23.3.2 用计算器求锐角三角函数值&阶段提升自测(三)&方法技巧专题-【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案（华东师大版·新教材）

23.3.2用计算器 01基础达标 知识点一 会用计算器求三角函数值 1.用计算器求sin50°的值，则按键顺序是( A.⑤0sin= B.sin50日 C.sin 05= D.⑤0日sim 2.用计算器求： (1)sin24°26'= (精确到0.0001)； (2)c0s52°18'= (精确到0.0001). 知识点二根据三角函数值用计算器求锐角的 度数 3.根据下列条件求锐角0的大小（精确到1'）： (1)sin0=0.8321;(2)sin0=0.657; (3)cos0=0.278:(4)cos0=0.3256. 4.一梯子斜靠在一面墙上.已知梯长AB=4m, 梯子位于地面上的一端离墙壁的长AC= 2.5m,求梯子与地面所成的锐角∠BAC的度 数（精确到0.1°）. 02能力提升 5.用计算器探究： (1)tanl°·tan89°= ;tan2°·tan88°= ;…;tan44°·tan46°= ； (2)tanl3°25'·tan76°35′= ;tan72°21′. tan1739'= 81 求锐角三角函数值 (3)依据(1)(2)运算的结果，你发现了什么规 律，请用一个等式表示出来： (4)利用上面发现的规律计算：tan41°·tan42° ·tan43°·tan44°.…tan48°·tan49°. 6.(1)如图1、2，锐角的正弦值和余弦值都是随着 锐角的确定而确定、变化而变化的，试探究随 着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值变化 的规律； C C2C3 图1 图2 (2)根据你探索到的规律，试比较18°、34°、50°、 62°、88°这些锐角的正弦值大小和余弦值的大小； (3)比较大小（填“>”、“<”或“=”）： 若a=45°，则sina coSa; 若a<45°，则sina coSa; 若a>45°，则sina cosa. (4)利用互为余角的两个角的正弦和余弦的关 系，试比较下列正弦值和余弦值的大小： sinl0°、cos30°、sin50°、cos70° 82 阶段提升自测（三） [范围：23.1~23.3时间：60分钟分值：100分 一、选择题（每小题4分，共32分） 1.在Rt△ABC中.∠C=90°，若AB=2,AC=1, 则tanA的值为 O A B停 第6题图 第7题图 A司 3 D.√3 7.如图，在△ABC中，AC⊥BC,∠ABC=30°，点 2.在△ABC中，∠A,∠B,∠C对边分别为a,b, D是CB延长线上的一点，且BD=BA,则 c,a=5,b=12,c=13,下列结论成立的是 tan∠DAC的值为 ( ( A2+√3 B.2√3 A.sinA=12 B.COsA=5 C.3+3 D.3√5 8.公元三世纪，我国汉代数学家赵 C.tanA-j2 D.cosB= 12 爽在注解《周髀算经》时给出的 “赵爽弦图”如图所示，它是由四 3在△4BC中，∠C=90°，BC=2,sin4三3， 个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成 边AC的长是 的一个大正方形.如果大正方形的面积是125， 小正方形面积是25，则(sin0-cos0)2=( A.√5 B.3 c号 D.√13 ,则 A吉 B C.35 n号 4.在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA= 二、填空题（每小题5分，共30分） cosB的值是 9.计算：-6-(2) -2sin30°= A c D.3 10.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC,现给 5.在△ABC中，∠A,∠B为锐角，若|sinA 2 出下列结论：①sinA= ③ ;②cosB=2: + 一cosB)2=0,则∠C= ③tanA- 3:④anB=3,其中正确的结论 A.75 B.90° 是 (填序号) C.1059 D.120° 11.若直角三角形斜边上的高，中线长分别为 6.菱形OABC在平面直角坐标系里的位置如图 2cm,3cm,则这个三角形的面积是 cm2. 12.如图，在5×5的正方形网格 所示，∠AOC=45°，OC=√2，则点B的坐标为 中，每个小正方形的边长均 是1，△ABC的顶点均在小 A.(W2,1) B.(1,W2) 正方形的顶点上，则sinA= B C.(W2+1,1) D.(1,√2+1)》 13.已知方程x2一5x·sina十1=0的一个根为2 十√3，且a为锐角，则tana= 14.如图，直角三角形纸片的两 直角边长分别为6,8，现将 △ABC如图那样折叠，使 B 点A与点B重合，折痕为DE,则tan∠CBE 三、解答题（共38分） 15.(1)(8分)计算：W2-1+cos45°-(/2)-1+ √8； (2)(8分)计算：2-1+W6-3+2√3sin45°- (π-1)°. 16.(10分)如图，在△ABC中，点D在边AC边 上，DE⊥BC,垂足为点E,已知AD=2DC, AB=5DE=10,求tanB和cosB的值， 83 7.(12分)如图，为了测量校园内旗杆AB的高 度，九年级数学应用实践小组，根据光的反射 定律可知，∠COD=∠AOB,利用镜子、皮尺 和测角仪等工具，按以下方式进行测量：把镜 子放在点O处，然后观测者沿着水平直线BO 后退到点D,这时恰好能在镜子里看到旗杆 顶点A,此时测得观测者观看镜子的俯角α= 60°，观测者眼睛与地面距离CD=1.7m,BD =11m,求旗杆AB的高度.（结果取整数，√3 ≈1.7) C下 DO 84 方法技巧专题求锐角 方法一直接用锐角三角函数的定义 1.如图，已知A(一2,1)、B(0,0)、C(1,2)则 tan∠BAC的值为 () A.2 B.1 c D.√3 第1题图 第2题图 2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分 ∠ABC,CD=3,AD=5,则sin∠A= 方法二设参数法（用参数表示锐角三角函数相 应边的长，再根据锐角三角函数的相关定义计算 它们的比值) 3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，3CD=BD 若cos∠ABC-25,求m∠BAD的值， 方法三等角转换法 4.有6个大小相同的小正方形，恰好如图放置在 △ABC中，则tanB的值等于 三角函数的常见四种方法 B B D 第4题图 第5题图 5.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC= 4,将△ABC折叠，使点A落在BC边上的点 D处，EF为折痕，若AE=3,则sin∠BFD的 值为 方法四构造直角三角形（若要求的锐角三角函 数值的角不在直角三角形中，则要根据已知条件 构造直角三角形解决)】 6.如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、 C均在格点上，则tanA的值为 第6题图 第7题图 7.如图，在平面直角坐标系中放置三个长为3，宽 为1的矩形，则tan∠BAC= ) A.2 B.√3 C.3 D.√2 8.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC,∠BAC= 120°，E是AC边的中，点，求sin∠EBC的值.∴.△ABG≌△CDG(AAS), ∴.AG=CG; 1.3-1:2)号 (2)由(1)可知△ABG≌△C 16.anB-,cosB=青 DG,.GD=GB,∴.AG+GB= AD,设AG=x,则GB=8-x, 17.旗杆AB的高度约为17m. 方法技巧专题求锐角三角函数的 在Rt△ABG中，.AB2+AG =BG,即62+x2=(8-x)2, 常见四种方法 解得=子in∠AG 1B2 7 3.sin∠BAD= 3 AG 4 BG 84西 1 4.2 1 5.3 1 6.2 7.C 第2课时特殊角的三角函数值 14 1.C2.A3.D4.A &sn∠EBC- 5.45°6.40 23.4解直角三角形 第1课时解直角三角形 7.(1)1+ 1.C2.A 2 62-合311 8.60°9.60 3.∠A=30°，∠B=60°，AB=46. 4.B5.B6.2 10.B11.A12.30°13.(4w3) 7.AB=15. 14.(1)6;(2)1. 8.60°或120°4或2 15.(503+50)m2. 9.D10.A11.A12.B 16.(1)2-√3；(2)W2-1. 13.60 23.3.2用计算器求锐角 14.AF=2√5-√6， 三角函数值 1.B2.(1)0.4136;(2)0.6115 15.(1)证明略；(2)tan∠EDF= 1 3 3.(1)0=5619';(2)0=414'; 第2课时仰角、俯角 (3)0=73°52'：(4)0=710. 1.B2.B3.C4.18°24 4..cos∠BAC=0.625, 5.9.56.(203-20) .∴.∠BAC≈51.3°. 7.√38.A9.20310.14.4 5.(1)111:(2)11; 11.CD的长度约为54m. (3)设a为锐角，tana·tan(90° 12.如果船不改变航线继续向西 -a)=1; 航行，没有触礁危险. (4)1. 13.(1)AB=25.6(m) 6.(1)随着锐角度数的增大，它的 (2)经过12s时，无人机刚好离 正弦值逐渐增大，它的余弦值 开圆圆的视线EB. 逐渐减小： 第3课时坡度和坡角 (2)sinl8°sin34°<sin50°< 1.A2.B3.280 sin62°<sin88°，cos18°>cos34° 4.30°和20√3米5.606.2√5 >c0s50>cos62>c0s88°. 7.A8.B9.A10.A (3)=< 11.3412.21013.1.5 (4)sinl0°<cos70°<sin50°< 14.水坝原来的高度为12米. c0s30°. 15.需要拆除.理由略. 阶段提升自测（三） 章末考点整合与素养提升 1-5 DCABC 6-8 CAA 9.110.②③④11.6 1.B2.D3.A 5.C 12.号1.144 6D72 8.C9.16 49 10.43811.6.312.A13.A 11 14.C15.316.23或32 1.42 2合 4.D5.D 17.古树DE的高度为(40-10W3)m 6.买一张彩票可能会中奖，买100 第24章随机事件及其概率 张彩票不一定中奖 24.1在重复试验中观察随机现象 7.A8.D 第1课时确定事件与随机事件 9.(1)0.68,0.74,0.68,0.69, 1.B2.B3.C4.=5.B 0.705,0.701:(2)当n很大时， 6.(1)、(2)、(4)是随机事件，(3)是不 落在“铅笔”的频率将会接近0.7； 可能事件，(5)是必然事件. (3)获得铅笔的概率是0.7； 7.(1)n=2.(2)n=6.(3)26. (4)圆心角的度数为252°. 8.(1)不可能(2)C 10.(1)“3点朝上”出现的频率是 第2课时用频率估计事件 发生的机会的大小 品-。“5点朝上”出现的领 1.C2.C3.12 4.(1)0.180,0.170,0.167,0.165, 率是器=号：(2)小预的说达 0.168,0.163;(2)0.167;(3)通过 是错误的.这是因为：“5点朝 多次试验，对其他点数出现的频 上”的频率最大并不能说明“5 率进行观察，均稳定在。附近. 点朝上”这一事件发生的概率 最大.只有当试验的次数足够 5.8个 大时，该事件发生的频率稳定 6.(1)取出白球的机会是子， 在事件发生的概率附近；小红 的判断是错误的，因为事件发 (2)袋中的红球有6个. 生具有随机性，故“6点朝上” 24.2随机事件的概率 的次数不一定是100次. 24.2.1概率及其意义 11.(1)P(抽到的是不合格品)= 1.C2.A3.D4.A5.A 4(2)共有12种情况，其中 6.(1)P(抽到两位数)= 2 抽到的都是合格品的情况有6 (2)P(抽到的数是2的倍数)= 种，P(抽到的都是合格品)= 立(3)P(抽到的数大于10)= 2;(3)x的值大约是16. 11 24.2.3列举所有机会均等的结果 7.D8.B9.A10.A11.B 1.C2.D3.3 1 4.10 5.B 12号18动 6.B7.C 8.4 9.C10.B 14g司 1 2 9； 1.B12号 1 13.3 (2)需要在这个口袋中再放入 2个白球. 14.号 (2 15.(1)由于B、C下面标2，说明它 们为中心的8个方格中有2个 15.(1)了：(2)图略，向西参观的 地雷，而C的右边已经有一个， 概率较大， ∴.A就是一个地雷，还有一个 章末考点整合与素养提升 可能在B、C的位置， 1.B2.2.83.D4.A5.A ∴.现在还剩下2个地雷； 1 (2)根据(1)得P(A有地雷)=1， 6.4 1 7.(1)总共12种情况.图略；(2) 这个游戏对甲、乙双方不公平， 24.2.2 频率与概率 明显乙获胜的概率更高 50 8.A9.C (2)画树状图略，抽到的两张 卡片恰好是“丝丝”和“核核” 13.4 14.3 的概率为行 15.107: 夹册《提分专练》参考答案 专练01 二次根式的双重非负性 +3,即2<c<8, 典例导练 由题意得，y-3≥0,3-y≥0，∴.y ∴原式=v-2-√一8 3=3-y=0,解得y=3,.x2=64, =c-21-3c-81=c-2- 解得x=士8，∴x十y=11或-5. 8 知能检测 -0=-6 /2m-4=0 1.由题意得，2十6=0' 专练03最简二次根式 典例导练 解得 /m=2 n=-3 由题意得：1一x>0,∴.x-1<0,.(x ∴.√m2+n=√13. 1=-1- 2.由题意，得(m-3)n≥0，∴.m≥ 1 3,∴.2m-4>0,.2m-4|+n =-√1-x. +2|+√/(m-3)n+4=2m可 知能检测 化简为：2m-4+|n+2|+ 1.(1)D(2)D √(m-3)n十4=2m 2.由题意，得2x十1=x十3，解得：x ∴.n+2+√(m-3)m=0, =2,.A=5√5，B=3V5, ,|n+2≥0，√(m-3)n≥0， .A+B=C,∴.C=A+B=85 ∴.n+2=0,(m-3)n2=0, =√320，.C=√/10x十3y, ∴.n=-2,m=3,.(m十n)2024= .10x+3y=320,.20+3y= 12024=1. 320,解得：y=100,∴.√2y-x 专练02运用√a=a化简 =√/2X100-2=√196=14. 典例导练 专练04二次根式的混合运算 原式=|a-1|+|a-3|,当a<1 典例导练 时，原式=(1一a)+(3-a)=4-2a原式=[(2√2+3)(22-3)]2023· =2,解得a=1(舍去)；当1≤a≤3(2√2-3)-√2-|1-√2|=(8 时，原式=(a-1)+(3-a)=2=2,9).(2√2-3)-√2+1-V2= 符合条件；当a>3时，原式=(a-1) -2√2+3-√2+1-√2=4-4W2. +(a-3)=2a-4=2,解得a=3(舍 知能检测 去.∴.a的取值范围是1≤a≤3. 知能检测 1)V50×8-6X5=V400 √2 1.(1)-a1-b (2)由题意，得a<0,1<a<2,b /8=20-9=20-3=17. N >0,0<b<1, (2)(1-2√3)2-(2-√3)(2+√3) ∴.a+1<0,a+b<0,b>0, .(a+1)z+√-√(a+b) =1-4√/3+12-(4-3) =|a+1+|bl-|a+b =1-4W3+12-1=12-4W3, =-a-1+b+a+b=2b-1. (3)(5+2)(W5-2)+11-√2| 2.由三边关系定理，得5-3<c<5√3×√6=5-4+√2-1-32=-22. -51