精品解析：福建省福州延安中学2026年中考数学精准模拟卷二

2026年福建省中考数学模拟试卷（二） （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项：全卷三大题，25小题，试卷共6页． 一、选择题（共10小题，每题4分，满分40分；每小题只有一个正确选项，请在答题卡的相应位置填涂） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 如图所示的几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 将一个含的三角尺和一根直尺按如图所示的方式叠合在一起，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 分式方程的解为正数，则的取值范围（ ） A. B. 且 C. D. 且 6. 某景区2022年接待游客25万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区2024年接待游客达到36万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是的直径，点，在上，，则（ ） A. B. C. D. 8. 某特产食品销售店今年1—4月的销售总额如图1，其中甘肃奶油杏肉的销售额占当月食品销售总额的百分比如图2．根据图中信息作如下推断，其中不合理的是（ ） A. 这4个月，食品销售总额为290万元 B. 甘肃奶油杏肉4月份的销售额比3月份有所上升 C. 这4个月中，甘肃奶油杏肉的销售额最低的是2月份 D. 这4个月中，甘肃奶油杏肉的销售额最高是19.55万元 9. 已知，，，，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形中，，，是矩形的对角线，将绕点A逆时针旋转得到，使点E在线段上，交于点G，交于点H，则的值为（ ）． A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每题4分，满分24分） 11. 在平行四边形中，如果，则______． 12. 某细胞的直径约为0.00000156米，则0.00000156用科学记数法表示为______． 13. 已知关于的一次函数，那么这个函数的图象一定经过第________象限． 14. 如图，在中，以为直径的半圆分别与，交于点，．若，，则的长为______． 15. 如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P处）的高度是，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是．若实心球落地点为M，则______． 16. 定义：如果一元二次方程满足．那么我们称这个方程为“湘”方程．已知方程是“湘”方程．且有两个相等的实数根，则_____． 三、解答题（共9小题，满分86分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程：． 18. 如图，射线在外，． （1）在射线上截取，连接；（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，求证：； 19. 先化简，再求值：，其中的值是的根． 20. 某市于2023年4月15日起禁止超标电动自行车上路行驶，广大民众根据新规开始置换超标电动自行车，使得新国标电动自行车销量暴增，某电动自行车加工厂为了检查甲，乙两个车间所生产的同一种零件的合格情况，在两个车间内随机抽取了10个零件样品进行检测，操作流程如下： ①收集数据（单位：mm）： 甲车间：178，185，176，177，189，179，181，173，183，189． 乙车间：185，175，178，180，178，185，179，184，178，188． ②整理数据： 车间范围 170.5～175.5 175.5～180.5 180.5～185.5 185.5～190.5 甲车间 1 4 3 2 乙车间 1 5 3 1 ③分析数据： 车间数据 平均数 众数 中位数 方差 甲车间 181 189 m 26.6 乙车间 181 n 179.5 15.8 ④应用数据（测量结果175.5mm～185.5mm范围内的产品为合格）： （1）填空m＝ ，n＝ ； （2）估计甲车间生产的1000个该种零件中合格产品有多少个？ （3）结合上述数据信息，请判断哪个车间生产的零件更好，并说明理由． 21. 小明用代数推理的方法发现了反比例函数（）一个有趣的结论： 如图，直线（）与双曲线（）交于，两点，与，轴分别交于点，，可证明成立．他的思路是将直线和曲线联立，进而求得与的值，由，证得线段的中点与线段的中点重合，即可得到．请按小明的思路完成证明． 22. 如图，点均在上，连接，且经过圆心，延长交的切线于点，切点是． （1）求证：； （2）若，求的长． 23. 阅读材料，回答问题． 密码学是研究编制和破译密码规律的一门科学．在密码学中，明文是未经过加密处理的原始信息，密文由明文通过已知的密码规则进行加密变换后得到的信息．有一种密码，将26个英文字母分别转换为数字1～26后进行数学变换从而获得密文．现按照以下加密规则进行加密： ①选择一个“乘密钥”a和一个“加密钥” a，b均为整数）； ②对明文中的每个字母，先将其对应数字m乘a，再加上b，得到一个总和S，即 ③对每个字母得到的总和S逐个进行判断：若S在1到26之间，则S 就是该字母加密后的密文所对应的数字；若S 大于26，则不断减去26，直到结果落在1～26之间； ④将得到的对应数字转换为字母，从而获得明文中每个字母加密后的密文．例如：设a＝3，b＝4，我们可以将明文中字母L（ m＝12）转换成所对应的密文． 计算：S＝3×12＋4＝40. ∵14对应字母N，∴明文中字母L对应的密文是字母N． 请你根据以上材料，完成探究： （1）若密钥为a＝2，b＝5，则明文“HI”加密后的密文为 ； （2）在某次加密中，使用的“乘密钥”a＝3．小明发现，明文“B”被加密后，得到的密文是“M”，则这次加密使用的“加密钥”b的值为 ； （3）小华截获了一段密文“OK”，它是由明文“GC”使用上述材料中的加密规则加密而成，且由“G”加密成“O”所使用的密钥（ “乘密钥”a，“加密钥”b）与由“C”加密成“K”所使用的密钥（ “乘密钥”a，“加密钥”b）一致．求加密规则中使用的“乘密钥”a和“加密钥”b的值； （4）利用（ 3）中求得的加密规则中的密钥a和b，求密文“TN”解密获得的明文． 24. 已知抛物线的对称轴是直线，与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点． （1）直接写出抛物线的解析式； （2）如图1，D为第一象限抛物线上一点，连接交于点T，若，求点D的横坐标； （3）平移抛物线使它的顶点在原点，如图2，过点P的两直线，（均不与y轴平行）分别与抛物线有唯一公共点E，F，交y轴于点G，连接交抛物线于另一点Q，若轴，试探究线段与的数量关系． 25. 如图①，在矩形中，， 分别是和的中点，连接．将 绕点顺时针旋转 ，连接，延长交于点． （1）如图②，当四边形 BEHF 是矩形时，求旋转角α的正切值； （2）如图③，探究AH，CH，BH 的数量关系； （3）如图③，若，求BH 的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年福建省中考数学模拟试卷（二） （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项：全卷三大题，25小题，试卷共6页． 一、选择题（共10小题，每题4分，满分40分；每小题只有一个正确选项，请在答题卡的相应位置填涂） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了绝对值、相反数，根据绝对值的定义可知，根据相反数的定义可知，的相反数是，所以可得的相反数是. 【详解】解：，的相反数是， 的相反数是． 故选：A． 2. 如图所示的几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，解题的关键是理解视图的定义，掌握简单几何体三视图的画法． 根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案． 【详解】解：从几何体的左面看，是一个带着圆心的圆，右边的圆柱底面从左边看不到，是一个用虚线表示的圆．只有C选项符合题意． 故选：C． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的运算法则，对选项逐个判断即可． 【详解】解：A、，选项错误，不符合题意； B、，选项错误，不符合题意； C、，选项错误，不符合题意； D，选项正确，符合题意； 故选：D 【点睛】此题考查了二次根式的四则运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的四则运算法则． 4. 将一个含的三角尺和一根直尺按如图所示的方式叠合在一起，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，三角板中角度的求解，根据题意得：，，，根据平行线的性质和邻补角可得，再由三角形内角和定理，即可求解． 【详解】解：如图，根据题意得：，，， ， ， 故选：B． 5. 分式方程的解为正数，则的取值范围（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程及分式方程的解，先解分式方程，求出分式方程的解，再根据分式方程解的情况解答即可求解，正确求出分式方程的解是解题的关键． 【详解】解：方程两边同时乘以得，， 解得， ∵分式方程的解为正数， ∴， ∴， 又∵， 即， ∴， ∴的取值范围为且， 故选：． 6. 某景区2022年接待游客25万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区2024年接待游客达到36万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设该景区这两年接待游客的年平均增长率为x,利用该景区2024年接待游客人次数该景区2022年接待游客人次数该景区这两年接待游客的年平均增长率，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设年平均增长率为x， 可得方程， 解得或（舍去负值）， 所以该景区这两年接待游客的年平均增长率为， 故选：B 7. 如图，是的直径，点，在上，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据是的直径得出，根据直角三角形两锐角互余得出，根据圆周角定理即可得出答案． 【详解】解：∵是的直径，点，在上， ∴， ∵， ∴， ∵与都是所对的圆周角， ∴． 8. 某特产食品销售店今年1—4月的销售总额如图1，其中甘肃奶油杏肉的销售额占当月食品销售总额的百分比如图2．根据图中信息作如下推断，其中不合理的是（ ） A. 这4个月，食品销售总额为290万元 B. 甘肃奶油杏肉4月份的销售额比3月份有所上升 C. 这4个月中，甘肃奶油杏肉的销售额最低的是2月份 D. 这4个月中，甘肃奶油杏肉的销售额最高是19.55万元 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、折线统计图，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．根据统计图中的数据，可以判断各个选项中的说法是否合理，从而可以解答本题． 【详解】解：由题意可得， 从1月到4月，食品销售总额为：（万元）， 故选项A不符合题意； 甘肃奶油杏肉4月份的销售额为：（万元）， 3月份的销售额为：（万元）， 甘肃奶油杏肉4月份的销售额比3月份有所上升，故选项B不符合题意； 这4个月中，甘肃奶油杏肉：1月份是（万元）， 2月份是（万元）， 3月份是万元， 4月份是万元， 故这4个月中，甘肃奶油杏肉售额最低的是3月，甘肃奶油杏肉的销售额最高是19.55万元，故选项C符合题意；故选项D不符合题意； 故选：C． 9. 已知，，，，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先分别求解，，，再利用整体代入的方法求值即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，故A不符合题意； ∵， ∴，故B不符合题意； ∴，故C符合题意； ∵，， ∴， ∴，故D不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查的是求解代数式的值，等式性质的应用，掌握“整体代入法求解代数式的值”是解本题的关键． 10. 如图，在矩形中，，，是矩形的对角线，将绕点A逆时针旋转得到，使点E在线段上，交于点G，交于点H，则的值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、正切的定义、旋转的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关性质和定理成为解题的关键． 根据矩形的性质和勾股定理可得、，再结合旋转的性质可得，易证，运用相似三角形的性质列比例式可得，最后根据正切的定义即可解答． 【详解】解：∵在矩形中，，， ∴，， ∴，， ∵将绕点A逆时针旋转得到，使点E在线段上， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即，解得：， ∴ 故选B． 二、填空题（共6小题，每题4分，满分24分） 11. 在平行四边形中，如果，则______． 【答案】 125 【解析】 【分析】根据平行四边形对角相等的性质，可求出的度数，再利用平行四边形对边平行，邻角互补的性质，即可求出的度数． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 解得， ． 12. 某细胞的直径约为0.00000156米，则0.00000156用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：0.00000156用科学记数法表示为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 13. 已知关于的一次函数，那么这个函数的图象一定经过第________象限． 【答案】 二 【解析】 【分析】将已知一次函数解析式变形，可求出函数恒过的定点，根据定点所在象限即可得到结论. 【详解】解：对一次函数解析式变形可得 ， ∴当时，， ∴一次函数的图象恒过定点， ∵点在第二象限， ∴这个函数的图象一定经过第二象限． 14. 如图，在中，以为直径的半圆分别与，交于点，．若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了弧长公式，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，掌握知识点的应用是解题的关键． 找出半圆圆心，连接，根据三角形的内角和定理得， 又，，则，，求出，则，最后通过弧长公式即可求解． 【详解】解：如图，找出半圆圆心，连接， ∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴的长为：， 故答案为：． 15. 如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P处）的高度是，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是．若实心球落地点为M，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，设抛物线为，把点，代入即可求出解析式；当时，求得x的值，即为实心球被推出的水平距离． 【详解】解：以点O为坐标原点，射线方向为x轴正半轴，射线方向为y轴正半轴，建立平面直角坐标系， ∵出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是． 设抛物线解析式为：， 把点代入得：， 解得：， ∴抛物线解析式为：； 当时，， 解得，（舍去），， 即此次实心球被推出的水平距离为． 故答案为： 16. 定义：如果一元二次方程满足．那么我们称这个方程为“湘”方程．已知方程是“湘”方程．且有两个相等的实数根，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了新定义，解一元二次方程，根的判别式；由新定义得是的根，可得方程是“湘”方程，由根的判别式得，即可求解；理解新定义，能熟练解方程并能利用根的判别式求解是解题的关键． 【详解】解：， ， 是的根， 方程是“湘”方程， ， ， ， 方程有两个相等的实数根， ， ， 解得：， ， ； 故答案为：． 三、解答题（共9小题，满分86分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】方程两边同时乘以，去分母化为整式方程，求出整式方程的解后再检验即可． 【详解】解：方程两边同时乘以，去分母，得 ， 解得：， 经检验：是原方程的解， ∴方程的解是． 18. 如图，射线在外，． （1）在射线上截取，连接；（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，求证：； 【答案】（1） 作图如图， （2） 证明：在和中 【解析】 【分析】此题主要考查了基本作图以及全等三角形的判定，正确画出图形是解题关键． （1）根据题意，在射线上截取，连接即可； （2）利用全等三角形的判定方法结合得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 先化简，再求值：，其中的值是的根． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先计算括号内的，再将除法变为乘法，根据分式的乘法法则计算，然后代入求值． 【详解】原式 ∵， ∴， ∴原式． 20. 某市于2023年4月15日起禁止超标电动自行车上路行驶，广大民众根据新规开始置换超标电动自行车，使得新国标电动自行车销量暴增，某电动自行车加工厂为了检查甲，乙两个车间所生产的同一种零件的合格情况，在两个车间内随机抽取了10个零件样品进行检测，操作流程如下： ①收集数据（单位：mm）： 甲车间：178，185，176，177，189，179，181，173，183，189． 乙车间：185，175，178，180，178，185，179，184，178，188． ②整理数据： 车间范围 170.5～175.5 175.5～180.5 180.5～185.5 185.5～190.5 甲车间 1 4 3 2 乙车间 1 5 3 1 ③分析数据： 车间数据 平均数 众数 中位数 方差 甲车间 181 189 m 26.6 乙车间 181 n 179.5 15.8 ④应用数据（测量结果175.5mm～185.5mm范围内的产品为合格）： （1）填空m＝ ，n＝ ； （2）估计甲车间生产的1000个该种零件中合格产品有多少个？ （3）结合上述数据信息，请判断哪个车间生产的零件更好，并说明理由． 【答案】（1）180，178 （2）估计甲车间生产的1000个该种零件中合格产品有700个 （3） 乙车间生产的新产品好，理由： 从合格率看：甲的合格率：， 乙的合格率：， 则乙车间生产的新产品好． 从方差看，乙的方差小，乙车间生产的新产品好． 综上所述，乙车间生产的新产品好． 【解析】 【分析】（1）根据中位数和众数的定义求出和的值即可． （2）利用样本估计总体的思想解决问题即可． （3）从合格率，方差判断即可． 【小问1详解】 解：甲车间按由小到大的顺序排序：173，176，177，178，179，181，183，185，189，189， 最中间的两个数据为179和181， 中位数， 乙车间：185，175，178，180，178，185，179，184，178，188， 出现次数最多的数据是178， 众数． 故答案为：180，178； 【小问2详解】 解：（个）， 答：估计甲车间生产的1000个该种零件中合格产品有700个； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了方差，中位数，众数，样本估计总体等知识，解题的关键是正确理解各概念的含义． 21. 小明用代数推理的方法发现了反比例函数（）一个有趣的结论： 如图，直线（）与双曲线（）交于，两点，与，轴分别交于点，，可证明成立．他的思路是将直线和曲线联立，进而求得与的值，由，证得线段的中点与线段的中点重合，即可得到．请按小明的思路完成证明． 【答案】见详解 【解析】 【分析】首先求出直线与坐标轴的两个交点，进而求得的值，然后将直线和曲线联立，求得的值，进而证明线段的中点与线段的中点重合即可． 【详解】解：对于直线， 令，则，则点D的坐标为， 令，则，则点C的坐标为， ． 线段的中点的横坐标为． 将，联立，得 整理，得， 由根与系数的关系可知， 线段的中点的横坐标为． 线段的中点与线段的中点都在直线上，且它们的横坐标相等， 线段的中点与线段的中点重合． 如图，设中点为E， ， ，即． 22. 如图，点均在上，连接，且经过圆心，延长交的切线于点，切点是． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵是的直径， ∴， ∴， 又∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查切线的性质和圆周角定理及推论，相似三角形的判定和性质，掌握圆的相关性质是解题的关键． （1）根据切线的性质和直径所对的圆周角是直角得到，，即可得到，然后根据圆周角定理的推论得到，即可得到结论； （2）根据两角相等得到，再根据对应边成比例解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴，即， 解得， ∴． 23. 阅读材料，回答问题． 密码学是研究编制和破译密码规律的一门科学．在密码学中，明文是未经过加密处理的原始信息，密文由明文通过已知的密码规则进行加密变换后得到的信息．有一种密码，将26个英文字母分别转换为数字1～26后进行数学变换从而获得密文．现按照以下加密规则进行加密： ①选择一个“乘密钥”a和一个“加密钥” a，b均为整数）； ②对明文中的每个字母，先将其对应数字m乘a，再加上b，得到一个总和S，即 ③对每个字母得到的总和S逐个进行判断：若S在1到26之间，则S 就是该字母加密后的密文所对应的数字；若S 大于26，则不断减去26，直到结果落在1～26之间； ④将得到的对应数字转换为字母，从而获得明文中每个字母加密后的密文．例如：设a＝3，b＝4，我们可以将明文中字母L（ m＝12）转换成所对应的密文． 计算：S＝3×12＋4＝40. ∵14对应字母N，∴明文中字母L对应的密文是字母N． 请你根据以上材料，完成探究： （1）若密钥为a＝2，b＝5，则明文“HI”加密后的密文为 ； （2）在某次加密中，使用的“乘密钥”a＝3．小明发现，明文“B”被加密后，得到的密文是“M”，则这次加密使用的“加密钥”b的值为 ； （3）小华截获了一段密文“OK”，它是由明文“GC”使用上述材料中的加密规则加密而成，且由“G”加密成“O”所使用的密钥（ “乘密钥”a，“加密钥”b）与由“C”加密成“K”所使用的密钥（ “乘密钥”a，“加密钥”b）一致．求加密规则中使用的“乘密钥”a和“加密钥”b的值； （4）利用（ 3）中求得的加密规则中的密钥a和b，求密文“TN”解密获得的明文． 【答案】（1） （2）7 （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据将明文转换为密文的方法计算得出对应的S，即可得出答案； （2）先确定M对应的数，再结合计算方法求出b即可； （3）根据要求列出方程组，求出符合题意的解； （4）根据（3）中两个密钥，再根据计算要求解答． 【小问1详解】 解：∵，，将明文中字母H（）转换成所对应的密文， 则， ∵， ∴21对应的字母是U， ∴明文中字母H对应的密文是字母U； 同理，明文中字母I对应的密文是字母W； ∴“”加密后的密文是“”； 【小问2详解】 解：根据题意可知， ∵M对应的数是， ∴， 解得； 【小问3详解】 根据题意，得， 解得； 根据题意，得， 解得，不是整数，不符合题意， 根据题意，得， 解得，不符合题意； 【小问4详解】 解：∵T和N对应的数是20，14，且，，设明文对应的数是x，y， ∴，， 解得，， ∵12对应的字母是L，6对应的字母是F， ∴密文“”解密获得的明文为“”． 24. 已知抛物线的对称轴是直线，与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点． （1）直接写出抛物线的解析式； （2）如图1，D为第一象限抛物线上一点，连接交于点T，若，求点D的横坐标； （3）平移抛物线使它的顶点在原点，如图2，过点P的两直线，（均不与y轴平行）分别与抛物线有唯一公共点E，F，交y轴于点G，连接交抛物线于另一点Q，若轴，试探究线段与的数量关系． 【答案】（1） （2）点D的横坐标为 （3） 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案； （2）在上取点H，连接，使，过点D作轴于G，可证得∽，利用相似三角形性质建立方程求解即可； （3）设E、F的横坐标分别为m，n，分别得出直线、的解析式，可得点G的坐标，联立求得点P的横坐标，进而得出点Q的坐标，再运用待定系数法可得出直线的解析式，求得点G的坐标，建立方程求解可得，过点P、E分别作y轴的垂线，垂足分别为M、N，利用相似三角形性质即可求得答案． 【小问1详解】 解：抛物线的对称轴是直线， ， 解得：， 抛物线经过点， ， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：当时，， 解得：，， ，， ，， ， 在上取点H，连接，使，过点D作轴于G，如图1， 则， 设，则， 在中，， ， 解得：， ， ， ， ， ，即， ， ， 设，则，， ， 解得：舍去或， 点D的横坐标为； 【小问3详解】 解：平移抛物线使它的顶点在原点， 新抛物线的解析式为， 设E、F的横坐标分别为m，n，直线的解析式为， 联立得：， 整理得：， 直线与抛物线有唯一公共点E， ，， ，， 直线的解析式为， 当时，， ， 同理可得：直线的解析式为， 联立得：， 解得：， 即点P的横坐标为， 轴， 点Q的横坐标为， ， 又， 直线的解析式为， 当时，， ， ， 整理得：， ， ， ， ， 点P的横坐标为， 如图2，过点P、E分别作y轴的垂线，垂足分别为M、N， 则，， ， ， ， ． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，一元二次方程根与系数关系的应用，平移变换的性质，相似三角形的判定和性质等，添加辅助线构造相似三角形是解题关键． 25. 如图①，在矩形中，， 分别是和的中点，连接．将 绕点顺时针旋转 ，连接，延长交于点． （1）如图②，当四边形 BEHF 是矩形时，求旋转角α的正切值； （2）如图③，探究AH，CH，BH 的数量关系； （3）如图③，若，求BH 的长度． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先由中点得出，根据矩形的性质得出，最后通过勾股定理即可求解； （2）过点作，交于点，证明，根据性质得出，再证明，，则有，即，，，从而求解； （3）过点作，交于点，过作于点，过作于点，根据角平分线的性质得出，即四边形是正方形，得出，证明，则，即，由，得，则有，即，求出，最后由线段和差即可求解． 【小问1详解】 解：∵是的中点， ， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得， ∴． 【小问2详解】 解：如图，过点作，交于点， ， ， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴即 ， ∵，， ∴，， ∴， ， ， ． 【小问3详解】 解：如图，过点作于点，于点， ∵， ∴，即四边形是正方形， ， ， 由（2），得， ∴，即， ∵， ∴， ∴，即， ， ， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $