21.2.2 配方法&微课堂 利用配方法求最值-【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案（华东师大版·新教材）

20 21.2.2 01基础达标 知识点一配方 1.把一元二次方程a一6a=7配方，需在方程两 边都加上 ( A.3 B.-3 C.9 D.-9 2.(2025·北京)把方程号-3x-5=0化成x +m)2=n的形式是 A.(x-}=19 R(-》P- C.(x-3)2=19 D.(x+3)2=19 3.填空： (1)x2+4x+4=(x+)2 (2r-3x-(x- (3)x2+6x+ =(x十)2 知识点二用配方法解一元二次方程 4.用配方法解方程2x2一x一6=0，开始出现错 误的步骤是 ( 2x2-x=6,…① x2 2x=3, ② =3+ ③ (x-)》=3 ④ A.① B.② C.③ D.④ 5.解方程： (1)x2-2x=4; (2)1-x=3x2. 配方法 易错点用配方法变形代数式时没有恒等变形 6.将二次三项式2x2一4x一6进行配方，正确的 结果是 A.(x-1)2-4 B.(x-1)2+4 C.2(x-1)2-8 D.2(x-1)2+8 02能力提升 7.若一元二次方程x2十x十q=0配方后结果为 (x一2)2=1，则 A.p=4,q=3 B.p=0,q=-5 C.p=-4,q=3 D.p=-4,q=4 8.关于x的方程m(x十h)2十k=0(m,h,k为常 数，m≠0)的解是=一3，x2=2,则方程m(x +h一3)2+k=0的解是 () A.x1=-6,x2=-1B.x1=0,x2=5 C.x1=-3,x2=5D.x1=-6,x2=2 9.若方程x2一2x一3=0可化为(x一m)2十k=0 的形式，则直线y=mx十k不经过第 象 限. 10.小明设计了一个魔术盒，当任意实数对(a,b) 放入其中，会得到一个新的实数a一2b十3， 若将实数(x,一2x)放入其中，得到了一1，则 x= 11.用配方法解下列方程： (1)x2-6x+1=2x-15: 2五 (2)2x2-2x=x2-5; 13.[新考法·方程的图解法]古希腊数学家丢番 图（公元250年前后）在《算术》中就提到了一 元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没 有寻求到它的求根公式，只能用图解等方法 来求解.在欧几里得的《几何原本》中，形如x 十ax=形(a>0,b>0)的方程的图解法是：如 (3)x(x+4)=6.x+12. 图，以%和b为两直角边作Rt△ABC,再在斜 边上截取BD=?,则AD的长就是所求方程 的正根。 (1)请用含字母a、b的代数式表示AD的长， (2)请利用你已学的知识说明该图解法的正 确性，并说说这种解法的遗憾之处. 12.设a、b、c是△ABC的三条边的边长，且a十 b+c2+50=6a+8b+10c.试判断这个三角 形的形状. 微课堂 利用配方法求最值+…+++…++++ 【解题模型】用配方法求二次三项式的最值，需要把二次三项式配方成α(x十h)2十k的形式，当 a<0,x=一h时，该二次三项式有最大值k;当a>0,x=一h时，该二次三项式有最小值k. 【示例】代数式a2一6a十13可化为a2-6a+9+4=(a-3)2十4；无论a取何值(a一3)2≥0.所以 (a一3)2+4≥4，即(a一3)2+4有最小值为4.仿照上述思路，代数式一a2十4a一8的最大值为 【变式】当x的值为 时，多项式-2一十的最大值是温馨提示：请做完题后再看答案！ 《正文》参考答案 第20章 二次根式 =2028. 20.1认识二次根式 15.(1)m≥3 第1课时二次根式的概念 (2)由(1)得，m≥3，原等式化 1.D2.B3.-1(答案不唯) 为-2十√m-3=m,整理， 4.A 得√m-3=2,解得m=7. 5.4(答案不唯-)【变式】号 (3)由条件可知a-1|+|a+ 6.(1)由-x≥0，得x2≤0，即x= 4|+|b+3|+|b-1|=9, .|a-1|+|a+4|≥5，当且 0..当x=0时，√一x有意义； 仅当-一4≤a≤1时取等号， (2)由x-1≥0，x≥0，得x≥1. 1b+31+1b-1|≥4，当且仅当 ∴当x≥1时，√x-1+(有 一3≤b≤1时取等号， 意义； .la-1+1a+4|=5,-4≤ 7.A8.D9.210.5√/2√2 a≤1，且|b+3|+1b-1|=4, .①分或子 -3≤b≤1，∴.当a=-4,b= 一3时，a2+b取最大值为（一 (2).b2+√a-1+4=4b, 4)2+(-3)2=25. ./a-1+(b-2)2=0. 20.2二次根式的乘除 ∴a=1,b=2. 20.2.1二次根式的乘法 若a为腰，1十1=2，不符合三 20.2.2积的算术平方根 角形三边关系；若b为腰，则1.C2.D3.B 三边长为2,2,1.故该三角形 4.(1)√35；(2)6；(3)8：(4)4.x 的周长为5. 5.B6.A7.D 第2课时二次根式的性质 8.(1)30;(2)3xy2xy; 1.A2.D 3.(1)7:(2)5:(3)10-2: (3)36√2；(4)a2b. (4)π-3.14. 9.A10.C11.B12.C13.D 4.C ;(2)1 141)-9 5.(1)<(2)<(3)> 6.10.8:(22:3)50: 15.(/12+√/27)2-12-27=12+ 27+2√12×√27-12-27=2 (4)-24. /12×√27=2X2√5X35 7.D8.A9.D10.D =36(cm2). 11.(1)(x+√2)(x-2): 答：剩余部分（阴影部分）的面 (2)(a2+3)(a+5)(a-3) 积为36cm2. 12.1号(22. 13.3b 16.(1)/4+6 一5N6 14.(1)小亮： (2).a=-2022, (2)/n+ n十2 =(n+1) n+2 ∴.a+2Ja2-6a+9 1 (3)/n+ /(n+1)2 =a+2/(a-3)2 n+2 n+2 =a+2 a-3 1 =a-2(a-3) (n十1)√n+2 =a-2a+6 20.2.3 二次根式的除法 =-a十6 1.A2.C =2022+6 3.(1)22:(2)/6;(3)2a. 37 4.D5.C 7)×2×7,1-4+6=10. 2 5 方法技巧专题二次根式的 7.D 性质及运算 8.化简不对，正确过程： -20= 1.-32.x= /-5 5 3.10 /20_20_5·4 4.(1)75;(2)8√2；(3)15： W5√5 =爪=2. 5 (4)5+5;(5)9-6√5；(6)2： 9.B10.C11.C (7)14:(8)-√3. 12.(1)-4ab:(2)1:(3)12a2b. 5.-2. 1以原式化简得反当一4时.原6原式=高由题意得x+2≠ 式=√4=2（答案不唯一，注意 0,x2-1≠0，即x≠-2，x≠士1， x的取值大于2). 当x=2十1时，原式= 14.(1)原式= 2W5+5) (/5-3)(W5+3) 1 2 √2+1-1 2 =5+5; 7.(1)-a:(2)±√2. (2)原式=(W-1+5 8.4. 9.-25. 5+7-√5.+√2023 章末考点整合与素养提升 V20I)-(v2025-1)- 1kB2.B3.B4B5.≤号 6.D 2023-1 2 7.(1)- gE:23-2: 20.3二次根式的加减 1.B2.D3.B4.B5.C (3)192. 6.A7.B【变式】C 8.624 &a1o,(259,35vG 9.D10.C11.C12.B13.A 14.B15.616.-317.6√2 9.(1)6+10W6;(2)115-2; 18- .19.√② (3)2- 9,0z 20.(1)原式=2√2÷√2-5√2-3 10.D11.A12.C √2=2-82. 13.35-314.3 (2)原式存在最大值 15.(1)35-√2；(2)30： ,√▣与18可以合并，“☐” (3)-2. 是正整数，√18=3√2，∴.“□” 表示的数的最小值为2， 16.(1)2√7-2(2)-33-√/7 ∴.原式有最大值，最大值=⑧： (3)1 3+7 3-7 (3-√7)(3+√7) (E×√)-E-⑧=2 =3+7 2 -√2-32=2-4√2. 第21章一元二次方程 .2<7<3,5<3+√7<6， 21.1认识一元二次方程 2.5<3+7<3,.4=2,b 1.D2.≠±2；-23.-2 2 4.(1)5.x2-3x=0 =3+五-2=7-1， 二次项系数是5，一次项系数是 2 2 3,常数项是0； ∴.a2+(1+√7)ab=22+(1+ (2)6.x2-9x-8=0: 38 二次项系数是6，一次项系数是8.D9.B 一9，常数项是一8： 23 (3)2x2-7x-2=0; 10.=0,2= 3 二次项系数、一次项系数及常 11.212.-10 数项分别为：2，一7，一2 13.(1)x1=4,x2=一4； 5.D【变式】A;-1 11 (2)x1=0,x2= 6.0x2-3.x+2=00x2-3.x +2=0 14.x的值为-√6或4. 7.D8.C9.B 15.第三边的长为5或7. 10.x2+(x-6.8)2=102 16.A 11.(1)根据题意得(100一4x)x 第2课时用直接开平方法和 =400,化为一般形式为一4x 因式分解法解较复杂的 +100x-400=0; 一元二次方程 (2)x(x-1)=756,化成一般1.D2.D 形式为：x2-x-756=0. 3.(1)x1=3,x2=-5; 2油题意，将发+18 (2)x1=4,x2=0. 4.B5.x1=1,x2=5 解得=1： 6.(1)因式分解(2)直接开平方 (2)由题意，得k2-1≠0， 7.(1)x1=1,x2=2; 解得k≠士1，该方程的二次项 系数为k一1，一次项系数为 (2)=- 32=-5; 一(k十1)，常数项为-2. (3)x1=3,x2=9. 13.(1)4;(2)48. 8.B9.D10.A11.1 14.(1)311 12.(1)x1=-1,x2=2; (2).m是方程2x2-7x十2 8 0的根，∴.2m2-7m十2=0，方 (2).x1=2,= 程两边同时除以2m,得m一 13.(1)-3√2x; +1=0，m+1= (2)x1=4,2=-2. m2, 微课堂 (+》= m+2, 1.(1)x1=5,x2=-1. (2)x1=-3,x2=1. m+d-(m+ 2-2= 2.1或2 21.2.2配方法 (3)》°-2-9-2= 1.C2.C (3)C 3.12:(2)2:3)93:④房 21.2一元二次方程的解法 4.C 21.2.1直接开平方法 和因式分解法 5.(1)x1=1+5,x2=1-√5； 第1课时用直接开平方法 (2).0=-1+13 6 和因式分解法解简单的 一元二次方程 2 -1-/13 6 1.B2.n≥0 3.D4.A5.C 6.C7.C8.B9.二10.-2 6.(1)x,- 22= 2 :(2)3 11.(1)x1=x2=4;(2)此方程无 实数根；(3)x1=1+√13，x2 7.(1)x1= 22 2 =1-√/13 3 12.△ABC是直角三角形. (2)x=0x2= (3)x1=2,x2=-2. 13.(1):∠C=90,B0=号，AC- 39 6AB=√B+ (2)若斜边为4，可令另两直角 4 边分别为3和k.∴.32+2 .'AD= 42,k2=7,k>0.∴.k=7; 2 若直角边为4，则令斜边为k, 4b2+a2-a 另直角边为3..42+32=， 2 k>0.∴.k=5, (2)用配方法求得： 综上所述：k=√7或k=5. T= -V46+a2-a 方法技巧专题一元二次方程的解法 2 1.C2.D 2=√46+a2-4 3.(1)x1=2+√3，x2=2-√3； 正确性：AD的长就是方程的 (2)0= 7+13 a-7- 6 6 正根. 4.D 遗憾之处：图解法不能表示方 5.(1)x1=0,x2=2; 程的负根。 微课堂 (2)x,=3 42=3 : 【示例】一4 【变式】 5 3)== 6.A7.y2-2y-3=0 21.2.3公式法 8.x1=-1,x2=1. 1.A2.C 21.2.4一元二次方程根的判别式 3.4,-3,-2,41,x1= 3+/4I 1.A2.A3.D 8 4.(1)方程有两个相等的实数根； x2=3-厘 (2)方程没有实数根； 8 (3)方程有两个不相等的实数根. 4.3.x2+9x-1=0 5.4m-4>1=1<1 5.(1)x1=3,x2=-1;(2)方程无 6.A7.m=5;x1=x2=2. 实数根 6.D 8D2-专 7.(1)因式分解法，(2)公式法，过 10.A11.A12.D 程略.x1=3,2= 13.(1)证明：原方程可变形为x 5 -5x+6-|m=0, 8.D9.A10.A .△=(-5)2-4(6-|m)=1+ 11.x1=4,x2=-112.2 4ml,又lm≥0，.△0， 13.(1)m=-1+/6,2=-16; ∴.方程总有两个不相等的实 (2)x1=x2= 数根 2 (2)由题意，得m=2,∴.m= (3)0= 2+10 2 2-/10 士2，.原方程为：x2一5x十4 3 3 =0,解得x1=1,x2=4, 14.有错误，错在没有化成一般形 故m的值为士2，方程的另一 式.正确的结果为x=一√6十 个根是4. 22,2=-√6-2√2. 141①25：@7m+7: 15.(1)证明：b2-4ac=(k-3)2, 1 x k+3士(k一3)2 ,解得 (2)证明：mx2+2x+立n=0. x1=3,x2=k, 这里a=m,b=2,6=” h, 无论k为何值，此方程总有 一个根是x=3. .∴△=(2t)2-4m· 2n=4u2 40 2mn, 阶段提升自测（一） .2= m+7,∴=m 1-5 CDCAA 6-8 BCB 9.-310.±√/711.1212.0 +-2mn=(m-n)2≥0， 13.x1=x2=5 ∴关于x的“菱系一元二次方 程”m+2x+号n=0必有 14.(1)x1=2十5，x2=2-5; 5 (2).=2,=1:(3).西= 实数根 21.2.5一元二次方程的根与 系数的关系 子 15.原方程化为m.x2-(3m-1)x 1.A2.B【变式】2020 +2m-1=0, 5.D 由题意，得m≠0，△=b-4ac =[-(3m-1)]2-4m(2m 6.另一个根是2+5，c的值是-1. 1)=1,解得m=0(不符合题 7.A8.D9.C10.D 意，舍去)，=2，∴原方程化 11.1412.x2-6.x+6=0 为：2x2-5.x十3=0， 13.(1)k的取值范围为k>一1： (2)1 解得1函=子 14.(1)证明：.△=[-(2m+1)]2- 16.(1)等腰三角形，理由略： 4(+m)=4m2+4m+1 (2)直角三角形，理由略； 4m2-4m=1>0, (3)x1=0,x2=一1. .无论m取何值时，方程都有 17.(1).△=[-(2k+1)]2-4× 两个不相等的实数根. (2)由题意，得a十b= 1×(22-2）=4楼+4+1 -(2m+1D=2m十1， -2k2+8=2k+4k+9=2(k 1 +1)2+7>0, ab=m十=m2+m, ∴无论k为何实数，方程总有 1 两个不相等的实数根； (2a+b)(a+2b)=20,即2(a (2)由根与系数的关系得出x +b)2+ab=20, .2(2m+1)2+m2+m=20, 十x2=2k+1,x1x2= -2, 1 整理得：2十m一2=0，解得：m1 x1-x2=3,.(x1-x2)2= =-2,2=1, 9,.(x1十x2)2-4x1x2=9, ∴.m的值为-2或1. 15.(1)5123 (2+1)-4×(合2-2) (2)因为s,t满足2s2-75+1 =9,化简得2+2k=0, =0,t2-7t+2=0,且st≠1， 解得k=0或k=-2. 则2(2) -7+1=0 21.3实践与探索 第1课时图形面积问题 所以s和}可看成方程2.2 1.B2.7m3.16cm 4.小路的宽应是2m. 7x十1=0的两个根， 5.所围矩形猪舍的长为10m,宽 所以+-… 为8m时，猪舍面积为80m. t 2' 6.5-17.2 t 号，即。号，所8小林应把绳子剪成12m 2st+2 7-2+2 和28cm两段； 以 s1+3t+五= 7一2+3t+1 (2)小峰的说法是对的.理由略. 2 9.(1)36-3.x;(2)8米 14 13 10.(1)Saa=24(8-2), 41 SAAx=号X4X8=16. 2.A 3.(1)(680一10x);(2)当该种书 ∴4(8-20=16× 包销售单价为42元或56元 4 时，销售利润是3120元. 整理得t一4t+4=0. 4.有盖纸盒的底面边长为8cm. 解得t=2. 5.(1)利用待定系数法易求y与x 答：当t=2s时△PCQ的面积 之间的函数表达式y=一x十 为△ABC面积的1： 100; (2)根据题意得：x(-x+100) (2)当S△rQ= 5a时. =2500, 34(8-20=16×2 整理得：x2一100x十2500=0， 解得：01=x2=50. 整理得t2-4t十8=0， 答：每个拉布布盲盒的售价为 △=(-4)2-4×1×8=-16 50元. <0,∴.此方程没有实数根， 6.(1)(120-2.x) ∴.△PCQ的面积不可能是 (2)①由题意得：(x-15)(120 △ABC面积的一半. -2.x)=900, 第2课时传播问题和增长率问题 整理得：x2-75.x+1350=0, 1.C2.C3.D4.A5.10% 解得：x1=45,x2=30(不符合 6.3月份到5月份营业额的月平 题意，舍去)， 均增长率为20%. 答：该雕花剪纸文创画每幅的 7.C8.D9.D10.B 售价应为45元： 11.20% ②当x=45时，每天销售量为 12.(1)每轮传染中，平均一个人 120一2×45=30（幅）， 传染10个人； ∴.30×0.8=24（元）， (2)按照这样的速度传染，第 答：商家每天通过销售该雕花 三轮将新增1210名感染者. 剪纸文创画捐款24元. 13.任务1： 7.选择方案二 设第一季度到第三季度生产 综合与实践（一）数形结合 量的每季度增长率为x,根据 与方程思想 题意得：200(1+x)2=288, 【理解应用】② 解得x=0.2=20%,x=-2. 【类比迁移】十号 (+x+)》月 2(不符合题意，舍去)， 答：第一季度到第三季度生产 =41+(x= 量的每季度增长率为20%； 【拓展应用】士231或3 任务2： 综合与实践（二）数形规律 设增加a条生产线，则每条生 与方程思想 产线产能为(300-20a)万个/ (1)设S=1+2+3+…+n-1+n 季度，根据题意得：(1+a) ①，由①式倒序：S=n+n一1+… (300-20a)=1200,整理得a2 +2+1② -14a+45=0,即(a-5)(a ①+②，得：2S=(n+1)+(n-1 9)=0,解得a1=5,a2=9, +2)+…+(n+1)=n(n+1), ,在增加产能同时要节省投 入成本，∴.a=5. S=1 n(n十1)，.前n行的点 答：应增加5条生产线， 第3课时营销与方案问题 数和为2nn十1)： 1.(3+x)0.5.x(4-0.5.x) (2)15 (3+x)(4-0.5.x)=15 (3)①这个点阵的点数和能是 42