第六章 立体几何初步（高效培优单元测试·提升卷）高一数学北师大版必修第二册

**基本信息** 本卷为高中数学立体几何初步单元提升卷，通过19题150分全面覆盖空间线面关系、表面积体积等核心知识，梯度设计合理，适配单元复习，注重空间观念与推理能力培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|线面平行判定、斜二测画法、圆锥体积等|第8题以古代粮仓为情境，体现文化传承；第7题正方体综合问题，考查空间想象| |填空题|3题15分|异面直线成角、球的表面积、球内接正方体|14题结合阿基米德墓碑，渗透数学史，培养应用意识| |解答题|5题77分|空间四边形证明、球体积计算、线面垂直证明等|18题结合圆的直径与线面垂直，19题正方体存在性问题，强化逻辑推理与综合应用|

第六章 立体几何初步单元测试卷·提升卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列说法正确的是（    ） A．若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α B．若直线a在平面α外，则a∥α C．若直线a∥b，b⊂α，则a∥α D．若直线，b⊂α且a∥b，则a∥α 2．已知平面，直线，，如果，且，那么与的位置关系是（   ） A．相交 B．或 C． D． 3．一个平面图形用斜二测画法画出的直观图如图所示，△O′A′B′是等腰直角三角形且，其中斜边，则这个平面图形的面积是（   ） A． B． C． D． 4．若正三棱锥的所有棱长均为，则该三棱锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 5．已知在三棱锥中，，，两两垂直，且，点为中点，则直线与所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 6．如图，圆锥的母线长为2，一只小虫从圆锥的底面圆上的点出发，绕圆锥面爬行一周后回到点处，若该小虫爬行的最短路程为，则这个圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 7．已知正方体的棱长为1，是空间中任意一点，则下列说法中错误的是（    ） A．该正方体外接球的体积为 B．若是棱中点，则异面直线AM与夹角的余弦值为 C．若点在线段上运动，则始终有 D．若点在线段上运动，则三棱锥体积为定值 8．古代的粮仓不仅是储存粮食的设施，还承载了丰富的历史和文化价值，如唐朝的“含嘉仓”等，这些粮仓不仅是国家强盛的见证，也是中国传统文化和农业社会的重要体现.如图所示的粮仓可以看成圆柱体与圆锥体的组合体，设圆锥部分的高为米，圆柱部分的高为2米，底面圆的半径为1米，则该组合体体积为（   ） A．立方米 B．立方米 C．立方米 D．立方米 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设直线、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，下列命题中一定正确的是（    ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，、不平行，则与不垂直 10．已知是以B为直角的三角形，，，将绕边旋转一周，所得几何体的体积可能为（    ） A． B． C． D． 11．如图，在边长为2的正方形中，是的中点，将沿翻折到，连接PB，PC，F是线段PB的中点，在翻折到的过程中，下列说法正确的是（    ）    A．存在某个位置，使得 B．的长度为定值 C．四棱锥的体积的最大值为 D．直线与平面所成角的正切值的最大值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在正方体中，，分别为棱，的中点，则直线与直线所成角的余弦值为______． 13．已知三棱锥的四个顶点均在球O上，平面为等腰直角三角形，A为直角顶点．若，且，则球O的表面积为_______． 14．如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，且圆柱的体积与内切球的体积之比及圆柱的表面积与内切球的表面积之比均为．若圆柱的体积为，则该球的内接正方体的体积为__________． 4、 解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．在空间四边形ABCD中，H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别边AB，BC上的点，且． 求证：(1)四边形EFGH为梯形； (2)直线EH，BD，FG相交于一点． 16．地球和火星都可近似看作球体，地球半径约为6370km，火星的直径约为地球的直径的一半. (1)求地球的表面积和体积； (2)火星的体积约为地球体积的几分之几？ 17．如图，正方形ABCD和平面四边形ACEF所在的平面互相垂直，平面，⊥，，.   (1)求证：平面. (2)求证：平面平面. 18．如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足. (1)若，Q为PB的中点，求三棱锥的体积； (2)求证：AN⊥平面PBM； (3)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB． 19．如图，在正方体中，点分别为棱的中点，点M是棱上的一点，且. (1)求证：； (2)求证：平面； (3)棱上是否存在一点N使平面平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 立体几何初步单元测试卷·提升卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列说法正确的是（    ） A．若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α B．若直线a在平面α外，则a∥α C．若直线a∥b，b⊂α，则a∥α D．若直线，b⊂α且a∥b，则a∥α 【答案】D 【详解】选项A中缺少l在平面α外这一条件；直线在平面α外包括直线与平面相交和与平面平行两种情况，故选项B错；选项C中缺少a不在平面α内这一条件；选项D满足线面平行的三个条件． 2．已知平面，直线，，如果，且，那么与的位置关系是（   ） A．相交 B．或 C． D． 【答案】B 【详解】如果，且，那么或.故选：B 3．一个平面图形用斜二测画法画出的直观图如图所示，△O′A′B′是等腰直角三角形且，其中斜边，则这个平面图形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由图可知：，则，原图形如下图： 所以，则面积为故选：B 4．若正三棱锥的所有棱长均为，则该三棱锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】正三棱锥的所有棱长均为，则正三棱锥的各个面都是边长为的等边三角形，等边三角形的高为，则该三棱锥的表面积为.   故选：. 5．已知在三棱锥中，，，两两垂直，且，点为中点，则直线与所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图所示：  补形为正方体，直线与所成的角为， 可求，，所以，所以直线与所成的角的余弦值为.故选：C 6．如图，圆锥的母线长为2，一只小虫从圆锥的底面圆上的点出发，绕圆锥面爬行一周后回到点处，若该小虫爬行的最短路程为，则这个圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】沿过点的母线剪开摊平为扇形，如图，由已知，，所以，，设圆锥底面半径为，则，， 所以圆锥的高为，所以圆锥体积为． 7．已知正方体的棱长为1，是空间中任意一点，则下列说法中错误的是（    ） A．该正方体外接球的体积为 B．若是棱中点，则异面直线AM与夹角的余弦值为 C．若点在线段上运动，则始终有 D．若点在线段上运动，则三棱锥体积为定值 【答案】D 【详解】对于A：正方体外接球的直径为体对角线，即，所以，所以，A正确；对于B：如图所示，异面直线和所成角即为，所以，所以B正确；  对于C：如图所示，连接，则，又平面， 而平面，所以，因为，且平面，平面， 所以平面，而平面，所以，C正确；对于D：因为，平面，所以平面，所以直线上的点到平面距离相等，所以，所以D错误，故选：D 8．古代的粮仓不仅是储存粮食的设施，还承载了丰富的历史和文化价值，如唐朝的“含嘉仓”等，这些粮仓不仅是国家强盛的见证，也是中国传统文化和农业社会的重要体现.如图所示的粮仓可以看成圆柱体与圆锥体的组合体，设圆锥部分的高为米，圆柱部分的高为2米，底面圆的半径为1米，则该组合体体积为（   ） A．立方米 B．立方米 C．立方米 D．立方米 【答案】D 【详解】圆柱体积为（立方米），圆锥体积为（立方米），所以，该组合体的体积为（立方米）.故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设直线、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，下列命题中一定正确的是（    ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，、不平行，则与不垂直 【答案】CD 【详解】对于A选项，若，，，则、平行或相交（不一定垂直），A错； 对于B选项，若，，，则、平行或相交，B错； 对于C选项，若，，，则，故，C对； 对于D选项，假设，又因为，则，这与题设矛盾，假设不成立， 故与不垂直，D对. 故选：CD. 10．已知是以B为直角的三角形，，，将绕边旋转一周，所得几何体的体积可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】在直角中，，，则斜边，斜边上的高， 以直线为轴所得圆锥体积； 以直线为轴所得圆锥体积； 以直线为轴所得圆锥体积， 所以几何体的体积可能为.故选：BC 11．如图，在边长为2的正方形中，是的中点，将沿翻折到，连接PB，PC，F是线段PB的中点，在翻折到的过程中，下列说法正确的是（    ）    A．存在某个位置，使得 B．的长度为定值 C．四棱锥的体积的最大值为 D．直线与平面所成角的正切值的最大值为 【答案】BCD 【详解】因为，假设，又，平面，所以平面，又平面，所以．在中，，所以与不可能垂直，故A错误； 取的中点，连接，，如图所示，因为F是线段PB的中点，G是PA的中点， 所以，，又，，所以，， 所以四边形是平行四边形，所以，故B正确；   当平面平面时，四棱锥的体积最大，过作的垂线，垂足为，所以，，，，所以， 因为平面平面，平面平面，，平面， 所以平面，即是四棱锥的高，所以，故C正确； 当平面平面时，直线与平面所成角的正切值取得最大值， 此时，所以，故D正确．   故选：BCD． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在正方体中，，分别为棱，的中点，则直线与直线所成角的余弦值为______． 【答案】/ 【详解】如图所示，设，分别为棱，的中点，连接，，， 由正方体的性质易得，，所以为直线与直线所成的角，设正方体的棱长为，则，，， 故答案为：. 13．已知三棱锥的四个顶点均在球O上，平面为等腰直角三角形，A为直角顶点．若，且，则球O的表面积为_______． 【答案】 【详解】因为平面平面，所以．所以在中，由，可求得．在等腰中，．易知三棱锥是球O内接长方体的一部分（如图），是该长方体的体对角线，故球心O在的中点处．因为，所以球O的半径为，故球O的表面积为．  故答案为： 14．如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，且圆柱的体积与内切球的体积之比及圆柱的表面积与内切球的表面积之比均为．若圆柱的体积为，则该球的内接正方体的体积为__________． 【答案】 【详解】设圆柱的内切球的半径为，因为圆柱的体积为，所以，解得， 设该球的内接正方体的棱长为，则，即，所以该球的内接正方体的体积为．故答案为： 4、 解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．在空间四边形ABCD中，H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别边AB，BC上的点，且． 求证：(1)四边形EFGH为梯形；(2)直线EH，BD，FG相交于一点． 【详解】（1）由题意，作图如下： 连接、，因为空间四边形中，分别是的中点， 所以，且， 又因为，所以，且， 所以，且， 故四边形为梯形. （2）由（1）知四边形为梯形，且是梯形的两腰， 所以相交于一点. 设交点为， 因为平面，所以平面， 同理平面，而平面平面，所以， 故点是直线的公共点，即直线相交于一点. 16．地球和火星都可近似看作球体，地球半径约为6370km，火星的直径约为地球的直径的一半. (1)求地球的表面积和体积； (2)火星的体积约为地球体积的几分之几？ 【详解】（1）由题意可知地球的表面积，体积. （2）依题意，设地球的半径为，则火星的半径为， 则火星的体积与为地球体积之比为， 所以火星的体积约为地球体积的. 17．如图，正方形ABCD和平面四边形ACEF所在的平面互相垂直，平面，⊥，，.   (1)求证：平面. (2)求证：平面平面. 【详解】（1）如图，设正方形的对角线与交于，连.   ，，. ∵平面，平面ABCD平面，平面，∴， ，∴四边形为平行四边形，. 又平面，平面，平面； （2）∵平面平面，平面平面，，平面， 平面， ∵平面，， ∵，∴， 连接， 由（1）易知是边长为1的正方形，故，得平面， ∵平面，， 为等腰三角形，，， ，， 同理，在中，，故， ，平面，平面，平面. ∵平面，∴平面平面 18．如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足. (1)若，Q为PB的中点，求三棱锥的体积； (2)求证：AN⊥平面PBM； (3)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB． 【详解】（1）因为AB为⊙O的直径，所以⊥， 又，故， 又PA垂直于⊙O所在的平面，， 故， 因为Q为PB的中点，所以. （2）∵AB为⊙O的直径，∴AM⊥BM. 又PA⊥平面ABM，BM平面ABM，∴PA⊥BM. 又∵，PA，AM平面PAM，∴BM⊥平面PAM. 又AN平面PAM，∴BM⊥AN. 又AN⊥PM，且，BM，PM平面PBM， ∴AN⊥平面PBM. （3）由(1)知AN⊥平面PBM，PB⊂平面PBM， ∴AN⊥PB. 又∵AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，AN，AQ⊂平面ANQ， ∴PB⊥平面ANQ. 又NQ平面ANQ，∴PB⊥NQ. 19．如图，在正方体中，点分别为棱的中点，点M是棱上的一点，且. (1)求证：； (2)求证：平面； (3)棱上是否存在一点N使平面平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【详解】（1）在正方体中，连接，由点分别为棱的中点， 得，由且，得四边形为平行四边形， 则，所以. （2）连接分别交于点，连接， 在正方体中，且， 则，即，同理， 因此，则，又平面，平面， 所以平面； （3）存在，，理由如下： 由，得，则，又， 于是，又平面，平面， 则平面，延长交于，延长交于，连接，     由为中点，得，因此， 由分别为的中点，得， 则，， 于是，又，即，则四边形为平行四边形，， 又平面，平面，则平面， 又平面，则平面平面， 所以当时，平面平面. 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $