综合与实践(一) 数形结合与方程思想&综合与实践(二) 数形规律与方程思想-【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案（华东师大版·新教材）

37 综合与实践（一）数形结合与方程思想 阅读材料，并解决问题. 【学习研究】我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法， 以x2+2x一35=0为例，构造方法如下： 首先将方程x2+2x一35=0变形为x(x+2)=35,然后画四个长为x十2，宽为 x+2 x的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图1中大正方形的+2 面积可表示为(x十x十2)，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面 积之和，即4x(x+2)+2=4×35+4.因此，可得新方程(x+x+2)2=144.因为 x+2 x表示边长，所以2x十2=12，即x=5.遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其 图1 中一个正根. 【理解应用】参照上述图的方法，请在下面三个构图中选择能够用几何法求解方程x2一4x一12=0(x >0)的正确构图是·（从序号①②③中选择） ① ② ③ 【类比迁移】小颖根据以上解法解方程2x2十3x一2=0，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为十号x一1一0，即 ）=1； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程 ,解得原方程的一个根 为 【拓展应用】一般地，对于形如x2十αx=b的一元二次方程可以构造图来解. 图2 已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么此方程的系数α一 ,b= ,求得方程的正根为 38 综合与实践（二）数形规律与方程思想 在数学活动课上，同学们对三角形点阵中前行的点数计算进行探究活动：如图1是一个三角形点 阵，从上到下有无数行，其中第一行有1个点，第2行有2个点…第n行有n个点…. 【发现问题】在探究的过程中，容易发现10是三角形点阵前4行的点数和，但遇到较大的点数，逐个 数行数很繁琐。 【提出问题】前多少行的点数和是120？ 【分析问题】数形结合是解决数学问题的重要思想.下表分别从数和形两个角度探究前行的，点数和， 从数的角度看 从形的角度看 通过具体的数字，想到了一种计算方法 —倒序相加法.例如：求 前10行的点数和， 利用图形的特征进行计算.如图2，将一个 S=1+2+3+.+10①， 正立的三角点阵倒立，再与正立的原图形的 由①式倒序：S=10+9+…+2+1②. 三角点阵拼成一个平行四边形点阵，三角形 ①+②，得：2S=(10+1)+(9+2)+.+(10+1)=11×10=110. 点阵点数和为平行四边形点阵数量的一半 所以S=55,即前10行的点数和为55个. 【解决问题】 (1)请根据材料，类比“从数的角度看”的计算方法，求出前n行的点数和. (2)前 行的点数和是120. 【拓展应用】 (3)①如图3，该点阵每行的点数从上到下依次为1,3,5,7，…，2一3,2一1,2m一3，…，7,5,3,1，这 个点阵的点数和能是841吗？请说明理由， ②一群人走进果园去摘石榴，第一个人摘了1个石榴，第二个人摘了2个石榴，第三个人摘了3个石 榴，以此类推，后进果园的人都比前一个人多摘一个石榴，这群人刚好把果园的石榴全部摘下来了， 如果平均分配，每个人可以得到6个石榴，问这群人共有多少人？ n+1个 第行： n行 ●●。5●●● ●●●●● 0◆●●●● ●●● ● 图1 图2 图36AB=√B+ (2)若斜边为4，可令另两直角 4 边分别为3和k.∴.32+2 .'AD= 42,k2=7,k>0.∴.k=7; 2 若直角边为4，则令斜边为k, 4b2+a2-a 另直角边为3..42+32=， 2 k>0.∴.k=5, (2)用配方法求得： 综上所述：k=√7或k=5. T= -V46+a2-a 方法技巧专题一元二次方程的解法 2 1.C2.D 2=√46+a2-4 3.(1)x1=2+√3，x2=2-√3； 正确性：AD的长就是方程的 (2)0= 7+13 a-7- 6 6 正根. 4.D 遗憾之处：图解法不能表示方 5.(1)x1=0,x2=2; 程的负根。 微课堂 (2)x,=3 42=3 : 【示例】一4 【变式】 5 3)== 6.A7.y2-2y-3=0 21.2.3公式法 8.x1=-1,x2=1. 1.A2.C 21.2.4一元二次方程根的判别式 3.4,-3,-2,41,x1= 3+/4I 1.A2.A3.D 8 4.(1)方程有两个相等的实数根； x2=3-厘 (2)方程没有实数根； 8 (3)方程有两个不相等的实数根. 4.3.x2+9x-1=0 5.4m-4>1=1<1 5.(1)x1=3,x2=-1;(2)方程无 6.A7.m=5;x1=x2=2. 实数根 6.D 8D2-专 7.(1)因式分解法，(2)公式法，过 10.A11.A12.D 程略.x1=3,2= 13.(1)证明：原方程可变形为x 5 -5x+6-|m=0, 8.D9.A10.A .△=(-5)2-4(6-|m)=1+ 11.x1=4,x2=-112.2 4ml,又lm≥0，.△0， 13.(1)m=-1+/6,2=-16; ∴.方程总有两个不相等的实 (2)x1=x2= 数根 2 (2)由题意，得m=2,∴.m= (3)0= 2+10 2 2-/10 士2，.原方程为：x2一5x十4 3 3 =0,解得x1=1,x2=4, 14.有错误，错在没有化成一般形 故m的值为士2，方程的另一 式.正确的结果为x=一√6十 个根是4. 22,2=-√6-2√2. 141①25：@7m+7: 15.(1)证明：b2-4ac=(k-3)2, 1 x k+3士(k一3)2 ,解得 (2)证明：mx2+2x+立n=0. x1=3,x2=k, 这里a=m,b=2,6=” h, 无论k为何值，此方程总有 一个根是x=3. .∴△=(2t)2-4m· 2n=4u2 40 2mn, 阶段提升自测（一） .2= m+7,∴=m 1-5 CDCAA 6-8 BCB 9.-310.±√/711.1212.0 +-2mn=(m-n)2≥0， 13.x1=x2=5 ∴关于x的“菱系一元二次方 程”m+2x+号n=0必有 14.(1)x1=2十5，x2=2-5; 5 (2).=2,=1:(3).西= 实数根 21.2.5一元二次方程的根与 系数的关系 子 15.原方程化为m.x2-(3m-1)x 1.A2.B【变式】2020 +2m-1=0, 5.D 由题意，得m≠0，△=b-4ac =[-(3m-1)]2-4m(2m 6.另一个根是2+5，c的值是-1. 1)=1,解得m=0(不符合题 7.A8.D9.C10.D 意，舍去)，=2，∴原方程化 11.1412.x2-6.x+6=0 为：2x2-5.x十3=0， 13.(1)k的取值范围为k>一1： (2)1 解得1函=子 14.(1)证明：.△=[-(2m+1)]2- 16.(1)等腰三角形，理由略： 4(+m)=4m2+4m+1 (2)直角三角形，理由略； 4m2-4m=1>0, (3)x1=0,x2=一1. .无论m取何值时，方程都有 17.(1).△=[-(2k+1)]2-4× 两个不相等的实数根. (2)由题意，得a十b= 1×(22-2）=4楼+4+1 -(2m+1D=2m十1， -2k2+8=2k+4k+9=2(k 1 +1)2+7>0, ab=m十=m2+m, ∴无论k为何实数，方程总有 1 两个不相等的实数根； (2a+b)(a+2b)=20,即2(a (2)由根与系数的关系得出x +b)2+ab=20, .2(2m+1)2+m2+m=20, 十x2=2k+1,x1x2= -2, 1 整理得：2十m一2=0，解得：m1 x1-x2=3,.(x1-x2)2= =-2,2=1, 9,.(x1十x2)2-4x1x2=9, ∴.m的值为-2或1. 15.(1)5123 (2+1)-4×(合2-2) (2)因为s,t满足2s2-75+1 =9,化简得2+2k=0, =0,t2-7t+2=0,且st≠1， 解得k=0或k=-2. 则2(2) -7+1=0 21.3实践与探索 第1课时图形面积问题 所以s和}可看成方程2.2 1.B2.7m3.16cm 4.小路的宽应是2m. 7x十1=0的两个根， 5.所围矩形猪舍的长为10m,宽 所以+-… 为8m时，猪舍面积为80m. t 2' 6.5-17.2 t 号，即。号，所8小林应把绳子剪成12m 2st+2 7-2+2 和28cm两段； 以 s1+3t+五= 7一2+3t+1 (2)小峰的说法是对的.理由略. 2 9.(1)36-3.x;(2)8米 14 13 10.(1)Saa=24(8-2), 41 SAAx=号X4X8=16. 2.A 3.(1)(680一10x);(2)当该种书 ∴4(8-20=16× 包销售单价为42元或56元 4 时，销售利润是3120元. 整理得t一4t+4=0. 4.有盖纸盒的底面边长为8cm. 解得t=2. 5.(1)利用待定系数法易求y与x 答：当t=2s时△PCQ的面积 之间的函数表达式y=一x十 为△ABC面积的1： 100; (2)根据题意得：x(-x+100) (2)当S△rQ= 5a时. =2500, 34(8-20=16×2 整理得：x2一100x十2500=0， 解得：01=x2=50. 整理得t2-4t十8=0， 答：每个拉布布盲盒的售价为 △=(-4)2-4×1×8=-16 50元. <0,∴.此方程没有实数根， 6.(1)(120-2.x) ∴.△PCQ的面积不可能是 (2)①由题意得：(x-15)(120 △ABC面积的一半. -2.x)=900, 第2课时传播问题和增长率问题 整理得：x2-75.x+1350=0, 1.C2.C3.D4.A5.10% 解得：x1=45,x2=30(不符合 6.3月份到5月份营业额的月平 题意，舍去)， 均增长率为20%. 答：该雕花剪纸文创画每幅的 7.C8.D9.D10.B 售价应为45元： 11.20% ②当x=45时，每天销售量为 12.(1)每轮传染中，平均一个人 120一2×45=30（幅）， 传染10个人； ∴.30×0.8=24（元）， (2)按照这样的速度传染，第 答：商家每天通过销售该雕花 三轮将新增1210名感染者. 剪纸文创画捐款24元. 13.任务1： 7.选择方案二 设第一季度到第三季度生产 综合与实践（一）数形结合 量的每季度增长率为x,根据 与方程思想 题意得：200(1+x)2=288, 【理解应用】② 解得x=0.2=20%,x=-2. 【类比迁移】十号 (+x+)》月 2(不符合题意，舍去)， 答：第一季度到第三季度生产 =41+(x= 量的每季度增长率为20%； 【拓展应用】士231或3 任务2： 综合与实践（二）数形规律 设增加a条生产线，则每条生 与方程思想 产线产能为(300-20a)万个/ (1)设S=1+2+3+…+n-1+n 季度，根据题意得：(1+a) ①，由①式倒序：S=n+n一1+… (300-20a)=1200,整理得a2 +2+1② -14a+45=0,即(a-5)(a ①+②，得：2S=(n+1)+(n-1 9)=0,解得a1=5,a2=9, +2)+…+(n+1)=n(n+1), ,在增加产能同时要节省投 入成本，∴.a=5. S=1 n(n十1)，.前n行的点 答：应增加5条生产线， 第3课时营销与方案问题 数和为2nn十1)： 1.(3+x)0.5.x(4-0.5.x) (2)15 (3+x)(4-0.5.x)=15 (3)①这个点阵的点数和能是 42 841,理由： =24<27,符合题意，故a=12. ,该点阵每行的点数从上到下依9.B10.A11.B 次为1,3,5,7，…，2n-3,2n-1,12.3(x-1)x=6210 2n一3，…，7,5,3,1，.S=13.(1)每月销售y(件)与售价x n(1+2n-1)+n(2m-1+1D (元)的函数关系式为y=一 2 2 10x+1200. (2n-1),∴.S=2n2-2n+1, (2)售价定为70元可获得利 .2m2-2m+1=841,解得n=21 润是10000元. 或n=-20(舍去)，∴.n=21, 14.(1)1(2)x1=3+i,x2=3-i 故当n=21时，这个点阵的点数 第22章图形的相似 和是841； 22.1成比例线段 ②设这群人共有x人： 22.1.1成比例线段 2x(1十x)=6,解得x1=0(舍 1.1:2000000 2.(1)成比例，a:b=c:d;(2)成比 去)，x2=11. 例，a:c=:b;(3)不成比例 故这群人共有11人. 章末考点整合与素养提升 3号日？410 1.-32.-1 5.D6.D7.3.4×10 3.(1)2士1；(2)x1=8,x2= 2 8.2或-1 9.a=15cm,b=20cm,c=25cm. 4.B 10.AC=(15-5√5)cm. 5.(1)13;(2)-6: 22.1.2平行线分线段成比例 (3)a≤2且a≠0 6.(1)四边形ABCD为菱形，则方 1.D2.4 EF AD 程有两个相等的实数根， 3.FG'BD 36 ∴4=8-4ac=(-m)2-4(罗 4.AC- 5 5.B6.6 7.BF= )=0,即m-2m+1=0, 3.CF-5 31 8.B9.C10.6或12 解得m=1,所以当m=1时，四 边形ABCD为菱形； 1.BC-号DB=15. (2).∵AB、AD的长是关于x的12.(1)AB=4,BC=10: 方程x2-mx+受 =0的两 (2)BE=9. 4 微课堂 个实数根，∴.AB十AD=m,AB B ·AD=竖- Γ4 22.2相似图形 1.C2.83.125°，12 .(AB-3)(AD-3)=m, ∴.AB·AD+9-3(AB+AD) 4.x=12,y= 33 2∠a=83 =m,2 十9-3m=m,m月 5.D6B7.号 5 8.∠A=∠A'9.D10.D 7.10% 11.6+1 2 12.613.图略. 8.(1)(60-3a) (2)由(1)知饲养场面积为a(60 14.1)AP-15-1,AE_1.8 ）AB=.5=3AC=5.4 3a)=288,解得a=12或a=8; 当a=8时，60-3a=60-24= 3BC93 36>27,(不合题意，舍去) (2)证明：.DE∥BC, 当a=12时，60-3a=60-36 ∠D=∠B,∠E=∠C, 43 又∠DAE=∠BAC,铝 治-又南PM/Ng得 AE_DE MB_PN·NB_MB.t AC BC AMPA ∴ADAM’3 ∴.△ADE与△ABC相似. 二…=2s,此时相似比为 t 15.(1)由题意得AB=120cm,AD =240cm..矩形EFGHC∽矩 NB_2 形ABCD, AD 3 .EF∥AB,EH∥AD, 22.3.2相似三角形的判定 .'a=10,∴.EF=AB-2a= 第1课时三角形相似的判定定理1 120-10×2=100cm..EH= 1.D2.B3.C AD-2b=(240-2b)cm, 4.∠1=∠C(答案不唯一) 器-290 5.56.15 240 ,解得b=20. 7.四边形ABCD为正方形， (2)5 ∴.∠B=∠C=90°， ∴.∠BEF+∠BFE=90°， 22.3相似三角形 .∠EFG=90°， 22.3.1相似三角形 ∴.∠BFE+∠CFG=90°， 1B21品号是 ∴.∠BEF=∠CFG, ∴.△EBFp△FCG. 4.15,45A6.4 8.AC=2√21cm. 7.答案不唯一，如△ADF∽△ECF 9.A1o管1.9 8..DE∥BC,.∴.△ADE△ABC, 12.(1)略 器柴 (2),∠ABC=20°，∴.∠CBM 又.DE∥BC,∴.△DOE∽ =160°，，BD平分∠CBM, △c0B2器-品 ∴∠CBD-=号∠CBM=80, 器品 ∴.∠ADB=180°-∠A-∠ABC -∠CBD=20°， 9.A10.C11.B12.8cm ∴.∠ABC=∠ADB,∠A= 18号 ∠A,∴.△ABCc∽△ADB. 13.△BAEp△CDA,△EDA∽ 14..DE∥AB,.△ABC △EAB.理由如下： △Dec指-器 .△ABC和△AFG为两个 全等的等腰直角三角形， ,BD是∠ABC的平分线， ∴.∠BAC=90°，∠B=∠C ∠DBE=∠ABD.,DE∥ 45°，∠FAG=45°，.∠ADC AB,∠EDB=∠ABD. =∠B+∠2=45°+∠2， ∠EDB=∠DBE.∴.DE= .∠BAE=∠2+45°， BE=3 cm. ∠BAE=∠ADC, ÷是-38CE-45m ,∠B=∠C, 15.(1).PM∥BC, ∴.△BAEp△CDA, ∴.△AP∽△ANB, .∠DEA=∠AEB, ∴.△EDA∽△EAB. ·PM_AMPM_4-1 …NBAB’1 4 14.(1)证明：由题意，可知∠B= .PM cm: ∠C=60°，AB=BC=AC-9. .∠BAD+∠ADB=120°. (2)若△PNB∽△PAD,则 又.∠ADE=60°， 44 ∴.∠CDE+∠ADB=120°. .∠BAD=∠CDE,且∠B= 当部部或普影时 ∠C,.△ABD△DCE. △PAB与△PCD是相似三角 部-80ABCE=BD 形， '.'AB=6cm,CD=4cm,BD= ·CD; 2)由1证得号-是即（正 1m支 6 BP =2..AE=9-2=7. 14-Bp,解得BP=2cm或 第2课时三角形相似的判定定理？ 12cm或号am.即PB=2an或 1.B2.D3.D 4.△APB与△PCE相似，理由如 12am或号cm时，△PAB与 下：设BP=2k,BC=3k,∴.AB △PCD是相似三角形 =BC=CD=3k,PC=k. 第3课时三角形相似的判定定理3 又E是DC的中点，∴BC-号克 1.A2.B3.D4.B5.1.5 6.∠A=∠D或BC=2EF 咒==2，P既=黄2 7.证明略. 8.D9.C10.B11.B 即瓷哭又∠-∠C- 12.①②④ 13~14.证明略， ∴.△APBp△EPC 15.(1)△ABC∽△DEF,由三边 5..'AB=AC, 对应成比例可知； ∴.∠ABC=∠ACB, (2)不唯一，△P2PD,△PPF, ∴.∠ABD=∠ACE, △P2PD,△P4PD,△P2PP, ,AB=BD·CE, △PFD中，选2个即可.图略. 器兴 方法技巧专题相似三角形的基本模型 1.C2.AF=12cm. ∴.△ABD∽△ECA. 5.DE=3. 6.A1 .A8.C9.54,号 3证明略。49 10.3 .(1青：(2BM=是 11.(-1,0)或(-4,0)或(1,0) 7.(1)△ABC与△DAC相似，理 12.(1)△PBA与△ABC相似，理 由略； 由略：(2)y=16 (2)∠BAC=135°. 13.(1)证明：AD,BE是△ABC &:EB-专AB=1, 的两条高，∴.∠ADC=∠BEC ∴.AB=3,AE=2. =90°， ,四边形ABCD是正方形， 又.'∠C=∠C,∴.△ACD ∴.∠DAE=∠FBE=90°，AD △BCE器-费即cE· =AB=3, 又∠DEA=∠FEB, CA=CD·CB; 2器黑器是 ∴MDE∽ABFE,∴能- AC' 又∵∠C=∠C,EC=5,BC= 架BF- 13,∴.△CDE△CAB, ∴EF=BF+EB=1③ 器震 2 131 14..AB⊥BD,CD⊥BD, 即EF的长为 2 ∴.∠B=∠D=90°， 9.证明略. 45