21.2.1 第2课时 用直接开平方法和式分解法解较复杂的一元二次方程&微课堂-【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案（华东师大版·新教材）

温馨提示：请做完题后再看答案！ 《正文》参考答案 第20章 二次根式 =2028. 20.1认识二次根式 15.(1)m≥3 第1课时二次根式的概念 (2)由(1)得，m≥3，原等式化 1.D2.B3.-1(答案不唯) 为-2十√m-3=m,整理， 4.A 得√m-3=2,解得m=7. 5.4(答案不唯-)【变式】号 (3)由条件可知a-1|+|a+ 6.(1)由-x≥0，得x2≤0，即x= 4|+|b+3|+|b-1|=9, .|a-1|+|a+4|≥5，当且 0..当x=0时，√一x有意义； 仅当-一4≤a≤1时取等号， (2)由x-1≥0，x≥0，得x≥1. 1b+31+1b-1|≥4，当且仅当 ∴当x≥1时，√x-1+(有 一3≤b≤1时取等号， 意义； .la-1+1a+4|=5,-4≤ 7.A8.D9.210.5√/2√2 a≤1，且|b+3|+1b-1|=4, .①分或子 -3≤b≤1，∴.当a=-4,b= 一3时，a2+b取最大值为（一 (2).b2+√a-1+4=4b, 4)2+(-3)2=25. ./a-1+(b-2)2=0. 20.2二次根式的乘除 ∴a=1,b=2. 20.2.1二次根式的乘法 若a为腰，1十1=2，不符合三 20.2.2积的算术平方根 角形三边关系；若b为腰，则1.C2.D3.B 三边长为2,2,1.故该三角形 4.(1)√35；(2)6；(3)8：(4)4.x 的周长为5. 5.B6.A7.D 第2课时二次根式的性质 8.(1)30;(2)3xy2xy; 1.A2.D 3.(1)7:(2)5:(3)10-2: (3)36√2；(4)a2b. (4)π-3.14. 9.A10.C11.B12.C13.D 4.C ;(2)1 141)-9 5.(1)<(2)<(3)> 6.10.8:(22:3)50: 15.(/12+√/27)2-12-27=12+ 27+2√12×√27-12-27=2 (4)-24. /12×√27=2X2√5X35 7.D8.A9.D10.D =36(cm2). 11.(1)(x+√2)(x-2): 答：剩余部分（阴影部分）的面 (2)(a2+3)(a+5)(a-3) 积为36cm2. 12.1号(22. 13.3b 16.(1)/4+6 一5N6 14.(1)小亮： (2).a=-2022, (2)/n+ n十2 =(n+1) n+2 ∴.a+2Ja2-6a+9 1 (3)/n+ /(n+1)2 =a+2/(a-3)2 n+2 n+2 =a+2 a-3 1 =a-2(a-3) (n十1)√n+2 =a-2a+6 20.2.3 二次根式的除法 =-a十6 1.A2.C =2022+6 3.(1)22:(2)/6;(3)2a. 37 4.D5.C 7)×2×7,1-4+6=10. 2 5 方法技巧专题二次根式的 7.D 性质及运算 8.化简不对，正确过程： -20= 1.-32.x= /-5 5 3.10 /20_20_5·4 4.(1)75;(2)8√2；(3)15： W5√5 =爪=2. 5 (4)5+5;(5)9-6√5；(6)2： 9.B10.C11.C (7)14:(8)-√3. 12.(1)-4ab:(2)1:(3)12a2b. 5.-2. 1以原式化简得反当一4时.原6原式=高由题意得x+2≠ 式=√4=2（答案不唯一，注意 0,x2-1≠0，即x≠-2，x≠士1， x的取值大于2). 当x=2十1时，原式= 14.(1)原式= 2W5+5) (/5-3)(W5+3) 1 2 √2+1-1 2 =5+5; 7.(1)-a:(2)±√2. (2)原式=(W-1+5 8.4. 9.-25. 5+7-√5.+√2023 章末考点整合与素养提升 V20I)-(v2025-1)- 1kB2.B3.B4B5.≤号 6.D 2023-1 2 7.(1)- gE:23-2: 20.3二次根式的加减 1.B2.D3.B4.B5.C (3)192. 6.A7.B【变式】C 8.624 &a1o,(259,35vG 9.D10.C11.C12.B13.A 14.B15.616.-317.6√2 9.(1)6+10W6;(2)115-2; 18- .19.√② (3)2- 9,0z 20.(1)原式=2√2÷√2-5√2-3 10.D11.A12.C √2=2-82. 13.35-314.3 (2)原式存在最大值 15.(1)35-√2；(2)30： ,√▣与18可以合并，“☐” (3)-2. 是正整数，√18=3√2，∴.“□” 表示的数的最小值为2， 16.(1)2√7-2(2)-33-√/7 ∴.原式有最大值，最大值=⑧： (3)1 3+7 3-7 (3-√7)(3+√7) (E×√)-E-⑧=2 =3+7 2 -√2-32=2-4√2. 第21章一元二次方程 .2<7<3,5<3+√7<6， 21.1认识一元二次方程 2.5<3+7<3,.4=2,b 1.D2.≠±2；-23.-2 2 4.(1)5.x2-3x=0 =3+五-2=7-1， 二次项系数是5，一次项系数是 2 2 3,常数项是0； ∴.a2+(1+√7)ab=22+(1+ (2)6.x2-9x-8=0: 38 二次项系数是6，一次项系数是8.D9.B 一9，常数项是一8： 23 (3)2x2-7x-2=0; 10.=0,2= 3 二次项系数、一次项系数及常 11.212.-10 数项分别为：2，一7，一2 13.(1)x1=4,x2=一4； 5.D【变式】A;-1 11 (2)x1=0,x2= 6.0x2-3.x+2=00x2-3.x +2=0 14.x的值为-√6或4. 7.D8.C9.B 15.第三边的长为5或7. 10.x2+(x-6.8)2=102 16.A 11.(1)根据题意得(100一4x)x 第2课时用直接开平方法和 =400,化为一般形式为一4x 因式分解法解较复杂的 +100x-400=0; 一元二次方程 (2)x(x-1)=756,化成一般1.D2.D 形式为：x2-x-756=0. 3.(1)x1=3,x2=-5; 2油题意，将发+18 (2)x1=4,x2=0. 4.B5.x1=1,x2=5 解得=1： 6.(1)因式分解(2)直接开平方 (2)由题意，得k2-1≠0， 7.(1)x1=1,x2=2; 解得k≠士1，该方程的二次项 系数为k一1，一次项系数为 (2)=- 32=-5; 一(k十1)，常数项为-2. (3)x1=3,x2=9. 13.(1)4;(2)48. 8.B9.D10.A11.1 14.(1)311 12.(1)x1=-1,x2=2; (2).m是方程2x2-7x十2 8 0的根，∴.2m2-7m十2=0，方 (2).x1=2,= 程两边同时除以2m,得m一 13.(1)-3√2x; +1=0，m+1= (2)x1=4,2=-2. m2, 微课堂 (+》= m+2, 1.(1)x1=5,x2=-1. (2)x1=-3,x2=1. m+d-(m+ 2-2= 2.1或2 21.2.2配方法 (3)》°-2-9-2= 1.C2.C (3)C 3.12:(2)2:3)93:④房 21.2一元二次方程的解法 4.C 21.2.1直接开平方法 和因式分解法 5.(1)x1=1+5,x2=1-√5； 第1课时用直接开平方法 (2).0=-1+13 6 和因式分解法解简单的 一元二次方程 2 -1-/13 6 1.B2.n≥0 3.D4.A5.C 6.C7.C8.B9.二10.-2 6.(1)x,- 22= 2 :(2)3 11.(1)x1=x2=4;(2)此方程无 实数根；(3)x1=1+√13，x2 7.(1)x1= 22 2 =1-√/13 3 12.△ABC是直角三角形. (2)x=0x2= (3)x1=2,x2=-2. 13.(1):∠C=90,B0=号，AC- 3918 第2课时用直接开平方法和因 01基础达标 知识点一变形后用开平方法解一元二次方程 1.若(x十1)2一1=0，则x的值为 A.±1 B.±2 C.0或2 D.0或-2 2.一元二次方程(x十6)2=16可转化为两个一元 一次方程，其中一个一元一次方程是x十6= 4,则另一个一元一次方程是 ( A.x-6=-4 B.x-6=4 C.x+6=4 D.x+6=-4 3.(1)(2025·扬州)(x+1)2-16=0; (2)3(x-2)2=12. 知识点二用因式分解法解方程 4.用因式分解法解下列方程，变形正确的是 ( A.(x+3)(x一1)=1，可得x+3=1或x-1 =1 B.（x一3)(x一4)=0，可得x一3=0或x一4=0 C.(x-2)(x-3)=6,可得x-2=2或x-3=3 D.x(x十2)=0，可得x十2=0 5.方程x(x一5)=x-5的解是 式分解法解较复杂的一元二次方程 6.在下列各题的空格中填写适当的解法： (1)解方程2x2+5x=0,用 法较 简便 (2)解方程(5.x一3)2=7，用 法 较简便」 7.用适当的方法解下列方程： (1)x(x-1)=2(x-1); (2)(x一2)2一(2x+3)2=0: (3)2(x-3)2=x2-9. 02能力提升 8.已知关于x的方程ax2=b的两根为m一1和 2m十7，则方程的两根是 () A.±2 B.±3 C.±4 D.士7 9.若方程(x一2)(3x+1)=0,则x一2的值是 () B.0 C.-2 n.-或0 10.已知一元二次方程(x一3)2=1的两个解恰好 分别是等腰三角形ABC的底边长和腰长，则 △ABC的周长为 () A.10 B.10或8 C.9 D.8 19 11.[新考法·情景题]如图，根据小雯与Deep (2)x2-6.x+9=(5-2x)2. Seek的对话，DeepSeek在深度思考后，给出 的答案是 新对话 ⊙ 有没有这样一个数，先计算这个数的 平方，再减去这个数，再加上1，其 运算结果和这个数相同？ 13.若规定两个实数a,b通过运算*，得到3ab, 深度思考中 即a米b=3ab,如2*5=3×2×5=30. ①开启新对话 (1)(一√2)米x= (2)若x*x一2米x一2米4=0，求x的值， 给DeepSeek发送消息 囹深度思考(R) ⊕联网搜索 + 12.解下列方程 (1)4(2x-1)2-36=0: 微课堂 运用十字相乘法分解因式解一元二次方程 【解题模型】(1)将x2十2x一35分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项： x2=x·x,-35=(-5)X(+7). ②交天湘乘，0中明： →7x-5.x=2x. ③横向写出两因式：x2+2x一35=(x十7)(x一5). 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法. (2)根据乘法原理：若ab=0,则a=0或b=0. 【变式应用】 1.解方程：(1)x2-4x-5=0. (2)(x+1)(x-1)+2(x+3)=8. 2.已知2x2-3.xy十y2=0(xy≠0)，则义的值是