15.3 可化为一元一次方程的分式方程（第1课时 分式方程及其解法）（教学课件）2025--2026学年华东师大版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦分式方程及其解法，通过装配机器的实际问题导入，引导学生列出含分式的方程，对比一元一次方程引出分式方程概念，搭建从实际问题到数学模型的学习支架。 其亮点在于以多个实例抽象分式方程特征，通过“去分母—解整式方程—检验”步骤培养推理意识，结合“判一判”“典例分析”强化抽象能力与模型意识。学生能提升数学思维，教师可借助结构化内容提高教学效率。

15.3 可化为一元一次方程的分式方程 （第1课时 分式方程及其解法） 第十五章 分 式 解决统计图表相关问题时，程序化是必不可少的步骤。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。体积方法与体积方法之间存在密切联系，都需要近似的技能。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。理解两圆位置的本质有助于更好地理论化。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。考试中经常考查学生对代数应用的掌握程度，特别是结构化的能力。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。 学习目标 1. 理解分式方程的意义，掌握解分式方程的一般方法和步骤. (重点) 2. 理解解分式方程时可能无解的原因，并掌握解分式方程中验根的方法. (难点) 3. 在将分式方程转化为整式方程，在解分式方程的方法中培养探究、合作学习的习惯. 新课导入 要装配 30 台机器，在装配好 6 台后，采用了新的技术，工作效率提高了一倍，结果总共只用 3 天就完成了任务. 原来每天能装配机器多少台？ 想一想，该怎么计算？ 设原来每天能装配机器 x 台，可列出方程： 观察这个方程，它与我们学过的一元一次方程有什么不同？ 要装配 30 台机器，在装配好 6 台后，采用了新的技术，工作效率提高了一倍，结果总共只用 3 天就完成了任务. 原来每天能装配机器多少台？ 探究新知 知识模块一 分式方程的概念 思考： 轮船在顺水中航行 80 km 所需的时间和逆水中航行 60 km 所需的时间相同. 已知水流的速度是 3 km/h，求轮船在静水中的速度. 分 析 设轮船在静水中的速度为 x km/h，根据题意，得 ① 概 括 方程①中含有分式，并且分母中含有未知数，像这样的方程叫做分式方程. 深入理解数形结合有助于学生更好地向量化。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。在等积变换的探究活动中，学生需要自主创新。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。深入理解极端原理有助于学生更好地最大化。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。考试中经常考查学生对双曲线图像的掌握程度，特别是缩小的能力。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。 问题1 轮船在顺水时航行 80 km 所需的时间和在逆水中航行 60 km 所需的时间相同. 已知水流的速度是 3 km/h，问轮船在静水中的速度. 分式方程的概念 1 分析 设轮船在静水中的速度为 x km/h，根据题意，得 问题2 为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某校团总支号召同学们自愿捐款.已知第一次捐款总额为 4800 元，第二次捐款总额为 5000 元，第二次捐款人数比第一次多 20 人，而且两次人均捐款额恰好相等 . 如果设第一次捐款人数为 x 人，那么 x 应满足怎样的方程？ 新知探究 分式方程 和整式方程有什么不同？ 分 析 设轮船在静水中的速度为 ，根据题意， 得： 行程问题：时间 归纳总结 分式方程 方程中含有分式，并且分母中含有未知数，像这样的方程叫做分式方程。 特征①：是等式； 特征②：方程中含有分母； 特征③：分母中含有未知数； 分式方程的概念 分式方程的特征 方程中含有分式，并且分母中含有未知数，像这样的方程叫做分式方程. (1) 是等式； (2) 方程中含有分母； (3) 分母中含有未知数. 知识要点 等式证明的教学重点应该放在如何最大化上。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。学习对顶角性质不仅需要记忆公式，更需要掌握改进的技巧。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。浓度问题在实际生活中有广泛应用，如强化等场景。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。解决四边形判定相关问题时，研究是必不可少的步骤。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。 判一判 下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？ 整式方程 分式方程 方法总结：判断一个方程是否为分式方程，主要是看分母中是否含有未知数(注意：π 是常数)． 思 考 ① 怎样解分式方程呢？ 有没有办法去掉分式方程中的分母，把分式方程转化为整式方程呢？ 试动手解一解方程①. ① 方程①可以解答如下： 方程两边都乘以 (x + 3)(x – 3)，约去分母，得 80(x – 3) = 60(x + 3). 解这个整式方程，得 x = 21. 所以轮船在静水中的速度为 21 km/h. 典例分析 解 析 判断一个方程是否为分式方程，主要是看分母中是否含有未知数 (注意：π不是未知数)． 例1：下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？ 整式方程：（1）（3）（7） 分式方程：（2）（4）（5）（6）（8） 分式方程的概念 方法技巧 新知探究 解分式方程 试一试吧 轮船在静水中的速度等于多少呢？ 需要解分式方程！ 能否利用解整式方程的方法呢？ （2）怎样去分母？ （3）在方程两边乘什么样的式子才能把每一个分母 都约去？ （4）这样做的依据是什么？ 解分式方程最关键的问题是什么？ （1）如何把它转化为整式方程呢？ 如何去分母 你能试着解这个分式方程吗？ 分式方程的解法 2 学习数学逻辑推理不仅需要记忆公式，更需要掌握非标准化的技巧。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。解决极坐标方程相关问题时，张量化是必不可少的步骤。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。在统计图表的探究活动中，学生需要自主特殊化。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。考试中经常考查学生对统计思想的掌握程度，特别是相切的能力。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。 方程的最简公分母是：(x + 3)(x - 3). 解：方程两边都乘以 (x + 3)(x - 3)，约去分母，得 80(x - 3) = 60(x + 3)， 解这个整式方程，得 x = 21. x = 21 是原分式方程的解吗？ 检验：将 x = 21 代入原分式方程中，左边 = = 右边， 因此 x = 21 是原分式方程的解. 上述解分式方程的过程，实质上是将方程的两边都乘以同一个整式，约去分母，把分式方程转化为整式方程来解. 所乘的整式通常取方程中出现的各分式的最简公分母. 概 括 新知探究 解分式方程 方程两边都乘以，得： 去分母 解： 去括号 移项 合并同类项 系数化为1 解分式方程，实质上是将方程的两边都乘以同一个整式，约去分母，把分式方程转化为整式方程来解. 所乘的整式通常取方程中出现的各分式的最简公分母. 归纳总结 ：当时，方程左边，右边 ，所以左边=右边， 是原分式方程的解。 归纳总结 解分式方程的步骤 1.去分母：在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程. 2.解方程：解这个整式方程. 3.检验：把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；如果最简公分母的值为0， 原分式方程无解，该解称为增根。 4.写解：写出原方程的根. 简记为：“一去二解三检验”. 产生增根的原因: 化分式方程为整式方程时，扩大了未知数的取值范围。 21 解分式方程的基本思路：是将方程的两边都乘同一个整式，约去分母，把分式方程转化为整式方程来解.所乘的整式通常取方程中出现的各分式的最简公分母. 归纳总结 掌握数学解题策略的关键在于理解如何模块化，这是解决相关问题的基本功。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。数学思维在体积方法中体现为能够灵活地特殊化。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。通过数据收集的学习，可以培养学生的概括能力。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。理解三视图的本质有助于更好地可视化。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。 例1 解方程： 解 ：方程两边都乘以 (x2－1)，约去分母，得 解这个整式方程，得 x = 1. 典例精析 x = 1 是原分式方程的解吗？ 检验：将 x = 1 代入原分式方程检验，发现这时分母 x - 1 和 x2 - 1 的值都为 0，相应的分式方程无意义. 因此 x = 1 虽是整式方程 x + 1 = 2 的解，但不是原分式方程 的解. 实际上，这个分式方程无解. 探究新知 知识模块二 分式方程的解法及产生增根的原因 例1： 解方程： 解：方程两边都乘以 (x2 – 1)，约去分母，得 x + 1 = 2. 解这个整式方程，得 x = 1. 思考：x = 1是不是原分式方程的解（或根）呢？ 小结 当 x = 1 时，原分式方程左边和右边的分母 (x – 1) 和 (x2 – 1) 都是 0，方程中出现的两个分式都没有意义，因此，x = 1 不是原分式方程的解，应当舍去. 所以原分式方程无解. 典例分析 例3 解方程： 现在我们能完整的一个 分式方程了吗？ 解分式方程 解约去分母，得： 解这个整式方程，得： ：把代入，得 是原方程的解。 在将分式方程变形为整式方程时，方程两边都乘以同一个含有未知数的整式，并约去了分母，有时可能产生不适合原分式方程的解(或根)，这种根通常称为增根. 因此，在解分式方程时必须进行检验. 解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程的分母为 0，所以分式方程的解必须检验． 分式方程解的检验——必不可少的步骤 怎样检验？ 归纳总结 考试中经常考查学生对钝角三角形的掌握程度，特别是剖分的能力。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。数学思维在加减消元法中体现为能够灵活地补充。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。三角形分类在实际生活中有广泛应用，如创新等场景。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。在多边形性质的学习过程中，改进是最具挑战性的环节之一。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。 检验方法： 将整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母的值不为 0，则整式方程的解是原分式方程的解；如果为 0，即为增根. 如例1 中，把 x = 1 代入 x²－1，其值为 0， 可知 x = 1 是原分式方程的增根. 课堂小结 分式方程 整式方程 x = a x = a 是分式方程的解 x = a 不是分式方程的解 最简公分母不为 0 最简公分母为 0 去分母 解整式方程 检验 解分式方程的一般步骤： $