第六章 立体几何初步 单元检测卷-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

**基本信息** 高中数学《立体几何初步》单元卷，通过选择、多选、填空及解答题，覆盖空间几何体、线面关系等核心知识，注重几何直观与逻辑推理，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|正棱柱判断、线面平行条件等概念辨析|基础巩固，强化空间观念| |多选|3/18|几何体类型、正方体截面形状|分层考查，培养批判性思维| |填空|3/15|旋转体母线、空间四边形判定|情境简洁，突出空间想象| |解答|5/77|四点共面证明、线面平行探究|综合应用，发展推理能力|

《立体几何初步》检测卷解析 1、 单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.下列命题不正确的是（ ） A. 正方体一定是正四棱柱 B. 底面是正多边形的棱柱是正棱柱 C. 有相邻两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱 D. 平行六面体的六个面均为平行四边形 答案：B 2.下列条件中能得出直线与平面 平行的是（ ） A. 直线与平面 内所有直线平行 B. 直线与平面 内无数条直线平行 C. 直线与平面 没有公共点 D. 直线与平面 内的一条直线平行 答案：C 解析：A选项本身说法错误；当直线在平面 内时，与 不平行，故B错误；C选项能推出与 平行；当直线在平面 内时，与 不平行，故D错误.故选C. 3.若圆台的上、下底面的面积分别为 和 ，母线长为5，则该圆台的高为（ ） A. 4 B. C. D. 答案：D 解析:如图，不妨设，因为圆台的上、下底面的面积分别为 和 ，母线长为5，所以圆台上、下底面的半径分别为6和7，即，，， 过点C作于点D，则，，则， 所以在中，. 4．若一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为 且腰和上底均为1的等腰梯形，则原平面图形的面积是（ ） A. B. C. D. 答案:C 解析:等腰梯形的面积， 则原平面图形的面积. 故选C. 5．已知水平放置的按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中，，那么是一个 （ ） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 三边中只有两边相等的等腰三角形 D. 三边互不相等的三角形 答案：A 解析：根据斜二测画法可知，在中，，，， ，是等边三角形. 6．如图所示，在四面体中，若直线和相交，则它们的交点一定（ ） A. 在直线上 B. 在直线上 C. 在直线上 D. 以上说法都不正确 答案:A 解析:直线和相交，设交点为， 平面， 平面， 平面，且 平面， 平面 平面， ， 与的交点一定在直线上. 故选A. 7．如图，在三棱锥中，点，分别为棱，的中点，点为，的交点，若点在线段上，且满足平面，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 答案: C 解析:连接（图略），由于平面， 平面，平面 平面， 所以根据直线与平面平行的性质定理可知. 由于点D，分别为棱、的中点，点为、的交点，所以是的重心， 所以.故选C. 8.四棱锥中， 平面，底面是正方形，且，则直线与平面的夹角为（ ） A. B. C. D. 答案: A 解析:如图，连接交于点， 因为 平面，底面是正方形， 所以，.因为，所以 平面，故 平面. 连接，则是直线与平面的夹角. 因为，所以，. 所以，所以.故选A. 二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）． 9.如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（ ） ① ② ③ ④ A. ①不是棱台 B. ②是棱柱 C. ③不是棱锥 D. ④是棱柱 答案: ABD 解析: A项，根据棱台的定义可知，该几何体不是棱台，所以A正确；B项，该几何体前、后两个面平行，其他面是平行四边形，且每相邻两个平行四边形的公共边平行，所以是棱柱，所以B正确；C项，根据棱锥的定义可知，该几何体是棱锥，所以C错误；D项，根据棱柱的定义可知，该几何体是棱柱，所以D正确，故选. 10.在正方体中，为的中点，为棱上的动点（不包括端点），过点，，的平面截正方体所得的截面的形状可能是（ ） A. 四边形 B. 等腰梯形 C. 五边形 D. 六边形 答案: ABC 解析: 不妨设正方体的棱长为1. 当时，截面为四边形； 当时，截面为等腰梯形； 当时，截面为五边形. 11.在如图所示的三棱锥中，，，，两两垂直，则下列结论正确的有（ ） A. 直线与平面的夹角为 B. 二面角的正切值为 C. 点到平面的距离为 D. 作 平面，垂足为，则为的重心 答案: BD 解析: 因为，，两两垂直，，， 平面，所以 平面，故为直线与平面的夹角，又，所以 ，故直线与平面的夹角为 ，故A错误； 取的中点D，连接，， 因为，，，两两垂直，所以，所以，， 故为二面角的平面角， ，故二面角的正切值为，故B正确； 因为，所以， 设点到平面的距离为， 由，即，解得，故C错误； 因为，所以为等边三角形， 因为 平面，所以点为点在平面上的投影， 又，所以点到顶点A，B，C的距离相等，即点到顶点A，B，C的距离相等，故为的重心，故D正确. 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12.在中，，， ，则绕边所在的直线旋转一周所得的几何体是____，母线长______. 答案:圆锥； 5 解析: 所得的几何体是圆锥，母线长为. 13．如图，已知，，，四点不共面，且 ， ，，，，，则四边形是____________. 答案: 平行四边形 解析: 因为 ， 平面，且平面，所以.同理可证，，，所以，，所以四边形是平行四边形. 14.如图，在三棱锥中，， 平面，点，（与，不重合）分别在棱，上，且，则下列正确结论的序号是__. 平面；；. 答案: ①② 解析: 因为，，，，共面，所以， 因为 平面， 平面，所以平面，故①中结论正确； 因为 平面， 平面，所以， 又，且，， 平面，所以 平面，又 平面，所以，故②中结论正确； 若，则平面，或在平面内，但与平面相交于点，故③中结论不正确. 故正确结论的序号是①②. 四、解答题：（本题共5小题，共77分．其中15题13分，16、17题每题15分，18、19每题17分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.在正方体中，，，，分别是棱，，，的中点. （1） 证明：，，，四点共面； （2） 证明：，，三线共点. 解析：（1） 证明连接， 在正方体中， ，分别是棱，的中点， 且， ，分别是棱，的中点， 且， 四边形为平行四边形， 且， 且， 故，，，四点共面. （2） 由（1）知，四边形为梯形， 设， 则，，而 平面， 平面， 平面，且 平面， 又平面 平面， ，，，三线共点. 16．如图，，，，分别是空间四边形各边上的点，且有,. （1） 证明：，，，四点共面； （2） ，满足什么条件时，四边形是平行四边形？ 解析: （1） 证明：，.又，，，，，，四点共面. （2） 当时，四边形是平行四边形.理由：由四边形为平行四边形，结合（1）可知，只需满足即可.，.同理，，由得.故当时，四边形是平行四边形. 17.如图所示，在四棱锥中，平面，，是的中点. （1） 求证：； （2） 若是线段上一动点，则线段上是否存在点，使得平面？说明理由. 解析: （1） 证明：在四棱锥中，平面， 平面，平面 平面，. （2） 线段上存在点，使得平面，理由如下：取的中点，连接，，，如图，，分别为，的中点，， 平面， 平面，平面，取的中点，连接，，，分别为，的中点，，且，又为中点，，，，，， 四边形为平行四边形，，又 平面， 平面，平面，又，， 平面， 平面平面，是上的动点， 平面，平面， 线段上存在点，使得平面. 18.如图，四棱锥的底面是菱形，，，且是的中点，为与的交点. （1） 证明：平面； （2） 证明：平面 平面. 解析： （1） 证明 底面是菱形， 是的中点， 是的中点，， 又 平面， 平面， 平面. （2） ，，且，、 平面， 平面， 平面，， 四边形是菱形，， 又，、 平面， 平面， 又 平面， 平面 平面. 19.如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱，，求证： （1） 平面； （2） 平面 平面； （3） 二面角的大小为 . 解析： （1） 证明 ，，， ，. 同理可得. 又，， 平面， 平面. （2） 由（1）知 平面， 平面，. 四边形是正方形，， 又，， 平面， 平面， 又 平面， 平面 平面. （3） 由（1）知 平面， 平面，. ，， 平面，， 平面. 平面，， 则为二面角的平面角. 在中，， ，即二面角的大小为 . 学科网（北京）股份有限公司 $ 《立体几何初步》检测卷解析 1、 单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.下列命题不正确的是（ ） A. 正方体一定是正四棱柱 B. 底面是正多边形的棱柱是正棱柱 C. 有相邻两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱 D. 平行六面体的六个面均为平行四边形 2.下列条件中能得出直线与平面 平行的是（ ） A. 直线与平面 内所有直线平行 B. 直线与平面 内无数条直线平行 C. 直线与平面 没有公共点 D. 直线与平面 内的一条直线平行 3.若圆台的上、下底面的面积分别为 和 ，母线长为5，则该圆台的高为（ ） A. 4 B. C. D. 4．若一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为 且腰和上底均为1的等腰梯形，则原平面图形的面积是（ ） A. B. C. D. 5．已知水平放置的按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中，，那么是一个 （ ） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 三边中只有两边相等的等腰三角形 D. 三边互不相等的三角形 6．如图所示，在四面体中，若直线和相交，则它们的交点一定（ ） A. 在直线上 B. 在直线上 C. 在直线上 D. 以上说法都不正确 7．如图，在三棱锥中，点，分别为棱，的中点，点为，的交点，若点在线段上，且满足平面，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 8.四棱锥中， 平面，底面是正方形，且，则直线与平面的夹角为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）． 9.如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（ ） ① ② ③ ④ A. ①不是棱台 B. ②是棱柱 C. ③不是棱锥 D. ④是棱柱 10.在正方体中，为的中点，为棱上的动点（不包括端点），过点，，的平面截正方体所得的截面的形状可能是（ ） A. 四边形 B. 等腰梯形 C. 五边形 D. 六边形 11.在如图所示的三棱锥中，，，，两两垂直，则下列结论正确的有（ ） A. 直线与平面的夹角为 B. 二面角的正切值为 C. 点到平面的距离为 D. 作 平面，垂足为，则为的重心 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12.在中，，， ，则绕边所在的直线旋转一周所得的几何体是____，母线长______. 13．如图，已知，，，四点不共面，且 ， ，，，，，则四边形是____________. 14.如图，在三棱锥中，， 平面，点，（与，不重合）分别在棱，上，且，则下列正确结论的序号是__. 平面；；. 四、解答题：（本题共5小题，共77分．其中15题13分，16、17题每题15分，18、19每题17分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.在正方体中，，，，分别是棱，，，的中点. （1） 证明：，，，四点共面； （2） 证明：，，三线共点. 16．如图，，，，分别是空间四边形各边上的点，且有,. （1） 证明：，，，四点共面； （2） ，满足什么条件时，四边形是平行四边形？ 17.如图所示，在四棱锥中，平面，，是的中点. （1） 求证：； （2） 若是线段上一动点，则线段上是否存在点，使得平面？说明理由. 18.如图，四棱锥的底面是菱形，，，且是的中点，为与的交点. （1） 证明：平面； （2） 证明：平面 平面. 19.如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱，，求证： （1） 平面； （2） 平面 平面； （3） 二面角的大小为 . 学科网（北京）股份有限公司 $