中，，，．动点P从点A出发沿以速度向终点D运动，同时点Q从点C出发，以速度沿射线运动，当点P到达终点时，点Q也随之停止运动，设点P运动的时间为t秒． (1)用含t的代数式表示 ； (2)当时，求t的值； (3)请问是否存在t的值，使得A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【难度】0.51 【分析】（1）根据路程=速度×时间，求解即可 ； （2）当时，过点A作于点F，则，，得到，根据题意，得，，构造等式求解即可； （3）当时，；当时，， 根据平行四边形的判定，列式求解即可． 【详解】（1）解：∵动点P从点A出发沿以速度向终点D运动， ∴； （2）解：当时，如图1，过点A作于点F，则，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵动点P从点A出发沿以速度向终点D运动，同时点Q从点C出发，以速度沿射线运动， ∴，， ∴， ∴， 解得． （3）解：存在， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵动点P从点A出发沿以速度向终点D运动，同时点Q从点C出发，以速度沿射线运动， ∴，， ∴当点P与点D重合时，， 故， 解得， ∴当点Q与点B重合时，， 故， 解得， ∴当时，； 当时，， ∵， ∴当时，A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形， 当时，如图2，四边形是平行四边形， ∵， ∴， 解得； 当时，如图3，四边形是平行四边形， ∵， ∴， 解得； 综上所述，t的值为或． 题型四：在平面直角坐标系中确定平行四边形 ·一般策略： 1. 核心运用中点坐标公式、图形平移规律解题 2. 已知三点求第四点，分三条线段轮流充当对角线分类计算 3. 利用对边横纵坐标变化量一致，推导未知顶点坐标 4. 结合中心对称特性验算坐标，规避点位计算错误 ·重要公式： 项目 若A，B，C，D四点构成平行四边形，求未知点的坐标 方法 方法1:利用平行四边形对边平行且相等 方法2:利用平行四边形对角线互相平分(中点坐标相同) 公式 1．（24-25八年级下·甘肃兰州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，且，的长满足． (1)求点，点的坐标； (2)若直线与线段交于点，与轴，轴分别交于，两点，且点，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿射线方向运动，设点的运动时间为秒，连接，设的面积为，求与的函数关系式（请直接写出自变量的取值范围）； (3)在（2）的条件下，在坐标平面内是否存在点，使以A，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，或或 【难度】0.4 【分析】（1）根据非负数的性质求出，的长，再根据点A在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，即可得出点的坐标； （2）分两种情况：当时 ， 当时，根据三角形的面积公式求解即可； （3）分两种情况：①当为边时，②当为对角线时，分别利用平行四边形的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴，， ∴，， ∵点A在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上， ∴，． （2）解：∵， ∴， 当时 ， ， 当时， ， 综上，． （3）解：如图，连接， 由（1）知，，， 由（2）知，， ， 以、、、为顶点的四边形是平行四边形， ①当为边时，，， 或； ②当为对角线时，点向下平移4个单位，再向右平移2个单位， 点向下平移4个单位，再向右平移2个单位得到点的坐标， ， 即：点的坐标为或或． 2．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，直线交轴于点，交轴于点，直线过点，交轴于点，且为线段的中点． (1)求、的值； (2)点为线段延长线上一点，连接，设点的横坐标为，的面积为，求与的函数关系式； (3)在（2）的条件下，当时，若点是直线上一点，轴上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（24-25八年级下·四川南充·期末）如图在平面直角坐标系中，直线与x轴和y轴分别交于A、B两点，． (1)求的面积． (2)C为延长线上的一点，连接，以和为直角边作等腰直角三角形，若，求直线的解析式 (3)点E在坐标平面内，是否存在以A、C、D、E为顶点的四边形是平行四边形，若存在请直接写出符合条件的点E的坐标． 【答案】(1)6 (2) (3)或或 【难度】0.4 【分析】（1）由，求出，得，由，得，得，即得； （2）过点D作轴于F，证明，得，得，得，即可求出直线的解析式为； （3）当为边时，由，，， 得，，得，，，，得，，当为对角线时，由,，得． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴， 由图知， ∴， ∴， ∴． （2）解：由（1）知，， ∴， ∵， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴，， 如图，过点D作轴于F， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴． （3）解：如图， ∵以A、C、D、E为顶点的四边形是平行四边形， ∴当为边时，， 由（2）知，，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 当为对角线时，互相平分， ∵,， ∴． ∴点E的坐标为f或或． 4．（24-25八年级下·云南丽江·期末）如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，点的坐标为，直线分别交轴、轴于点，直线分别交轴、轴于点，且． (1)求点的坐标． (2)求直线的函数解析式，并判断点是否在直线上． (3)在平面直角坐标系内是否存在动点，使得以为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，点在直线上 (3)存在，点的坐标为或或 【难度】0.4 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上的点的坐标特征，平行四边形的性质等知识点． （1）过点作轴于点，过点作轴于点，证明，然后根据全等三角形的性质即可求解； （2）先由待定系数法求直线表达式，求出与坐标轴的交点，然后根据，求出点坐标，再由待定系数法求直线表达式，即可判断点是否在直线上； （3）分三种情况讨论，根据平行四边形和平移的性质求解即可． 【详解】（1）解：过点作轴于点，过点作轴于点，则， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵为等腰直角三角形， ∴ ∴， ∴， ∴； （2）解：设直线， 代入点，，则， 解得：， ∴直线， 当， ∴，即， 当，则， 解得：， ∴，即， ∵， ∴，， 设直线， 则， 解得：， ∴直线， 当时，， ∴点在直线上； （3）解：存在动点，使得以为顶点的四边形为平行四边形， 如图，当时，则， ∴点向点的平移方式与点向的平移方式一样， ∵，，， ∴点向左平移8个单位，向下平移6个单位至点， ∴； 当时，则，同理可求：； 当时，则，同理可求：， 综上：存在动点，使得以为顶点的四边形为平行四边形，点的坐标为或或． 5．（24-25八年级下·辽宁盘锦·期末）如图，在中，点B在x轴上，直线经过点，且与x轴交于点C，直线与x轴相交于点B，与相交于点D． (1)求直线的表达式 (2)在y轴上是否存在一点E，使是等腰三角形，若存在，求出点E坐标：若不存在，请说明理由； (3)点P在直线上，点Q在直线上，当点O，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出点Q的坐标． 【答案】(1) (2)或或或 (3)存在，或 【难度】0.4 【分析】（1）由直线：经过点，再利用待定系数法可得答案； （2）设，先求解，可得，，，结合是等腰三角形，再分类讨论即可； （3）如图，设，，当为对角线时，如图，当为对角线时，如图，当为对角线时，再利用平行四边形的性质建立方程求解即可； 【详解】（1）解：∵直线：经过点， ∴， 解得：， ∴直线为； （2）解：如图，设， ∵， 解得：， ∴， ∴，，， ∵是等腰三角形， 当时，， 解得：， ∴或， 当时，， 解得：， ∴， 当时，， 解得：（舍去），， ∴， 综上：或或或； （3）解：如图，∵点P在直线上，Q在直线上， ∴设，， 当为对角线时， ∴， 解得：， ∴； 如图，当为对角线时， ∴， 解得：， ∴； 如图，当为对角线时， ∴， 解得：， ∴， 综上：或． 1．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的三个顶点都是格点，仅用无刻度直尺在给定网格中完成如下两个问题，每一个问题的画线不得超过四条． (1)在图（1）中，为边上一点，先画，再画直线交于点，使直线平分的周长； (2)在图（2）中，先画的高；再在上画点，使线段． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【难度】0.4 【分析】（1）取格点，连接，结合，，可得，结合平行四边形的对角线的交点的性质，连接，并延长交于，则可得，可得直线即为所求； （2）如图，取格点，连接交于，结合全等三角形的性质可得，取格点，，且，连接，分别交于，连接，利用勾股定理逆定理证明，则，，可得，利用勾股定理证明，结合垂直与面积可得，可得． 【详解】（1）解：如图，，直线即为所求． （2）解：如图，即为所求 2．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）如图，在平行四边形中，，，．动点从点出发沿以速度向终点运动，同时点从点出发，以速度沿射线运动，当点到达终点时，点也随之停止运动，设点运动的时间为秒． (1)请问是否存在的值，使得，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (2)请问是否存在的值，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (3)若点关于直线对称的点恰好落在直线上，则________． 【答案】(1)或 (2)存在， (3)或 【难度】0.39 【分析】（1）可证明和是以、、、为顶点的平行四边形的一组对边；当点在点左侧时，则四边形是平行四边形，当点在点右侧时，则四边形是平行四边形，据此根据平行四边形的性质讨论求解即可； （2）求出，得到；由平行四边形的性质和平行线的性质可得，可证明，则可推出，根据建立方程求解即可； （3）分两种情况：点在点左侧和点在点右侧，分别画出示意图，讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴和是以、、、为顶点的平行四边形的一组对边； 如图所示，当点在点左侧时，则四边形是平行四边形， ∴， ∴， 解得； 如图所示，当点在点右侧时，则四边形是平行四边形， ∴， ∴， 解得； 综上所述，或； （2）解：存在，使得 ∵，， ∴， ∴， ∴； ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 如图所示，设交于点O， 由题意得，， 同理可得， ∴同理可得， ∴， ∵， ∴， 解得； （3）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴； 如图所示，当点在点左侧时，设点的对应点为， 由对称性可得， ∴是等边三角形， ∴， 由（2）可知， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； 如图所示，当点在点右侧时，设点的对应点为，点为直线上一点， ∵， ∴由轴对称的性质可得， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 解得； 综上所述，或． 3．（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，D，直线与直线平行，交x轴于点，交于点C． (1)求直线的解析式及点C的坐标； (2)若点P是线段上动点，当时，在x轴上有两动点M、N（M在N的左侧），且，连接，，当四边形周长最小时，求点M的坐标； (3)在（2）的条件下，将绕O点顺时针旋转得到，点E是y轴上的一个动点，点F是直线上的一个动点，是否存在这样的点F，使以G，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为或或 【难度】0.4 【分析】本题主要考查一次函数的性质，平行四边形的性质，熟练掌握待定系数法求解析式及图形的平移性质是解题的关键． （1）由直线与直线平行，可设直线的解析式为，根据直线交轴于点，可求出解析式，再根据解析式求出点坐标即可； （2）四边形周长中和长度固定，所以求出长度后四边形周长由决定，将向右平移两个单位至，则，过轴作点的对称点，连接交轴于点，此时最小，即最小，求出直线的解析式，即可确定点坐标，进而确定点坐标； （3）由题意确定点坐标，再分当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时三种情况分别计算出点的坐标即可． 【详解】（1）解：∵直线与直线平行， ∴设直线的解析式为， ∵直线交轴于点， ， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵直线交于点， ， 解得， ， 故答案为：； （2）解：， ， 即， 则， 解得：， ， ∵与轴交于点， ， ∴， ∴， 当最小时，四边形的周长最小，将向右平移两个单位至，如图 1 ， 则， 过轴作点的对称点，连接交轴于点， 此时最小，即最小， 设直线的解析式为， 代入坐标，得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 令时，， 解得：， ， ． （3）解：存在，点的坐标为或或． 理由如下： 过作轴，图2， 由题知，， ， ， ， ， 设， 当为对角线时，， ， 解得， ； 当为对角线时，， ， 解得， ； 当为对角线时，， ， 解得， ， 综上，点的坐标为或或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点02 平行四边形的存在性问题 考点一：方法点拨 ·分类讨论：①根据顶点的字母顺序进行分类讨论；②根据动点的位置、形状等进行分类讨论； ·数形结合：利用设未知数-列方程、建系-设动点坐标等方法将几何问题转化为代数问题。 考点二：解平行四边形存在性问题的一般步骤 第一步：坐标表达：写出或设出平行四边形四个顶点的坐标； 第二步：①分类讨论动点位置：“三定点”图形中以对角线为分类标准分三种情况讨论；“两定点”图形中，分别以这两点组成的线段为边或为对角线分两种情况讨论；②列方程求坐标：根据对角线互相平分，表示出中点坐标，再利用上述模型分情况建立等式解方程，求四个顶点的坐标；（常用） 第三步：检验求出的点是否符合题意或能否构成平行四边形. 题型一：格点作图——确定一个平行四边形 1. 依托网格横竖线段平行、等长特点，利用对边平行且相等判定作图 2. 固定两个顶点为基准边，通过格点平移找点，锁定第四个顶点 3. 按顶点顺序依次连线，可结合中心对称特征验证图形合规性 4. 多解情况分类排布顶点位置，避免遗漏符合条件图形 1．（25-26九年级上·宁夏银川·期末）已知：格纸中每个小正方形的边长均为1，点A、点B在小正方形的顶点上． (1)在图中求的长． (2)在图中画出平行四边形（点C、D在小正方形的顶点上），使平行四边形的面积为16； 2．（25-26八年级下·江苏镇江·期中）工艺美术中常需要设计几何图案．如图，正方形网格中，已确定三个格点、、的位置，需要在图中确定点，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形．若点的坐标是，请你在图中建立平面直角坐标系，且平面直角坐标系的横轴与网格线的水平线平行．在图中描出点的位置，并写出所有符合条件的点的坐标． 3．（25-26八年级下·浙江绍兴·期中）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下面的要求画图： (1)在图①中，画出一个格点平行四边形（不能画成长方形），使其面积为3； (2)在图②中，画出一个格点平行四边形（不能画成长方形），使其一条对角线等于5 题型二：尺规作图——作平行四边形 1. 依据判定定理选作图思路，常用两组对边相等、一组对边平行且相等作法 2. 运用作等线段、作等角基础尺规操作，确定边角位置 3. 分步勾勒边与顶点，保留完整作图圆弧痕迹 4. 作图完成后对照平行四边形性质核验图形 1．（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，已知点B是的边上一点．请用尺规作图法作，连接，使点D在射线上，且．（保留作图痕迹，不写作法） 2．（2026·山东青岛·二模）如图，已知，求作：平行四边形．使对角线与边垂直．且点D到的距离相等． 3．（2026·福建莆田·二模）数学课上，张老师出示了这样一个问题：如图，在梯形中，，点E，F在对角线上，．用尺规作，使得点H，G分别落在边，上．    (1)经过思考，甲、乙两位同学分别提出以下作法． 甲同学的作法： 在上任取一点G，连接，； 以点B为圆心，长为半径作弧，交于点H； 连接，，则即为所求． 乙同学的作法： 在上取一点G，连接，，； 以点E为圆心，长为半径作弧，交BC于点H； 连接，，则即为所求． 请你分别判断甲、乙两位同学的作法是否有问题，若存在问题请说明原因； (2)丙同学完成上述问题后，提出一个新的问题：求作，使得点H，G分别落在边，上，且．请你按下述要求，完成作图． ①尺规作图，不写作法，保留作图痕迹； ②只需作出一种情况即可． 题型三：动点的存在性问题 1. 分类讨论动点位置，分边为底、对角线两种核心情形分析 2. 设动点坐标或线段长度，结合对边平行相等、对角线互相平分列关系式 3. 联动全等、勾股定理、方程思想求解动点参数 4. 检验结果取值范围，舍去不符合题意的情况 1．（24-25八年级下·河南郑州·阶段检测）如图，在四边形中，，交于点O，，，，，动点P从点A出发，沿射线方向匀速运动，同时动点Q从点C出发，沿线段匀速运动，当运动到点D时停止运动，设运动的时间为． (1)求证：四边形为平行四边形． (2)若点P的运动速度为，点Q的运动速度为，当运动到以P，B，C，Q为顶点的四边形为平行四边形时，求t的值． 3．（25-26八年级下·四川泸州·阶段检测）如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发，沿射线的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点同时从点出发，在线段上以每秒1个单位长的速度向点运动，当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为（秒）． (1)设的面积为，请用含的式子表示； (2)当为何值时，四边形是平行四边形？ (3)当为何值时，的长度为？ 4．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图，在平行四边形中，，，．动点P从点A出发沿以速度向终点D运动，同时点Q从点C出发，以速度沿射线运动，当点P到达终点时，点Q也随之停止运动，设点P运动的时间为t秒． (1)用含t的代数式表示 ； (2)当时，求t的值； (3)请问是否存在t的值，使得A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 题型四：在平面直角坐标系中确定平行四边形 ·一般策略： 1. 核心运用中点坐标公式、图形平移规律解题 2. 已知三点求第四点，分三条线段轮流充当对角线分类计算 3. 利用对边横纵坐标变化量一致，推导未知顶点坐标 4. 结合中心对称特性验算坐标，规避点位计算错误 ·重要公式： 项目 若A，B，C，D四点构成平行四边形，求未知点的坐标 方法 方法1:利用平行四边形对边平行且相等 方法2:利用平行四边形对角线互相平分(中点坐标相同) 公式 1．（24-25八年级下·甘肃兰州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，且，的长满足． (1)求点，点的坐标； (2)若直线与线段交于点，与轴，轴分别交于，两点，且点，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿射线方向运动，设点的运动时间为秒，连接，设的面积为，求与的函数关系式（请直接写出自变量的取值范围）； (3)在（2）的条件下，在坐标平面内是否存在点，使以A，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，直线交轴于点，交轴于点，直线过点，交轴于点，且为线段的中点． (1)求、的值； (2)点为线段延长线上一点，连接，设点的横坐标为，的面积为，求与的函数关系式； (3)在（2）的条件下，当时，若点是直线上一点，轴上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（24-25八年级下·四川南充·期末）如图在平面直角坐标系中，直线与x轴和y轴分别交于A、B两点，． (1)求的面积． (2)C为延长线上的一点，连接，以和为直角边作等腰直角三角形，若，求直线的解析式 (3)点E在坐标平面内，是否存在以A、C、D、E为顶点的四边形是平行四边形，若存在请直接写出符合条件的点E的坐标． 4．（24-25八年级下·云南丽江·期末）如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，点的坐标为，直线分别交轴、轴于点，直线分别交轴、轴于点，且． (1)求点的坐标． (2)求直线的函数解析式，并判断点是否在直线上． (3)在平面直角坐标系内是否存在动点，使得以为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（24-25八年级下·辽宁盘锦·期末）如图，在中，点B在x轴上，直线经过点，且与x轴交于点C，直线与x轴相交于点B，与相交于点D． (1)求直线的表达式 (2)在y轴上是否存在一点E，使是等腰三角形，若存在，求出点E坐标：若不存在，请说明理由； (3)点P在直线上，点Q在直线上，当点O，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出点Q的坐标． 1．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的三个顶点都是格点，仅用无刻度直尺在给定网格中完成如下两个问题，每一个问题的画线不得超过四条． (1)在图（1）中，为边上一点，先画，再画直线交于点，使直线平分的周长； (2)在图（2）中，先画的高；再在上画点，使线段． 2．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）如图，在平行四边形中，，，．动点从点出发沿以速度向终点运动，同时点从点出发，以速度沿射线运动，当点到达终点时，点也随之停止运动，设点运动的时间为秒． (1)请问是否存在的值，使得，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (2)请问是否存在的值，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (3)若点关于直线对称的点恰好落在直线上，则________． 3．（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，D，直线与直线平行，交x轴于点，交于点C． (1)求直线的解析式及点C的坐标； (2)若点P是线段上动点，当时，在x轴上有两动点M、N（M在N的左侧），且，连接，，当四边形周长最小时，求点M的坐标； (3)在（2）的条件下，将绕O点顺时针旋转得到，点E是y轴上的一个动点，点F是直线上的一个动点，是否存在这样的点F，使以G，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $