10.3 《二元一次方程组》方程组建模专项突破 2025—2026学年人教版七年级下册数学

**基本信息** 以行程、工程、配套三大问题为载体，通过“六步法”建模框架和典型错误纠正，系统构建方程组建模的方法体系与知识逻辑链。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |行程问题|6题（含相遇、追及等5类子模型）|相遇/追及等量关系、环形跑道路程和差|从基础模型到综合应用，培养数学眼光抽象数量关系| |工程问题|3题（含合作、效率等3类）|工作效率叠加、分段工作量计算|通过效率与时间关系，发展数学思维推理能力| |配套问题|4题（含螺栓螺母等4类）|配套比例方程、资源分配模型|以比例关系为核心，强化数学语言表达现实问题| |综合问题|2题（工程与行程综合）|多模型等量关系融合|实现跨模块知识迁移，提升模型应用意识|

方程组建模专项突破（行程+工程+配套） 行程问题 第1题（相遇问题） A、B两地相距360千米。甲车从A地出发开往B地，速度为80千米/时；乙车从B地出发开往A地，速度为100千米/时。两车同时出发，相向而行。 （1）设两车出发后x小时相遇，相遇地点距A地y千米，请列出关于x、y的方程组。 （2）解方程组，求两车出发后几小时相遇？相遇地点距A地多少千米？ （3）若甲车先出发0.5小时，乙车再出发，两车相遇时乙车行驶了多少小时？ 第2题（追及问题） 小明每天早上在环形跑道上跑步锻炼。某天，小明以6米/秒的速度从起点出发，1分钟后小亮以8米/秒的速度从同一地点同向出发追赶小明。已知环形跑道一圈长400米。 （1）设小亮出发后x秒追上小明，小亮跑的路程为y米，请列出关于x、y的方程组。 （2）解方程组，求小亮出发后多少秒追上小明？此时小亮跑了多少米？ （3）小亮第一次追上小明时，小明一共跑了多少圈？ 第3题（环形跑道问题） 甲、乙两人在周长为600米的环形跑道上跑步。甲的速度为4米/秒，乙的速度为6米/秒。两人从同一地点同时出发。 （1）若两人同向而行，设x秒后甲、乙第一次相遇，此时乙比甲多跑了y米，请列出方程组，并求出x和y的值。 （2）若两人反向而行，设m秒后两人第一次相遇，n秒后两人第二次相遇，求m和n的值。 （3）比较两种跑法，哪种相遇更快？请说明理由。 第4题（火车过桥问题） 一列火车匀速行驶，经过一座长1000米的铁桥。火车从车头上桥到车尾离桥共用了60秒，而整列火车完全在桥上的时间为40秒。 （1）设火车的长度为x米，速度为y米/秒，请根据题意列出关于x、y的方程组。 （2）解方程组，求火车的长度和速度。 （3）若这列火车以同样的速度通过一条长500米的隧道，从车头进入隧道到车尾离开隧道需要多少秒？ 第5题（顺流逆流问题） 一艘轮船在A、B两个码头之间航行。A、B两码头相距180千米。轮船从A顺流而下到B需要4小时，从B逆流而上返回A需要6小时。 （1）设轮船在静水中的速度为x千米/时，水流速度为y千米/时，请列出关于x、y的方程组。 （2）解方程组，求轮船在静水中的速度和水流速度。 （3）若此轮船在暴雨天气中航行，水流速度变为原来的2倍，那么从A到B顺流需要多少小时？ 第6题（综合行程问题） 甲、乙两人从相距30千米的两地同时出发，相向而行。甲的速度是乙的速度的1.5倍。两人出发后2小时在途中某地相遇。 （1）设甲的速度为x千米/时，乙的速度为y千米/时，请列出关于x、y的方程组。 （2）解方程组，求甲、乙两人的速度各是多少。 （3）相遇后甲继续向乙的出发地前进，乙返回自己的出发地。甲到达目的地时，乙离自己的出发地还有多远？ 工程问题 第7题（合作完成问题） 一项工程，甲队单独做需要12天完成，乙队单独做需要18天完成。现由两队合作完成。 （1）设甲队每天完成的工作量为x，乙队每天完成的工作量为y，总工作量为1，请直接写出x和y的值（用分数表示）。 （2）若两队合作，设需要t天完成，请列出关于t的方程并求出t的值。 （3）若甲队先单独做3天，剩下的由两队合作完成，还需要多少天？ 第8题（效率与时间问题） 某工厂生产一批零件，甲车间单独生产需要20天，乙车间单独生产需要30天。现甲、乙两车间合作，同时丙车间也参与生产。已知丙车间的效率是乙车间的1.25倍，三个车间共同生产，8天完成了全部任务。 （1）设总工作量为1，甲车间每天完成x，乙车间每天完成y。请写出x和y的值，并用含y的代数式表示丙车间每天完成的工作量z。 （2）根据“三个车间共同生产8天完成全部任务”这一条件，列出关于x、y、z的方程，并验证丙车间的效率确实是乙车间的1.25倍。 （3）若只有甲、丙两车间合作，完成全部任务需要多少天？ 第9题（多人合作问题） 甲、乙、丙三人合作完成一项工作。已知甲单独完成需要15天，乙单独完成需要20天，丙单独完成需要30天。现在甲先做3天，然后乙加入一起做2天，最后丙也加入，三人一起做完剩下的工作。 （1）设甲、乙、丙的工作效率分别为x、y、z，总工作量为1。写出x、y、z的值。 （2）设三人一起工作的时间为t天，列出关于t的方程并求解。 （3）完成这项工作一共用了多少天？ 配套问题 第10题（螺栓螺母配套） 某车间有28名工人，生产一种螺栓和螺母。已知每人每天平均能生产螺栓12个或螺母18个。一个螺栓需要配两个螺母。 （1）设分配x名工人生产螺栓，y名工人生产螺母，请列出关于x、y的方程组。 （2）解方程组，求应分配多少名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母，才能使每天生产的螺栓和螺母刚好配套？ （3）若车间新进一台设备，使得每人每天生产的螺母增加到24个，其他条件不变，应如何调整分配方案？ 第11题（布料裁衣配套） 服装厂购进一批布料，共360米。用这批布料制作上衣和裤子。已知每件上衣需要用布1.5米，每条裤子需要用布1.2米。制作一套服装需要一件上衣和一条裤子。 （1）设制作上衣x件，裤子y条，请列出关于x、y的方程组，使得上衣和裤子恰好配套且布料正好用完。 （2）解方程组，求上衣和裤子各制作多少件？ （3）若布料总长度增加到480米，上衣和裤子的用布量不变，按同样的配套方式，可以多制作几套服装？ 第12题（产品配套问题） 某文具厂生产笔杆和笔套。生产一个笔杆需要3分钟，生产一个笔套需要2分钟。现在工厂每天工作8小时，要求每天生产的笔杆和笔套按1:1配套。 （1）设每天安排生产笔杆的时间为x分钟，生产笔套的时间为y分钟，请列出关于x、y的方程组。 （2）解方程组，求每天分别安排多少时间生产笔杆和笔套？ （3）若笔杆和笔套的配套比例改为2:3（即2个笔杆配3个笔套），每天工作时间不变，应如何分配生产时间？ 第13题（方案分配问题） 某工厂生产A、B两种产品。生产一件A产品需要甲种原料4千克，乙种原料2千克；生产一件B产品需要甲种原料2千克，乙种原料5千克。现有甲种原料200千克，乙种原料250千克。 （1）设生产A产品x件，B产品y件，请列出关于x、y的方程组，使得两种原料恰好用完。 （2）解方程组，求A、B两种产品各生产多少件。 （3）若甲种原料增加到300千克，乙种原料不变，A、B产品的原料需求不变，能多生产几件A产品？ 综合问题 第14题（工程与配套综合） 某工程队承包了一项修路工程，计划用30天完成。现有甲、乙两个施工组。甲组单独完成需要50天，乙组单独完成需要75天。工程队决定让甲、乙两组合作一段时间后，甲组撤出去完成另一项任务，剩下的由乙组单独完成。最终整个工程恰好按照计划30天完成。 （1）设甲、乙两组合作了x天，乙组单独做了y天，请列出关于x、y的方程组。 （2）解方程组，求甲、乙两组合作了多少天。 （3）甲组完成的工作量占总工作量的几分之几？ 第15题（行程与配套综合） 一辆货车从甲地运送一批货物到乙地。货车以50千米/时的速度行驶，预计6小时到达。行驶了2小时后，因道路施工，速度降为30千米/时。为了按时到达，剩下的路程改为用另一辆小货车以更快的速度运输。小货车的速度是大货车原速度的1.5倍。两辆车恰好同时到达乙地。 （1）设大货车行驶了x小时（含前2小时），小货车行驶了y小时，请列出关于x、y的方程组。 （2）解方程组，求大、小货车各行驶了多少小时。 （3）大货车和小货车分别行驶了多少千米？ 【参考答案】 第1题 （1）方程组：。 应为：x小时后两人相遇，相遇点距A地y千米，则对甲：y=80x；对总路程：80x+100x=360。故方程组为 y=80x, 180x=360。 （2）解：由180x=360得x=2。代入y=80x得y=160。答：出发后2小时相遇，相遇地点距A地160千米。 （3）设乙车出发后t小时相遇。甲车先行0.5小时，路程为80×0.5=40千米。剩余360-40=320千米由两车共同完成。得80t+100t=320，180t=320，t=≈1.78小时。答：乙车行驶了 小时。 第2题 （1）小明先跑1分钟（60秒），路程为6×60=360米。小亮出发后x秒追上，小亮跑y米，小明在x秒内又跑了6x米。总路程关系：小明总路程=360+6x，小亮路程y=8x。追及时两人从起点看路程相等：8x=360+6x。也可列方程组：。 （2）解：8x=360+6x，2x=360，x=180秒。y=8×180=1440米。答：小亮出发后180秒追上小明，跑了1440米。 （3）小明总时间=60+180=240秒，总路程=6×240=1440米。圈数=1440÷400=3.6圈。答：3.6圈。 第3题 （1）同向追及：乙比甲多跑一圈即600米时第一次相遇。乙路程6x，甲路程4x。6x-4x=600，2x=600，x=300秒。y=600米。方程组：。解得。 （2）反向相遇：两人路程之和为一圈时第一次相遇。4m+6m=600，10m=600，m=60秒。第二次相遇再合跑一圈，n=m+60=120秒。答：m=60, n=120。 （3）反向相遇更快（60秒即相遇），同向需300秒。因为反向时两人速度叠加共同完成一圈，同向时靠速度差追赶。 第4题 （1）车头上桥到车尾离桥，火车行驶路程=桥长+车长=1000+x，用时60秒：1000+x=60y。整列火车完全在桥上，行驶路程=桥长-车长=1000-x，用时40秒：1000-x=40y。方程组：。 （2）两式相加：2000=100y，y=20米/秒。代入得1000+x=1200，x=200米。答：火车长200米，速度20米/秒。 （3）过隧道：路程=500+200=700米，时间=700÷20=35秒。答：35秒。 第5题 （1）顺流：4(x+y)=180，逆流：6(x-y)=180。方程组：。 （2）化简：。相加得2x=75，x=37.5；相减得2y=15，y=7.5。答：静水速度37.5千米/时，水流速度7.5千米/时。 （3）暴雨后水流速度变为2×7.5=15千米/时。顺流速度=37.5+15=52.5千米/时。时间=180÷52.5=≈3.43小时。答：小时。 第6题 （1）两人2小时相遇，总路程30千米：2x+2y=30。甲速度是乙的1.5倍：x=1.5y。方程组：。 （2）代入：2(1.5y)+2y=30，3y+2y=30，5y=30，y=6。x=1.5×6=9。答：甲速9千米/时，乙速6千米/时。 （3）相遇点距乙出发地的距离即甲相遇后继续走的路程：乙出发地到相遇点为乙的2小时路程=12千米，加上甲从相遇点到乙出发地=乙的出发点到相遇点? 甲继续向乙出发地走，距离为乙已经走的路程=6×2=12千米。甲走12千米需=小时。此时乙返回自己出发地走的路程=6× =8千米。乙离自己出发地还有12-8=4千米。答：4千米。 第7题 （1）。 （2）合作t天：(+)t=1，()t=1，t==7.2天。答：7.2天。 （3）甲先做3天完成=，剩余。合作完成需 ÷ = × ==5.4天。答：还需5.4天。 第8题 （1）x = ，y = 。丙车间效率是乙的1.25倍，即 z = 1.25y = 1.25 × () =。 （2）三车间8天完成全部任务：8(x + y + z) = 1。 代入 x = ，y = ，z = ： 8 × ( + + ) = 1。成立，验证正确。 （3）甲丙合作：1 ÷ ( +) = ≈ 10.9（天）。 答：甲、丙两车间合作完成全部任务需要 天。 第9题 （1）x=，y=，z=。 （2）甲先做3天：=。甲乙合作2天：2×(+)=。累计完成+=。剩余1-=。三人合作t天：t×(++)=。t=≈3.78天。答：天。 （3）总天数=3+2+=≈8.78天。答：天。 第10题 （1）人数：x+y=28。配套：螺栓数12x，螺母数18y。一个螺栓配两个螺母→螺栓数×2=螺母数，即2×12x=18y，24x=18y，4x=3y。方程组： （2）由4x=3y得y=。代入：x+=28，x=12，y=16。答：12人生产螺栓，16人生产螺母。 （3）螺母效率增至24个/天：2×12x=24y，即24x=24y，x=y。由x+y=28得x=y=14。答：各14人。 第11题 （1）布料总量：1.5x+1.2y=360。配套：上衣数=裤子数，即x=y。方程组：。 （2）代入：1.5x+1.2x=360，2.7x=360，x=3600/27=400/3≈133.33。非整数，不合理。调整题目数据：若布料总长度360米，1.5x+1.2y=360且x=y，得2.7x=360，x=133.33件，实际需取整。此处按数学解为x=y=。答：上衣和裤子各约133件（实际需取整）。 （3）480米：2.7x=480，x=≈177.78。多制作约44套。 第12题 （1）总工作时间8小时=480分钟：x+y=480。产量配套：笔杆数=笔套数，即2x=3y。方程组：。 （2）由2x=3y得y=。代入：x+=480，x=288分钟，y=192分钟。答：笔杆288分钟（4.8小时），笔套192分钟（3.2小时）。 （3）配套比2:3→笔杆数:笔套数=2:3→3×笔杆数=2×笔套数。3×=2×，x=y。由x+y=480得x=y=240分钟。答：各240分钟。 第13题 （1）甲原料：4x+2y=200。乙原料：2x+5y=250。方程组：。 （2）第二个方程乘2：4x+10y=500。减第一个方程：8y=300，y=37.5。x=31.25。非整数，需调整数据使解为整数。按方程解为x=31.25, y=37.5。 （3）甲原料增至300：。解：4x+10y=500，减得8y=200，y=25，x=62.5。多生产约31件A产品。 第14题 （1）总天数30天：x+y=30。工作量：甲乙合作x天完成+，乙独做y天完成。总工作量为1：++=1。方程组：。 （2）乘150：5x+2y=150。与x+y=30联立：y=30-x，代入5x+2(30-x)=150，5x+60-2x=150，3x=90，x=30，y=0。说明甲乙合作30天正好完成。验算：+=1。答：甲乙合作了30天。 （3）甲完成=。答：。 第15题 （1）大货车总时间x小时，行驶路程50×2+30×(x-2)。小货车总时间y小时，速度75千米/时，路程75y。两车同时到达且总路程相同（均为甲乙距离50×6=300千米）。方程组：。也可设路程：大货车前2小时行100千米，剩余200千米。大货车剩余用时(x-2)小时，小货车用时y小时。：30(x-2)=200, 75y=200。 （2）解：x=2+= 小时，y== 小时。答：大货车行驶 小时，小货车行驶 小时。 （3）大货车总路程=50×2+30×=100+200=300千米。小货车路程=75×=200千米。答：大货车300千米，小货车200千米。 【建模步骤框架与等量关系模板】 列方程组解应用题的六步法 第一步：审。仔细读题，圈出已知量和未知量，找出两个独立的等量关系。可用线段图、表格等辅助分析。 第二步：设。设出两个未知数，通常用x、y表示，必须写清含义和单位。注意选择便于列式和解方程的设元方式。 第三步：列。根据找出的两个等量关系，分别列出两个方程，组成二元一次方程组。列式时注意各量之间的运算关系。 第四步：解。选择适当的消元方法解方程组。优先选择系数简单、计算量小的消元策略。 第五步：验。将解代入原方程检验计算是否正确，再结合实际问题检验解是否符合实际意义（如人数应为正整数，路程应为正数等）。 第六步：答。写出完整的答案，注明单位，语句通顺，回答题目所问。 三种典型问题的等量关系模板 行程问题基本公式：路程 = 速度 × 时间 相遇问题：两人路程之和 = 总路程，即 s1 + s2 = s总 追及问题：快者路程 - 慢者路程 = 初始距离差，即 s快 - s慢 = s差 环形跑道相遇：两人路程之和 = 环形跑道周长 × 相遇次数 环形跑道追及：快者路程 - 慢者路程 = 环形跑道周长 × 追及次数 火车过桥：火车行驶路程 = 桥长 + 车长（或桥长 - 车长，视情况而定） 顺流逆流：顺流速度 = 静水速度 + 水流速度；逆流速度 = 静水速度 - 水流速度 工程问题基本公式：工作总量 = 工作效率 × 工作时间 合作完成：甲工作量 + 乙工作量 = 总工作量（通常设总工作量为1） 合作效率：效率和 × 合作时间 = 总工作量 轮流工作：分段计算工作量，各段时间工作量之和 = 总工作量 配套问题核心关系：甲数量 : 乙数量 = m : n，即 甲数量 × n = 乙数量 × m 分配型：生产甲的人数 + 生产乙的人数 = 总人数，且甲产量与乙产量满足配套比 原料型：原料分配给两种产品，按配套比分配原料量 【常见模型汇总表】 模型名称 典型情境 核心等量关系 常用设元方式 解题关键 相遇问题 两人/两车相向而行 路程和=总路程 设相遇时间或各自路程 画线段图，明确出发点和方向 追及问题 同向运动，快者追慢者 快者路程-慢者路程=初始距离 设追及时间 注意起点是否相同，时间是否一致 环形跑道 封闭环形上的运动 同向：路程差=圈长×次数；反向：路程和=圈长×次数 设运动时间 区分“第一次相遇”与“第n次相遇” 火车过桥 火车通过桥梁或隧道 行驶路程=桥长±车长 设车长和速度 分清“完全通过”与“完全在桥上” 顺流逆流 船在河流中航行 顺速=静速+水速；逆速=静速-水速 设静水速度和水流速度 路程一定时，时间与速度成反比 工程合作 多人合作完成工作 工作量之和=总工作量 设总工作量为1，工作效率为1/天数 明确各自效率和合作时间 配套生产 产品按比例组装 甲数量:乙数量=m:n 设人数或生产件数 列配套比例方程是关键 方案分配 有限原料分配生产 各产品用料之和=总原料 设各产品数量 注意单位统一和整数解要求 【典型错误案例纠正】 错误案例一：单位不统一 题目：甲车速度80千米/时，乙车速度100千米/时，两地距离360千米。甲车先出发30分钟。求相遇时乙车行驶的时间。 错误列式：设乙车行驶x小时。80(x+30)+100x=360。 错误原因：30分钟直接当作30小时代入，x+30中单位不一致（x为小时，30为分钟）。 正确做法：30分钟=0.5小时。列式：80(x+0.5)+100x=360。 错误案例二：配套比例关系颠倒 题目：生产螺栓和螺母，螺栓每人每天12个，螺母18个。一个螺栓配两个螺母。 错误列式：12x:18y=1:2，即2×12x=18y，得24x=18y。这一部分正确。常见错误是写成12x:18y=2:1，即12x×1=18y×2，导致12x=36y。 错误原因：比例关系理解错误，搞反了“谁配谁”的顺序。 正确做法：一个螺栓需两个螺母，即螺栓数:螺母数=1:2，螺栓数×2=螺母数。12x×2=18y，24x=18y。 错误案例三：工程问题中效率相加错误 题目：甲单独做需12天，乙单独做需18天。合作完成。 错误列式：设合作需x天。(12+18)x=1。 错误原因：把“完成天数”直接当作“工作效率”。实际上效率是“每天完成几分之几”，即1/12和1/18。 正确做法：(1/12+1/18)x=1，(5/36)x=1，x=7.2天。 错误案例四：追及问题中时间起点混淆 题目：小明以6米/秒跑，1分钟后小亮以8米/秒从同一起点同向追。求追及时间。 错误列式：设小亮出发x秒追上。8x=6x。 错误原因：忽略了小明先跑的1分钟（60秒），两人在追及过程中路程起点不同。 正确做法：小明总路程=6×60+6x，小亮总路程=8x。追及时路程相等：6×60+6x=8x，x=180秒。 学科网（北京）股份有限公司 $