专题03 四边形填选压轴题（35题）（期末真题汇编，上海专用）八年级数学下学期

**基本信息** 八年级四边形填选压轴题汇编，35题精选自上海各区期末及期中试题，聚焦正方形、平行四边形等综合应用，适配新课改教学需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|35题|正方形折叠（第5题）、平行四边形动点（第3题）、梯形综合（第6题）|“一线三直角”模型构建（第4题）、新定义“等对角四边形”（第10题）、黄金矩形实践（第15题），关联上海近年期末真题趋势|

专题03 四边形填选压轴题（35题） 选题说明：今年是八年级新课改第一年，选题从往年及本学期最新试题中选取，请大家根据实际备课需求选用。 一、解答题 1．(24-25八下·上海浦东新区川沙中学·期末)已知：如图，正方形中，，点F为对角线上一点，联结，过点F作交线段于点E（点E不与点B，点C重合），过E作，过D作，与交于点G． (1)证明四边形为正方形； (2)联结，设，，求y关于x的函数关系式，并写出定义域； (3)当为等腰三角形时，直接写出的长度． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）先证明四边形是矩形，过F作于M，于N，证明四边形是矩形得到，进而得到，证明得到，然后根据正方形的判定可得结论； （2）根据正方形的性质和勾股定理求得，证明得到，进而可求解； （3）先根据全等三角形的性质得到，，则，当为等腰三角形时，，然后根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理推导出，利用等角对等边可得，进而求得． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， 过F作于M，于N，则， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形是矩形，， ∴，则， 又， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴四边形为正方形； （2）解：∵四边形为正方形，四边形是正方形， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， ∵，，点E不与点B，点C重合， ∴； （3）解：∵， ∴，， 又， ∴， ∴当为等腰三角形时，， ∴， 又， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查正方形的判定与性质、角平分线的性质、矩形的判定、全等三角形的判定与性质、函数解析式、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 2．(24-25八下·上海宝山区·期末)在平行四边形中，对角线相交于点O，，，E是边上的一点，连接． (1)如果， ①如图1，当点E为中点时，求证：四边形为菱形； ②如图2，设，求y与x的函数解析式（不用写定义域）； (2)连接，如果是以为腰的等腰直角三角形，求的长．连接 【答案】(1)①见解析；② (2)或 【分析】（1）①可得垂直平分，则，再由平行四边形的性质以及勾股定理逆定理证明，则，即可证明其为菱形； ②过点作交延长线于点，根据平行线间的距离相等得到，然后证明，则，由勾股定理得到，代入化简即可得到函数解析式； （2）分两种情况讨论：①当时，则，，再由勾股定理即可求解；当，时， 过点作于点，则，则，再运用勾股定理即可求解． 【详解】（1）①证明：∵平行四边形中，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴四边形为菱形； ②解：过点作交延长线于点， ∵平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， 在中，， ∴， ∴， 化简整理得：； （2）解：①当时，如图 ∴， ∵， ∴， ∴； 当，时，如图： 过点作于点， ∴为中点， ∴， ∴， ∴， 综上：当是以为腰的等腰直角三角形，的长为或． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定，勾股定理及其逆定理，等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，函数关系式，全等三角形的判定与性质等知识点，难度较大． 3．(24-25八下·上海闵行区·期末)已知，在平行四边形中，，，点在射线上，直线与直线交于点，于，的延长线与直线交于点． (1)如图，当点在线段上时， ①如果，，求的长； ②连接，求证：； (2)如果，，求的长． 【答案】(1)①；②见解析 (2)2或 【分析】（1）①过点G作，垂足为N，在上取点M，使，证明是等腰直角三角形，求出，根据含30度的直角三角形性质求出，根据勾股定理求出，得出，最后根据勾股定理求出结果即可； ②如图，延长交的延长线于，连接，利用全等三角形的性质证明即可； （2）根据题意可求，当点E在线段上时，根据，，，，可得，进而得到，即，同理（1）②可证，，进而得到，推出是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一，得到，即可求出；当点E在射线上时，同理证明是等腰三角形，即可解答． 【详解】（1）①解：过点G作，垂足为N，在上取点M，使，如图所示： ，， 是等腰直角三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ； ②如图1中，延长交的延长线于，连接， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：当点E在线段上时， ，，， ， ，， ， ，即， 同理（1）②得，，， ， 是等腰三角形， ， ； 当点E在射线上时， 同理得：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形， ， ， ； 综上，长为2或． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，直角三角形的特征，等腰三角形的判定与性质，正确的添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 4．(24-25八下·上海虹口区·期末)【模型构建】 如图①，已知，如果，那么．我们把这种图形叫做“一线三直角”． 【初步探究】 我们发现，如果和不是直角，但都相等，且，结论也依然成立．请在下面两题中，选择一题进行解答． （1）如图②，已知，且，求证：． （2）如图③，已知，且，求证：． 【探究应用】 如图，在正方形中，已知，点、、分别在边、、上，且．设，求关于的函数解析式，并写出定义域． 【拓展探究】 如图，在正方形中，已知，点、、分别在边、、上，且．分别是线段的中点，联结，如果是等边三角形，求的长． 【答案】初步探究：（1）见解析；（2）见解析；探究应用：；拓展探究： 【分析】初步探究：（1）由三角形内角和定理和平角的定义可得，则可证明，进而可证明得到，则可证明； （2）同（1）证明即可； 探究应用：如图所示，在上分别截取，连接，由正方形的性质得到，，则，进而可证明，同理可得，则，由勾股定理得，，则；进而可得，据此可得答案； 拓展探究：如图所示，在直线上作，连接，由等边三角形的性质可得，同理可证明，则， ；求出，得到；设，则，则，，再求出，则，解方程可得，，；过点N作分别交于T、R，则四边形是矩形， 可得，，，证明，得到，；可得，则，；过点N作于，则四边形是矩形，则，求出，得到，则． 【详解】解：初步探究：（1）∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图所示，在上分别截取，连接， ∵四边形是正方形， ∴，； ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴同（1）可得， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得， 同理可得 ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 拓展探究：如图所示，在直线上作，连接， ∵是等边三角形， ∴， 同理可证明， ∴， ； ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴； 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴，； 如图所示，过点N作分别交于T、R，则四边形是矩形， ∴，，， ∴； ∵N是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图所示，过点N作于，则四边形是矩形， ∴， ∵M是的中点， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，矩形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 5．(24-25八下·上海普陀区·期末)小普在综合与实践课上，参加了以“神奇的正方形”为主题的数学活动，通过“折、转、探”等方式研究有关正方形折纸的有趣结论． (1)折一折：如图-1，小普将正方形纸片折叠，使边都落在对角线上，展开得折痕，联结．那么___________度；如果，那么的长度等于___________； (2)转一转：小普将图-1中的绕点旋转，使它的两边分别交直线于点． ①如图-2，当点、在边、上，联结．如果，求的面积； ②探一探：联结，射线、分别交对角线所在直线于点、，且点在正方形内部．正方形的边长，联结．如果是等腰三角形，请直接写出线段的长度___________．（用含有字母的代数式表示） 【答案】(1)，； (2)①；②或 【分析】（1）如图1，延长至点，使，连接，设，证明和，根据勾股定理得：，列方程即可解答； （2）①如图2，延长至点Q，使，连接，过点A作于点E，同理得：，根据勾股定理列方程得，解方程可得a的值，证明，根据三角形的面积公式即可解答； ②分两种情况：i）如图3，，过点M作于点G，则，设；ii）如图4，，正确画图根据含角的直角三角形的性质即可解答． 【详解】（1）解：如图1，延长至点，使，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， 由折叠得：， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵正方形是正方形，且边长， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴（舍）， ∴， 故答案为：45，； （2）①如图2，由旋转得：， 延长至点Q，使，连接，过点A作于点E， 同理得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， 在中，， ∴， ∴， 解得：（舍），， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积； ②分两种情况： i）如图3，，过点M作于点G，则， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ii）如图4，， ∴， 同理得：， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上，线段的长度或． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 6．(24-25八下·上海崇明区·期末)如图，已知在梯形中，，，，，点是的中点，连接、． (1)求证：； (2)设，求关于的函数解析式（不写定义域）； (3)设、交点为，当为直角三角形时，求的长． 【答案】(1)证明过程见详解 (2) (3)当为直角三角形时，的长为 【分析】（1）如图所示，作于点，则，垂直平分，，，则，由此即可求解； （2）如图所示，过点作于点，作于点，则，点是中点，即是梯形的中位线，，，在中，由勾股定理得到，由此根据三角形面积的计算即可求解； （3）根据题意，分类讨论：当时，即；如图所示，当，即；当时；由此即可求解． 【详解】（1）证明：如图所示，作于点，则， ∵，，点是的中点， ∴，是梯形的中位线， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图所示，过点作于点，作于点，则， ∵，，点是中点， ∴，， ∴， ∴点是中点，即是梯形的中位线， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图所示，连接与交于点， ∵四边形是矩形， ∴点是中点， ∴点三点共线， 当时，即， ∵， ∴， ∵， ∴，且， ∴， ∴， ∴； 如图所示，当，即，由（1）得到，则是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴，此时与题目中的梯形矛盾，不符合题意； 当时， ∵， ∴这种情况不存在； 综上所述，当为直角三角形时，的长为． 【点睛】本题主要考查梯形的中位线，函数关系，等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，中位线的判的性质，矩形的判和性质等知识的综合，掌握以上知识，数形结合分析是关键． 7．(24-25八下·上海松江区·期末)已知梯形，，，点为射线上一动点，联结，过点作，交射线于点，且． (1)①如图1，如果，求的长； ②如图2，点为边上一点，且，求的值； (2)如果，是等腰三角形，求的长． 【答案】(1)①；② (2)或4 【分析】（1）①过E作于F，根据可证，得出，判定是等腰直角三角形，得出，根据勾股定理可求出，即可求解； ②过P作于M，过D作于N，则可证四边形，都是矩形，，，，设，，故，，判定是等腰直角三角形，得出，根据三线合一的性质得出，根据线段和差关系可求出，然后代入计算即可； （2）分P在线段和线段的延长线上讨论，然后根据等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：过E作于F， 则， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴； ②解：过P作于M，过D作于N， ∵， ∴， ∴四边形，都是矩形， ∴，，， 设，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：当P在线段上时，如图，过E作于F， 由（1）可知：，， ∴， ∵是等腰三角形，， ∴； 当P在线段的延长线上时， ①当时，如图， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 又，， ∴； ②当时，如图，过E作于F， 则， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； ③当时，则， ∴， ∴， 又， ∴与在同一直线上，不符合题意，舍去， 综上，的长为或4． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，梯形，全等三角形的判定与性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，合理分类讨论是解题的关键． 8．(24-25八下·上海嘉定区·期末) 如图，在等边三角形中，边长为，垂足为．点从点出发，沿方向匀速运动，速度是；同时点由点出发，沿方向匀速运动，速度为，过点的直线，交于点，设运动时间为，试解答下列问题： (1)如果，求对应的的值； (2)当点在线段上时，设四边形的面积为，求与的关系式； (3)如果使得以为顶点的四边形是平行四边形，求出相应的的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）由题意得：，，可得，根据角直角三角形的性质得到，即可建立方程求解； （2）利用等边三角形的性质表示出、，再用勾股定理求出、、，求出和，从而可求出； （3）分别对当四边形是平行四边形时及当四边形是平行四边形时进行分类讨论，利用平行四边形的性质即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：，， ∵在等边中， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：； （2）解：过点P作于M，过点Q作于N，如图1所示： ， 是等边三角形， ， ∴， ，， ，， 在中，由勾股定理得： ， 在中，由勾股定理得： ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得： ， ， ， ∴当点P在线段上时，y与t的关系式为：； （3）解：①当四边形是平行四边形时，如图2所示： 则， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ； ②当四边形是平行四边形时，如图3所示： 则， 同①得：是等边三角形， ， ， ， ， ； 综上所述，当t为或时，使得以P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查了以等边三角形为背景的动点问题，主要运用了等边三角形的性质、角的这直角三角形的性质、勾股定理、平行四边形的性质等，掌握动点问题解决方法：“化动为静”是解题的关键． 9．(25-26八·上海闵行区·期中)已知在四边形中，，，平分，交边于点． (1)如图1，如果点与点重合，，求证：四边形是正方形； (2)如果， ①如图2，当时，求的长； ②当是直角三角形时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①；②的长为或． 【分析】（1）根据已知条件得出，根据平行线的性质以及角平分线的定义得出，则，得出四边形是矩形，根据，即可得出四边形是正方形； （2）①解：如图所示，过点作于点，则四边形是矩形，中，勾股定理求得，取的中点，则，得出是等边三角形，则，根据角平分线的定义，即可求解； ②当时，如图所示，过点作交的延长线于点，则四边形是矩形，设，则，在中，勾股定理求得，∴中，，勾股定理建立方程，解方程即可求解；当时，如图所示，过点作于点，根据角平分线的性质得出，即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， 又， ∴四边形是正方形； （2）①解：如图所示，过点作于点， ∵，， ∴， 又， ∴四边形是矩形， ∵， ∴ 在中，， 取的中点，则 ∴ ∴是等边三角形， ∴ ∵平分， ∴； ②当时，如图所示，过点作交的延长线于点，则四边形是矩形， ∵， ∴， ∵平分， ∴ 在和中， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴ ∴中， 即 解得： ∴； 当时，如图所示，过点作于点， 设，则, ∴ ∵ ∴，， ∴， ∴是的角平分线 ∴ 在和中， ∴ ∴ 又是的角平分线， ∴ ∴ 综上所述当是直角三角形时，的长为或． 【点睛】本题考查了角平分线的定义以及性质，正方形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，熟练掌握角平分线的性质与判定是解题的关键． 10．(25-26八·上海交通大学附属第二中学·期中)我们给出定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”． (1)已知：如图1，四边形是“等对角四边形”，，，，求，的度数． (2)在探究“等对角四边形”性质时，小红画了一个“等对角四边形”（如图2），其中，，此时她发现成立．请你证明此结论． (3)已知：在“等对角四边形”中，，，，．求对角线的长． 【答案】(1)； (2)证明见解析 (3)或 【分析】（1）根据“等对角四边形”的定义，由推出相等的对角只能是和，先得出，再利用四边形内角和为，减去、、的度数，即可求出的度数； （2）由根据等边对等角得，结合已知，通过等式性质两边同时减去相等的角，推出，最后根据等角对等边即可证明； （3）根据“等对角四边形”的定义分两种情况讨论，第一种是，第二种是，两种情况均通过过点作和的垂线，构造直角三角形和矩形，利用直角三角形的性质求出相关线段长度，再结合勾股定理分别计算出两种情况下对角线的长，最后综合即可得出结果． 【详解】（1）解：∵四边形是“等对角四边形”，， ， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴； （3）解：分两种情况讨论： ①如图，当时， 过点作于点，作于点， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， 设，则， 在中，， ∴， 解得，即 ∴， 在中，； ②如图，当时，， 过点作于点，作于点， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， 在中，； 综上，对角线的长为或． 【点睛】本题的核心是紧扣“等对角四边形”的定义，关键是准确识别相等的对角组合，易错点是第三问极易遗漏其中一种相等对角的情况导致漏解，两种情况均通过作双高构造直角三角形和矩形，结合直角三角形性质与勾股定理完成计算． 11．(25-26八下·上海普陀区梅陇中学·期中)矩形，点，点，点M为射线上的动点（点M与点A不重合），将矩形沿某一直线对折，使点O与点M重合，折痕与边交于点E，与边交于点F． (1)如图，若，求的长； (2)若四边形为平行四边形，求点E的坐标； (3)当点M在边上时，设，，求y与x之间的函数表达式和x的取值范围； (4)当是等腰三角形时，直接写出的长． 【答案】(1)1 (2) (3) (4)或2或 【分析】（1）证明，得到，则，据此可得； （2）可证明点M与点B重合；由折叠的性质可得，设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案； （3）可求出，根据勾股定理和，得到，据此可得答案； （4）分三种情况：，，，分别画出示意图，讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵点，点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，即， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴，即E、B、M三点共线， ∴点M与点B重合； 由折叠的性质可得， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， 由折叠的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴； （4）解：如图所示，当时， 连接交于点R， 由轴对称的性质可得， ∵， ∴， 由矩形的性质可得， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中，； 如图所示，当时，过点E作于点I，连接，则四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， 在中，由勾股定理可得， ∴由（3）得， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴； 如图所示，当时， 由折叠的性质可得， ∴， ∴四边形是菱形， ∵菱形也是平行四边形， ∴由（2）可知此时点M与点B重合， ∴ 综上所述，的长为或2或． 12．(25-26八下·上海徐汇区位育初级中学·期末)已知在四边形中，，，． (1)如图1，当时，求证：四边形是正方形； (2)连接，过点作，垂足为，延长交边或边于点． ①如图2，如果点在边上，且，求的度数； ②如果，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①；②或 【分析】（1）根据平行线的性质求出，证明，得出，然后证明四边形是矩形，最后根据正方形的判定即可得证； （2）过D作，根据平行四边形的判定与性质可得出，进而得出，根据等边对等角得出，，设，根据平行线的性质得出，，，则，结合得出，则，求出，即可求解； ②分两种情况讨论：当E在边上，过A作交于M，根据平行四边形的判定与性质得出，证明，根据勾股定理求出，然后根据等面积法即可求出的长度；当在上，此时，由①知，根据余角的性质得出，根据等角对等边得出，根据三线合一的性质求出，根据勾股定理求出，根据等面积法求出，根据完全平方公式可求出，，则，，即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， 又， ∴矩形是正方形； （2）解：①过D作， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 又，， ∴，， ∴， 设， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴； ②当E在边上，过A作交的延长线于点M， ∵， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， ∴， 当在上，此时， ∵， ∴，， 由①知， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 综上，的长为或． 13．(25-26八下·上海普陀区梅陇中学·期中)我们规定：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做完美四边形． (1)在以下四种四边形中，一定是完美四边形的是______（请填序号）； ①平行四边形②菱形③矩形④正方形 (2)如图（1），菱形中，，E、F分别是、上的点，且，求证：四边形是完美四边形； (3)如图（2），四边形为完美四边形，且，连接． ①求证：平分； ②当时，，，请直接写出的长． 【答案】(1)④ (2)见解析 (3)①见解析，② 【分析】（1）根据完美四边形的定义和四种多边形的性质即可判断； （2）连接，先证是等边三角形，得，再证，得，，然后得到，从而得证； （3）①延长至点E，使，连接，证明，得，，继而知，从而得，即可得证； ②由①得，，可得，，，求出，然后利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：①平行四边形的邻边不一定相等，故不是完美四边形； ②菱形的对角不一定互补，故不是完美四边形； ③矩形邻边不一定相等，故不是完美四边形； ④正方形任意一组邻边相等且对角互补，故是完美四边形； （2）证明：如图，连接， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形，， ∴ ∵在菱形中，平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是完美四边形． （3）①证明：延长至点E，使，连接， ∵四边形为完美四边形 ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴平分； ②由①得， ∴，，， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴． 14．(25-26八·上海奉贤区育秀中学·期中)如图，在平行四边形中，点分别在边上，，与相交于点． (1)求证：． (2)如果．求证：四边形是一个菱形． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】利用平行四边形的性质得出 ，，，，证明 得到 ，从而，结合 证得四边形是平行四边形，根据平行四边形对角线互相平分即可证得 ． (2) 由可得，根据 推出，得到 ，从而证得四边形是菱形． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∵ ， 又∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形 是平行四边形， ∴四边形 是菱形． 15．(25-26八·上海北郊学校·期中)综合与实践【问题情境】 我们熟知的世界名画《蒙娜丽莎的微笑》，其构图呈现出了非常协调、匀称的矩形美．通过测量，我们发现这种矩形的宽和长之比是（值约为0.618）．这就是“黄金矩形”．世界上许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都不约而同地采用了“黄金矩形”的设计． 为了进一步了解“黄金矩形”，在综合实践活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． 【操作探究】：利用矩形纸带，折出“黄金矩形”． 步骤1：在一张矩形纸带的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸带展平； 步骤2：如图2，把这个正方形对折成两个全等的矩形，再把纸带展平； 步骤3：如图3，折出内侧矩形对角线的折痕，并把折痕折到纸带下沿处； 步骤4：如图4，展平纸带，按照所得的点折出，折出矩形 【分析探究】 (1)图4中如果，则________；________． (2)求证：矩形是“黄金矩形”． 【学以致用】 (3)将一张正方形纸片，先按下列操作画出示意图，再按要求解决问题． ①折叠正方形，使点A与点B重合，点D与点C重合，折痕交边于点M，交边于点N； ②过点B折叠正方形，使点A落在上的点F处，折痕交边于点E，连接； ③过点E作边的垂线，垂足为H，矩形是“黄金分割”矩形吗？请证明你的结论． 【答案】(1)， (2)证明见详解 (3)矩形是“黄金分割”矩形，作图和证明见详解 【分析】（1）利用矩形的性质，正方形的性质及勾股定理得出的长度，再由翻折的性质结合线段和差关系即可求得的长度； （2）设，利用正方形的性质，矩形的性质及勾股定理得出的表达式，从而得出矩形相邻两边的比值，进而证得矩形是“黄金矩形”； （3）根据题意作出对应的图形，延长，交于点Q，设正方形的边长为，利用矩形的性质，翻折的性质，勾股定理和等腰三角形的性质得出相关线段的表达式，进而求得，从而证得矩形是“黄金分割”矩形． 【详解】（1）解：在正方形中，， ∵正方形对折成两个全等的矩形得矩形和， ∴， 在中，， 由折叠可知，， ∴． （2）证明：设， 根据题意可得，，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴矩形是“黄金矩形”． （3）解：如图所示为所求： 矩形是“黄金分割”矩形， 证明：设正方形的边长为， ∴， ∵正方形对折成两个全等的矩形得矩形和， ∴， 在中，， ∵沿翻折得， ∴， ∴，,，， 如图，连接， ∴， 设，则， 在中，， 在中，， ∴，即， ∴，即， ∴， ∴矩形是“黄金分割”矩形． 16．(25-26八·上海普陀区·期中)如图1，已知四边形是由直角三角形和矩形组成的，点B在的延长线上，，，作线段的垂直平分线，交于点E，交边于点F，并交射线于点G． (1)如图2，当点F与点C重合时，求的长； (2)设，，求y与x的函数关系式； (3)如图3，连接，当是等腰三角形时，请直接写出的长． 【答案】(1)10 (2)， (3)或或 【分析】（1）根据垂直平分线的性质得到；再根据勾股定理建立方程得到，解方程求出，即可求得； （2）连接，得到，根据勾股定理得，，即可得到y与x的函数关系式，再根据即可求出自变量的取值范围； （3）分别根据，和两种情况展开讨论，结合（1），（2）的结论列式，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵四边形是由直角三角形和矩形组成的，点B在的延长线上， ∴，，， ∴四边形是直角梯形， ∵垂直平分，重合， ∴， ∵， ∴， 解方程得， ∴， ∴． （2）解：如图所示，连接，，    ∵垂直平分， ∴， ∵，， ∴， 解得， ∴， ∵ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，． （3）解：当时，如下图所示，取的中点M，连接， 由（1）得四边形是直角梯形， ∵作线段的垂直平分线，交于点E，交边于点F，并交射线于点G ∴点是的中点， 是的中点， ∴是直角梯形的中位线 ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴此时与点重合， 与（1）同理得； 当时，如下图所示，连接，    ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， 当时，如下图所示，过点E作，垂足为M，作，垂足为N，连接， ∵点是的中点，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 而，， ∴四边形是矩形， 设，， ∴ ∴， ∵， ∵ ∴， ∵， ∴， 解方程组得（舍去），或 ∴； 故或或． 17．(25-26八下·上海世外中学·期中)【问题背景】在学习了平行四边形后，某兴趣小组研究了一个内角为的平行四边形的折叠问题．其探究过程如下： (1)如图①，在平行四边形中，，，为边的中点，点在边上，，连接，将沿翻折得到，点的对称点为点，小组成员发现四边形是一个特殊的四边形，请判断四边形的形状为___________； 【探究证明】 (2)在（1）的条件下，取的中点，点在边上，且，连接，将沿翻折得到，点的对称点为点，连接、，如图②，求证：四边形是平行四边形； 【探究提升】 (3)在（1）（2）的条件下，若四边形为轴对称图形，请直接写出的值为___________． 【答案】(1)菱形 (2)证明见解析 (3)或 【分析】（1）由折叠的性质结合可得，，由此判定为菱形； （2）容易判断四边形也是菱形，由菱形的性质可得，，，，，结合平行四边形的性质和中点的性质可得，，，命题得证； （3）分两类讨论，当四边形为矩形时，作于点，作于点，设，由含角的直角三角形的性质和勾股定理可得可得，，，容易证明四边形是矩形，则，．由矩形的性质可得，，则，从而得到，进一步计算出，因此；当四边形为菱形时，延长交于点，设，容易判断，，从而判断是等边三角形，则，进而计算出，因此． 【详解】（1）解：由折叠的性质可得，，， ∵， ∴， ∴四边形是菱形； （2）证明：同理（1）可得，四边形是菱形， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵为边的中点，为边的中点， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形； （3）解：由（2）可知，四边形是平行四边形， 又∵四边形为轴对称图形， ∴四边形为矩形或菱形， ①当四边形为矩形时，如图，作于点，作于点，设， ∵为边的中点，为边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 由勾股定理可得，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， 在中，， ∴， 由勾股定理可得，， ∴， ∴； ②当四边形为菱形时，如图，延长交于点，设， 由①可知，， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 综上所述，的值为或． 18．(25-26八下·上海静安区·期中)已知在四边形中，，，平分，交边于点． (1)如图，如果点与点重合，，求证：四边形是正方形； (2)如果，， ①如图，时，求的度数； ②当是直角三角形时，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；②或 【分析】（）先证明四边形是矩形，进而根据即可求证； （）①过点作于点，可得四边形是矩形，得，再利用勾股定理得 ，即得是等腰直角三角形，得到，再根据角平分线的定义即可求解；②分和两种情况，利用矩形的性质和勾股定理解答即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形； （2）①解：如图所示，过点作于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵平分， ∴； ②当时，如图所示，过点作的延长线于点， ∵ ， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴，， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 在中，， ∴ ， 解得， ∴； 当时，如图所示，过点作于点， 设，则 ，， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴是 的角平分线， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵是的角平分线，，， ∴， ∴， ∵， ∴； 综上，当是直角三角形时，的长为或． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，正方形的判定，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线的性质等，正确作出辅助线是解题的关键． 19．(25-26·上海金山区·期中)已知：在直角梯形中，，，将沿直线翻折，点恰好落在腰上的点处． (1)如图，当点是腰的中点时，求证：是等边三角形； (2)延长交线段的延长线于点，连接，如果，请画出符合题意的图形，并证明：四边形是矩形． 【答案】(1)证明见解析 (2)画图与证明见解析 【分析】（1）利用翻折性质得，结合为中点证，再由角度关系推，证为等边三角形； （2）过作梯形的高，证得、，结合与，推得且，再由证四边形为矩形． 【详解】（1）证明：将沿直线翻折，点落在腰上的点处， ，，即， 是腰的中点， 垂直平分， ， ，， ， 由翻折性质，， ， （三线合一）， ， 又， ∴， ∴， 又， 是等边三角形． （2）证明：过点作，垂足为，则． ，， 四边形是矩形， ，， 由翻折性质，，， ，且， 在和中：， ， ，， ， ， 又∵， ∴，即， ，即， 四边形是平行四边形， 又， 平行四边形是矩形． 20．(25-26八·上海普陀区·期中)已知：在中，，过点A作射线与平行（如图所示），点P从点A出发沿着射线方向作匀速运动，同一时刻，点Q从点B出发沿着射线方向作匀速运动，设点P、Q运动的时间为t秒． (1)如果点P的速度为/秒，点Q的速度为/秒，当四边形是平行四边形时，求t的值； (2)设点P的速度为/秒，点Q的速度为/秒，，当垂直平分时，求的值． 【答案】(1)3秒 (2) 【分析】（1）根据题意，得，，，当点Q在上时，此时，根据，列出方程求解即可； （2）根据题意，得点P的速度为/秒，点Q的速度为/秒，设运动时间为t秒，故，，设垂直平分时，交点为G，连接，根据题意，得，，证明四边形是菱形，求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得，，， 当点Q在上时，此时，四边形是平行四边形， 故， ， 解得（秒）； （2）解：根据题意，得点P的速度为/秒，点Q的速度为/秒，设运动时间为t秒，故，，设垂直平分时，交点为G，如图所示，连接，根据题意，得，， 故，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ， ， 故． 21．(25-26八·上海张江集团学校等学校·期中)在平行四边形中，点是的中点，连接，将沿直线翻折，得到．如图，延长交于点，求证：； 【答案】见解析 【分析】延长交的延长线于点，证出，得到，再由角平分线的性质及面积关系得，从而得出，即可得出结论． 【详解】证明：如图，延长交的延长线于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， ； ∵点是的中点， ； 在和中， ， ， ， 即为的中点； ∴； 由折叠的性质可得， ∴点E到的距离等于点E到的距离， 设E点到的距离分别为，则； ∴， ； ， ， 即， ． 22．(25-26八·上海张江集团学校等学校·期中)如图，O为正方形内一点，连接并延长交边于，过点O的直线与边，分别交于，求证：． 【答案】见解析 【分析】过点C作分别交于点H，点M，可证明四边形是平行四边形，得到，则；证明，得到，可推出，即，则可证明． 【详解】证明：如图所示，过点C作分别交于点H，点M， ∵四边形为正方形， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 23．(25-26八下·上海闵行区莘松中学·期中)【教材呈现】如图是沪教版八年级下册教材第42页的第1题，请完成这道题的证明． (1)如图①，在四边形．中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点．求证：． (2)【教材延伸】 如图②，延长图①中的线段交的延长线于点，延长线段交的延长线于点，求证：． (3)【应用探究】 如图③，在中，点在上，，是的中点，是的中点，连接并延长，与的延长线交于点，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据中位线定理证明即可； （2）根据中位线定理证明即可； （3）连接，取中点，连接、，结合（1）（2）的结论证明为等腰直角三角形，进而解题． 【详解】（1）证明：∵是的中点，是的中点， ∴， ∵是的中点，是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：如图，由（1）得， ∵是的中点，是的中点，为的中点， ∴，， ∴，， ∴； （3）证明：如图，连接，取中点，连接，，由（1）知， 由（2）可知，，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵， 由（1）知， ∴． 24．(25-26八·上海虹口区·期中)综合与实践 【问题情境】某数学兴趣小组研究了课本教材中的《折纸与数学》，思索折纸与角的关系，寻求新的折纸方法，其内容如下： 如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作、、等大小的角，可以采用下面的方法（如图1）： （1）对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； （2）再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，点、的对应点分别为、，把纸片展平． (1)【知识运用】请根据上述过程，连接，观察图1中，试猜想这三个角的大小关系是__________； (2)【拓展提升】小华再次探究，寻找等分角的方法：如图2，点为边上的一点，连接，在上取一点，折叠纸片，使、两点重合，展平纸片，得到折痕；折叠纸片，使点、分别落在、上，得到折痕，点、的对应点分别为、，展平纸片，连接、．求证：是的一条三等分线； (3)【迁移探究】兴趣小组成员继续探究三等分线段的方法：如图3，将正方形纸片对折，得到折痕，（其中，点、分别是边、的中点），连接，将纸片沿翻折，使点落在点处，连接并延长，交边于点，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）由折叠的性质可推出，，则可证明是等边三角形，得到，由三线合一定理得到，再由矩形的性质和角的和差关系可得，则； （2）由折叠的性质可得，，则可证明，得到；证明，得到，可证明，则是的一条三等分线； （3）连接，可证明，得到；设，则，；由勾股定理得，可求出，即，则． 【详解】（1）解：由折叠的性质可得， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图所示，连接， 由折叠可知：是的垂直平分线， ∴，； 由折叠的性质可得，， ∴， ∴； 由折叠的性质可得， 由矩形的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是的一条三等分线； （3）证明：如图所示，连接， ∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； 设，则， ∵点E为的中点， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 25．(25-26八·上海虹口区·期中)如图，在正方形中，，对角线交于点，点是边上一点（不与点重合），连接交于点，延长交的外角角平分线于点． (1)求证：； (2)连接、，当时，求的长． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）延长，交于点R，证明是等腰直角三角形，证是的中点，再证，作，证四边形为平行四边形，再证， 即可得答案； （2）先证明四边形是平行四边形，求出的长，再证，求出的长，最后再利用勾股定理列出方程即可． 【详解】（1）解：如下图，延长，交于点R， 四边形是正方形， ，， 是的外角的平分线， ， 是等腰直角三角形， ， 是的中点， ， ， 作， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， ； （2）如下图，延长，过点F作的延长线的垂线交于点H，交的延长线于点G， 由（1）知：， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， 在中，根据勾股定理得：， ， 解得：（舍去）， ． 26．(25-26八·上海松江区·期中)综合与实践 【问题情境】在书法课上，为了实现图的书写效果，需要解决“将正方形书法纸折出均等的三列”的问题．在学习了特殊平行四边形知识后，小华和小海以“正方形的折叠”为主题展开了探索． 【操作探索】 操作一：把正方形纸片对折，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：沿着再一次折叠纸片，使点落在点处，得到折痕交HE于点； 操作三：将沿过点的直线折叠，使与重合，得到折痕． 【猜想验证】 (1)根据以上操作，小华发现点三点共线，且①_________°；②线段之间的数量关系为：_________． (2)小海说：“我发现线段与线段的比值是，即点是线段的三等分点．”你认为小海的说法正确吗？请说明理由． 【问题探究】 (3)在（）和（）的条件下，延长交线段于点，连接交于点，你能发现线段与线段的比值吗？请直接写出答案． 【答案】(1)；； (2)小海说法正确；理由见解析 (3) 【分析】（）利用正方形的直角与两次折叠的角平分性质，推导出；结合折叠的线段相等关系和三点共线，得到； （）设正方形边长，用勾股定理列方程求解，得出是的三分之一，验证了是的三等分点； （）先设正方形边长为，利用折叠性质得出折痕为中位线、；再通过证明，设，在中用勾股定理列方程求出，进而得到；最后结合前序结论，计算出与的比值为． 【详解】（1）解：① 由折叠性质：折叠后，，正方形中， ∴，即， ∴， ② 由折叠得：，，且题目给出三点共线， ∴， 即：； （2）解：设正方形边长为，则， 设，则， 由（）得， 在中，， 由勾股定理： ， 代入得：， 展开化简：， 整理得， 解得，即， ∴是三等分点，小海说法正确； （3）解：设正方形边长为， ∵与重合，得到折痕， ∴为中位线，，， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则， 在中，，， 由勾股定理：， 解得：，即， ∴， ∵， ． 27．(23-24八下·上海闵行区·期末)在菱形中，，点在边上（不与、重合），将线段绕着点顺时针旋转后，点落在点处，连接，交边于点． (1)如图1，如果，延长至点，使得，连接．求证：； (2)连接， ①如图2，设，求与之间的函数表达式：（不写定义域） ②如果．求证：． 【答案】(1)见解析 (2)①；②见解析 【分析】（1）先证明，得到，再根据菱形，得到，又，即可证得，从而得出结论； （2）①先证明，得到，，再根据菱形，得到，，从而得，然后证明，得到，从而得到，整理即可得出答案； ②延长至点，使得，连接．先由①求得，过点A作交延长线于G，过点H作于Q，设，利用菱形的性质，直角三角形的性质，勾股定理求得，，根据，求得，，，从面得到，再证明，得到，然后利用等腰三角形与直角三角形性质，勾股定理求得，，，，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图， 由题意可得， ∴ ∴ 由旋转可得， 在与中， ∴ ∴ ∵菱形， ∴， ∵ ∴， ， ∴，即 ∴， （2）解：如图，延长至点，使得，连接． ①由题意可得， ∴ ∴ 由旋转可得， 在与中， ∴ ∴，， ∵菱形， ∴， ∴， ∵ ∴， ， ∴，即 ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ②∵，， ∴ 过点A作交延长线于G，过点H作于Q，如图， ∵菱形， ∴，，， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理，得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理．此题属四边形综合题目，难较大．熟练掌握相关知识和正确作出辅助线是解题的关键． 28．(25-26八下·上海梅陇中学·期中)【问题探究】 (1)如图，在矩形中，点分别在边上，，连接，过点作，交的延长线于点，若，求的长； (2)如图，在菱形中，连接，点分别是边上的动点，连接，点分别是的中点，若，，求的最小值； (3)【问题解决】如图，叔叔家有一个正方形菜地，他计划对其进行改造，为菜地内一动点，且，为的中点，点分别为边上的动点，在改造的过程中始终要满足，为的中点，他计划在三角形区域内种植茄子，在三角形区域内种植西红柿，其余区域内种植辣椒，并分别沿修建灌溉水渠，经测量，米，为了控制成本，要求灌溉水渠的总长度尽可能的短，若不考虑其他因素，求灌溉水渠总长度的最小值． 【答案】(1)的长为； (2)的最小值为； (3)灌溉水渠总长度的最小值为米． 【分析】（）由矩形性质可得，又，则，再证明，然后通过性质即可求解； （）连接，连接，与交于点，根据题意可得，所以当时，最小，从而最小，又四边形是菱形，则，，，通过勾股定理求得，则，然后通过求出的值即可； （）取的中点，作射线，交延长线于，在的延长线上截取，连接，，由四边形是正方形， 则，，米，再证明四边形是矩形，所以，米，通过勾股定理求出米，证明，则，故有，所以三点共线，且时，最小，即长，然后通过勾股定理和直角三角形性质即可求解． 【详解】（1）解：如图， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长为； （2）解：如图，连接，连接，与交于点， ∵点分别是的中点， ∴是中位线， ∴， ∴当时，最小，从而最小，如图， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即最小值为， ∴的最小值为； （3）解：如图，取的中点，作射线，交延长线于，在的延长线上截取，连接，， ∵四边形是正方形， ∴，，米， ∵，， ∴，， ∴，四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，米， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴（米）， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴三点共线，且时，最小，即长，如图， ∴， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∵为的中点，米， ∴米， ∴米， ∴米， ∴（米）， ∴（米）， ∴灌溉水渠总长度的最小值为米． 【点睛】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线的性质，直角三角形的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 29．(24-25八下·上海科技大学附属学校制·期中)如图，在中，，，平分，点、分别为边和射线上的点（与，不重合），且，连接交于点． (1)若，求． (2)若为等腰三角形，求的长． (3)过点A作交于，取中点为，中点为，若四边形为梯形，直接写出的长． 【答案】(1)的长为4 (2)的长为3或 (3)的长为或 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，菱形的性质与判定等，根据题中条件，灵活运用所学知识，分类讨论，是解题的关键． （1）根据题中条件证明，推出，再利用等腰三角形三线合一的结论求值； （2）根据为等腰三角形，分或或讨论，利用三角形全等的性质和判定，勾股定理列方程求解，综合得出所有可能的值； （3）在上截取，连接交于N，过点作，交或延长线于I，证明，说明与的交点为的中点，再由四边形为梯形，分或讨论，综合得出所有可能的值． 【详解】（1）平分， ， ， ， 又， ， ， 又，， ， ， 若，则， ， ， 又， ． （2）由（1）知，， ，， ， 又， ， 若为等腰三角形，则或或， 又， ， 当时，如图1， ， ， 又， ， ， ， 当时，如图2， ， ， ， ， 过点A作于H，则，又， ，， 设，则，， 由勾股定理得，， ，解得， ， 综上可知，若为等腰三角形，则的长为3或． （3）在上截取，连接交于N，过点作，交或延长线于I，如图3所示： 由（1）知，可得， 为的中点， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， 又， ， ，即与的交点为的中点， 若四边形为梯形，则或， 当时，结合，可知点N在上， ，N为的中点， ， 又， ，， ，G为的中点， ，， ， ， 易证四边形为矩形，可得，， 设，则，， 在中，，由勾股定理得，， ，解得， ， 当时，，如图5所示： ， ， 又 ， ， 又， 四边形是平行四边形， 又， 平行四边形是菱形， ， 由（2）可知． 综上可知，的长为或． 30．(25-26八·上海民办上宝中学·期中)七巧板由五个等腰直角三角形与两个平行四边形组成，用七巧板可以拼出2600多种图形．如图，图中的正方形就是由七巧板无缝隙、无重叠地拼接而成（简称密铺）．如果设编号为④的三角形的面积为1． (1)直接写出四边形的周长与面积； (2)小明说：他可以用编号分别为③，④，⑤，⑥，⑦的五块板密铺出一个新的正方形，试求这个密铺出的新正方形的边长与面积，并画出密铺之后新正方形的示意图． 【答案】(1)周长为，面积为 (2)新正方形的面积为；周长为；示意图见解析 【分析】（1）先求出等腰直角三角形④的腰长，可得正方形⑥的边长，进而得到等腰直角三角形①的腰长，再分别求出等腰直角三角形①和④的底边长，即可求出，进而求出，即可求出四边形的周长与面积； （2）根据③，④，⑤，⑥，⑦五块板的面积和为，可得用③，④，⑤，⑥，⑦五块板密铺出一个新正方形的边长为，即可解答． 【详解】（1）解：∵编号为④的等腰直角三角形的面积为1， ∴等腰直角三角形④的腰长为， ∴正方形⑥的边长为， ∴等腰直角三角形①的腰长为， ∴等腰直角三角形①的底边长为， ∵等腰直角三角形④的底边长为， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形的周长为，面积为； （2）解：∵③，④，⑤，⑥，⑦五块板密铺出的正方形的面积刚好是的面积， ∴新正方形的面积为； ∴用③，④，⑤，⑥，⑦五块板密铺出一个新正方形的边长为， ∴新正方形的周长为； 示意图如下： ． 31．(25-26八·上海闵行区浦江第一中学·期中)问题发现 (1)基本模型——十字架模型 如图1所示，在正方形内，点在边上，点在边上，、交于点，①若则有结论；②反之若有，则有结论． 对于上述问题请选择一个命题加以证明． (2)模型运用 如图2，在正方形中，，点在边上（不与、重合），连接，将沿翻折，得到，连接并延长交于点． ①若，求的值． ②如图3，若与交于点，连接，若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)①；②见解析 【分析】（1）①根据正方形的性质以及同角的余角相等，找到相等的边和角，利用证明，进而可得； ②根据正方形的性质得内角为，根据证明，得，进而得，从而证明； （2）①先根据勾股定理求的长，记与相交于点，由翻折得、，根据等面积法得，进而根据计算； ②根据正方形和翻折性质得，根据，翻折后和的性质证明，根据等腰三角形三线合一得，由得，由得，由翻折得，等量代换后，根据证明． 【详解】（1）选择①，证明如下： 证明：四边形是正方形， ，， ， ，，， ， 在和中， ， ， ； 选择②，证明如下： 证明：四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ； （2）①解：四边形是正方形，， ， 在中，， 由翻折得，垂直平分， 记与相交于点，则，且， 在中， ，即， 解得，， ； ②证明：由翻折得，，，， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， 由翻折得，垂直平分， 是等腰三角形，是的角平分线， ， 在中，，， 在中，，， ， ， ，， 在和中， ， ． 32．(25-26八下·上海世外中学·期中)【情境】图1是由正方形纸片去掉一个以中心为顶点的等腰直角三角形后得到的．该纸片通过裁剪，可拼接为图2所示的钻石型五边形，数据如图所示． （说明：纸片不折叠，拼接不重叠无缝隙无剩余） 【操作】嘉嘉将图1所示的纸片通过裁剪，拼成了钻石型五边形． 如图3，嘉嘉沿虚线，裁剪，将该纸片剪成①，②，③三块，再按照图4所示进行拼接．根据嘉嘉的剪拼过程，解答问题： (1)直接写出线段的长； (2)直接写出图3中所有与线段相等的线段，并计算的长． 【探究】 (3)淇淇说：将图1所示纸片沿直线裁剪，剪成两块，就可以拼成钻石型五边形．请你按照淇淇的说法设计一种方案：在图5所示纸片的边上找一点（可以借助刻度尺或圆规），画出裁剪线（线段）的位置，并直接写出的长． 【答案】(1)1 (2)，， (3)见解析，或 【分析】（1）如图，过作于，结合题意可得：四边形为矩形，可得，由拼接可得：，可得，，为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，设，则，再进一步解答即可； （2）根据（1）所求求出的长即可得到答案； （3）以为圆心，为半径画弧交于，交于，则直线为分割线，或以为圆心，为半径画弧，交于，交于，则直线为分割线，再进一步求解的长即可． 【详解】（1）解：如图，过作于， 结合题意可得：四边形为矩形， ∴， 由拼接可得：， 由正方形的性质可得：， ∴，，为等腰直角三角形， ∴为等腰直角三角形， 设， ∴，， ∴， ∵正方形的边长为， ∴正方形的对角线的长为， ∴， ∴， 解得， ∴； （2）解：由（1）得，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴与相等的线段有，； （3）解：根据题意可知，需要裁剪出一个两直角边为，斜边为2的等腰直角三角形来填补在等腰的位置， 如图，以为圆心，为半径画弧交于，交于，则直线为分割线， 此时，，符合要求， 或以圆心，为半径画弧，交于，交于，则直线为分割线， 此时，， ∴， 综上：的长为或． 33．(25-26八·上海青浦平和双语学校·期中)如图，已知：正方形边长为1，点是对角线上一点，，交射线于点． (1)当点在边上时，线段与线段之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到的结论； (2)当点在边的延长线上，是等腰三角形时，求的长； (3)当以为顶点的四边形的面积为时，请直接写出的长是___________． 【答案】(1)；证明见详解 (2) (3)或 【分析】（1）由正方形的性质可得，，作于，于，则，四边形为矩形，证明，即可得解； （2）由正方形的性质和勾股定理可得，，，由点在边的延长线上可得为钝角，证明，得出，即可得解； （3）分两种情况：当点在线段上时，作于，于；当点在的延长线上时，作于，延长交于；分别求解即可． 【详解】（1）解：， 证明：∵四边形为正方形， ∴，， 如图，作于，于， 则，， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵正方形边长为1， ∴，， ∴， ∵点在边的延长线上， ∴为钝角， ∵是等腰三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，当点在线段上时，作于，于， 由（1）可得，四边形为矩形，， ∴为等腰直角三角形，， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， ∵以、、、为顶点的四边形的面积为， ∴，即， ∴； 当点在的延长线上时，作于，延长交于， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 设，则， ∵以、、、为顶点的四边形的面积为， ∴， 解得， ∴， ∴， 综上所述，的长为或． 34．(25-26八·上海民办上宝中学·期中)如图，平行四边形中，、分别在、上，连接、交于点，连接交于点，四边形是矩形．连接，如果，求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接，证明四边形及都是平行四边形，得出，即可得出； （2）先证明四边形为平行四边形，根据四边形是矩形，得出，证明四边形是菱形，得出，即可得出结论． 【详解】（1）证明：连接，如图所示： 四边形是矩形， ，即， 又， ∴， 四边形及都是平行四边形， ， ； （2）证明：由（1）得，E为中点， 四边形是平行四边形， ， ， ， 同理可得F为中点， ， ， 四边形为平行四边形， 四边形是矩形， ，即， 四边形是菱形， ， ． 35．(25-26八下·上海交通大学附属第二中学·期中)同学用两副三角板拼出了如下的平行四边形，且内部留白部分也是平行四边形（直角三角板互不重叠）．直角三角形斜边上的高都为． (1)直接写出： ①两个直角三角形的直角边（结果用表示）： ______，______，______． ②小平行四边形的底、高和面积（结果用表示）； ______，______，______． (2)请画出同学拼出的另一种符合题意的图，要求： ①不与给定的图形状相同； ②画出三角形的边． 【答案】(1)①；； ②；；． (2)画图见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质以及等腰直角三角形和角的直角三角形的三边关系，根据平行四边形的性质来构造图形是本题解题的关键． （1）①根据等腰直角三角形和角的直角三角形的三边关系求解即可； ②根据长方形的面积公式求解即可； （2）根据平行四边形对边相等，邻角互补进行拼接即可． 【详解】（1）解：①作和的高，两个直角三角形斜边上的高都为，如图， 则：， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ，， ，则， ， 故答案为：；； ②， ， 平行四边形为矩形， ，， ； 故答案为：；；． （2）解：①顶角为时，如下图： ②顶角为时，如下图： 【点睛】 / 学科网（北京）股份有限公司 $学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题03四边形填选压轴题(35题) 选题说明：今年是八年级新课改第一年，选题从往年及本学期最新试题中选取，请大家根据实际备课需求 选用。 一、解答题 1.(24-25八下·上海浦东新区川沙中学期末)已知：如图，正方形ABCD中，AB=2√2，点F为对角线AC 上一点，联结DF,过点F作FE⊥DF交线段BC于点E(点E不与点B,点C重合)，过E作EG⊥FE, 过D作DG⊥DF,EG与DG交于点G. D (I)证明四边形DFEG为正方形； (2)联结CG,设CG=x,FC=y,求y关于x的函数关系式，并写出定义域； (3)当△ECG为等腰三角形时，直接写出CG的长度. 2.(24-25八下·上海宝山区期末)在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,AC=2V3,BD=2 ,E是边AB上的一点，连接DE. E 图1 图2 备用图 (1)如果DE⊥AB, ①如图1，当点E为AB中点时，求证：四边形ABCD为菱形； ②如图2，设AE=x,AB=y,求y与x的函数解析式（不用写定义域）： (2)连接OE,如果△ODE是以OE为腰的等腰直角三角形，求BE的长.连接 3.(24-25八下·上海闵行区期末)已知，在平行四边形ABCD中，AD⊥AC,AD=AC,点E在射线BA上， 直线DE与直线AC交于点G,CH⊥DE于H,CH的延长线与直线AB交于点F, 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (备用图) (I)如图，当点E在线段AB上时， ①如果∠EDA=30°，CG=2,求DG的长； ②连接FG,求证：DG=CF+FG; (2)如果HG=HF,FG=√2，求DG的长. 4.(24-25八下·上海虹口区·期末)【模型构建】 如图①，己知LB=∠C=∠AED=90°，如果AE=DE,那么△ABE≌△ECD.我们把这种图形叫做“一线三 直角” D B ① ③ 【初步探究】 我们发现，如果∠B、∠C和∠AED不是直角，但都相等，且AE=DE,结论也依然成立.请在下面两题中， 选择一题进行解答。 (1)如图②，已知∠B=∠C=∠AED>90°，且AE=DE,求证：BC=AB+CD. (2)如图③，已知∠B=∠C=∠AED<90°，且AE=DE,求证：BC=AB+CD. 【探究应用】 如图，在正方形ABCD中，已知AD=6,点E、F、G分别在边BC、AB、CD上，且 ∠FEG=135°，EF=EG.设AF=x,DG=y,求y关于x的函数解析式，并写出定义域. 【拓展探究】 如图，在正方形ABCD中，己知AD=6,点E、F、G分别在边BC、AB、CD上，且BE=4.M、N.分 别是线段BE、FG的中点，联结MN,如果△EFG是等边三角形，求MN的长. 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A D y D G B B M 5.(24-25八下·上海普陀区·期末)小普在综合与实践课上，参加了以“神奇的正方形”为主题的数学活动，通 过“折、转、探”等方式研究有关正方形折纸的有趣结论. B E 图-1 图-2 备用图 备用图 (I)折一折：如图-1，小普将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、AD都落在对角线AC上，展开得折痕 AE、AF,联结EF.那么∠EAF= 度；如果AB=1,那么EF的长度等于 (2)转一转：小普将图-1中的∠EAF绕点A旋转，使它的两边分别交直线BC、CD于点P、Q ①如图-2，当点P、Q在边BC、CD上，联结PQ.如果BP=1,DQ=3,求△APQ的面积； ②探一探：联结BD,射线AP、AQ分别交对角线BD所在直线于点M、N,且点N在正方形内部.正方 形的边长AB=a，,联结CM.如果△PCM是等腰三角形，请直接写出线段CP的长度 ·(用含 有字母a的代数式表示) 6.(24-25八下·上海崇明区期末)如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC,∠DAB=90°，AD=2,CD=4 ,点E是CD的中点，连接AE、BE. D D E E 备用图 (1)求证：LAEB=2LEBC; (2)设BC=x,S。4BE=y,求y关于x的函数解析式（不写定义域）； (3)设AE、BD交点为F,当△BEF为直角三角形时，求BC的长. 7.(24-25八下·上海松江区·期末)已知梯形ABCD,AD IBC,∠A=90°，LC=45°，点P为射线DA上一动 点，联结BP,过点P作PE⊥PB,交射线CD于点E,且PB=PE, 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 D 图1 图2 图3 (1)①如图1，如果DE=2,求AP的长； ②安图2，点F为8C边上一点，且P9=PF,求8的值： (2)如果AP=2,△PDE是等腰三角形，求DP的长. 8.(24-25八下·上海嘉定区期末)如图，在等边三角形ABC中，边长为12cm,BD⊥AC,垂足为D.点P从 点A出发，沿AC方向匀速运动，速度是3cms;同时点Q由B点出发，沿BA方向匀速运动，速度为 1cm/s,过点Q的直线QE∥AC,交BC于点E,设运动时间为(s)(0<t<4),试解答下列问题： D B E 备用图 备用图 (I)如果PQ⊥AC,求对应的t的值； (2)当点P在线段AD上时，设四边形PQEC的面积为ycm2,求y与t的关系式； (3)如果使得以P,Q,E,D为顶点的四边形是平行四边形，求出相应的t的值， 9.(25-26八上海闵行区·期中)已知在四边形ABCD中，AB∥CD,∠A=90°，BE平分∠ABC,交边AD于 点E. D(E 图1 图2 (1I)如图1，如果点E与点D重合，AD=AB,求证：四边形ABCD是正方形： (2)如果AB=5,AD=4, 0图2，当8C-子5时，求CD的长， ②当BEC是直角三角形时，求DE的长. 10.(25-26八·上海交通大学附属第二中学.期中)我们给出定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 四边形叫做“等对角四边形”. D 图1 图2 (1)已知：如图1，四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A≠∠C,∠A=75°，∠B=80°，求∠C,∠D的度 数 (2)在探究“等对角四边形”性质时，小红画了一个“等对角四边形”ABCD（如图2)，其中LABC=∠ADC, AB=AD,此时她发现CB=CD成立.请你证明此结论 (3)已知：在“等对角四边形”ABCD中，∠DAB=60°，∠ABC=90°，AB=7,AD=5.求对角线AC的长. 11.(25-26八下·上海普陀区梅陇中学期中)矩形0ABC,点A3,0),点C(0,2),点M为射线AB上的动点 (点M与点A不重合)，将矩形沿某一直线对折，使点O与点M重合，折痕与边BC交于点E,与边OA交 于点F. (1)如图，若OE⊥ME,求AM的长： (2)若四边形0FME为平行四边形，求点E的坐标： (3)当点M在边AB上时，设AM=x,CE=y,求y与x之间的函数表达式和x的取值范围： (4)当△OEF是等腰三角形时，直接写出AM的长. 12.(25-26八下·上海徐汇区位育初级中学·期末)已知在四边形ABCD中，AD∥BC,∠ABC=90°， AD=DC· E D B R 图1 图2 (1)如图1，当AB=BC时，求证：四边形ABCD是正方形； 学科网 www zxxk com 让教与学更高效 (2)连接AC,过点B作BO⊥AC,垂足为O,延长BO交边AD或边CD于点E, ①如图2，如果点E在边AD上，且BE=AD,求∠AEB的度数； ②如果BE=2√2，AC=3,求AB的长. 13.(25-26八下·上海普陀区梅陇中学·期中)我们规定：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做完美四边形. A B B (1) (2) ()在以下四种四边形中，一定是完美四边形的是 （请填序号)； ①平行四边形②菱形③矩形④正方形 (2)如图(1)，菱形ABCD中，∠A=60°，E、F分别是AB、BC上的点，且AE=BF,求证：四边形 DEBF是完美四边形； (3)如图(2)，四边形ABCD为完美四边形，且AB=AD,连接AC. ①求证：CA平分∠DCB; ②当∠BAD=90°时，CD=1,BC=3,请直接写出AC的长. 14.(25-26八·上海奉贤区育秀中学.期中)如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边AB、CD上， LADE=LCBF,EF与BD相交于点O. D (1)求证：B0=D0 (2)如果∠ADB=90°，∠ADE=∠A.求证：四边形EBFD是一个菱形. 15.(25-26八·上海北郊学校期中)综合与实践【问题情境】 我们熟知的世界名画《蒙娜丽莎的微笑》，其构图呈现出了非常协调、匀称的矩形美.通过测量，我们发现 这种矩形的宽和长之比是5-1（值约为0618）.这就是“黄金矩形.世界上许多著名的建筑，为取得最佳 2 的视觉效果，都不约而同地采用了“黄金矩形”的设计. 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 为了进一步了解“黄金矩形”，在综合实践活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动. 【操作探究】：利用矩形纸带，折出“黄金矩形”. 步骤1：在一张矩形纸带的一端，利用图1的方法折出一个正方形MNAB,然后把纸带展平： 步骤2：如图2，把这个正方形MNAB对折成两个全等的矩形，再把纸带展平； 步骤3：如图3，折出内侧矩形对角线的折痕CB,并把折痕CB折到纸带下沿CD处； 步骤4：如图4，展平纸带，按照所得的点D折出DE⊥AD,折出矩形BADE M F B B 3 图1 图2 图3 图4 【分析探究】 (1)图4中如果MN=2,则BC= AD= (2)求证：矩形ABED是“黄金矩形”. 【学以致用】 (3)将一张正方形纸片ABCD,先按下列操作画出示意图，再按要求解决问题. ①折叠正方形ABCD,使点A与点B重合，点D与点C重合，折痕交边AB于点M,交边CD于点N: ②过点B折叠正方形ABCD,使点A落在BN上的点F处，折痕交边AD于点E,连接EF: ③过点E作边BC的垂线，垂足为H,矩形ABE是“黄金分割”矩形吗？请证明你的结论. 16.(25-26八上海普陀区·期中如图1，己知四边形ABCD是由直角三角形ABH和矩形AHCD组成的，点 B在CH的延长线上，CD=8,BH=4,作线段AB的垂直平分线，交AB于点E,交边CD于点F,并交射 线BC于点G. 东对 图 图2 图 (1)如图2，当点F与点C重合时，求BC的长； 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)设AD=x,DF=y,求y与x的函数关系式； (3)如图3，连接DE,当aDEF是等腰三角形时，请直接写出AD的长 17.(25-26八下·上海世外中学.期中)【问题背景】在学习了平行四边形后，某兴趣小组研究了一个内角为 60°的平行四边形的折叠问题.其探究过程如下： D ⊙ (I)如图①，在平行四边形ABCD中，∠A=60°，AB>AD,E为AD边的中点，点F在边DC上，DF=DE ,连接EF,将△DEF沿EF翻折得到△GEF,点D的对称点为点G,小组成员发现四边形DEGF是一个特 殊的四边形，请判断四边形DEGF的形状为 【探究证明】 (2)在(1)的条件下，取BC的中点M,点N在边AB上，且BN=BM,连接MN,将△BMN沿MN翻折得 到△HMN,点B的对称点为点H,连接FH、GN,如图②，求证：四边形GFHN是平行四边形； 【探究提升】 (3③)在(1)(2)的条件下，若四边形GFHN为轴对称图形，请直接写出4 的值为 B 18.(25-26八下·上海静安区·期中)已知在四边形ABCD中，AB∥CD,∠A=90°，BE平分∠ABC,交边 AD于点E. D(E) D C D 图1 图2 备用图 (I)如图1，如果点E与点D重合，AD=AB,求证：四边形ABCD是正方形： (2)如果AB=5,AD=4, ①如图2，BC=4√2时，求LEBC的度数； ②当BEC是直角三角形时，求DE的长。 19.(25-26上海金山区·期中)己知：在直角梯形ABCD中，AD∥BC,∠A=90°，将△ABD沿直线BD翻 折，点A恰好落在腰CD上的点E处. 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (I)如图，当点E是腰CD的中点时，求证：△BCD是等边三角形； (2)延长BE交线段AD的延长线于点F,连接CF,如果CE=DF,请画出符合题意的图形，并证明：四边 形ABCF是矩形 20.(25-26八上海普陀区·期中)已知：在ABC中，BC=12cm,过点A作射线AM与BC平行（如图所示）， 点P从点A出发沿着射线AM方向作匀速运动，同一时刻，点Q从点B出发沿着射线BC方向作匀速运动， 设点P、Q运动的时间为t秒. M M B C 备用图 (I)如果点P的速度为1cm/秒，点Q的速度为3cm/秒，当四边形ACP是平行四边形时，求t的值； (2)设点P的速度为y,cm/秒，点Q的速度为y,cm/秒，AC=10cm,当AQ垂直平分CP时，求上的值. 21.(25-26八上海张江集团学校等学校期中)在平行四边形ABCD中，点E是BC的中点，连接AE,将 △AEB沿直线AE翻折，得到△AFE,如图，延长AF交CD于点G,求证：CG=FG; 22.(25-26八·上海张江集团学校等学校·期中)如图，O为正方形ABCD内一点，连接D0并延长交边AB于 E,过点O的直线与边AD,BC分别交于F,G.FG=DE,求证：FG⊥DE. C B E 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 23.(25-26八下·上海闵行区莘松中学期中)【教材呈现】如图是沪教版八年级下册教材第42页的第1题， 请完成这道题的证明。 M D M B B W 图① 图② 图③ (I)如图①，在四边形ABCD,中，AD=BC,P是对角线BD的中点，M是DC的中点，N是AB的中点，求 证：∠PMN=∠PNM. (2)【教材延伸】 如图②，延长图①中的线段AD交NM的延长线于点E,延长线段BC交NM的延长线于点F,求证： LAEN=∠F. (3)【应用探究】 如图③，在ABC中，点D在AC上，AD=BC=3,M是DC的中点，N是AB的中点，连接NM并延长， 与BC的延长线交于点G,若∠GMC=45°，求MN的长. 24.(25-26八上海虹口区·期中)综合与实践 【问题情境】某数学兴趣小组研究了课本教材中的《折纸与数学》，思索折纸与角的关系，寻求新的折纸方 法，其内容如下： 如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作60°、30°、15°等大小的角，可以采用下面 的方法（如图1）： (I)对折矩形纸片ABCD,使AD与BC重合，得到折痕EF,把纸片展平； (2)再一次折叠纸片，使点B落在EF上，并使折痕经过点A,得到折痕AM,点B、 E的对应点分别为B、E,把纸片展平. D A D M G 图1 图2 图3 (I)【知识运用】请根据上述过程，连接AB'、BB'、BE',观察图1中∠1、∠2、∠3，试猜想这三个角的大小 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 关系是 (2)【拓展提升】小华再次探究，寻找等分角的方法：如图2，点N为边AD上的一点，连接BN,在AB上 取一点P,折叠纸片，使B、P两点重合，展平纸片，得到折痕EF;折叠纸片，使点B、P分别落在EF、 BN上，得到折痕I,点B、P的对应点分别为B、P,展平纸片，连接BB'、PB.求证：BB'是LNBC 的一条三等分线： (3)【迁移探究】兴趣小组成员继续探究三等分线段的方法：如图3，将正方形纸片ABCD对折，得到折痕 EF,(其中，点E、F分别是边AB、CD的中点)，连接DE,将纸片沿DE翻折，使点A落在点A处，连 接EA并延长，交边BC于点G,求证：CG:CB=1:3, 25.(25-26八上海虹口区期中)如图，在正方形ABCD中，AB=6,对角线AC、BD交于点0，点P是边 CD上一点（不与点C、D重合），连接AP交BD于点E,延长AP交LBCD的外角角平分线于点F, E B (I)求证：AE=EF; (2)连接CE、DF,当CE∥DF时，求CF的长， 26.(25-26八·上海松江区·期中)综合与实践 【问题情境】在书法课上，为了实现图1的书写效果，需要解决“将正方形书法纸折出均等的三列”的问题.在 学习了特殊平行四边形知识后，小华和小海以“正方形的折叠”为主题展开了探索. 言行思 有有无 物耻邪 书写效果 折三列效果 图1 H H D 图2 / 扇学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 B B M 备用图 【操作探索】 操作一：把正方形纸片ABCD对折，使DC与AB重合，得到折痕HE,把纸片展平； 操作二：沿着AE再一次折叠纸片，使点B落在点B处，得到折痕AE,AB交HE于点G; 操作三：将AD沿过点A的直线折叠，使AD与AB重合，得到折痕AM. 【猜想验证】 (I)根据以上操作，小华发现点E、B、M三点共线，且①∠MAE= °；②线段ME、DM、BE之间 的数量关系为： (②)小海说：“我发现线段DM与线段DC的比值是号即点M是线段DC的三等分点.~你认为小海的说法正 确吗？请说明理由. 【问题探究】 (3)在(1)和(2)的条件下，延长AB'交线段DC于点N,连接AC交HE于点O,你能发现线段G0与线 段DM的比值吗？请直接写出答案， 27.(23-24八下·上海闵行区·期末)在菱形ABCD中，∠B=(a≥90)，点E在边BC上（不与B、C重合）， 将线段AE绕着点E顺时针旋转α后，点A落在点F处，连接AF,交边CD于点P, 图1 图2 (1I)如图1，如果a=90°，延长EC至点H,使得EH=AB,连接FH,求证：CH=FH; (2)连接CF, ①如图2，设LDCF=B,求B与0a之间的函数表达式：（不写定义域） ②如果a=120°，DC=4PD.求证：BE=EC. 28.(25-26八下·上海梅陇中学.期中)【问题探究】 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D E B F C H 图1 图2 图3 (I)如图1，在矩形ABCD中，点E、F、G分别在AB、BC、CD边上，BE=CG,连接EF,过点G作 GH∥EF,交BC的延长线于点H,若EF=V6,求GH的长； (2)如图2，在菱形ABCD中，连接AC,点P、Q分别是BC、AB边上的动点，连接PQ,点M、N分别是 PQ、CP的中点，若AB=5,AC=6,求MN的最小值； (3)【问题解决】如图3，叔叔家有一个正方形菜地ABCD,他计划对其进行改造，P为菜地内一动点，且 ∠ABP=60°，E为CD的中点，点F、G分别为AD、BC边上的动点，在改造的过程中始终要满足 CG=DF,Q为AP的中点，他计划在三角形ABP区域内种植茄子，在三角形DEF区域内种植西红柿，其 余区域内种植辣椒，并分别沿EF、GQ修建灌溉水渠，经测量，AB=400米，为了控制成本，要求灌溉水 渠EF+GQ)的总长度尽可能的短，若不考虑其他因素，求灌溉水渠EF+GQ)总长度的最小值， 29.(24-25八下.上海科技大学附属学校制期中如图，在ABC中，AB=AC=5,BC=8,AC平分 LBCD,点E、F分别为边BC和射线CD上的点(E与B,C不重合)，且∠EAF=∠BAC,连接EF交 AC于点O. D D D F y A M E B 6 (备用图) (备用图) (I)若AF⊥FC,求BE. (2)若△AEO为等腰三角形，求BE的长. (3)过点A作AM∥BC交CD于M,取EF中点为N,BC中点为G,若四边形MNGE为梯形，直接写出 BE的长. 30.(25-26八上海民办上宝中学·期中)七巧板由五个等腰直角三角形与两个平行四边形组成，用七巧板可 以拼出2600多种图形.如图，图中的正方形ABCD就是由七巧板无缝隙、无重叠地拼接而成（简称密铺）.如 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 果设编号为④的三角形的面积为1. ② ① ⑤ ⑥ ④ ③ B E (1)直接写出四边形AEFC的周长与面积； (2)小明说：他可以用编号分别为③，④，⑤，⑥，⑦的五块板密铺出一个新的正方形，试求这个密铺出的 新正方形的边长与面积，并画出密铺之后新正方形的示意图. 31.(25-26八上海闵行区浦江第一中学.期中问题发现 B B D H D' G E D E D E 图1 图2 图3 (1)基本模型一十字架模型 如图1所示，在正方形ABCD内，点E在边DC上，点F在边BC上，AE、DF交于点H,①若AE⊥DF则 有结论AE=DF;②反之若有AE=DF,则有结论AE⊥DF. 对于上述问题请选择一个命题加以证明。 (2)模型运用 如图2，在正方形ABCD中，AB=4,点E在边CD上（不与C、D重合），连接AE,将ADE沿AE翻折， 得到△AD'E,连接DD'并延长交BC于点F. ①若DE=3,求DD'的值. ②如图3，若AE与DF交于点G,连接BG,若BG∥D'E,求证：△ADD'≌△BAG. 32.(25-26八下·上海世外中学期中)【情境】图1是由正方形纸片去掉一个以中心0为顶点的等腰直角三 角形后得到的.该纸片通过裁剪，可拼接为图2所示的钻石型五边形，数据如图所示 (说明：纸片不折叠，拼接不重叠无缝隙无剩余) 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2 ●) 2 图1 图2 A H F ② 2 E ① ① 图3 图4 2 2 2 图5 【操作】嘉嘉将图1所示的纸片通过裁剪，拼成了钻石型五边形 如图3，嘉嘉沿虚线EF,GH裁剪，将该纸片剪成①，②，③三块，再按照图4所示进行拼接.根据嘉嘉 的剪拼过程，解答问题： (I)直接写出线段EF的长： (2)直接写出图3中所有与线段BE相等的线段，并计算BE的长. 【探究】 (3)淇淇说：将图1所示纸片沿直线裁剪，剪成两块，就可以拼成钻石型五边形.请你按照淇淇的说法设计 一种方案：在图5所示纸片的BC边上找一点P(可以借助刻度尺或圆规)，画出裁剪线（线段PQ)的位置， 并直接写出BP的长 33.(25-26八上海青浦平和双语学校期中)如图，已知：正方形ABCD边长为1，点P是对角线AC上一点， PQ⊥BP,PQ交射线DC于点Q, D P B (I)当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到的结论： 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)当点Q在边DC的延长线上，△PCQ是等腰三角形时，求PC的长； (3)当以P、R、CQ为顶点的四边形的面积为时，请直接写出PC的长是 34.(25-26八上海民办上宝中学期中如图，平行四边形ABCD中，E、F分别在AD、BC上，连接AF、 BE交于点G,连接CE、DF交于点H,四边形EGFH是矩形.连接GH,如果GH∥AD,求证： E B (1)AE =ED: (2)AD=2AB. 35.(25-26八下·上海交通大学附属第二中学期中)同学用两副三角板拼出了如下的平行四边形，且内部留 白部分也是平行四边形（直角三角板互不重叠），直角三角形斜边上的高都为h, (1)直接写出： ①两个直角三角形的直角边（结果用h表示）： AE=,AH=,DH=· ②小平行四边形的底、高和面积（结果用h表示）； EF=,FG=,S= (2)请画出同学拼出的另一种符合题意的图，要求： ①不与给定的图形状相同： ②画出三角形的边，扇学科网 www.zxxk.com 专题03四边形填选压轴题(35 1.(1)证明：：FE⊥DF,EG⊥FE,DG⊥DF, .∠DFE=∠FEG=∠FDG=90°， .四边形DFEG是矩形， 过F作FM⊥BC于M,FN⊥CD于N,则∠FMC=∠FNC=∠FND=90° F G B M E :四边形ABCD是正方形， .BCD=90°，∠ACB=∠ACD=∠CAD=45°， 四边形FMCN是矩形，FM=FN, .∠MFN=90°，则∠MFE+∠EFN=90°， 又∠EFD=∠NFD+∠EFN=90°， .LMFE=∠NFD, 在△FME和△FND中， [∠MFE=∠NFD FM=FN ∠FME=∠FND=90 △FME≌AFND(ASA), .EF FD, .四边形DFEG为正方形； (2)y=4-x(0<x<2 (3)4-2√2 2.(1)①证明：：平行四边形ABCD中，AC=2√5，BD=2, :A0=0C=AC=V5,D0=B0=BD=1, DE⊥AB,EA=EB, .DA=DB=2, / 让教与学更高效 题) 函学科网 www.zxxk.com .D02+A02=AD2, .∠D0A=90°，即AC⊥BD, 四边形ABCD为菱形； ②y=2 (2)V2或 2 3.(1)①2+2V5;②如图1中，延长CF交DA的延长线于T, B G :CH⊥DE, ∠CHD=90°， :∠CHG=∠DAG=90°，∠CGH=∠AGD, LGCH=∠GDA, ∠DAG=∠CAT=90°，AD=AC, △DAG≌△CAT(ASA, .DG=CT,AG=AT, :四边形ABCD是平行四边形， :AD=BC,AD∥BC, .LACB=∠CAD=90°， AD=AC .AC=BC, :∠CAB=45°， :∠CAT=90°， ∠GAF=∠TAF=45°， AF =AF, .AGAFSATAF(SAS), :.GF=TF, :DG=CT=CF+TF=CF+FG; 让教与学更高效 连接FG, 厨学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)2或2+2V2 4.初步探究：初步探究：(1)：∠B=∠C=∠AED>90°， .∠A+∠AEB=180°-∠B,∠AEB+∠CED=180°-∠AED, .∠A+∠AEB=∠AEB+∠CED, .LA=∠CED, 又：AE=DE, :.△ABE≌AECD(AAS), ∴.AB=CE,BE=CD, .BC=BE +CE AB+CD (2):∠B=∠C=∠AED<90°， ∴.∠A+∠AEB=180°-∠B,∠AEB+∠CED=180°-∠AED, ∠A+∠AEB=∠AEB+∠CED, .LA=∠CED, 又：AE=DE, .△ABE≌△ECD(AAS), .AB CE,BE CD, ∴.BC=BE+CE=AB+CD: 探究应用：y=-x+18-6V212-6V2≤x≤6；拓展探究：2√万 5.(1)45,22-2: ②@4+27：②PC=3a或3+V3 6.(1)证明：如图所示，作EK⊥AB于点K,则∠EKA=∠EKB=90°， B :ADBC,∠DAB=90°，点E是CD的中点， :AD‖EK IBC,EK是梯形ABCD的中位线， 扇学科网 .AK BK .EK垂直平分AB, .∠AEK=∠BEK, .EK BC .∠BEC=LBEK, .ZAEB 2ZBEC (2)y=x+2V-x2+4x+12 4 (3)当△BEF为直角三角形时，BC的长为4 7.(102:②时 (2)2√2或4 80号 (2)y=365-95+5, ⊙成 9.(1)证明：：∠A=90°，AB∥CD, .∠ADC=90°， 又：AD=AB, .∠ADB=∠ABD=45°， :AB∥CD, :ZABD ZCDB :BE平分∠ABC, .∠ABD=∠CBD=45°， .∠ABC=90°， 四边形ABCD是矩形， 又AD=AB, :四边形ABCD是正方形； (2D∠EBC=30°；②DE的长为2或3 www.zxxk.com 让教与学更高效 函学科网 www.zxxk.com 10.(1)∠C=125°；∠D=80 (2)证明：：AB=AD, ∠ABD=∠ADB, ZABC ZADC, .∠ABC-∠ABD=∠ADC-∠ADB,即∠CBD=∠CDB, .CB=CD (3)√97或213 11.(1)1 (3)y= 2-4x+90<x<2 6 (4)4-√7或2或√万 12.(1)证明：连接BD, A D B C .AD∥BC,∠ABC=90°， ∴.∠A=180°-∠BC=90°， .AD=DC,AB=BC,BD=BD, :△ABD≌ACBD(SSS), .∠A=∠C=90°， .四边形ABCD是矩形， 又AD=DC, 矩形ABCD是正方形； (2060°：②6v34或V6 17 13.(1)④ (2)证明：如图，连接BD, 让教与学更高效 学科网 www.zxxk B 四边形ABCD是菱形， .AB=AD,AD∥BC, :∠A=60°， .△ABD是等边三角形，∠ABC=180°-∠A=120°， :AD=BD :在菱形ABCD中，BD平分∠ABC, :∠DBC=∠ABC=60=∠A, 2 :AE BF, △ADE≌△BDF(SAS), .DE=DF,∠AED=∠BFD, LAED+∠DEB=180°， .∠BFD+∠DEB=180°， .四边形DEBF是完美四边形 (3)①证明：延长CB至点E,使BE=CD,连接AE, E :四边形ABCD为完美四边形 ∠ABC+∠D=180°， .∠ABC+∠ABE=180°， .∠ABE=∠D, 又：AB=AD,BE=CD com 让教与学更高效 学科网 www.zxxk.com △ADC≌△ABE(SAS), .∠ACD=∠E,AC=AE, ∴.∠ACE=∠E, .∠ACD=LACE, .CA平分∠DCB: ②AC=2V2 14.(1)解：：四边形ABCD是平行四边形， AB∥CD,AB=CD,AD=BC,∠A=∠C, :∠A=∠C, 又：AD=CB,∠ADE=LCBF, .ADE≌CBF, .AE=CF, .AB=CD,AE=CF, :BE=DF, 又：AB∥CD, BE∥DF, :四边形EBFD是平行四边形， B0=D0. (2)解：∠A=∠ADE, :AE DE, :∠ADB=90°， .∠ADE+∠BDE=90°， .∠A+∠ABD=90°， 又：∠ADE=∠A, .∠BDE=90°-∠A, .∠ABD=90°-∠A, ∴.∠BDE=∠ABD, :DE EB, :四边形EBFD是平行四边形， 四边形EBFD是菱形 让教与学更高效 丽学科网 www zxxk 15.(1)w5,V5-1 (2)证明：设MN=x, 根据题意可得，AB=AN=MN=x,BC=CD, 4C=4N=2X, 1 2 在Rt△CAB中，BC=VCA+AB2= 《2x+x2=5 1)2 cD= -x 2 ÷AD=CD-AC=5x-1,5 2t、 -x, 2 5- =2 .AD x5-1, BA 2 .矩形ABED是“黄金矩形”. (3)矩形ABE是“黄金分割”矩形，作图和证明见详解 16.(1)10 1 (2)y=5x+5,0≤x≤6 (③)AD=6或AD=25或4D=10 17.(1)菱形 (2)证明：同理(1)可得，四边形BMHN是菱形， :BM∥NH,BM=NH, :四边形DEGF是菱形， .GF∥DE,GF=DE, :E为AD边的中点，M为BC边的中点， :DE=LAD,BM=IBC, :四边形ABCD是平行四边形， .AD=BC,AD∥BC, .GF∥NH,GF=DE=BM=NH, .四边形GFHN是平行四边形； com 让教与学更高效 扇学科网 18.(1)证明：：∠A=90°，AB∥CD, .∠ADC=180°-∠A=90°， AD=AB, LABD=∠ADB=45°， BE平分∠ABC, .∠ABC=2∠ABD=90°， :∠A=∠ADC=∠ABC=90°， .四边形ABCD是矩形， 又：AD=AB, .四边形ABCD是正方形； (2)022.5°；②)或2 19.(1)证明：：将△ABD沿直线BD翻折， AB=BE,∠A=L :E是腰CD的中点， .BE垂直平分CD, :BD=BC, AD‖BC,∠A=90°， :∠ABC=90°， 由翻折性质，∠ABD=∠EBD, :BD=BC, :∠EBD=∠EBC(三线合一)， LABD=∠EBD=∠EBC, 又：∠ABD+∠EBD+∠EBC=90°， .LABD=∠EBD=∠EBC=30°， www.zxxk.com 让教与学更高效 点A落在腰CD上的点E处， BED=90°，即BE⊥CD, 扇学科网 www.zxxk .∠CBD=∠EBD+∠EBC=60°， 又：BD=BC, △BCD是等边三角形 (2)证明：过点D作DH⊥BC,垂足为H,则LDHC 刀 E AD‖BC,∠A=90°， H :四边形ABHD是矩形， :AB=DH,BH=AD, 由翻折性质，∠A=∠BED=90°，AB=BE, ∠BEC=180°-∠BED=90°，且DH=BE, ∠BEC=∠DHC=90° 在△BCE和△DCH中： ∠BCE=∠DCH, BE=DH .∴ABCE≌△DCH(AAS), .BC=DC CE=CH, CE=DF, .CH=DF, 又：BH=AD, .CH +BH DF+AD BC=AF, ADII BC,即AF∥BC, :四边形ABCF是平行四边形， 又：∠A=90°， :平行四边形ABCF是矩形. 20.(1)3秒 @品 21.证明：如图，延长GE交AB的延长线于点M, com 让教与学更高效 =90°. 学科网 www zxxk com M :四边形ABCD是平行四边形， .AB∥CD, .∠CGE=∠M,LC=LEBM; :点E是BC的中点， :CE=BE 在△CGE和△BME中， [∠CGE=∠M ∠C=∠EBM, CE=BE △CGE≌△BME(AAS, .BM =CG,ME =GE 即E为MG的中点： S。AEw=S。AEG; 由折叠的性质可得∠BAE=∠FAE, 点E到AM的距离等于点E到AG的距离， 设E点到AM、AG的距离分别为a、b,则a=b; 1 AM xa=-AGxb. 2 .AM =AG AB=AF, :AM-AB=AG-AF, 即BM=FG, .FG=CG. 22.证明：如图所示，过点C作CH∥FG分别交AD,DE于点H, 让教与学更高效 点M, 学科网 www.zxxk D M H B :四边形ABCD为正方形， .CD=AD,∠ADC=∠A=90°，AD∥BC, 又：CH∥FG, .四边形CGFH是平行四边形， :.CH=FG; .FG=DE, .CH=DE, :.RtAADE≌Rt△DCH(HL), .∠ADE=LDCH, :∠ADC=∠ADE+∠CDE=90°， .∠DCH+∠CDE=90°， .∠CME=∠DCH+∠CDE=90°， .DE⊥CH, :CH∥FG, .FG⊥DE. 23.(1)证明：：P是BD的中点，M是DC的中点， :PM=IBC, 2 :P是BD的中点，N是AB的中点， :Pw-号D AD=BC, :PM PN, .∠PMN=∠PNM; (2)证明：如图，由(1)得∠PMN=∠PNM, com 让教与学更高效 学科网 www.zxxk.com E M N 图2 :N是AB的中点，M是DC的中点，P为BD的中点， .PN AD PM BC, .∠AEN=∠PNM,∠PMN=∠F, .∠AEN=∠F; 3)32 2 24.(1)L1=∠2=∠3 (2)证明：如图所示，连接PB, W D C 图2 由折叠可知：EF是PB的垂直平分线， .PB'=B'B,∠PB'E=∠BB'E; 由折叠的性质可得BP=B'P',∠BPB'=∠BB'P,∠BPB'=∠BP'B',∠PB'E= △BPB'≌△B'BP'ASA, .∠P'BB'=∠PB'B=∠PB'E+∠BB'E=2∠BB'E; 由折叠的性质可得EF⊥AB, 由矩形的性质可得AB⊥BC, EF∥BC, .∠BB'E=∠CBB', .∠P'BB'=2∠CBB', .∠P'BC=3∠CBB', / 让教与学更高效 ∠BB'E, 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .BB'是LNBC的一条三等分线； (3)证明：如图所示，连接DG, D B G :四边形ABCD是矩形， .∠A=∠B=∠C=90,AD=CD=AB=BC, 由折叠的性质可得AE=A'E,AD=A'D,∠DAE=∠DA'E=90°， .AD =CD :∠DA'G=180°-∠DA'E=90°， ∠DA'G=∠C, 又：DG=DG, RtADA'G≌Rt△DCG(HL), .A'G=CG; 设AB=BC=2x,CG=y,则BG=2x-y, 点E为AB的中点， .AE BE A'E =x, .EG=x+y; 在Rt△BEG中，由勾股定理得EG=BE2+BG, (x+y)2=x2+(2x-y2, 2x2=3xy, x>0, 2x=3y,即BC=3CG, .CG:CB=1:3. 25.(1)解：如下图，延长CF,AD交于点R, 学科网 www.zxxk D :四边形ABCD是正方形， M B C .∠BCD=∠ADC=∠RDC=90°，∠BDC=45°， :CF是∠BCD的外角的平分线， ∠DCR=5×90°=45°， .△DCR是等腰直角三角形， .DC=DR=AD D是AR的中点， :∠BDC=∠DCR=45°， .CR∥BD, 作MF∥AR, 四边形DMFR为平行四边形， :MF=DR, :MF AD, ·∠DAF=∠AFM,∠AED=∠FEM,AD=MF, AADE≌△FME AAS）, :AE=EF (2)CF=2√2 26.(1)45°；ME=DM+BE; (2)解：设正方形ABCD边长为a,则BE=EC=Q 2 设DM=x,则MC=a-x, 由(I)得ME=DM+BE=x+号 在RtAMEC中，∠C=90°， 由勾股定理：ME2=MC2+EC2, com 让教与学更高效 命学科网 WWW 展开化简：r+ar+=-2ar++g 4 整理得3ax=a2, 解得x=号即DM=DC, 3 :M是DC三等分点，小海说法正确： 27.(1)解：如图， B E C 由题意可得∠B=∠AEF=Q=90°， .∠BAE+∠AEB=∠CEF+∠AEB=90 .∠BAE=LCEF 由旋转可得AE=EF, 在△ABE与△EHF中， AE=EF ∠BAE=∠HEE AB=EH :△ABE≌△EHF(SAS .:BE FH :菱形ABCD, .AB=BC, EH=AB .EH =BC,EH-CE BC-CE, .EH-CE=BC-CE,即CH=BE ∴.CH=FH, (2)解：如图，延长EC至点H,使得EH=AB, zxxk com 让教与学更高效 连接FH. 学科网 www zxxk.com B E ①由题意可得∠B=∠AEF=a, .∠BAE+∠AEB=∠CEF+LAEB=180°-W .∠BAE=LCEF 由旋转可得AE=EF, 在△ABE与△EHF中， 「AE=EF ∠BAE=∠HEF AB=EH △ABE≌△EHF(SAS .BE=FH,∠EHF=∠ABE=a, :菱形ABCD, .AB=BC,AB∥CD .∠BCD=180°-a, ·EH=AB .EH=BC,EH-CE BC-CE .EH-CE=BC-CE,即CH=BE .CH=FH, ∠HcF=∠Hrc=l80-a）=90- 0, :∠BCD+∠DCF+∠HCF=180° 1180°-a+B+90°-1a=180°， 2 B=3a-90°， 3 ②B+90°=。，a=120°， 2 .∠DCF=B=90° 过点A作AG⊥CD交CD延长线于G,过点H作HQ⊥CF于Q, / 让教与学更高效 如图， 学科网 www.zxxk B E :菱形ABCD, .AB=BC=CD=AD,AB∥CD,BC∥AD, 设AB=BC=CD=AD=4m, .∠BCD=180°-=180°-120°=60°， .∠ADG=∠BCD=60°， :AG⊥CD, .∠GAD=30°， 号GD=)AD=2m,AG=23m DC=4PD, .PD =m,CP =3m, .GP=GD PD =3m .GP=CP, :LAGP=∠FCP=90°， ∠APG=LCPF, :△APG≌△FPC(ASA, .CF=AG=23m, :CH=FH,HQ⊥CF, .Co=3m, :AB∥CD, .∠HCD=∠B=a=120°， :∠HCQ=∠HCD-∠DCF=120°-90°=30°， :CH=2HO, 由勾股定理，得CH2=HQ2+CQ2, com 让教与学更高效 函学科网 www.zxxk.com 2 .CH 2m, EH AB =4m .CE=2m, BC =4m, :BE 2m, .BE CE. 28.(1)GH的长为√6； (②MN的最小值为5： 12 (3)灌溉水渠(EF+G9)总长度的最小值为200V3+200)米。 29.(1)BE的长为4 (2)BE的长为3或3 (③)BE的长为4 39 30.(1)周长为4+6√2，面积为6 (2)新正方形的面积为8；周长为8√2；示意图如下： ⑤ ⑥ ⑦ ④ ③ 31.(1)选择①，证明如下： 证明：：四边形ABCD是正方形， AD=DC,LADE=LDCF=90°， .∠ADF+∠CDF=90°， :AE⊥DF,·∠AHD=90°，∠ADF+∠DAE=90°， / 让教与学更高效 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :∠DAE=LCDF, 在ADE和△DCF中， ∠DAE=∠CDF AD=DC ∠ADE=∠DCF △ADE≌△DCF(ASA, :AE DF; 选择②，证明如下： 证明：：四边形ABCD是正方形， :∠ADE=∠DCF=90°，AD=DC, 在RtAADE和RtADCF中， AD=DC AE=DF ∴.RtAADES≌Rt△DCFHL, ∠DAE=LCDF, :ADF+∠CDF=LADF+∠DAE=90°， .∠AHD=90°， AE⊥DF; (2)①解：：四边形ABCD是正方形，AB=4, AD=AB=4,∠ADE=90°， 在RtADE中，AE=VAD2+DE2=V32+42=5, 由翻折得，AE垂直平分DD', 记AE与DD'相交于点O,则AE⊥DD',且DD'=2DO, A ⊙ D' F E C 在RtAADE中， smx0nF=xn0,闻时4x3x5xn0, 函学科网 www.zxxk.com 解得，D0=12 .DD'=2D0= 24 ②证明：由翻折得，AD=AD',∠AED=∠AED',LAD'E=L :四边形ABCD是正方形， .AB=AD=AD',AB∥CD, ZBAG Z AED BG D'E :ZBGA ZAED', :ZBAG ZAED ZAED'=ZBGA, ∠BAG=∠BGA, 由翻折得，AE垂直平分DD', :△ADD'是等腰三角形，AE是∠DAD的角平分线， .∴.∠ADD=∠ADD, 在RIAAD'E中，∠ADE=90°，∠D'AE+∠AED'=90°， 在RIAAOD'中，AE⊥DD',.∠D'AE+LADD'=90°， .∠ADD'=∠AED', LADD'=LAD'D=AED'=∠BGA=∠BAG, LADD'=∠BAG,LAD'D=∠BGA, 在△ADD'和△BAG中， I∠ADD'=∠BAG ∠ADD=∠BGA, AD'=AB ∴.△ADD'≌△BAG(AAS). 32.(1)1 (2)AH,HG,GE,BE=2-√2 (3)见解析，√2或2-√2 33.(1)解：PB=P0, 证明：：四边形ABCD为正方形， / 让教与学更高效 ADE=90°， 扇学科网 WWW .∠BCA=∠DCA=45°，∠BCD=90°， 如图，作PE⊥BC于E,PF⊥CD于F, D 则PE=PF,LPEC=LBCO=∠PFC=LPEB=90°， 四边形PECF为矩形， ∠EPF=90°， PQ⊥BP, .∠BPQ=90°=∠EPF, .∠BPQ-∠EPQ=∠EPF-∠EPQ, .∠BPE=∠QPF, .△BPE≌△QPF(ASA), .PB=PO (2)√2-1 6或2 3 3 34.(1)证明：连接EF,如图所示： E D :四边形EGFH B F 图1 .FD∥BE,AF∥EC,即GE∥HD,AG∥EH, 又：GH∥AD, :.GH∥AE,GH∥ED, :四边形AGHE及EGHD都是平行四边形， .AE GH,ED=GH, .AE ED (2)证明：由(1)得，E为AD中点， zxxk com 让教与学更高效 是矩形， 函学科网 www.zxxk.com :四边形ABCD是平行四边形， :AD BC,AD=BC, GH∥AD, .GH∥BC, 同理可得F为BC中点， :AE=BF, :AE∥BF, :四边形ABFE为平行四边形， :四边形EGFH是矩形， ∠EGF=90°，即AF⊥BE, ·四边形ABFE是菱形， AB-AE-AD, .AD =2AB. 35.(1)①2h;2h; 23h 3 ②5-25：2-2,25-2-4526 3 3 3 (2)解：①顶角为90°时，如下图： ②顶角为60°时，如下图： 让教与学更高效