第十章 《二元一次方程组》单元检测卷 2025-2026学年人教版数学 七年级下册

**基本信息** 聚焦二元一次方程组单元核心，以清代算书问题、机器人分拣等真实情境为载体，梯度设计基础巩固与创新应用，培养抽象能力、运算能力及模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|二元一次方程（组）概念、解的应用|第5题结合文化传承，考查方程建模| |填空题|6/18|同类项、参数问题、几何图形应用|第15题通过长方形内小长方形，考查几何直观| |解答题|8/72|方程组解法、换元法、实际应用、坐标几何|第20题机器人分拣问题体现模型意识；24题马步移动结合坐标，发展创新意识|

第十章《二元一次方程组》 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列方程是二元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 2．已知是二元一次方程的一个解，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 3．下列方程组是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 4．以为解的二元一次方程组是（    ） A． B． C． D． 5．我国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一个问题，大意是：有人用银子买骆驼和马两种牲口，买10匹马的价钱和买6匹骆驼的价钱是一样的，但是每匹骆驼比每匹马贵8两银子，问一匹马、一匹骆驼各值多少两银子？设一匹马值x两，一匹骆驼值y两，则根据条件列方程组为（    ） A． B． C． D． 6．若，则的值为（ ） A． B．1 C． D．2 7．已知方程是关于x，y的二元一次方程，m的值为（     ） A．1 B．2 C． D．1或 8．若方程组与有相同解，则的值为（    ） A．2026 B． C．1 D． 9．已知关于x，y的二元一次方程组的解均为整数，则正整数的值是（    ） A．2或10 B．3或9 C．2或9 D．3或10 10．福耀中学为了打造“书香校园”，培养学生的阅读能力，学校开展了“读书伴我成长”为主题的演讲比赛，为奖励优秀的学生，学校计划用200 元钱购买A，B，C三种奖品，其中A种每个10元，B种每个20元，C种每个30元，在C种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下（三种奖品均购买），则有购买方案（   ） A．12种 B．15种 C．16种 D．14种 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．已知方程，用含的式子表示，则_____． 12．已知代数式与是同类项，那么________，________． 13．若是关于、二元一次方程的一组解，则的值为______． 14．已知关于x和y的二元一次方程组的解满足，则__________． 15．如图，在长方形中，放入6个形状、大小都相同的小长方形，则阴影部分的面积是_____． 16．若关于的二元一次方程组的解是，则关于的二元一次方程组的解是______． 三、解答题（本题共8小题，共72分．第17题6分，第18-20题每题8分，第21-23题每题10分，第24题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．解下列方程组： (1) (2) 18．解下列方程组 (1) (2) 19．已知方程组，由于甲看错了方程①中的得到方程组的解为，乙看错了方程②中的得到方程组的解为． (1)求的值： (2)求出原方程组的正确解． 20．2026马年央视春晚中，宇树科技的机器人《武》展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣．若买1台A型机器人、3台B型机器人，共需155万元；若买3台A型机器人、2台B型机器人，共需220万元．求A、B两种型号智能机器人的单价． 21．在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，则称点为点的“系伴随点”．例如，点的“1系伴随点”为，即． (1)已知点的“2系伴随点”为，直接写出点的坐标（____，____）；点到轴的距离为________； (2)已知点的“系伴随点”为，求点的坐标； 22．2026年某地新春文化节筹备期间，组委会需要运输一批文创产品布置展区，安排了两种货车运输物资．调查得知，2辆小货车与3辆大货车一次可以满载运输1800件文创产品；3辆小货车与4辆大货车一次可以满载运输2500件文创产品． (1)求1辆小货车和1辆大货车一次可以分别满载运输多少件文创产品？ (2)现有2700件物资需要再次运往该地，准备同时租用这两种货车，每辆货车均全部装满货物，组委会共有几种租车方案？ 23．【举一隅】梓琪在学习解二元一次方程组时遇到了这样一个问题，解方程组：．她思考：若用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元法可以解决问题，具体如下． (1)请你将下面解题过程补充完整． 解：设，则原方程组可化为_____________，解关于的方程组，得，所以，再解这个方程组，得_____________； 【触旁通】 (2)请同样爱动脑的你利用上述思路解答方程组． 24．我们知道象棋棋子“马”每步走“日”字形．在平面直角坐标系网格中，规定整点的“马步移动”是指：从一点出发，沿“日”字形对角线移动，即这点只能沿坐标系网格上“”或“”的对角线移动，若规定：每一次移动后的点的纵坐标必须增大、（即只向轴正方向移动）．例如，如图，从点做一次“马步移动”，可以到达点．我们将这四种移动分别记为：①型移动：对应到达点的方向，②型移动：对应到达点的方向，③型移动：对应到达点的方向，④型移动：对应到达点的方向． 设，从开始，第一次移动后到达点，第二次移动后到达点，第三次移动到点，，如此继续下去，每次移动均为上述四种之一． (1)若在轴上，则点的坐标为____； (2)在每次移动纵坐标增大的基础上，若附加限制：的“马步移动”也只能向轴的正方向移动（即每次移动只能①型移动或③型移动），能否通过若干次这样的移动到达点？若能，则需要走几步；若不能，请说明理由； (3)若经过次跳跃后得到，其中①型移动的次数记为，③型移动的次数记为，求与之间的数量关系，并求点中的横坐标最大值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十章《二元一次方程组》 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列方程是二元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程，据此进行判断即可． 【详解】解：，含未知数的项的最高次数是2，故选项A不符合题意； 是二元一次方程，故选项B符合题意； ，含未知数的项的最高次数是2，故选项C不符合题意； 不是整式，故选项D不符合题意． 2．已知是二元一次方程的一个解，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程的解，把代入方程得出，再求出方程的解即可． 【详解】解：把代入方程，得， 解得：． 3．下列方程组是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题根据二元一次方程组的定义判断，二元一次方程组需满足三个条件：一共含两个未知数，二所有方程都是整式方程，三未知数的最高次数为1，逐一判断选项即可． 【详解】解： A 该方程组共含有，两个未知数，两个方程都是整式方程，未知数最高次数为1，符合二元一次方程组的定义，故A正确． B 该方程组含有，，三个未知数，属于三元一次方程组，不符合定义，故B错误． C 第二个方程不是整式方程，不符合定义，故C错误． D 方程中未知数的次数为2，不符合一次的要求，故D错误． 4．以为解的二元一次方程组是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别把代入二元一次方程组，能够使方程组中各个方程左右两边都相等，即为答案． 【详解】解：将代入各选项验证： 代入A选项第二个方程，左边，不满足方程组，∴ A错误； 代入B选项第一个方程，左边，不满足方程组，∴ B错误； 代入C选项，第一个方程左边右边， 第二个方程左边右边，两个方程都满足，∴ C正确； 代入D选项第一个方程，左边，不满足方程组，∴ D错误． 5．我国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一个问题，大意是：有人用银子买骆驼和马两种牲口，买10匹马的价钱和买6匹骆驼的价钱是一样的，但是每匹骆驼比每匹马贵8两银子，问一匹马、一匹骆驼各值多少两银子？设一匹马值x两，一匹骆驼值y两，则根据条件列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设一匹马值两，一匹骆驼值两，根据题意得， ． 6．若，则的值为（ ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】根据非负数的性质得关于、的二元一次方程，解方程，然后代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∴． 7．已知方程是关于x，y的二元一次方程，m的值为（     ） A．1 B．2 C． D．1或 【答案】C 【分析】根据二元一次方程的定义，含未知数的项的次数都为1，含有两个未知数（即未知数的系数不为0），列出式子，求解即可． 【详解】解：方程是关于x，y的二元一次方程， 则，且， 解得，且， ∴． 8．若方程组与有相同解，则的值为（    ） A．2026 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】先求出的解，然后将方程组的解代入含a、b的方程中组成二元一次方程组，求出a、b的值，再代入求出即可． 【详解】解：由题意，得：， ，得：， ∴， 把代入②得：， ∴， 解得， 将代入，得， ，得， 解得：， 把代入④得， 解得：， ， ． 9．已知关于x，y的二元一次方程组的解均为整数，则正整数的值是（    ） A．2或10 B．3或9 C．2或9 D．3或10 【答案】C 【分析】先通过加减消元法解方程组，再根据为整数，m为正整数，确定是28和70的正公约数，进而求出m的值． 【详解】解： ∵ ①+②得 ∴ 将代入②得 ∵ 方程组的解均为整数，为正整数 ∴ 是28和70的正公约数，且 28和70的正公约数为 符合条件的或 当时，；当时， ∴ 正整数的值为2或9． 10．福耀中学为了打造“书香校园”，培养学生的阅读能力，学校开展了“读书伴我成长”为主题的演讲比赛，为奖励优秀的学生，学校计划用200 元钱购买A，B，C三种奖品，其中A种每个10元，B种每个20元，C种每个30元，在C种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下（三种奖品均购买），则有购买方案（   ） A．12种 B．15种 C．16种 D．14种 【答案】D 【分析】本题考查三元一次方程的实际应用，设购买A、B、C三种奖品的数量分别为，根据题意列出方程，简化得．分和两种情况求解，分别得到8种和6种方案，共计14种，即可． 【详解】解：设购买A、B、C三种奖品的数量分别为，由题意， ， ∴， ∵C种奖品不超过两个且钱全部用完（三种奖品均购买）， ∴均为正整数， 当时，， ∴，， 共8种方案； 当时，则， ∴，， 共6种方案； 总方案数：种． 故选D． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．已知方程，用含的式子表示，则_____． 【答案】 【分析】将x单独放在等号一侧，其余项移到等号另一侧，再通过系数化为1得到结果 【详解】解：对 移项，得 ， 系数化为，得 12．已知代数式与是同类项，那么________，________． 【答案】 2 1 【分析】本题主要考查了同类项，解二元一次方程组．同类项是所含字母相同，相同字母的指数也相同的项．根据同类项的定义可得一个关于、的二元一次方程组，解方程组可得、的值． 【详解】解：∵代数式与是同类项， ∴， 解得：． 13．若是关于、二元一次方程的一组解，则的值为______． 【答案】 【分析】先根据二元一次方程解的定义，将代入方程，得到，将等式两边同时乘以，即可求出的值． 【详解】解：将代入，得 ， ∴． 14．已知关于x和y的二元一次方程组的解满足，则__________． 【答案】1 【分析】将方程组中两个方程相加变形，再结合已知条件求解即可． 【详解】解：由，得， ∴， 化简得， ∵， ∴． 15．如图，在长方形中，放入6个形状、大小都相同的小长方形，则阴影部分的面积是_____． 【答案】/67平方厘米 【分析】设小长方形的长为，宽为，根据图形中长和宽的构成列出二元一次方程组，求出a，b的值，再利用面积的和差关系计算阴影部分面积． 【详解】设小长方形的长为，宽为， 由图可知，， 解得， ∴长方形的宽为， ∴阴影部分面积为． 16．若关于的二元一次方程组的解是，则关于的二元一次方程组的解是______． 【答案】 【分析】因为已知关于的方程组的解，所以先将关于的方程组进行变形，使其结构与已知方程组一致．如果把看作，看作，那么变形后的方程组就和已知方程组结构相同．因为已知方程组的解为，所以可得到关于的方程组，再通过解这个方程组得到的值． 【详解】把待求解的方程组移项整理得， 对比原方程组， 结构完全一致． 令，， 已知原方程组的解为， ∴可得， 两式相加得， 解得， 代入得． ∴方程组的解为． 三、解答题（本题共8小题，共72分．第17题6分，第18-20题每题8分，第21-23题每题10分，第24题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 将①代入②得 解得 将代入①得 （2）解： 将①+②得 解得 将代入①得 18．解下列方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ，得，解得， 把代入②，得，解得， ∴原方程组的解为； （2）解： 将①整理，得， ，得，解得， 把代入②，得，解得， ∴原方程组的解为． 19．已知方程组，由于甲看错了方程①中的得到方程组的解为，乙看错了方程②中的得到方程组的解为． (1)求的值： (2)求出原方程组的正确解． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）把甲乙的解分别代入正确的方程中运算即可； （2）把和代入，再利用加减消元法运算即可． 【详解】（1）解：∵甲看错了方程①中的得到方程组的解为， ∴甲的解满足方程， 把代入可得：， 解得：， ∵乙看错了方程②中的得到方程组的解为， ∴乙的解满足方程， 把代入可得：， 解得：； （2）把，代入可得：， 可得：， 解得：， 可得：， 解得：， ∴原方程组的解为：． 20．2026马年央视春晚中，宇树科技的机器人《武》展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣．若买1台A型机器人、3台B型机器人，共需155万元；若买3台A型机器人、2台B型机器人，共需220万元．求A、B两种型号智能机器人的单价． 【答案】 A型智能机器人的单价为50万元，B型智能机器人的单价为35万元 【分析】设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，根据题意，列出方程组进行求解即可. 【详解】解：设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元， 根据题意得，解得； 答：A型智能机器人的单价为50万元，B型智能机器人的单价为35万元. 21．在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，则称点为点的“系伴随点”．例如，点的“1系伴随点”为，即． (1)已知点的“2系伴随点”为，直接写出点的坐标（____，____）；点到轴的距离为________； (2)已知点的“系伴随点”为，求点的坐标； 【答案】(1)，， (2)点的坐标为 【分析】（1）根据“系伴随点”的定义即可作答； （2）设点的坐标为，根据“系伴随点”的定义列出方程组，即可作答． 【详解】（1）解：∵点的“2系伴随点”为， ∴点的坐标为，即点； ∴点到轴的距离为8； （2）解：设点的坐标为， ∵点的“系伴随点”为， ∴， 解得． ∴点的坐标为． 22．2026年某地新春文化节筹备期间，组委会需要运输一批文创产品布置展区，安排了两种货车运输物资．调查得知，2辆小货车与3辆大货车一次可以满载运输1800件文创产品；3辆小货车与4辆大货车一次可以满载运输2500件文创产品． (1)求1辆小货车和1辆大货车一次可以分别满载运输多少件文创产品？ (2)现有2700件物资需要再次运往该地，准备同时租用这两种货车，每辆货车均全部装满货物，组委会共有几种租车方案？ 【答案】(1)1辆小货车一次可以满载运输300件文创产品，1辆大货车一次可以满载运输400件文创产品； (2)共有2种租车方案 【分析】（1）设1辆小货车和1辆大货车一次满载运输的件数，根据题目给出的两种运输条件列二元一次方程组求解即可； （2）设租用两种货车的数量，根据总运输量列二元一次方程，结合车辆数为正整数（同时租用两种货车，故两种车辆数都为正整数），找出所有符合条件的解，即可得到租车方案的数量． 【详解】（1）解：设1辆小货车一次满载运输件文创产品，1辆大货车一次满载运输件文创产品， 依题意得： 解得， 答：1辆小货车一次可以满载运输300件文创产品，1辆大货车一次可以满载运输400件文创产品； （2）解：设租用小货车辆，大货车辆，由题意得均为正整数， 依题意得： 整理得 为正整数，4与3互质， 为3的倍数， 当时， ，符合题意； 当时， ，符合题意； 当时，，不符合条件，当时，也不符合题意， 因此共有2组符合条件的正整数解，对应2种租车方案 ； 答：组委会共有2种租车方案． 23．【举一隅】梓琪在学习解二元一次方程组时遇到了这样一个问题，解方程组：．她思考：若用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元法可以解决问题，具体如下． (1)请你将下面解题过程补充完整． 解：设，则原方程组可化为_____________，解关于的方程组，得，所以，再解这个方程组，得_____________； 【触旁通】 (2)请同样爱动脑的你利用上述思路解答方程组． 【答案】(1)， (2)原方程组的解为或或或 【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握整体换元法是解题的关键． （1）根据换元法和加减消元法可得答案； （2）利用换元法将原方程组变形，解关于m，n的方程组，然后得到关于，的新的二元一次方程组，再解方程组可得答案； 【详解】（1）解：设， 则原方程组可化为， 解关于m，n的方程组，得， ∴， 解方程组，得， 故答案为：，； （2）解：设，， ∴变成， 将变形成， 将①②得：， 解得， 把代入得：， 解得， ∴，， ∴，， ∴或；或． ∴方程组的解为：或或或． 24．我们知道象棋棋子“马”每步走“日”字形．在平面直角坐标系网格中，规定整点的“马步移动”是指：从一点出发，沿“日”字形对角线移动，即这点只能沿坐标系网格上“”或“”的对角线移动，若规定：每一次移动后的点的纵坐标必须增大、（即只向轴正方向移动）．例如，如图，从点做一次“马步移动”，可以到达点．我们将这四种移动分别记为：①型移动：对应到达点的方向，②型移动：对应到达点的方向，③型移动：对应到达点的方向，④型移动：对应到达点的方向． 设，从开始，第一次移动后到达点，第二次移动后到达点，第三次移动到点，，如此继续下去，每次移动均为上述四种之一． (1)若在轴上，则点的坐标为____； (2)在每次移动纵坐标增大的基础上，若附加限制：的“马步移动”也只能向轴的正方向移动（即每次移动只能①型移动或③型移动），能否通过若干次这样的移动到达点？若能，则需要走几步；若不能，请说明理由； (3)若经过次跳跃后得到，其中①型移动的次数记为，③型移动的次数记为，求与之间的数量关系，并求点中的横坐标最大值． 【答案】(1)或 (2)能通过①型移动次，③型移动次共25步到达点 (3)与之间的数量关系为，点中的横坐标最大值为 【分析】（1）根据“马步移动”规则，从点出 发，纵坐标增大个单位，横坐标个单位，直接得到第一次移动后的点为或； （2）设①型、③型移动次数，根据坐标变化列方程组求解即可得到答案； （3）设四种移动次数，列方程组得到与之间的数量关系，再根据横坐标变化规律，求得点中的横坐标最大值． 【详解】（1）解：点，题目要求在轴上，即的纵坐标为， 则从到的纵坐标变化情况为， 观察四种移动方式中纵坐标的变化： ①型移动：纵坐标增加； ②型移动：纵坐标增加； ③型移动：纵坐标增加； ④型移动：纵坐标增加； 纵坐标需要增加， 只能是①型移动或②型移动， 当为①型移动时，横坐标增加，纵坐标增加， 则的横坐标为，纵坐标为，即； 当为②型移动时，横坐标减少，纵坐标增加， 则的横坐标为，纵坐标为，即； 综上所述，点的坐标为或； （2）解：设从到点共移动了次，其中①型移动次，③型移动次， 则根据题意得， ，解得， 答：能通过①型移动次，③型移动次共25步到达点； （3）解：设①型移动的次数记为，②型移动次数为，③型移动的次数记为，④型移动次数为， 则由题意得， 由①②得，则， 由③①得，则， 由①得， ， 则； 要使横坐标最大，需尽可能先进行增加横坐标的移动（①型和③型），则横坐标最大增加， 答：与之间的数量关系为，点中的横坐标最大值为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $