18.1.2 矩形的判定（第3课时：直角三角形斜边上的中线） 同步练习题 2025-2026学年华东师大版数学八年级下册

**基本信息** 以“直角三角形斜边上的中线”为核心，分A、B、C三层设计，从基础应用到综合实践，梯度清晰，巩固路径完整，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A基础达标|直角三角形斜边上中线性质直接应用，结合中点、中位线|单选、填空、解答题，如木棍滑动中点距离问题，强化几何直观| |B能力提升|性质与矩形、折叠、动态问题综合，规律探究|含函数图像分析题，如折叠后对称点问题，培养推理能力| |C综合与实践|新定义（黄金三角形）、实际问题解决，跨知识整合|问题探究与解决，如四边形板材裁剪，发展应用意识|

18.1.2 矩形的判定（第3课时：直角三角形斜边上的中线） 同步练习题 2025-2026学年华东师大版数学八年级下册 【A基础达标】 一、单选题 1．如图，在中，，是的中点，，则的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直角三角形斜边的中线等于斜边的一半. 【详解】解：，是的中点，， ． 2．如图，在中，，D为边的中点，E为边的中点，，则的长是（    ） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】A 【分析】根据等腰三角形三线合一性质推出是直角三角形，再根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半得出，即可得解． 【详解】解：∵在中，，是边的中点， ∴， ∴是直角三角形； ∵是的中点， ∴， 又∵， ∴． 3．如图，在中，、分别是、的中点，点在上，且，若，，则的长为（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】D 【分析】先根据直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半求出，进而得出，再根据中位线的性质得出答案． 【详解】解：∵点是的中点，， ∴是斜边的中线， ∴， ∴， ∵点D，E是、的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴． 4．如图，在中，，为的中点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直角三角形性质得出，再根据等腰三角形性质得出结论． 【详解】解：中，，为的中点， ， ， ． 5．如图，一根木棍斜靠在与地面垂直的墙上，设木棍中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行．在此滑动过程中，点P到点O的距离（   ） A．逐渐变小 B．先变小再变大 C．先变小后再不变 D．始终不变 【答案】D 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，即可得出答案． 【详解】解：在木棍滑动的过程中，点P到点O的距离不发生变化，    理由是：连接，设 ∵，P为中点， ∴， 即在木棍滑动的过程中，点P到点O的距离不发生变化； 6．如图，在四边形中，，，点，分别为，的中点，．若，，则的长为（  ） A．6 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】由所给条件可证明四边形是平行四边形，再由可推得，，在中，，，推得． 【详解】解：，点，分别为，的中点，， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 在中，． 二、填空题 7．如图，在中，点D、E分别是、的中点，，点F是线段上一点，且，连接、，若，则的长度是________． 【答案】8 【分析】先根据三角形中位线定理求得的长度，结合已知条件求出的长度，从而得到的长度，紧接着根据直角三角形斜边中线的性质即可得解． 【详解】解：∵点D、E分别是、的中点， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 8．如图，，在中，，，，顶点B、C分别在边、上滑动，滑动过程中，点A到点O的最大距离为________． 【答案】25 【分析】取的中点M，连接，，由直角三角形斜边中线的性质得，在中，由勾股定理得，然后根据即可求出点A到点O的最大距离． 【详解】解：取的中点M，连接，，， ∵， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴当O、M、A三点共线时，取得最大值，最大值为． 三、解答题 9．如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，于G，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质是解答本题的关键．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和等腰三角形三线合一的性质，即可得到结论． 【详解】证明：如图，连接， ∵是边上的高线， ∴． ∵是边上的中线， ∴． ∵， ∴． ∵于G， ∴． 10．如图，已知：在中，，，点在边的延长线上，，． (1)求证：； (2)如果是的中点，求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和性质，斜边上的中线等于斜边的一半，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先整理得，再结合，，证明； （2）结合，得，又因为三角形内角和性质，得出，根据是的中点，得，即可作答． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 则， ∴， ∵，， 即， （2）证明：依题意，如图所示： 由（1）得， ∴， ∵， ∴， 即， ∵是的中点， ∴． 【B能力提升】 1．如图，矩形玻璃窗，是边上一点，于点，点、分别是、的中点，工人师傅测量得到，，则的周长为（    ）米． A．6 B．7 C．8.5 D．12 【答案】A 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 且、分别是、的中点， ∴在和中， ，， ∵，， ∴，， 又∵， ∴在中，， ∴， ∴的周长为． 2．如图，在中，，点在上，连结，将沿折叠，点的对称点为，与交于点，设为，，关于的函数图象如图所示，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C．当为等腰三角形时， D．当点为中点时， 【答案】D 【分析】由图象得当时，，当时，，由折叠的性质得，，即可判断选项A、B；当为等腰三角形时， 当时，当时，由等腰三角形的性质即可判断选项C；由直角三角形的特征得，，即可判断选项D． 【详解】解：由图象得 当时，， 当时，， 时，， 时，， 由折叠得， ， ， 故选项A、B错误； 当为等腰三角形时， 当时，， ， ， 当时， ， ， ， 或， 故选项C错误； 点为中点， ， ， ， ， ， 故选项D正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了函数图象，折叠的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的特征等；能根据图象进行求解是解题关键． 3．如图，在中，，记斜边AC的中点为，连接，过点作，垂足为；记的中点为，连接，过点作，垂足为……按照这种规律继续操作下去，若斜边AC的长为2，则的长为________． 【答案】 【分析】此题主要考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解题的关键是根据计算结果发现规律进行求解. 根据已知分别求出，，，发现变化规律即可. 【详解】在中，点为中点，， ∴， 在中，点为中点，， ∴， 同理 …， ∴ 当时， 故答案为: . 4．定义：如果一个点能与另外两个点构成直角三角形，则称这个点为另外两个点的勾股点．当这个点是直角的顶点时，这个点又称为强勾股点．在中，，D是的中点，P是射线上一个动点，当P是中A、C两个顶点的强勾股点时，则写出的长_______． 【答案】4或16 【分析】本题是三角形综合题，考查了勾股定理及逆定理的应用，新定义“强勾股点”，直角三角形斜边中线的性质等知识；解题关键是对新定义概念的性质运用，并注意运用分类讨论的思想． 分两种情况：点是两个顶点的强勾股点时，且点在内，点是两个顶点的强勾股点时，且点在外，由新定义“强勾股点”画出图形，根据勾股定理可得出答案； 【详解】解：∵是的中点， ， 若点是两个顶点的强勾股点时，且点在内，如图， ∵为的中点，， ， ， ， ； 若点是两个顶点的强勾股点时，且点在外，如图， ∵为的中点， ， ， 综上所述，的长为4或16． 故答案为：4或16． 5．在平行四边形中，，E为中点，连接． (1)如图1，求证：平分； (2)如图2，点F为上一点，若，，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由平行四边形的性质可得， ，则，，由直角三角形的性质可得，再由等边对等角得出，进而可得，即可得证； （2）由题意可得是线段的中垂线，则，由（1）知，即是直角三角形，由平行四边形的性质可得，设，则，再结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形， ∴， ， ∴，， 在中，为中点，即为斜边上的中线，则， ∴， ∴； ∴平分； （2）解：∵E为中点，且， ∴是线段的中垂线， ∴， 由（1）知，即是直角三角形， ∴由勾股定理可得， ∵，四边形是平行四边形， ∴， 设，则， ∴在中，， 解得：， ∴． 【C综合与实践】 1．经过三角形一个顶点及其对边上一点的直线，若能将此三角形分割成两个等腰三角形，则称这个三角形为“黄金三角形”，这条直线称为这个三角形的“黄金分割线”． (1)如图①，在中，，，平分交于点．求证：是“黄金三角形”． (2)如图②，在中，，求证：是“黄金三角形”． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查等腰三角形的性质与判定，三角形的内角和性质，三角形外角性质，直角三角形的性质． （1）根据等腰三角形的性质与判定，进行角度的推导即可； （2）取的中点连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，进行判断可得两个等腰三角形，进而可求出结论． 【详解】（1）证明：，， ． 平分， ． ， 是等腰三角形， ， ，． ， 是等腰三角形， 是“黄金三角形”． （2）证明：如图，取的中点连接， ，点为的中点， ， 和是等腰三角形， 是“黄金三角形”． 2．【问题探究】 (1)如图1，在中，，，，点D是的中点，连接，则的长为________； (2)如图2，点E在矩形的上方，连接、、、，若，求证：； 【问题解决】 (3)如图3，李师傅有一块四边形的板材，，，连接，，点M在上，．李师傅现要从这个板材上裁出一个四边形部件，点P在上，要求．李师傅取的中点为点P，裁出四边形部件，请问李师傅裁出的四边形部件是否符合要求，并说明理由． 【答案】(1)2 (2)见解析 (3)李师傅的做法正确，理由见解析 【分析】本题主要考查直角三角形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定和性质，掌握直角三角形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定和性质是解本题的关键． （1）在中，已知，，，根据勾股定理可得，又因为点D是的中点，利用直角三角形斜边中线定理即可求解； （2）在矩形中，，，因为，所以，进而可得，可证得，从而得出； （3）连接、，由，，可证明四边形是平行四边形，又因为，四边形是矩形，得出，即可证得，所以，再根据三角形内角和定理可得，所以李师傅裁出的四边形部件符合要求． 【详解】（1）解：在中， ，， 点D是的中点， 故答案为：2． （2）证明：在矩形中，，， ， ， ， ，     ． （3）解：李师傅的做法正确．理由如下： 连接、，如图， ，， 四边形是平行四边形． ， 四边形是矩形， ． 点P是的中点， ， 同理（2）易得， ．     ， ， ，即， ， ， 李师傅裁出的四边形部件符合要求． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 18.1.2 矩形的判定（第3课时：直角三角形斜边上的中线） 同步练习题 2025-2026学年华东师大版数学八年级下册 【A基础达标】 一、单选题 1．如图，在中，，是的中点，，则的长是（     ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，D为边的中点，E为边的中点，，则的长是（    ） A．10 B．8 C．6 D．4 3．如图，在中，、分别是、的中点，点在上，且，若，，则的长为（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 4．如图，在中，，为的中点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．如图，一根木棍斜靠在与地面垂直的墙上，设木棍中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行．在此滑动过程中，点P到点O的距离（   ） A．逐渐变小 B．先变小再变大 C．先变小后再不变 D．始终不变 6．如图，在四边形中，，，点，分别为，的中点，．若，，则的长为（  ） A．6 B．4 C． D． 二、填空题 7．如图，在中，点D、E分别是、的中点，，点F是线段上一点，且，连接、，若，则的长度是________． 8．如图，，在中，，，，顶点B、C分别在边、上滑动，滑动过程中，点A到点O的最大距离为________． 三、解答题 9．如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，于G，．求证：． 10．如图，已知：在中，，，点在边的延长线上，，． (1)求证：； (2)如果是的中点，求证：． 【B能力提升】 1．如图，矩形玻璃窗，是边上一点，于点，点、分别是、的中点，工人师傅测量得到，，则的周长为（    ）米． A．6 B．7 C．8.5 D．12 2．如图，在中，，点在上，连结，将沿折叠，点的对称点为，与交于点，设为，，关于的函数图象如图所示，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C．当为等腰三角形时， D．当点为中点时， 3．如图，在中，，记斜边AC的中点为，连接，过点作，垂足为；记的中点为，连接，过点作，垂足为……按照这种规律继续操作下去，若斜边AC的长为2，则的长为________． 4．定义：如果一个点能与另外两个点构成直角三角形，则称这个点为另外两个点的勾股点．当这个点是直角的顶点时，这个点又称为强勾股点．在中，，D是的中点，P是射线上一个动点，当P是中A、C两个顶点的强勾股点时，则写出的长_______． 5．在平行四边形中，，E为中点，连接． (1)如图1，求证：平分； (2)如图2，点F为上一点，若，，，求的长度． 【C综合与实践】 1．经过三角形一个顶点及其对边上一点的直线，若能将此三角形分割成两个等腰三角形，则称这个三角形为“黄金三角形”，这条直线称为这个三角形的“黄金分割线”． (1)如图①，在中，，，平分交于点．求证：是“黄金三角形”． (2)如图②，在中，，求证：是“黄金三角形”． 2．【问题探究】 (1)如图1，在中，，，，点D是的中点，连接，则的长为________； (2)如图2，点E在矩形的上方，连接、、、，若，求证：； 【问题解决】 (3)如图3，李师傅有一块四边形的板材，，，连接，，点M在上，．李师傅现要从这个板材上裁出一个四边形部件，点P在上，要求．李师傅取的中点为点P，裁出四边形部件，请问李师傅裁出的四边形部件是否符合要求，并说明理由． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $