21.2.3 公式法&方法技巧专题 一元二次方程的解法-【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案（华东师大版·新教材）

…AB=√B+ (2)若斜边为4，可令另两直角 边分别为3和k.∴.32十2= .AD 42,k2=7,k>0.k=√7； 4 2 若直角边为4，则令斜边为k, √/4b2+a2-a 另直角边为3..42十32=k2, 2 k>0.∴.k=5, (2)用配方法求得： 综上所述：k=√7或k=5. -4b+a2-a 方法技巧专题一元二次方程的解法 2 1.C2.D x2=V46+a-a 3.(1)x1=2+√3，x2=2-√3； 2 正确性：AD的长就是方程的 (②x7+E.=7-E 6 6 正根. 4.D 遗憾之处：图解法不能表示方 5.(1)x1=0,x2=2; 程的负根， 微课堂 (2)=3 23 【示例】一4 【变式】子 5 （8)z=4-号 6.A7.y2-2y-3=0 21.2.3公式法 8.x1=-1,x2=1. 1.A2.C 21.2.4一元二次方程根的判别式 3.4,-3,-2,41,4=3十4厘 1.A2.A3.D 8 4.(1)方程有两个相等的实数根； x2=3-4 (2)方程没有实数根； 8 (3)方程有两个不相等的实数根. 4.3x2+9x-1=0 5.4m-4>1=1<1 5.(1)x1=3,x2=-1;(2)方程无 6.A7.m=5;x1=x2=2. 实数根， 6.D &D2号 7.(1)因式分解法，(2)公式法，过 10.A11.A12.D 程略.x1=3,x2= 3 13.(1)证明：原方程可变形为x2 -5x+6-m=0, 8.D9.A10.A .△=(-5)2-4(6-m)=1十 11.x1=4,x2=-112.2 4ml,又.m≥0，∴.△>0， 13.(1)0=-1+√6，x2=-1√6； .方程总有两个不相等的实 1 (2)x1=12=一29 数根. (2)由题意，得|m=2,∴.m (3)=2+10 3 2=2-10 土2，.原方程为：x2-5x十4 3 =0,解得x1=1,x2=4, 14.有错误，错在没有化成一般形 故m的值为士2，方程的另一 式.正确的结果为x1=一√6十 个根是4. 22,x2=-√6-2√2. 15.(1)证明：b2一4ac=(k-3)2, 141025:@}m+; x= k+3士√/(k-3)2 (2)证明mr+2x+之=0， 2 ,解得 x1=3,x2=k, 这里，a=m,b=2t,c=21, ∴.无论k为何值，此方程总有 一个根是x=3. ∴A=(2)2-4m·2n=4 40 2mn, 阶段提升自测（一） .2= m+=m 1-5 CDCAA 6-8 BCB 9.-310.±√711.1212.0 +n2-2mn=(m-n)2≥0， 13.x1=x2=5 ∴.关于x的“菱系一元二次方 14.(1)x1=2+√5，x2=2-√5； 程”mx+2x+2n=0必有 5 (2)x=2,x=1:(3)= 实数根。 21.2.5一元二次方程的根与 1 系数的关系 15.原方程化为m.x2-(3m-1)x 1.A2.B【变式】2020 +2m-1=0, 4(1)0:(2) 2 5.D 由题意，得m≠0，△=b-4ac =[-(3m-1)]2-4m(2m 6.另一个根是2十√5，c的值是一1. 1)=1,解得m=0(不符合题 7.A8.D9.C10.D 意，舍去)，m2=2,∴.原方程化 11.1412.x2-6.x+6=0 为：2x2-5.x+3=0, 13.(1)k的取值范围为k>-1; (2)1 解得山=1=号 14.（1)证明：，△=[-(2m+1)]2- 16.(1)等腰三角形，理由略； 4(+m)=4m2+4m+1 (2)直角三角形，理由略； 4m2-4m=1>0, (3)x1=0,x2=-1. ∴.无论m取何值时，方程都有 17.(1).△=[-(2k+1)]2-4× 两个不相等的实数根， (2)由题意，得a十b= 1X(分-2)=4级+4+1 -(2m+1)=2m+1, 2k2+8=2k2+4k+9=2(k 1 +1)2+7>0, ab-mitm-m+m. 无论k为何实数，方程总有 1 两个不相等的实数根； (2a十b)(a+2b)=20,即2(a (2)由根与系数的关系得出x1 +b)2+ab=20, ∴.2(2m十1)2十m2十m=20, 十=+1函=2-2. 整理得：m十m一2=0，解得：m x1-x2=3,.(x1-x2)2= =-2,2=1, 9,.(x1十x2)2-4x1x2=9, .m的值为一2或1. 15.(1)5123 (2+1)-4×(号2-2) (2)因为s,t满足2s2一7s+1 =9,化简得k2十2k=0, =0,t2-7t十2=0，且st≠1， 解得k=0或k=-2. 则2()-7·+1=0. 21.3实践与探索 第1课时图形面积问题 所以、和可看成方程2x2 1.B2.7m3.16cm 4.小路的宽应是2m. 7x十1=0的两个根， 5.所围矩形猪舍的长为10m,宽 i=2 为8m时，猪舍面积为80m. 6.√5-17.2 则1一名即1=。2，所8小林应把绳子剪成12m t 和28cm两段； 以 2st+2 7t-2+2 st+31+1= 71一2+3t+1 (2)小峰的说法是对的.理由略. 2 9.(1)36-3x;(2)8米 14 1 13 10.(1):S△m=21(8-21), 41 SAABC-2X4X8=16. 2.A 3.(1)(680一10x);(2)当该种书 2(8-20)=16× 包销售单价为42元或56元 时，销售利润是3120元. 整理得t2-4t十4=0. 4.有盖纸盒的底面边长为8cm. 解得t=2. 5.(1)利用待定系数法易求y与x 答：当t=2s时△PCQ的面积 之间的函数表达式y=一x十 1 为△ABC面积的 100; (2)根据题意得：x(一x+100) L2)当SAo=)SA时 =2500, 24(8-20=16×2, 整理得：x2-100x+2500=0, 解得：x1=x2=50. 整理得t2一4t十8=0， 答：每个拉布布盲盒的售价为 △=(-4)2-4×1×8=-16 50元. <0,此方程没有实数根， 6.(1)(120-2x) ∴.△PCQ的面积不可能是 (2)①由题意得：(x-15)(120 △ABC面积的一半. -2x)=900, 第2课时传播问题和增长率问题 整理得：x2-75x十1350=0， 1.C2.C3.D4.A5.10% 解得：x1=45,x2=30(不符合 6.3月份到5月份营业额的月平 题意，舍去)， 均增长率为20%. 答：该雕花剪纸文创画每幅的 7.C8.D9.D10.B 售价应为45元； 11.20% ②当x=45时，每天销售量为 12.(1)每轮传染中，平均一个人 120一2×45=30（幅）， 传染10个人； ∴.30×0.8=24（元）， (2)按照这样的速度传染，第 答：商家每天通过销售该雕花 三轮将新增1210名感染者. 剪纸文创画捐款24元. 13.任务1： 7.选择方案二 设第一季度到第三季度生产 综合与实践（一）数形结合 量的每季度增长率为x,根据 与方程思想 题意得：200(1+x)2=288, 【理解应用】② 解得x=0.2=20%,x=-2. 【类比迁移】十 (x+x+2) 31 2(不符合题意，舍去)， 答：第一季度到第三季度生产 -4X1+()”= 量的每季度增长率为20%； 【拓展应用】士231或3 任务2： 综合与实践（二）数形规律 设增加a条生产线，则每条生 与方程思想 产线产能为(300一20a)万个/ (1)设S=1+2十3+…十n-1+n 季度，根据题意得：(1十a) ①，由①式倒序：S=n十n一1十… (300-20a)=1200,整理得a +2+1②， -14a+45=0,即(a-5)(a ①+②，得：2S=(n+1)+(n-1 9)=0,解得a1=5,a2=9, +2)+…+(n+1)=n(n十1)， 在增加产能同时要节省投 入成本，.a=5. 2n(n十1)，.前n行的点 答：应增加5条生产线， 第3课时营销与方案问题 数和为2(n十1D: 1.(3+x)0.5x(4-0.5.x) (2)15 (3+x)(4-0.5x)=15 (3)①这个点阵的点数和能是 422 21.2.3 01基础达标 知识点一一元二次方程的求根公式 1.用公式法解一x2十3x=1时，先求出a,b,c的 值，则a,b,c的值依次为 A.-1,3,-1 B.1,-3,-1 C.-1,-3,-1 D.-1,3,1 2.已知一元二次方程ax2十bx十c=0的两根均 为有理数，则 ) A.b2一4ac为有理数 B.c=0 C.b一4ac为完全平方数 D.b=0 知识点二公式法解一元二次方程 3.用公式法解方程4x2=3x十2时，应先找出对 应的a= ,b= ,c= ,计算 出b2-4ac= ,可得方程的根是 4.用公式法解一元二次方程，得x9土V94X3X1 2X3 则该一元二次方程是 5.用公式法解下列方程： (1)x2-2x-3=0; (2)2x2-x=-1. 公式法 知识点三选择合适的方法解一元二次方程 6.解下列方程：①x2-5=0;②2x2-x-2=0; ③2(3.x一4)2=3(4一3x)时，解法选择较为恰 当的是 () A.全部用公式法 B.全部用配方法 C.第①个用直接开平方法，其余都用公式法 D.分别用直接开平方法，公式法，因式分解法 7.用两种方法解方程(x一3)2+4x(x一3)=0. 02能力提升 8.若一元二次方程x2十bx十4=0的两个实数根 中较小的一个根是m(m≠0)，则b十√6-16 三 A.m B.-m C.2m D.-2m 9.用求根公式解方程ax2十bx十c=0的两根互 为相反数，则 A.b=0 B.c=0 C.62-4ac=0 D.b十=0 10.已知一元二次方程x2一x一3=0的较小根为 x1,则下面对x1的估计正确的是 A.-2<x1<-1B.-3<x1<-2 C.2<x1<3 D.-1<x1<0 11.李伟同学在解关于x的一元二次方程x2 3x十m=0时，误将一3x看作十3x,结果解得 x1=1,x2=一4，则原方程的解为 12.若非零实数a,b满足4d2+=4ab,则白= 13.用适当的方法解下列方程： (1)x2+2x-5=0: (2)x+x+4-0: (3)3x2-2=4x. 14.解方程v2x2+4√3.x=22 有一位同学解答如下： 这里，a=√2，b=4V3,c=2√2 ∴.-4ac=(43)2一4XV2X2√2=32 x=-b士-4ac=-4y3±y32=-6士2 2a 2W2 ∴.x1=-√6十2，x2=-√6-2 23 请你分析以上解答有无错误，如有错误，找出 错误的地方，并写出正确的结果， 03思维拓展 15.已知关于x的一元二次方程x2一(k+3)x十 3k=0. (1)求证：无论k为何值，此方程总有一个根 是定值， (2)若直角三角形的一边为4，另两边恰好是 这个方程的两根，求k的值 24 方法技巧专题 方法1形如(x十m)2=n(n≥0)的一元二次方 程，用直接开平方法求解 1.用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无 实数解的方程为 ( A.x2-5=5 B.-3x2=0 C.x2+4=0 D.(x+1)2=0 方法2当二次项系数为1，且一次项系数为偶 数时，用配方法求解 2.用配方法解方程x2十4x一1=0，配方后的方 程是 A.(x+2)2=3 B.(x-2)2=3 C.(x-2)2=5 D.（x+2)2=5 方法3如果一个一元二次方程易于化为它的一 般形式，则用公式法求解 3.用公式法解方程： (1)x2=4x-1; (2)3(x2+1)-7x=0. 方法4能化成形如(x十a)(x十b)=0的一元二 次方程用因式分解法求解 4.一元二次方程x(x一2)=2一x的根是（) A.x=-1 B.x=0 C.x1=1,x2=2 D.x1=2,x2=-1 元二次方程的解法 5.解下列一元二次方程： (1)x2-2x=0; (2)16x2-9=0 (3)4x2=4x-1. 方法5换元法 6.若(a+b)(a十b+2)一8=0，则a十+b的值为 () A.-4或2 B3或-8 C.-2或4 D.3或-2 7.用换元法解分式方程2+之-2(x+)一1=0 时，如果设y=x十，那么原方程可化为关于y 的一元二次方程的一般形式是 8解方程2。-2