第9章 因式分解 期末复习练习 2025-2026学年苏科版数学八年级下册

八年级数学期末复习（5）——因式分解（课时作业）

班级        姓名             作业时间           

【基础练习】

1．（2026春•邳州市期中）下列各式由左边到右边的变形中，是多项式因式分解的是（　　）

A．3（x﹣y）＝3x﹣3y B．y2﹣6y+9＝（y﹣3）2 

C．x2﹣2x﹣3＝x（x﹣2）﹣3 D．6m2n2＝2m2•3n2

2．（2026春•浑南区期中）下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（　　）

A．a2+2a﹣1 B．a2+4 C．a2﹣1 D．a2﹣4a+4

3．（2025秋•宁乡市期末）若x2+（a+2）x+9能用完全平方公式进行因式分解，则常数a的值是（　　）

A．﹣4或8 B．4 C．﹣8 D．4或﹣8

4．（2025秋•平原县月考）若m为任意整数，则（3m+2）2﹣9m2的值总能（　　）

A．被4整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被6整除

5．（2026春•福田区校级期中）若一个正整数能表示成两个正整数的平方差，则称这个数为“智慧数”．例如13＝72﹣62，所以13是“智慧数”，则下列说法不正确的是（　　）

A．代数式a2﹣2ab（a，b是正整数）是智慧数的条件是a≥2b; 

B．将智慧数从小到大进行排列，第10个智慧数是16; 

C．所有大于1的奇数都是智慧数 ;                D．12是智慧数.

6．（2026•昌平区二模）分解因式：2x2+4xy+2y2＝　          　 ．a2（x﹣y）+9（y﹣x）＝　              　 ．

7．（2026春•浙江期中）已知m﹣n＝4，mn＝5，则多项式mn2﹣m2n的值是 　      　 ．

8．（2026春•玄武区校级期中）已知M＝20242，N＝2021×2027，则M与N的大小关系是　      　 ．

9．（2025秋•抚宁区期末）已知a，b分别是长方形的长和宽，它的周长为12，面积为8，则的值为　     　 ．

10．（2026春•开州区期中）若存在一个各数位上数字均不为0的三位正整数，且三个数字相加的和为9，则称这个三位正整数为“和九数”，对于一个“和九数”M，将它的个位数字和十位数字交换以后得到新数N，记，则T（135）=　     　 ；对于一个“和九数”M，若T（M）能被5整除，则满足条件的“和九数”P的最小值是　      　 ．

11．（2026春•未央区校级期中）因式分解：

（1）12a2b﹣6ab；   （1）4a2b+10ab﹣2ab2；   （2）（x2+1）2﹣4x2．  （2）49（a+b）2﹣9（a﹣b）2．

 

 

 

 

12．（2026春•东阳市期中）仔细阅读下面例题，并解答问题：

例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式为x+3，求另一个因式以及m的值．

解：设另一个因式为（x+n），

由题意得x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n），即x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n，

则有，解得，所以另一个因式为x﹣7，m的值是﹣21．

问题：请仿照上述方法解答下面问题：

（1）若x2+bx+c＝（x﹣2）（x+3），则b＝　   　 ，c＝　     　 ；

（2）已知二次三项式2x2﹣7x+k有一个因式为2x﹣3，求另一个因式以及k的值．

 

 

13．（2026春•泰兴市期中）在学习平方差公式时，小明发现：两个连续偶数的平方差有一些有趣的结论．他定义：如果一个正整数N可以写成（2k+2）2﹣（2k）2的形式（其中k为正整数），则称N为“双偶平方差数”，k称为N的“序数”．例如，当k＝1时，42﹣22＝12，所以12是双偶平方差数，序数为1．

（1）下列各数是双偶平方差数的是　     　 ；（填序号）

①20；②27；③36．

（2）小明猜想：任意一个双偶平方差数都能被4整除．请帮助小明证明他的猜想；

（3）设两个双偶平方差数P和Q的序数分别为a和b（a、b为正整数）．

①若P+Q＝72，a2+b2＝34，求a和b的值；

②若P•Q可表示为64（m﹣n）+16的形式，其中m＝a2+b2，n＝ab．已知a﹣b＝2，求P和Q的值．

 

 

 

 

 

 

 

 

14．（2026春•金水区校级期中）人类使用密码的历史悠久，以下是利用因式分解生成密码的一种方法：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列就可以形成密码．例如多项式12x2y2﹣3y2，将其分解因式为3y2（x+2）（x﹣2）．把因式分解结果中的所有单项式乘积看作一个因式，取x＝15，y＝5，则有3y2＝75，x+2＝17，x﹣2＝13，其中75，17，13分别为因式码．将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码131775．

（1）若王老师想用年龄生成锁屏密码，选取的多项式为m3﹣9m，王老师当前年龄是30岁．求王老师手机的锁屏密码；

（2）若多项式x3+（m﹣2n）x2+5nx分解因式后，利用前面的方法，当x＝24时，可以得到密码为242932，

 

 

 

 

 

 

【拓展提升】

15．（2026春•鲁山县月考）在学习整式的乘法公式时，我们发现完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2经过适当的变形，可以解决很多数学问题，例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．

解： ∵a+b＝3，ab＝1，∴（a+b）2＝9，2ab＝2，

∴a2+b2+2ab＝9，∴a2+b2＝7．

根据上面的解题思路与方法，请解决下列问题：

（1）①若mn＝4，m2+n2＝5，则（m+n）2＝　     　 ；

②若x+y＝6，x2+y2＝28，则xy＝　   　 ；

③若3a+2b＝6，ab＝1，则（3a﹣2b）2＝　     　 ；

（2）如图，C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝8，两正方形的面积和S1+S2＝44，求△AFC的面积．

 

八年级数学期末复习（5）——因式分解（课时作业）(答案)

班级        姓名             作业时间           

【基础练习】

1．（2026春•邳州市期中）下列各式由左边到右边的变形中，是多项式因式分解的是（　B　）

A．3（x﹣y）＝3x﹣3y B．y2﹣6y+9＝（y﹣3）2 

C．x2﹣2x﹣3＝x（x﹣2）﹣3 D．6m2n2＝2m2•3n2

2．（2026春•浑南区期中）下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（　D　）

A．a2+2a﹣1 B．a2+4 C．a2﹣1 D．a2﹣4a+4

3．（2025秋•宁乡市期末）若x2+（a+2）x+9能用完全平方公式进行因式分解，则常数a的值是（　D　）

A．﹣4或8 B．4 C．﹣8 D．4或﹣8

4．（2025秋•平原县月考）若m为任意整数，则（3m+2）2﹣9m2的值总能（　　）

A．被4整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被6整除

解：（3m+2）2﹣9m2＝（3m+2+3m）（3m+2﹣3m）＝2（6m+2）＝4（3m+1），

4（3m+1）的值总能被4整除，

因此（3m+2）2﹣9m2的值总能被4整除，故选：A．

 

5．（2026春•福田区校级期中）若一个正整数能表示成两个正整数的平方差，则称这个数为“智慧数”．例如13＝72﹣62，所以13是“智慧数”，则下列说法不正确的是（　A　）

A．代数式a2﹣2ab（a，b是正整数）是智慧数的条件是a≥2b; 

B．将智慧数从小到大进行排列，第10个智慧数是16; 

C．所有大于1的奇数都是智慧数 ;                D．12是智慧数.

解：A．代数式a2﹣2ab（a，b 为正整数）是智慧数的条件是：a≥2b，

变形与等价形式：a2﹣2ab＝（a﹣b）2﹣b2，令x＝a﹣b、y＝b，

则需x＞y＞0 才符合智慧数定义，

条件分析：x＞y得：a﹣b＞b，即a＞2b，

当a＝2b时，原式＝0（非正整数），不满足智慧数要求；

当a＜2b时为负数，也不满足，

选项给出a≥2b，包含了a＝2b（结果为 0）这一反例，因此该条件不充分．真正充要条件应为a＞2b，

此说法不正确；

B．将智慧数从小到大排列，第10个智慧数是16

枚举法（取x从小到大，y＜x）：得智慧数：3，5，7，8，9，11，12，13，15，16，（去重并按大小排序）．

排序验证：第1～10个依次为 3，5，7，8，9，11，12，13，15，16．结论：此说法正确；

C．设奇数n＝2k+1（k≥1），取x＝k+1、y＝k，则x2﹣y2 ＝ （k+1）2﹣k2 ＝ 2k+1＝n，

且 x＞y＞0 均为正整数．此说法正确；

D.12＝42﹣22＝16﹣4，且4＞2＞1．此说法正确．故选：A．

6．（2026•昌平区二模）分解因式：2x2+4xy+2y2＝　2（x+y）2　 ．a2(x﹣y)+9(y﹣x)＝　(x﹣y）（a+3)(a﹣3) ．

7．（2026春•浙江期中）已知m﹣n＝4，mn＝5，则多项式mn2﹣m2n的值是 　﹣20 　 ．

8．（2026春•玄武区校级期中）已知M＝20242，N＝2021×2027，则M与N的大小关系是　      　 ．

解：∵M＝20242，N＝2021×2027＝（2024﹣3）×（2024+3）＝20242﹣9，

∴M﹣N＝20242﹣（20242﹣9）＝9＞0，

∴M＞N，