21.2.4 一元二次方程根的判别式-【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案（华东师大版·新教材）

C25 21.2.4一元二次方程根的判别式 01基础达标 (3)3(x2-1)-5x=0. 知识点一 利用根的判别式判别一元二次方程 根的情况 1.(2025·吉林)一元二次方程x2一2x=0根的 判别式的值为 ( A.4 B.2 C.0 D.-4 2.一元二次方程x2十x一1=0的根的情况是 知识点二 利用根的判别式确定字母的取值或 范围 A.有两个不相等的实数根 5.关于x的方程x2十2x一（m一2)=0的根的判 B.没有实数根 别式△= ,若方程有两个不相等的 C.有两个相等的实数根 实数根，则m ;若方程有两个相等的 D.只有一个实数根 实数根，则m ;若方程没有实数根，则 3.下列方程没有实数解的是 m A.x2=0 B.x2-2x+1=0 6.(2025·江苏)若关于x的一元二次方程x2 C.x2+2x-1=0 D.x2+2x+2=0 2x一k=0没有实数根，则k的值可以是 4.不解方程，判断下列一元二次方程的根的情 ( 况： A.-2 B.-1 C.0 D.1 (1)9x2+6.x+1=0: 7.已知关于x的一元二次方程x2一4x十m一1= 0有两个相等的实数根，求m的值及方程的 根 (2)16x2+8x=-3; 26 易错点1应用根的判别式求字母的取值范围时 (2)若方程的一个根是1，求m的值及方程的 忽视一元二次方程的隐含条件 另一个根， 8.(2025·四川)关于x的一元二次方程kx2+ 2x一1=0有两个不相等实数根，则k的取值 范围是 A.k>-1 B.k≥-1 C.k≠0 D.k>-1且k≠0 易错点2未对方程进行分类讨论导致漏解 ,.若关于工的方程x2-工一-0有实数根，则 k的取值范围是 02能力提升 10.已知关于x的方程x2-(2k一2)x十k2一1=0 03思维拓展 有两个实数根，则√(k一1)产一（√2一）的 14.如图，菱形ABCD中，m、n、t分别是菱形AB 化简结果是 CD的两条对角线和边长，这时我们把关于 A.-1 B.1 的形如mx2+2√2tx十n=0的一元二次方程 C.-1-2k D.2k-3 称为“菱系一元二次方程”.请解决下列问题： 11.定义运算：m☆n=mn2一mm一1，例如：4☆2 (1)填空： =4×2一4×2一1=7，则方程1☆x=0的根 ①当m=4,n=8时，t= 的情况为 ②用含m,n的代数式表示= A.有两个不相等的实数根 (2)求证：关于x的“菱系一元二次方程”mx B.有两个相等的实数根 +2x十=0必有实数根。 C.无实数根 D.只有一个实数根 12.直线y=x十a不经过第二象限，则关于x的 方程a.x2+2x+1=0的实数解的个数是 ( A.0个 B.1个 C.2个 D.1个或2个 13.已知关于x的一元二次方程(x一3)(x一2)= m. (1)求证：对于任意实数m,方程总有两个不 相等的实数根。6AB=√B+ (2)若斜边为4，可令另两直角 4 边分别为3和k.∴.32+2 .'AD= 42,k2=7,k>0.∴.k=7; 2 若直角边为4，则令斜边为k, 4b2+a2-a 另直角边为3..42+32=， 2 k>0.∴.k=5, (2)用配方法求得： 综上所述：k=√7或k=5. T= -V46+a2-a 方法技巧专题一元二次方程的解法 2 1.C2.D 2=√46+a2-4 3.(1)x1=2+√3，x2=2-√3； 正确性：AD的长就是方程的 (2)0= 7+13 a-7- 6 6 正根. 4.D 遗憾之处：图解法不能表示方 5.(1)x1=0,x2=2; 程的负根。 微课堂 (2)x,=3 42=3 : 【示例】一4 【变式】 5 3)== 6.A7.y2-2y-3=0 21.2.3公式法 8.x1=-1,x2=1. 1.A2.C 21.2.4一元二次方程根的判别式 3.4,-3,-2,41,x1= 3+/4I 1.A2.A3.D 8 4.(1)方程有两个相等的实数根； x2=3-厘 (2)方程没有实数根； 8 (3)方程有两个不相等的实数根. 4.3.x2+9x-1=0 5.4m-4>1=1<1 5.(1)x1=3,x2=-1;(2)方程无 6.A7.m=5;x1=x2=2. 实数根 6.D 8D2-专 7.(1)因式分解法，(2)公式法，过 10.A11.A12.D 程略.x1=3,2= 13.(1)证明：原方程可变形为x 5 -5x+6-|m=0, 8.D9.A10.A .△=(-5)2-4(6-|m)=1+ 11.x1=4,x2=-112.2 4ml,又lm≥0，.△0， 13.(1)m=-1+/6,2=-16; ∴.方程总有两个不相等的实 (2)x1=x2= 数根 2 (2)由题意，得m=2,∴.m= (3)0= 2+10 2 2-/10 士2，.原方程为：x2一5x十4 3 3 =0,解得x1=1,x2=4, 14.有错误，错在没有化成一般形 故m的值为士2，方程的另一 式.正确的结果为x=一√6十 个根是4. 22,2=-√6-2√2. 141①25：@7m+7: 15.(1)证明：b2-4ac=(k-3)2, 1 x k+3士(k一3)2 ,解得 (2)证明：mx2+2x+立n=0. x1=3,x2=k, 这里a=m,b=2,6=” h, 无论k为何值，此方程总有 一个根是x=3. .∴△=(2t)2-4m· 2n=4u2 40 2mn, 阶段提升自测（一） .2= m+7,∴=m 1-5 CDCAA 6-8 BCB 9.-310.±√/711.1212.0 +-2mn=(m-n)2≥0， 13.x1=x2=5 ∴关于x的“菱系一元二次方 程”m+2x+号n=0必有 14.(1)x1=2十5，x2=2-5; 5 (2).=2,=1:(3).西= 实数根 21.2.5一元二次方程的根与 系数的关系 子 15.原方程化为m.x2-(3m-1)x 1.A2.B【变式】2020 +2m-1=0, 5.D 由题意，得m≠0，△=b-4ac =[-(3m-1)]2-4m(2m 6.另一个根是2+5，c的值是-1. 1)=1,解得m=0(不符合题 7.A8.D9.C10.D 意，舍去)，=2，∴原方程化 11.1412.x2-6.x+6=0 为：2x2-5.x十3=0， 13.(1)k的取值范围为k>一1： (2)1 解得1函=子 14.(1)证明：.△=[-(2m+1)]2- 16.(1)等腰三角形，理由略： 4(+m)=4m2+4m+1 (2)直角三角形，理由略； 4m2-4m=1>0, (3)x1=0,x2=一1. .无论m取何值时，方程都有 17.(1).△=[-(2k+1)]2-4× 两个不相等的实数根. (2)由题意，得a十b= 1×(22-2）=4楼+4+1 -(2m+1D=2m十1， -2k2+8=2k+4k+9=2(k 1 +1)2+7>0, ab=m十=m2+m, ∴无论k为何实数，方程总有 1 两个不相等的实数根； (2a+b)(a+2b)=20,即2(a (2)由根与系数的关系得出x +b)2+ab=20, .2(2m+1)2+m2+m=20, 十x2=2k+1,x1x2= -2, 1 整理得：2十m一2=0，解得：m1 x1-x2=3,.(x1-x2)2= =-2,2=1, 9,.(x1十x2)2-4x1x2=9, ∴.m的值为-2或1. 15.(1)5123 (2+1)-4×(合2-2) (2)因为s,t满足2s2-75+1 =9,化简得2+2k=0, =0,t2-7t+2=0,且st≠1， 解得k=0或k=-2. 则2(2) -7+1=0 21.3实践与探索 第1课时图形面积问题 所以s和}可看成方程2.2 1.B2.7m3.16cm 4.小路的宽应是2m. 7x十1=0的两个根， 5.所围矩形猪舍的长为10m,宽 所以+-… 为8m时，猪舍面积为80m. t 2' 6.5-17.2 t 号，即。号，所8小林应把绳子剪成12m 2st+2 7-2+2 和28cm两段； 以 s1+3t+五= 7一2+3t+1 (2)小峰的说法是对的.理由略. 2 9.(1)36-3.x;(2)8米 14 13 10.(1)Saa=24(8-2), 41 SAAx=号X4X8=16. 2.A 3.(1)(680一10x);(2)当该种书 ∴4(8-20=16× 包销售单价为42元或56元 4 时，销售利润是3120元. 整理得t一4t+4=0. 4.有盖纸盒的底面边长为8cm. 解得t=2. 5.(1)利用待定系数法易求y与x 答：当t=2s时△PCQ的面积 之间的函数表达式y=一x十 为△ABC面积的1： 100; (2)根据题意得：x(-x+100) (2)当S△rQ= 5a时. =2500, 34(8-20=16×2 整理得：x2一100x十2500=0， 解得：01=x2=50. 整理得t2-4t十8=0， 答：每个拉布布盲盒的售价为 △=(-4)2-4×1×8=-16 50元. <0,∴.此方程没有实数根， 6.(1)(120-2.x) ∴.△PCQ的面积不可能是 (2)①由题意得：(x-15)(120 △ABC面积的一半. -2.x)=900, 第2课时传播问题和增长率问题 整理得：x2-75.x+1350=0, 1.C2.C3.D4.A5.10% 解得：x1=45,x2=30(不符合 6.3月份到5月份营业额的月平 题意，舍去)， 均增长率为20%. 答：该雕花剪纸文创画每幅的 7.C8.D9.D10.B 售价应为45元： 11.20% ②当x=45时，每天销售量为 12.(1)每轮传染中，平均一个人 120一2×45=30（幅）， 传染10个人； ∴.30×0.8=24（元）， (2)按照这样的速度传染，第 答：商家每天通过销售该雕花 三轮将新增1210名感染者. 剪纸文创画捐款24元. 13.任务1： 7.选择方案二 设第一季度到第三季度生产 综合与实践（一）数形结合 量的每季度增长率为x,根据 与方程思想 题意得：200(1+x)2=288, 【理解应用】② 解得x=0.2=20%,x=-2. 【类比迁移】十号 (+x+)》月 2(不符合题意，舍去)， 答：第一季度到第三季度生产 =41+(x= 量的每季度增长率为20%； 【拓展应用】士231或3 任务2： 综合与实践（二）数形规律 设增加a条生产线，则每条生 与方程思想 产线产能为(300-20a)万个/ (1)设S=1+2+3+…+n-1+n 季度，根据题意得：(1+a) ①，由①式倒序：S=n+n一1+… (300-20a)=1200,整理得a2 +2+1② -14a+45=0,即(a-5)(a ①+②，得：2S=(n+1)+(n-1 9)=0,解得a1=5,a2=9, +2)+…+(n+1)=n(n+1), ,在增加产能同时要节省投 入成本，∴.a=5. S=1 n(n十1)，.前n行的点 答：应增加5条生产线， 第3课时营销与方案问题 数和为2nn十1)： 1.(3+x)0.5.x(4-0.5.x) (2)15 (3+x)(4-0.5.x)=15 (3)①这个点阵的点数和能是 42