第9章 因式分解 期末复习练习 2025-2026学年苏科版数学八年级下册

**基本信息** 以“概念辨析-公式应用-方法拓展-综合建模”为逻辑主线，系统整合因式分解核心方法，通过真题情境培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|2题|定义判断（整式积形式）|从因式分解定义出发，区分整式乘法与分解| |公式应用|8题|提公因式法、平方差/完全平方公式|公因式提取→公式识别→综合分解（如含(x-y)变形）| |方法拓展|3题|待定系数法、公式变形（如(a±b)²转化）|通过多项式恒等原理推导系数关系，培养运算能力| |综合建模|2题|“智慧数”“双偶平方差数”概念建模|应用因式分解解决数论问题，发展应用意识与创新意识|

盐城市北蒋实验学校八年级数学导学活动单 八年级数学•下学期•期末复习 八年级数学期末复习（5）——因式分解（课时作业） 班级 姓名 作业时间 【基础练习】 1．（2026春•邳州市期中）下列各式由左边到右边的变形中，是多项式因式分解的是（　　） A．3（x﹣y）＝3x﹣3y B．y2﹣6y+9＝（y﹣3）2 C．x2﹣2x﹣3＝x（x﹣2）﹣3 D．6m2n2＝2m2•3n2 2．（2026春•浑南区期中）下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（　　） A．a2+2a﹣1 B．a2+4 C．a2﹣1 D．a2﹣4a+4 3．（2025秋•宁乡市期末）若x2+（a+2）x+9能用完全平方公式进行因式分解，则常数a的值是（　　） A．﹣4或8 B．4 C．﹣8 D．4或﹣8 4．（2025秋•平原县月考）若m为任意整数，则（3m+2）2﹣9m2的值总能（　　） A．被4整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被6整除 5．（2026春•福田区校级期中）若一个正整数能表示成两个正整数的平方差，则称这个数为“智慧数”．例如13＝72﹣62，所以13是“智慧数”，则下列说法不正确的是（　　） A．代数式a2﹣2ab（a，b是正整数）是智慧数的条件是a≥2b; B．将智慧数从小到大进行排列，第10个智慧数是16; C．所有大于1的奇数都是智慧数 ; D．12是智慧数. 6．（2026•昌平区二模）分解因式：2x2+4xy+2y2＝　 　 ．a2（x﹣y）+9（y﹣x）＝　 　 ． 7．（2026春•浙江期中）已知m﹣n＝4，mn＝5，则多项式mn2﹣m2n的值是 　 　 ． 8．（2026春•玄武区校级期中）已知M＝20242，N＝2021×2027，则M与N的大小关系是　 　 ． 9．（2025秋•抚宁区期末）已知a，b分别是长方形的长和宽，它的周长为12，面积为8，则的值为　 　 ． 10．（2026春•开州区期中）若存在一个各数位上数字均不为0的三位正整数，且三个数字相加的和为9，则称这个三位正整数为“和九数”，对于一个“和九数”M，将它的个位数字和十位数字交换以后得到新数N，记，则T（135）=　 　 ；对于一个“和九数”M，若T（M）能被5整除，则满足条件的“和九数”P的最小值是　 　 ． 11．（2026春•未央区校级期中）因式分解： （1）12a2b﹣6ab； （1）4a2b+10ab﹣2ab2； （2）（x2+1）2﹣4x2． （2）49（a+b）2﹣9（a﹣b）2． 12．（2026春•东阳市期中）仔细阅读下面例题，并解答问题： 例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式为x+3，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为（x+n）， 由题意得x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n），即x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n， 则有，解得，所以另一个因式为x﹣7，m的值是﹣21． 问题：请仿照上述方法解答下面问题： （1）若x2+bx+c＝（x﹣2）（x+3），则b＝　 　 ，c＝　 　 ； （2）已知二次三项式2x2﹣7x+k有一个因式为2x﹣3，求另一个因式以及k的值． 13．（2026春•泰兴市期中）在学习平方差公式时，小明发现：两个连续偶数的平方差有一些有趣的结论．他定义：如果一个正整数N可以写成（2k+2）2﹣（2k）2的形式（其中k为正整数），则称N为“双偶平方差数”，k称为N的“序数”．例如，当k＝1时，42﹣22＝12，所以12是双偶平方差数，序数为1． （1）下列各数是双偶平方差数的是　 　 ；（填序号） ①20；②27；③36． （2）小明猜想：任意一个双偶平方差数都能被4整除．请帮助小明证明他的猜想； （3）设两个双偶平方差数P和Q的序数分别为a和b（a、b为正整数）． ①若P+Q＝72，a2+b2＝34，求a和b的值； ②若P•Q可表示为64（m﹣n）+16的形式，其中m＝a2+b2，n＝ab．已知a﹣b＝2，求P和Q的值． 14．（2026春•金水区校级期中）人类使用密码的历史悠久，以下是利用因式分解生成密码的一种方法：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列就可以形成密码．例如多项式12x2y2﹣3y2，将其分解因式为3y2（x+2）（x﹣2）．把因式分解结果中的所有单项式乘积看作一个因式，取x＝15，y＝5，则有3y2＝75，x+2＝17，x﹣2＝13，其中75，17，13分别为因式码．将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码131775． （1）若王老师想用年龄生成锁屏密码，选取的多项式为m3﹣9m，王老师当前年龄是30岁．求王老师手机的锁屏密码； （2）若多项式x3+（m﹣2n）x2+5nx分解因式后，利用前面的方法，当x＝24时，可以得到密码为242932， 【拓展提升】 15．（2026春•鲁山县月考）在学习整式的乘法公式时，我们发现完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2经过适当的变形，可以解决很多数学问题，例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值． 解： ∵a+b＝3，ab＝1，∴（a+b）2＝9，2ab＝2， ∴a2+b2+2ab＝9，∴a2+b2＝7． 根据上面的解题思路与方法，请解决下列问题： （1）①若mn＝4，m2+n2＝5，则（m+n）2＝　 　 ； ②若x+y＝6，x2+y2＝28，则xy＝　 　 ； ③若3a+2b＝6，ab＝1，则（3a﹣2b）2＝　 　 ； （2）如图，C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝8，两正方形的面积和S1+S2＝44，求△AFC的面积． 八年级数学期末复习（5）——因式分解（课时作业）(答案) 班级 姓名 作业时间 【基础练习】 1．（2026春•邳州市期中）下列各式由左边到右边的变形中，是多项式因式分解的是（　B　） A．3（x﹣y）＝3x﹣3y B．y2﹣6y+9＝（y﹣3）2 C．x2﹣2x﹣3＝x（x﹣2）﹣3 D．6m2n2＝2m2•3n2 2．（2026春•浑南区期中）下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（　D　） A．a2+2a﹣1 B．a2+4 C．a2﹣1 D．a2﹣4a+4 3．（2025秋•宁乡市期末）若x2+（a+2）x+9能用完全平方公式进行因式分解，则常数a的值是（　D　） A．﹣4或8 B．4 C．﹣8 D．4或﹣8 4．（2025秋•平原县月考）若m为任意整数，则（3m+2）2﹣9m2的值总能（　　） A．被4整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被6整除 解：（3m+2）2﹣9m2＝（3m+2+3m）（3m+2﹣3m）＝2（6m+2）＝4（3m+1）， 4（3m+1）的值总能被4整除， 因此（3m+2）2﹣9m2的值总能被4整除，故选：A． 5．（2026春•福田区校级期中）若一个正整数能表示成两个正整数的平方差，则称这个数为“智慧数”．例如13＝72﹣62，所以13是“智慧数”，则下列说法不正确的是（　A　） A．代数式a2﹣2ab（a，b是正整数）是智慧数的条件是a≥2b; B．将智慧数从小到大进行排列，第10个智慧数是16; C．所有大于1的奇数都是智慧数 ; D．12是智慧数. 解：A．代数式a2﹣2ab（a，b 为正整数）是智慧数的条件是：a≥2b， 变形与等价形式：a2﹣2ab＝（a﹣b）2﹣b2，令x＝a﹣b、y＝b， 则需x＞y＞0 才符合智慧数定义， 条件分析：x＞y得：a﹣b＞b，即a＞2b， 当a＝2b时，原式＝0（非正整数），不满足智慧数要求； 当a＜2b时为负数，也不满足， 选项给出a≥2b，包含了a＝2b（结果为 0）这一反例，因此该条件不充分．真正充要条件应为a＞2b， 此说法不正确； B．将智慧数从小到大排列，第10个智慧数是16 枚举法（取x从小到大，y＜x）：得智慧数：3，5，7，8，9，11，12，13，15，16，（去重并按大小排序）． 排序验证：第1～10个依次为 3，5，7，8，9，11，12，13，15，16．结论：此说法正确； C．设奇数n＝2k+1（k≥1），取x＝k+1、y＝k，则x2﹣y2 ＝ （k+1）2﹣k2 ＝ 2k+1＝n， 且 x＞y＞0 均为正整数．此说法正确； D.12＝42﹣22＝16﹣4，且4＞2＞1．此说法正确．故选：A． 6．（2026•昌平区二模）分解因式：2x2+4xy+2y2＝　2（x+y）2　 ．a2(x﹣y)+9(y﹣x)＝　(x﹣y）（a+3)(a﹣3) ． 7．（2026春•浙江期中）已知m﹣n＝4，mn＝5，则多项式mn2﹣m2n的值是 　﹣20 　 ． 8．（2026春•玄武区校级期中）已知M＝20242，N＝2021×2027，则M与N的大小关系是　 　 ． 解：∵M＝20242，N＝2021×2027＝（2024﹣3）×（2024+3）＝20242﹣9， ∴M﹣N＝20242﹣（20242﹣9）＝9＞0， ∴M＞N， 故答案为：M＞N． 9．（2025秋•抚宁区期末）已知a，b分别是长方形的长和宽，它的周长为12，面积为8，则的值为　 24 　 ． 10．（2026春•开州区期中）若存在一个各数位上数字均不为0的三位正整数，且三个数字相加的和为9，则称这个三位正整数为“和九数”，对于一个“和九数”M，将它的个位数字和十位数字交换以后得到新数N，记，则T（135）=　32　 ；对于一个“和九数”M，若T（M）能被5整除，则满足条件的“和九数”P的最小值是　 414 　 ． 解：若存在一个各数位上数字均不为0的三位正整数，且三个数字相加的和为9，则称这个三位正整数为“和九数”，对于一个“和九数”M，则： ①当M＝135时，N＝153，， ②设和九数M的百位、十位、个位数字分别为a、b、c（均为1∽9的正整数，且a+b+c＝9）， 则M＝100a+10b+c，N＝100a+10c+b， ， 要使T（M）能被5整除，需21a+11的末位为0或5，即a+1能被5整除，∴a＝4或a＝9， 当a＝4时，b+c＝5，要使三位数最小，取b＝1，c＝4，此时M＝414； 当a＝9时，b+c＝0，不存在b、c均为正整数的情况， 综上，最小的“和九数”P＝414． 11．（2026春•未央区校级期中）因式分解： （1）12a2b﹣6ab； （2）4a2b+10ab﹣2ab2； （3）（x2+1）2﹣4x2． （4）49（a+b）2﹣9（a﹣b）2． （1）原式＝6ab（2a﹣1）； （2）原式＝2ab（2a+5﹣b）； （3）原式＝（x2+1）2﹣（2x）2＝[（x2+1）+2x][（x2+1）﹣2x]＝（x+1）2（x﹣1）2． （4）49（a+b）2﹣9（a﹣b）2＝[7（a+b）+3（a﹣b）][7（a+b）﹣3（a﹣b）] ＝（10a+4b）（4a+10b）＝4（5a+2b）（2a+5b）． 12．（2026春•东阳市期中）仔细阅读下面例题，并解答问题： 例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式为x+3，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为（x+n）， 由题意得x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n），即x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n， 则有，解得，所以另一个因式为x﹣7，m的值是﹣21． 问题：请仿照上述方法解答下面问题： （1）若x2+bx+c＝（x﹣2）（x+3），则b＝　1　 ，c＝　﹣6　 ； （2）已知二次三项式2x2﹣7x+k有一个因式为2x﹣3，求另一个因式以及k的值． 解：（1）（x﹣2）（x+3）＝x2+3x﹣2x﹣6＝x2+x﹣6， ∵x2+bx+c＝（x﹣2）（x+3）， ∴b＝1，c＝﹣6， 故答案为：1；﹣6； （2）设另一个因式为（x+t）， 则2x2﹣7x+k＝（2x﹣3）（x+t）， ∵（2x﹣3）（x+t）＝2x2+2tx﹣3x﹣3t＝2x2+（2t﹣3）x﹣3t， ∴2t﹣3＝﹣7，k＝﹣3t， 解得：t＝﹣2，k＝6， 即另一个因式为（x﹣2），k＝6． 13．（2026春•泰兴市期中）在学习平方差公式时，小明发现：两个连续偶数的平方差有一些有趣的结论．他定义：如果一个正整数N可以写成（2k+2）2﹣（2k）2的形式（其中k为正整数），则称N为“双偶平方差数”，k称为N的“序数”．例如，当k＝1时，42﹣22＝12，所以12是双偶平方差数，序数为1． （1）下列各数是双偶平方差数的是　①③　 ；（填序号） ①20；②27；③36． （2）小明猜想：任意一个双偶平方差数都能被4整除．请帮助小明证明他的猜想； （3）设两个双偶平方差数P和Q的序数分别为a和b（a、b为正整数）． ①若P+Q＝72，a2+b2＝34，求a和b的值； ②若P•Q可表示为64（m﹣n）+16的形式，其中m＝a2+b2，n＝ab．已知a﹣b＝2，求P和Q的值． 解：（1）∵20＝62﹣42，36＝102﹣82， ∴20和36是双偶平方差数， ∵（2k+2）2﹣（2k）2＝（4k2+8k+4）﹣4k2＝8k+4＝4（2k+1），（k为正整数）， ∴“双偶平方差数”必为偶数， ∴27不是“双偶平方差数”，故答案为：①③； （2）（2k+2）2﹣（2k）2＝（4k2+8k+4）①③﹣4k2＝8k+4＝4（2k+1）， ∵2k+1是整数，∴8k+4能被4整除； （3）①∵两个双偶平方差数P和Q的序数分别为a和b（a、b为正整数）， ∴P＝（2a+2）2﹣（2a）2＝8a+4Q＝（2b+2）2﹣（2b）2＝8b+4， ∵P+Q＝72，∴P+Q＝（8a+4）+（8b+4）＝8a+8b+8＝8（a+b）+8＝72，∴a+b＝8， ∵a2+b2＝34，∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝64，∴ab＝15， ∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝34﹣2×15＝4，∴a﹣b＝2或﹣2， 由，解得，，解得，∴a＝3，b＝5；a＝5，b＝3； ②由 （2）知 P＝8a+4，Q＝8b+4， 则 P•Q＝（8a+4）（8b+4）＝64ab+32（a+b）+16． ∵P•Q＝64（m﹣n）+16，且m＝a2+b2n＝ab， ∴64ab+32（a+b）+16＝64（a2+b2﹣ab）+16． ∴a+b＝2（a﹣b）2＝8，∴，解得a＝5，b＝3，∴P＝8a+4＝44，Q＝8b+4＝28． 14．（2026春•金水区校级期中）人类使用密码的历史悠久，以下是利用因式分解生成密码的一种方法：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列就可以形成密码．例如多项式12x2y2﹣3y2，将其分解因式为3y2（x+2）（x﹣2）．把因式分解结果中的所有单项式乘积看作一个因式，取x＝15，y＝5，则有3y2＝75，x+2＝17，x﹣2＝13，其中75，17，13分别为因式码．将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码131775． （1）若王老师想用年龄生成锁屏密码，选取的多项式为m3﹣9m，王老师当前年龄是30岁．求王老师手机的锁屏密码； （2）若多项式x3+（m﹣2n）x2+5nx分解因式后，利用前面的方法，当x＝24时，可以得到密码为242932， 解：（1）m3﹣9m＝m（m2﹣9）＝m（m+3）（m﹣3）， 代入m＝30：m＝30，m+3＝30+3＝33，m﹣3＝30﹣3＝27， 排列因式码：27、30、33，密码为273033； （2）因为x3+（m﹣2n）x2+5nx＝x[x2+（m﹣2n）x+5n]， 由密码242932和x＝24，得因式为x（x+5）（x+8）， 展开：x（x+5）（x+8）＝x（x2+13x+40）＝x3+13x2+40x，对比系数：， 解得：n＝40÷5＝8，m＝13+2×8＝29． 【拓展提升】 15．（2026春•鲁山县月考）在学习整式的乘法公式时，我们发现完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2经过适当的变形，可以解决很多数学问题，例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值． 解： ∵a+b＝3，ab＝1，∴（a+b）2＝9，2ab＝2， ∴a2+b2+2ab＝9，∴a2+b2＝7． 根据上面的解题思路与方法，请解决下列问题： （1）①若mn＝4，m2+n2＝5，则（m+n）2＝　13　 ； ②若x+y＝6，x2+y2＝28，则xy＝　4　 ； ③若3a+2b＝6，ab＝1，则（3a﹣2b）2＝　12　 ； （2）如图，C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝8，两正方形的面积和S1+S2＝44，求△AFC的面积． 解：（1）解：①∵mn＝4，m2+n2＝5， ∴（m+n）2＝m2+2mn+n2＝5+2×4＝13；故答案为：13； ②∵x+y＝6，x2+y2＝28， ∴（x+y）2＝36，即x2+2xy+y2＝36，∴2xy＝36﹣28＝8，∴xy＝4； 故答案为：4； ③∵3a+2b＝6，ab＝1， ∴（3a+2b）2＝36，∴（3a﹣2b）2＝（3a+2b）2﹣2×2×3a•2b＝36﹣24×1＝12， 故答案为：12； （2）解：设AC＝m，CF＝n， ∵AB＝8，∴m+n＝8， 又∵S1+S2＝44，∴m2+n2＝44， 由完全平方公式可得，（m+n）2＝m2+2mn+n2，∴82＝44+2mn， ∴mn＝10，∴； 1 学科网（北京）股份有限公司 $