第五章 复数（高效培优单元测试·提升卷）高一数学北师大版必修第二册

**基本信息** 高中数学复数单元提升卷，120分钟150分，覆盖复数概念、运算、几何意义及方程应用，适配单元复习，注重数学眼光（抽象能力）、思维（推理能力）与语言（模型观念）的综合考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题（单选）|8/40|实部虚部、共轭复数、方程实根|基础概念辨析，如第1-4题考查定义理解| |选择题（多选）|3/18|复数模、几何意义、命题判断|分层设题，第8题对比向量与复数命题培养逻辑思维| |填空题|3/15|复数方程、模的最值、欧拉公式|文化情境融入，第14题以欧拉公式体现数学史价值| |解答题|5/77|证明、求值、综合应用|递进设计，17题三问从化简到方程根，19题结合向量求最值，提升数学语言表达能力|

第五章 复数单元测试卷·提升卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数，则的实部为（    ） A．2 B． C．5 D． 2．已知为虚数单位若复数，则的虚部是（    ） A．1 B． C． D． 3．若复数z满足，则（   ） A． B． C． D． 4．设复数满足，则的共轭复数（   ） A． B． C． D． 5．已知方程有实根，且，则复数的共轭复数等于（　　） A． B． C． D． 6．已知，是方程的两个复根，则（    ） A．2 B．4 C． D． 7．已知函数（是虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 8．已知命题甲：“非零向量，，，若，则”；命题乙：“非零复数，，，若，则”，则（   ） A．命题甲和命题乙都为真命题 B．命题甲为真命题，命题乙为假命题 C．命题甲为假命题，命题乙为真命题 D．命题甲和命题乙都为假命题 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数，则（    ） A． B． C． D． 10．已知复数（其中是虚数单位），则下列各选项正确的是（    ） A． B．的共轭复数在复平面上对应点在三象限 C．的虚部是 D．是方程的复数根 11．若复数满足，则（    ） A．可能为实数 B．可能为纯虚数 C．当的实部取得最大值时，为实数 D．当的虚部取得最大值时，不为纯虚数 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若复数满足，则________． 13．设复数，，，其中，当取得最小值时，______. 14．欧拉是科学史上最多才的一位杰出的数学家，他发明的公式为，是虚数单位.将指数函数的定义域扩大到复数集，则在复平面内，复数对应的点在第__________象限. 4、 解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知复数，． (1)求证：； (2)若，且，求． 16．已知复数. (1)实数m为何值时，复数z为纯虚数； (2)若，请计算. 17．已知复数， (1)求证：； (2)化简：； (3)若是方程的一个根，求的值． 18．已知复数，复数在复平面内对应的向量为． (1)若为纯虚数，求的值； (2)若在复平面内对应的点在第四象限，求的取值范围． 19．(25-26高一·浙江宁波鄞州中学·期中)复数其中，复数满足，其中为虚数单位． (1)若为虚数，求的取值范围； (2)求与； (3)求的最小值． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 复数单元测试卷·提升卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数，则的实部为（    ） A．2 B． C．5 D． 【答案】D 【详解】,的实部为.故选：D. 2．已知为虚数单位若复数，则的虚部是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【详解】，所以虚部为，故选：B. 3．若复数z满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，，所以.故选：B 4．设复数满足，则的共轭复数（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，即．故选：A. 5．已知方程有实根，且，则复数的共轭复数等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知，，，即，则，得，所以，.故选：B 6．已知，是方程的两个复根，则（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】B 【详解】已知，是方程的两个复根，所以，则设，，所以，故选：B. 7．已知函数（是虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题知，，所以. 8．已知命题甲：“非零向量，，，若，则”；命题乙：“非零复数，，，若，则”，则（   ） A．命题甲和命题乙都为真命题 B．命题甲为真命题，命题乙为假命题 C．命题甲为假命题，命题乙为真命题 D．命题甲和命题乙都为假命题 【答案】C 【详解】对于命题甲，若，设，夹角为，设，夹角为，故得，所以，无法确定，也无法确定和的方向，故无法得到，故命题甲是假命题，对于命题乙，因为非零复数，，， ，所以，故命题乙是真命题，故C正确.故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：ABD. 10．已知复数（其中是虚数单位），则下列各选项正确的是（    ） A． B．的共轭复数在复平面上对应点在三象限 C．的虚部是 D．是方程的复数根 【答案】AB 【详解】A：，正确； B：对应点为，在第三象限，正确； C：的虚部是4，错误； D：将代入得，错误. 故选：AB 11．若复数满足，则（    ） A．可能为实数 B．可能为纯虚数 C．当的实部取得最大值时，为实数 D．当的虚部取得最大值时，不为纯虚数 【答案】ABD 【详解】对于A，设，由题设得. 于是. 当时，， 显然方程有实数解，则可能为实数，故A正确； 对于B，当时，， 显然方程有实数解，且解不为0，则可能为纯虚数，故B正确； 对于C，因为 所以即， 可设，所以. 当且仅当时等号成立，此时，不为实数，故C错误； 对于D，由C项分析，知，当且仅当时等号成立， 此时，不为纯虚数，故D正确． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若复数满足，则________． 【答案】 【详解】，，.故答案为：. 13．设复数，，，其中，当取得最小值时，______. 【答案】12 【详解】复数，，，， ，当且仅当 （复数，，，表示的四个向量同向）时，取得最小值，解得，，.故答案为：12. 14．欧拉是科学史上最多才的一位杰出的数学家，他发明的公式为，是虚数单位.将指数函数的定义域扩大到复数集，则在复平面内，复数对应的点在第__________象限. 【答案】四/4 【详解】因为，则，，所以 .复数对应的点为，在第四象限. 故答案为：四 4、 解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知复数，． (1)求证：； (2)若，且，求． 【详解】（1）设，，a，b，c，， ． （2）因为，所以， 由（1）得，所以，故． 16．已知复数. (1)实数m为何值时，复数z为纯虚数； (2)若，请计算. 【详解】（1）欲使z为纯虚数， 则，解得； （2）当时，， 所以， 所以. 17．已知复数， (1)求证：； (2)化简：； (3)若是方程的一个根，求的值． 【详解】（1）由，得， 所以. （2）由（1）知，，则， 所以 . （3）依题意，，即， 即，而，则，解得， 所以. 18．已知复数，复数在复平面内对应的向量为． (1)若为纯虚数，求的值； (2)若在复平面内对应的点在第四象限，求的取值范围． 【详解】（1）因为复数在复平面内对应的向量为，则， 又，则， 由题有，解得，所以的值为. （2）因为， 由题有，解得，所以的取值范围为. 19．(25-26高一·浙江宁波鄞州中学·期中)复数其中，复数满足，其中为虚数单位． (1)若为虚数，求的取值范围； (2)求与； (3)求的最小值． 【详解】（1）因为复数为虚数，所以，所以. （2）因为复数满足，所以， 化简得，所以. 所以. （3）因为复数，，所以. 所以， 根据二次函数的性质可得，所以， 所以的最小值为. 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $