第21章 一元二次方程 章末考点整合与素养提升-【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案（华东师大版·新教材）

39 章末考点整合与素养提升 01分点突破 (1)当m为何值时，四边形ABCD是菱形？ 考点一 一元二次方程的有关概念 (2)若(AB-3)(AD一3)=m,求m的值. 1.若方程(a-3)xa-1十2x-8=0是关于x的 一元二次方程，则a的值是 2.已知x=1是一元二次方程(m一2)x2+4x m=0的一个根，则m的值是 考点二一元二次方程的解法 3.(1)x2-22x+1=0: (2)(x+3)2=(2x-5)2. 考点三一元二次方程根的判别及根与系数的 关系 4.关于一元二次方程2x2一5.x=2的根的判定 中，正确的是 ( 考点四一元二次方程的应用 A.有两个相等的实数根 7.某种产品原来每台售价m元，经过两次降价 B.有两个不相等的实数根 后，现在每台的售价比原来减少了19%，假设两 C.只有一个实数根 次降价的百分率均相同，则降价率为 D.没有实数根 8.某农场要建一个饲养场（长方形ABCD),饲养 5.(1)已知方程x2一4x+1=0的两根为x1,x2, 场的一面靠墙（墙最大可用长度为27米），另 则(2十x)(2十x2)= 三边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两 (2)关于x的一元二次方程x2+3.x一m=0的 个场地，并在如图所示的三处各留1米宽的门 一个根是3，则另一个根是 (不用木栏)，建成后木栏总长57米，设饲养场 (3)若关于x的一元二次方程ax2-4x十2=0 (长方形ABCD)的宽为a米 有两个实数根，则α的取值范围是 墙 墙 6.已知平行四边形ABCD的两边AB、AD的长 是关于z的方程2-mx+罗-}-0的两个 (1)饲养场的长为 米（用含a的 实数根. 代数式表示). 40 (2)若饲养场的面积为288m,求a的值. 示的函数关系 (1)求每月的销售量y(件)与每件的售价x (元)之间的函数关系式.（不必写出自变量的 取值范围) (2)物价部门规定，该防护品每件的利润不许 高于进货价的50%.该带货主播销售这种防 护品每月的总利润要想达到10000元，那么 每件的售价应定为多少元？ 02真题演练 个每月销量y/件 9.(2025·山东)用配方法解一元二次方程3x十 600 6x一1=0时，将它化为(x+a)2=b的形式，则 400 a+b的值为 号 R号 6080售价x元 C.2 10.(2025·呼和浩特)已知x1,x2是方程x2一x 一2022=0的两个实数根，则代数式x13一 2022x1+x22的值是 ( A.4045B.4044 C.2022 D.1 11.（河南模拟)若一元二次方程x2一4x一4m=0 有两个不相等的实数根，则正比例函数y= (m十2)x的图象所在的象限是 ( A.第一、二象限 B.第一、三象限 C.第二、四象限 D.第三、四象限 12.(2025·湖南)我国古代著作《四元玉鉴》记载 “买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去 买几株椽.每株脚钱三文足，无钱准与一株 03素养提升 椽.”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽14.阅读并回答问题：小亮是一位刻苦学习的同 的价钱为6210文.如果每株椽的运费是3 学.一天他在解方程x=一1时，突发奇想： 文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰 x2=一1在实数范围内无解，如果存在一个数 好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多 i,使2=一1，那么当x2=一1时，有x=士i, 少株椽？设这批椽的数量为x株，可列方程 从而x=士i是方程x2=一1的两个根.据此 为 可知： 13.某带货主播准备销售一种防护品，进货价格 (1)i可以运算，例如：=2·i=一1×i=一i, 为每件50元，并且每件的售价不低于进货 则= 价.经过初期试销售调查发现：每月的销售量 (2)方程x2一6x十10=0的两根为 y(件)与每件的售价x(元)之间满足如图所 .(根用i表示)841,理由： =24<27,符合题意，故a=12. ,该点阵每行的点数从上到下依9.B10.A11.B 次为1,3,5,7，…，2n-3,2n-1,12.3(x-1)x=6210 2n一3，…，7,5,3,1，.S=13.(1)每月销售y(件)与售价x n(1+2n-1)+n(2m-1+1D (元)的函数关系式为y=一 2 2 10x+1200. (2n-1),∴.S=2n2-2n+1, (2)售价定为70元可获得利 .2m2-2m+1=841,解得n=21 润是10000元. 或n=-20(舍去)，∴.n=21, 14.(1)1(2)x1=3+i,x2=3-i 故当n=21时，这个点阵的点数 第22章图形的相似 和是841； 22.1成比例线段 ②设这群人共有x人： 22.1.1成比例线段 2x(1十x)=6,解得x1=0(舍 1.1:2000000 2.(1)成比例，a:b=c:d;(2)成比 去)，x2=11. 例，a:c=:b;(3)不成比例 故这群人共有11人. 章末考点整合与素养提升 3号日？410 1.-32.-1 5.D6.D7.3.4×10 3.(1)2士1；(2)x1=8,x2= 2 8.2或-1 9.a=15cm,b=20cm,c=25cm. 4.B 10.AC=(15-5√5)cm. 5.(1)13;(2)-6: 22.1.2平行线分线段成比例 (3)a≤2且a≠0 6.(1)四边形ABCD为菱形，则方 1.D2.4 EF AD 程有两个相等的实数根， 3.FG'BD 36 ∴4=8-4ac=(-m)2-4(罗 4.AC- 5 5.B6.6 7.BF= )=0,即m-2m+1=0, 3.CF-5 31 8.B9.C10.6或12 解得m=1,所以当m=1时，四 边形ABCD为菱形； 1.BC-号DB=15. (2).∵AB、AD的长是关于x的12.(1)AB=4,BC=10: 方程x2-mx+受 =0的两 (2)BE=9. 4 微课堂 个实数根，∴.AB十AD=m,AB B ·AD=竖- Γ4 22.2相似图形 1.C2.83.125°，12 .(AB-3)(AD-3)=m, ∴.AB·AD+9-3(AB+AD) 4.x=12,y= 33 2∠a=83 =m,2 十9-3m=m,m月 5.D6B7.号 5 8.∠A=∠A'9.D10.D 7.10% 11.6+1 2 12.613.图略. 8.(1)(60-3a) (2)由(1)知饲养场面积为a(60 14.1)AP-15-1,AE_1.8 ）AB=.5=3AC=5.4 3a)=288,解得a=12或a=8; 当a=8时，60-3a=60-24= 3BC93 36>27,(不合题意，舍去) (2)证明：.DE∥BC, 当a=12时，60-3a=60-36 ∠D=∠B,∠E=∠C, 43 又∠DAE=∠BAC,铝 治-又南PM/Ng得 AE_DE MB_PN·NB_MB.t AC BC AMPA ∴ADAM’3 ∴.△ADE与△ABC相似. 二…=2s,此时相似比为 t 15.(1)由题意得AB=120cm,AD =240cm..矩形EFGHC∽矩 NB_2 形ABCD, AD 3 .EF∥AB,EH∥AD, 22.3.2相似三角形的判定 .'a=10,∴.EF=AB-2a= 第1课时三角形相似的判定定理1 120-10×2=100cm..EH= 1.D2.B3.C AD-2b=(240-2b)cm, 4.∠1=∠C(答案不唯一) 器-290 5.56.15 240 ,解得b=20. 7.四边形ABCD为正方形， (2)5 ∴.∠B=∠C=90°， ∴.∠BEF+∠BFE=90°， 22.3相似三角形 .∠EFG=90°， 22.3.1相似三角形 ∴.∠BFE+∠CFG=90°， 1B21品号是 ∴.∠BEF=∠CFG, ∴.△EBFp△FCG. 4.15,45A6.4 8.AC=2√21cm. 7.答案不唯一，如△ADF∽△ECF 9.A1o管1.9 8..DE∥BC,.∴.△ADE△ABC, 12.(1)略 器柴 (2),∠ABC=20°，∴.∠CBM 又.DE∥BC,∴.△DOE∽ =160°，，BD平分∠CBM, △c0B2器-品 ∴∠CBD-=号∠CBM=80, 器品 ∴.∠ADB=180°-∠A-∠ABC -∠CBD=20°， 9.A10.C11.B12.8cm ∴.∠ABC=∠ADB,∠A= 18号 ∠A,∴.△ABCc∽△ADB. 13.△BAEp△CDA,△EDA∽ 14..DE∥AB,.△ABC △EAB.理由如下： △Dec指-器 .△ABC和△AFG为两个 全等的等腰直角三角形， ,BD是∠ABC的平分线， ∴.∠BAC=90°，∠B=∠C ∠DBE=∠ABD.,DE∥ 45°，∠FAG=45°，.∠ADC AB,∠EDB=∠ABD. =∠B+∠2=45°+∠2， ∠EDB=∠DBE.∴.DE= .∠BAE=∠2+45°， BE=3 cm. ∠BAE=∠ADC, ÷是-38CE-45m ,∠B=∠C, 15.(1).PM∥BC, ∴.△BAEp△CDA, ∴.△AP∽△ANB, .∠DEA=∠AEB, ∴.△EDA∽△EAB. ·PM_AMPM_4-1 …NBAB’1 4 14.(1)证明：由题意，可知∠B= .PM cm: ∠C=60°，AB=BC=AC-9. .∠BAD+∠ADB=120°. (2)若△PNB∽△PAD,则 又.∠ADE=60°， 44 ∴.∠CDE+∠ADB=120°. .∠BAD=∠CDE,且∠B= 当部部或普影时 ∠C,.△ABD△DCE. △PAB与△PCD是相似三角 部-80ABCE=BD 形， '.'AB=6cm,CD=4cm,BD= ·CD; 2)由1证得号-是即（正 1m支 6 BP =2..AE=9-2=7. 14-Bp,解得BP=2cm或 第2课时三角形相似的判定定理？ 12cm或号am.即PB=2an或 1.B2.D3.D 4.△APB与△PCE相似，理由如 12am或号cm时，△PAB与 下：设BP=2k,BC=3k,∴.AB △PCD是相似三角形 =BC=CD=3k,PC=k. 第3课时三角形相似的判定定理3 又E是DC的中点，∴BC-号克 1.A2.B3.D4.B5.1.5 6.∠A=∠D或BC=2EF 咒==2，P既=黄2 7.证明略. 8.D9.C10.B11.B 即瓷哭又∠-∠C- 12.①②④ 13~14.证明略， ∴.△APBp△EPC 15.(1)△ABC∽△DEF,由三边 5..'AB=AC, 对应成比例可知； ∴.∠ABC=∠ACB, (2)不唯一，△P2PD,△PPF, ∴.∠ABD=∠ACE, △P2PD,△P4PD,△P2PP, ,AB=BD·CE, △PFD中，选2个即可.图略. 器兴 方法技巧专题相似三角形的基本模型 1.C2.AF=12cm. ∴.△ABD∽△ECA. 5.DE=3. 6.A1 .A8.C9.54,号 3证明略。49 10.3 .(1青：(2BM=是 11.(-1,0)或(-4,0)或(1,0) 7.(1)△ABC与△DAC相似，理 12.(1)△PBA与△ABC相似，理 由略； 由略：(2)y=16 (2)∠BAC=135°. 13.(1)证明：AD,BE是△ABC &:EB-专AB=1, 的两条高，∴.∠ADC=∠BEC ∴.AB=3,AE=2. =90°， ,四边形ABCD是正方形， 又.'∠C=∠C,∴.△ACD ∴.∠DAE=∠FBE=90°，AD △BCE器-费即cE· =AB=3, 又∠DEA=∠FEB, CA=CD·CB; 2器黑器是 ∴MDE∽ABFE,∴能- AC' 又∵∠C=∠C,EC=5,BC= 架BF- 13,∴.△CDE△CAB, ∴EF=BF+EB=1③ 器震 2 131 14..AB⊥BD,CD⊥BD, 即EF的长为 2 ∴.∠B=∠D=90°， 9.证明略. 45