第十章 复数（单元自测·基础卷）数学人教B版必修第四册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年人教B版必修第四册数学单元自测 第十章 复数·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．若复数，，则，在复平面内对应的两点之间的距离为（   ） A． B．2 C． D．5 2．已知复数满足，则（    ） A． B． C．2 D． 3．已知复数，则（    ） A． B． C． D． 4．已知复数，若，则（   ） A． B． C．4 D． 5．若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 6．已知复数（为实数），且，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．欧拉公式（是自然对数的底数，是虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉提出的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系.根据此公式，化简的结果为（    ） A． B． C． D． 8．已知复数，其中是虚数单位，，则（    ） A．2 B． C．1 D． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9．若复数在复平面内对应的点位于第四象限，则的值可能是（    ） A． B． C．3 D．4 10．下列结论正确的是（    ） A．若复数z满足，则 B．若复数，在复平面内分别对应向量，，则对应的复数为 C．在复平面内，若复数z对应的点为，则复数对应的点在第一象限 D．若复数z满足，则复数z在复平面内对应的点所构成的图形的面积为 11．已知i为虚数单位，下列命题中正确的是（    ） A．是纯虚数 B．若复数，则， C．若，则 D．若，则的最大值为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．若是关于的方程（，均为实数）的一个复数根，则______. 13．表示虚数单位，则__________. 14．若复数满足，则的取值范围是______________． 三、解答题（共5小题，共77分） 15．（13分）已知复数，. (1)若，求，的值； (2)若是纯虚数，且，求； (3)若，且在复平面内对应的点位于第一象限，求的取值范围. 16．（15分）已知复数. (1)若复数在复平面上对应点落在第四象限，求实数m的范围； (2)为的共轭复数，，且是关于x的方程的一个根，求a，b的值，并求出该一元二次方程的另一复数根. 17．（15分）瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中有非常重要的地位，被推举为“数学中的天桥”． (1)若复数，求：； (2)在复平面内，复数对应的向量分别是，其中O是原点，设与所成的角为，求． 18．（17分）在复平面内，复数（为虚数单位) 对应的点为． (1)若为实数，求实数 的值； (2)若 ，复数 满足，且，在复平面内对应的点为 ，求． 19．（17分）形如的数称为复数的代数形式，而任何一个复数都可以表示成的形式，即其中为复数的模，叫做复数的辐角，我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记作．复数叫做复数的三角形式．由复数的三角形式可得出，若，则．其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍． (1)试将写成三角形式（辐角取主值）； (2)复平面内，将对应的向量绕原点顺时针方向旋转，模长变为原来的2倍后，所得向量对应的复数为，求； (3)类比高中函数的定义，引入虚数单位，自变量为复数的函数称之为复变函数．已知复变函数．若存在实部不为0，且虚部大于0的复数和实数，使得成立，复数在复平面上对应的点为为坐标原点，点，以为边作正方形，其中在上方，求线段的最大值． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年人教B版必修第四册数学单元自测 第十章复数·基础通关（参考答案） 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 2 5 7 0 D 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9.AB 10.BCD 11.ABD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.3. 13.i 14.[5-2V5+2] 四、解答题（共5小题，共77分） 15.【详解】(1)(3分)因为z1=a+2i,Z2=1+b1, 所以z1+z2=a+1+(b+2)i, ∫a+1=3 则b+2=5,解得a=2,b=3 (2)(5分)因为21=a+2i,z2=1+b1, 所以z1z2=(a+2i)(1+bi)=a-2b+(ab+2)i, 因为2122是纯虚数，所以a-2b=0且ab+2≠0， 则a=2b 因为z1=2W5,所以a2+4=20,所以a2=16, 则z2=V62+1=Va2+1=5 (3)(5分)由a=3,得21=3+21， 则z1z2=(3+2i)(1+bi)=3-2b+(3b+2)i, 因为2122在复平面内对应的点位于第一象限， (3-2b>0 所以3b+2>0 解得-号<b<,即b的取值范围为(-寻，) 1/4 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 16.【详解】(1)(5分)复数z=m+2+(m-2)i(mER),即复数z在复平面上对应点坐标为 (m+2,m-2), ∫m+2>0 对应点落在第四象限，即m-2<0，解得-2<m<2 (2)(10分)2为z的共轭复数，所以z=m+2-(m-2)i, z+2=6,即2m十4=6，解得m=1,即z=3-i, z-3i=3-i-3i=3-4i是关于x的方程x2+ax十b=0的一个根， 代入可得(3-4i)2+a(3-4i)+b=0,化简可得(-7+3a+b)-(4a+24)i=0, -7+3a+b=0 即 4a+24=0，解得a=-6,b=25,所以原方程为x2-6x+25=0, 利用求根公式可得x=-a=3士41， 所以该一元二次方程的另一复数根为3+41. 17.【详解】(1)(7分)依题意，京=c=寺=-i, 2024 2.1012 =1012=4253=1, 高-学-器=-机我=本+信高=-+1-+=- 2024 2x-i) 所=+(-号 28分)云1=c=cs+n资=号+9，则01-（停号）oi-(-13】 于i丽=-号+9-5,6A-+9=1园=+=. 所以cos6= 器品 18.【详解1015分》=学-离=告产-型-学+学， 1-(2) 5 又因为乙1为实数，所以2=0，解得m=-专： 5 (2)(12分)设22=x+yi,所以z2在复平面内对应的点为Z2(x,y), 1在复平面内对应的点为乙（号，管） 由222=（号+2）(x+yi)=(x-2y)+(y+2*x)i=2i, 又|22l=Vx2+y2=2,所以x2+y2=4, 2/4 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 号x-y=0 2X2+1) 2+1 所以号y+x=2 (y=- m-2, m2+1 又x+y2=4,所以[2]+器]=4，即器=4， 解得m2=4,又m>0,所以m=2, x=2 所以y=0,即Z2(2,0), 又21=i,所以Z1(0,1), 所以Z1乙2=(2，-1)， 所以ZZ引=22+(-1)2=5 19.【详解】1)(4分)由于z=3+51,故2=25，所以2=2N5(号+)， 所以cos0=县，sin日=支，因为0≤日<2T,所以日=吾， 所以z=2W3(cos答+isin若) (2)(5分)z1=z·(cos(-哥)+isin(-号))×2 -2W3(cos毫+isim吾)·(cos(-号)+isin(-等))×2 =43 cos()+isin () z1(cos品+isin品)(cos器+isin)(cos警+isin晋) =a1:(cosπ+isinπ=4y3(cos(-晋)+isin(-晋))(cosπ+isinπ) =45(县-)×(-=-6+251 (3)(8分)设x=a+bi(a,b∈Ra≠0，b>0), 则f内=2+京=(a+b+o而=(a2-b)+2abi+ =(2-b)+2abi+2两=(a2-b)）+2abi+ (a2-b-2☒bi (a2-b2+48b2 =(a2-b)+2abi+2=(a2-b+2abi (4b92 =(2-b)++[2ab-0]月 因为存在实数M,使得fx)≥M成立，所以fx)为实数， 所以2ab-6备=0， 3/4 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 因为a≠0，b>0,所以a2+b2=1, 当a2+b2=1时，fx)=2(a2-b2)=2(2a2-1)>-2(a≠0)，符合题意，点A的轨迹为单位圆的 一部分 设Acos6,sin,6E(0,号)U(,π)，PA=(cos6-3,sin日所表示的复数为z1, 则z1=(cos6-3)+isin8 记pM所表示的复数为2，则22=乙：[cos(-等)+isin(-晋)]小V反， 2=[（cos0-3+isin0(停-号5-(cos0+sin日-3+sim6-cos8+3 M(cos0+sine,sine-cose+3). loM-V(cos0+sin0)+(sin@-cos0+3)=v11+6(sim0-cos0)=V11+6V2sin (- 当stn(日-)=1，日=π时，0Mx=V11+65 4/4 2025-2026学年人教B版必修第四册数学单元自测 第十章 复数·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．若复数，，则，在复平面内对应的两点之间的距离为（   ） A． B．2 C． D．5 【答案】C 【详解】由已知，在复平面内对应的点分别为，， 所以 所以． 2．已知复数满足，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【详解】因为， 所以 ， 由共轭复数的性质得，可得， 由模长公式得. 3．已知复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 所以， 所以， 所以. 4．已知复数，若，则（   ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【详解】因为，，，所以. ， 所以. 5．若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设 ，则， 代入得到， ， 即， 所以，即 ， 所以， 则. 6．已知复数（为实数），且，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【详解】由，则，得， 复数化简得， 由可得，， 则复数对应的点在第三象限. 7．欧拉公式（是自然对数的底数，是虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉提出的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系.根据此公式，化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意， 8．已知复数，其中是虚数单位，，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【详解】因为复数 ， 所以. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9．若复数在复平面内对应的点位于第四象限，则的值可能是（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】AB 【详解】由题可得，解得，故AB符合题意． 10．下列结论正确的是（    ） A．若复数z满足，则 B．若复数，在复平面内分别对应向量，，则对应的复数为 C．在复平面内，若复数z对应的点为，则复数对应的点在第一象限 D．若复数z满足，则复数z在复平面内对应的点所构成的图形的面积为 【答案】BCD 【详解】对于选项A：例如也满足，故A错误； 对于选项B：因为，，所以， 所以向量对应的复数为，故B正确； 对于选项C：复数对应的点为，则复数对应的点为，该点在第一象限，故C正确； 对于选项D：复数对应的点构成的图形为圆环，它的面积为，故D正确． 11．已知i为虚数单位，下列命题中正确的是（    ） A．是纯虚数 B．若复数，则， C．若，则 D．若，则的最大值为 【答案】ABD 【详解】对于A，因为，故，所以，符合纯虚数(实部为，虚部不为的复数)的定义，所以是纯虚数，故A正确； 对于B，因为复数能比大小的充要条件是两数均为实数，若复数，所以，必为实数，故B正确； 对于C，当，时，，但，，与矛盾，故C错误； 对于D，，表示复平面上以点为圆心，半径为的圆，表示圆上的点到原点的距离，如图所示，最大值为，故D正确. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．若是关于的方程（，均为实数）的一个复数根，则______. 【答案】3 【详解】由题意得关于的方程的两个复数根为和， 由韦达定理得，，得，故. 13．表示虚数单位，则__________. 【答案】 【详解】因为且 所以. 14．若复数满足，则的取值范围是______________． 【答案】 【详解】设，由，可得， 所以，所以复数在复平面内对应的点为以为圆心，2为半径的圆上的点， 又， 所以的取值范围是. 三、解答题（共5小题，共77分） 15．（13分）已知复数，. (1)若，求，的值； (2)若是纯虚数，且，求； (3)若，且在复平面内对应的点位于第一象限，求的取值范围. 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）因为，， 所以， 则，解得，. （2）因为，， 所以， 因为是纯虚数，所以且， 则， 因为，所以，所以， 则. （3）由，得， 则， 因为在复平面内对应的点位于第一象限， 所以， 解得，即的取值范围为. 16．（15分）已知复数. (1)若复数在复平面上对应点落在第四象限，求实数m的范围； (2)为的共轭复数，，且是关于x的方程的一个根，求a，b的值，并求出该一元二次方程的另一复数根. 【答案】(1) (2)，， 【详解】（1）复数，即复数在复平面上对应点坐标为， 对应点落在第四象限，即，解得. （2）为的共轭复数，所以， ，即，解得，即， 是关于的方程的一个根， 代入可得，化简可得， 即，解得，，所以原方程为， 利用求根公式可得， 所以该一元二次方程的另一复数根为. 17．（15分）瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中有非常重要的地位，被推举为“数学中的天桥”． (1)若复数，求：； (2)在复平面内，复数对应的向量分别是，其中O是原点，设与所成的角为，求． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）依题意，，， ，因此， 所以． （2），则， 于是，， 所以. 18．（17分）在复平面内，复数（为虚数单位) 对应的点为． (1)若为实数，求实数 的值； (2)若 ，复数 满足，且，在复平面内对应的点为 ，求． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由， 又因为为实数，所以，解得； （2）设，所以 在复平面内对应的点为， 在复平面内对应的点为 由， 又，所以， 所以， 又，所以，即， 解得，又，所以， 所以，即， 又，所以， 所以， 所以. 19．（17分）形如的数称为复数的代数形式，而任何一个复数都可以表示成的形式，即其中为复数的模，叫做复数的辐角，我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记作．复数叫做复数的三角形式．由复数的三角形式可得出，若，则．其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍． (1)试将写成三角形式（辐角取主值）； (2)复平面内，将对应的向量绕原点顺时针方向旋转，模长变为原来的2倍后，所得向量对应的复数为，求； (3)类比高中函数的定义，引入虚数单位，自变量为复数的函数称之为复变函数．已知复变函数．若存在实部不为0，且虚部大于0的复数和实数，使得成立，复数在复平面上对应的点为为坐标原点，点，以为边作正方形，其中在上方，求线段的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由于，故，所以， 所以，因为，所以， 所以. （2） . . （3）设， 则 . 因为存在实数，使得成立，所以为实数， 所以， 因为，所以， 当时，，符合题意，点A的轨迹为单位圆的一部分． 设所表示的复数为， 则 记所表示的复数为，则， 故， 当时，. 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年人教B版必修第四册数学单元自测 第十章 复数·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．若复数，，则，在复平面内对应的两点之间的距离为（   ） A． B．2 C． D．5 2．已知复数满足，则（    ） A． B． C．2 D． 3．已知复数，则（    ） A． B． C． D． 4．已知复数，若，则（   ） A． B． C．4 D． 5．若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 6．已知复数（为实数），且，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．欧拉公式（是自然对数的底数，是虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉提出的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系.根据此公式，化简的结果为（    ） A． B． C． D． 8．已知复数，其中是虚数单位，，则（    ） A．2 B． C．1 D． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9．若复数在复平面内对应的点位于第四象限，则的值可能是（    ） A． B． C．3 D．4 10．下列结论正确的是（    ） A．若复数z满足，则 B．若复数，在复平面内分别对应向量，，则对应的复数为 C．在复平面内，若复数z对应的点为，则复数对应的点在第一象限 D．若复数z满足，则复数z在复平面内对应的点所构成的图形的面积为 11．已知i为虚数单位，下列命题中正确的是（    ） A．是纯虚数 B．若复数，则， C．若，则 D．若，则的最大值为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．若是关于的方程（，均为实数）的一个复数根，则______. 13．表示虚数单位，则__________. 14．若复数满足，则的取值范围是______________． 三、解答题（共5小题，共77分） 15．（13分）已知复数，. (1)若，求，的值； (2)若是纯虚数，且，求； (3)若，且在复平面内对应的点位于第一象限，求的取值范围. 16．（15分）已知复数. (1)若复数在复平面上对应点落在第四象限，求实数m的范围； (2)为的共轭复数，，且是关于x的方程的一个根，求a，b的值，并求出该一元二次方程的另一复数根. 17．（15分）瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中有非常重要的地位，被推举为“数学中的天桥”． (1)若复数，求：； (2)在复平面内，复数对应的向量分别是，其中O是原点，设与所成的角为，求． 18．（17分）在复平面内，复数（为虚数单位) 对应的点为． (1)若为实数，求实数 的值； (2)若 ，复数 满足，且，在复平面内对应的点为 ，求． 19．（17分）形如的数称为复数的代数形式，而任何一个复数都可以表示成的形式，即其中为复数的模，叫做复数的辐角，我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记作．复数叫做复数的三角形式．由复数的三角形式可得出，若，则．其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍． (1)试将写成三角形式（辐角取主值）； (2)复平面内，将对应的向量绕原点顺时针方向旋转，模长变为原来的2倍后，所得向量对应的复数为，求； (3)类比高中函数的定义，引入虚数单位，自变量为复数的函数称之为复变函数．已知复变函数．若存在实部不为0，且虚部大于0的复数和实数，使得成立，复数在复平面上对应的点为为坐标原点，点，以为边作正方形，其中在上方，求线段的最大值． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $