精品解析：黑龙江哈尔滨市香坊区2026年香坊区初中毕业学年调研测试(二)数学试卷

2026年香坊区初中毕业学年调研测试（二） 数学试卷 考生须知： 1．本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2．答题前，考生先将自己的“姓名”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸上、试题纸上答题无效． 4．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、字迹清楚． 5．保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀． 第Ⅰ卷选择题（共30分）（涂卡） 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 若，则里的数应填（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：设里的数为，根据题意可得     移项得       即里的数为． 2. 下列手机手势解锁的图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：选项A，是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； 选项B，是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 选项C，既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； 选项D，是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 3. 想象一下，在接近绝对零度（）的环境下，能清晰地“看见”材料内部微小的磁场变化，甚至能分辨相距仅米（一根头发丝直径的千分之一）的超导细线．这并不是科幻，是2025年中国科学家实现的最新突破．数据用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解： 4. 由几个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查由小正方体堆砌成的几何体的三视图，根据主视图是从正面看到的图形进行求解即可． 【详解】解：从正面看，看到的图形分为上下两层，共3列，从左边数，第1、2、3列下面一层都有一个小正方形，第3列上面一层有1个小正方形，即看到的图形如下： 5. 方程的解是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式方程的求解，解题思路是通过去分母将分式方程转化为整式方程求解，最后检验得到原方程的解． 【详解】解：， ∵方程两边同乘最简公分母 去分母，得， 展开右边得， 移项合并同类项得， 解得， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解． 6. 抛物线与轴的交点坐标是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查抛物线与y轴交点坐标的求解，y轴上所有点的横坐标为0，因此只需令，计算出对应的y值，即可得到交点坐标． 【详解】解：∵抛物线与y轴交点的横坐标为0， ∴令，代入抛物线解析式， 得， ∴抛物线与y轴的交点坐标是， 7. 如图，在正方形中，点为边上一点，连接，将沿翻折，得到，连接，，，则的度数为（ ） A. 25 B. 26 C. 28 D. 30 【答案】A 【解析】 【详解】解：由折叠得到的， ，， 正方形， ， ， ， ， ， ． 8. 用完全相同的正六边形卡片拼出如图所示的图案，每个图案由若干个正六边形组成．其中第①个图案有2个正六边形，第②个图案有5个正六边形，第③个图案有8个正六边形，第④个图案有11个正六边形，……，按照图示规律，则第⑩个图案有（ ）个正六边形． A. 32 B. 31 C. 30 D. 29 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查图形规律，根据前三个图形的正六边形的组成个数即可得到第n个图案中正六边形的个数的表达式，继而可得出第⑩个图案正六边形的个数． 【详解】解：由图可得，第①个图案中正六边形的个数为：2； 第②个图案中正六边形的个数为：； 第③个图案中正六边形的个数为：； …… 第n个图案中正六边形的个数为：； 则第⑩个图案中有个正六边形． 9. 如图，已知，以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点；分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点；作射线交于点；分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点；作直线交于点，交于点．依据以上作图，若，，，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，先证出四边形是菱形，则，再根据可得，代入计算即可． 【详解】解：如图，连接， 由题意得：垂直平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， 解得． 10. 如图，在中，，，．动点以的速度从点出发，沿折线向终点运动，同时动点也以的速度从点出发，沿边向终点运动．设点，的运动时间为，的面积为，则与的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先，得到，然后，根据，，，分三种情况分别求出对应的S关于t的函数表达式，再分别判断在对应取值范围内对应的函数图象即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 根据题意知，， ①当时，， ∴当时，S随t的增大而增大； ②当时，， 如图1，过P作于D， ∵， ∴， ∴， ∴，即，解得， ∴， ∵， ∴此时，抛物线开口向下； ③如图2，当时，， ∵， ∴S随t的增大而减小， 综上，选项A符合题意，故选A ． 第Ⅱ卷非选择题（共90分） 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 在函数中，自变量x的取值范围是___． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义，必须． 12. 把多项式分解因式的结果是__________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式对剩余部分继续分解即可． 【详解】解： ． 13. 不等式组的解集是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式组的解法，先求出每个不等式的解集，再根据确定不等式组解集的规则得到不等式组的解集即可作答． 【详解】解：  解不等式，移项得 ， 合并同类项得， 系数化为得． 解不等式，移项得 ， 合并同类项得， 系数化为得．  不等式组的解集为． 14. 定义：我们把关于的一元二次方程与称作一对“友好方程”．如的“友好方程”是．那么一元二次方程的“友好方程”的两根之和为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据友好方程的定义得到目标一元二次方程，再利用根与系数的关系计算两根之和即可． 【详解】解：根据“友好方程”的定义，可得的“友好方程”为， 设该方程的两个根为，， ∴． 15. 一个扇形的圆心角为，半径为3，则这个扇形的弧长为_______（结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了扇形的弧长公式． 根据扇形的弧长公式进行计算即可． 【详解】解：扇形的圆心角，半径， 则弧长， 故答案为：． 16. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）成反比例函数关系，它的图象如图所示．当电流为时，电阻为__________． 【答案】6 【解析】 【分析】设该反比例函数的解析式为，利用待定系数法求出反比例函数解析式，再把代入所得解析式计算即可求解． 【详解】解：设该反比例函数的解析式为，把代入得，， ∴， ∴， 把代入得，， ∴. 17. 今年1月5日中国邮政发行特种邮票《丙午年》，全套共两枚，票面图案分别为：一匹红马奔驰于祥云之上的“驰跃宏图”、三匹骏马并肩驰骋的“万骏臻福”．小骏同学收集了两套《丙午年》特种邮票，现将4枚邮票（除正面图案外完全相同）背面朝上洗匀后放在桌面，他先从中随机抽取1枚，记下名称后不放回，小佳再从剩下的邮票中随机抽取1枚，两人所抽取邮票的票面图案上马匹总数为4匹的概率为__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：设一匹红马奔驰于祥云之上的“驰跃宏图”记为1、三匹骏马并肩驰骋的“万骏臻福”记为3，列表如下 1 1 3 3 1 2 4 4 1 2 4 4 3 4 4 6 3 4 4 6 共有种等可能结果，两人所抽取邮票的票面图案上马匹总数为4匹的有种可能， ∴两人所抽取邮票的票面图案上马匹总数为4匹的概率为． 18. 函数与的图象如图所示，则关于的不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数图象，可以得到当时，函数图象在的图象下方，从而得出的解集． 【详解】解：根据函数图象可知，当时，函数图象在的图象下方， ∴关于的不等式的解集为． 19. CD为的高，，点E在AB上，，则BE的长为__________． 【答案】2或3 【解析】 【分析】设，分别在中，在中，运用勾股定理建立方程可求得或，再根据等腰直角三角形求得DE=CD=2，分别讨论可求得答案. 【详解】解：设， 因为，所以， 在中，， 所以， 在中，， 所以， 又， 所以， 即， 解得或， 因为， 所以DE=CD=2， 当时，如下图所示， 所以BE=BD-DE=4-2=2； 当时，如下图所示， 所以BE=BD+DE=1+2=3； 故答案为：2或3. 【点睛】本题考查直角三角形勾股定理的运用，运用勾股定理建立方程求得线段长是求解的关键，并注意分情况讨论. 20. 如图，四边形是菱形，，，，分别是，上的动点，且，连接，交于点，连接，过点作于点．则下列结论：①；②；③若，则；④若点，分别为，上的动点，连接，，，当线段最小时，的周长最小值为．上述结论中，所有正确结论的序号是__________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】首先证得均为等边三角形， ， 得，由外角的性质得， ①正确；如图1，过A作交于G，交于H，证得四点共圆，得是等边三角形，得，证得，得，进而得，②正确；由，得，再由 ， 得， 进而得，即，， 再得， 证得，从而得 ，③错误；当时，线段最小，由是等边三角形，得 ． 如图2，过C作于P，作A关于的对称点，连接交于K，当三点共线时，取最小值，即为的长，得垂直平分， 进而得， 证得， 在中，， 从而得周长的最小值为，④正确． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴均为等边三角形， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ①正确； 如图1，过A作交于G，交于H， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四点共圆， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，②正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴，③错误； ∵要使线段最小， ∴当时，线段最小， ∵是等边三角形， ∴， ∴． 如图2，过C作于P，作A关于的对称点，连接交于K， ∴当三点共线时，取最小值，即为的长， ∵作A关于的对称点， ∴垂直平分， ∴， 同理可得， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴周长的最小值为，④正确； 综上，正确结论的序号为①②④ ． 【点睛】能巧妙添加辅助线如图1，过A作交于G，交于H，能构造四点共圆，巧妙运用圆的性质；能巧妙添加辅助线如图2，过C作于P，作A关于的对称点，连接交于K，运用“将军饮马”求最小周长是本题解题的关键． 三、解答题（其中21、22每题7分，23、24每题8分，25-27每题10分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】， 【解析】 【详解】解： ， 当时， 原式． 22. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，A，B，C都是格点，请用无刻度的直尺按下列要求画图（保留作图痕迹，体现作图过程）． （1）延长至点D，连接，使； （2）将绕点逆时针旋转至，过点E作于点F，并直接写出EF的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析，的长为 【解析】 【分析】本题考查作图——网格作图，勾股定理，旋转，相似三角形，三角形的面积．解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．（1）作 即可求解；（2）的面积，，可得出. 【小问1详解】 解：如图： 【小问2详解】 解：如图：的长为． 23. 某学校在八、九年级学生中各随机抽取40名学生对每月的工具使用次数进行了整理、描述和分析（次数用x表示，共分成四组，A：；B：；C：；D：）．下面给出了部分信息： 【信息一】 九年级学生使用次数在B组的数据：16，17，17，18，19，20，21，21，22，22，23，23，23，24． 【信息二】 八年级学生使用次数的条形统计图如图1，九年级学生使用次数的扇形统计图如图2． 根据以上信息，解答下列问题： （1）通过计算将图1补充完整，图2中__________； （2）抽取的学生中，九年级学生每月使用工具次数的中位数是__________； （3）若该校八年级学生共800名，请你根据样本数据，估计该校八年级学生每月工具使用次数不低于25次的学生人数． 【答案】（1）见解析；20 （2）23 （3）480人 【解析】 【分析】（1）用八年级总人数减去其他组别人数即可计算出组人数，补全条形图；并用扇形统计图求出； （2）根据中位数定义求出中位数； （3）根据样本中八年级学生每月工具使用次数不低于25次的学生所占的比例，估算出八年级学生每月工具使用次数不低于25次的学生人数． 【小问1详解】 解：组人数为：（人， 补全条形图： ， ． 故答案为：20； 【小问2详解】 解：九年级学生每月使用工具次数在组的人数为：（人，在组的有14人， 把九年级学生每月使用工具次数的数据从小到大排列，第20、21个数都为23， 中位数为：， 故答案为：23； 【小问3详解】 解：（人， 答：估计该校八年级学生每月工具使用次数不低于25次的学生人数为480人． 24. 矩形中（），对角线，交于点，点关于的对称点为，连接交于点，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，以点为圆心，为半径作圆，在不添加任何辅助线的情况下，若与相切，请直接写出长度等于的线段． 【答案】（1）见解析 （2），， 【解析】 【分析】（1）连接，由矩形的性质得 ，再由点B和点关于对称， 得 垂直平分，进而得，，，然后，由三角形的内角和为，得，进而得出，即； （2）连接，，设的半径为r，即，首先，由矩形的性质得，由点B关于的对称点为， 点O为的中点，证得是的中位线，得，，， 再由以点为圆心，为半径作圆，与相切，证得与相切，得，是等腰三角形，进而证得， 得，可证得是等边三角形， ，再证得 ， 从而得， 最后，得，即． 【小问1详解】 证明：如图1，连接， ∵四边形是矩形， ∴ ， ∵点B和点关于对称， ∴ 垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图2，连接，，设的半径为r，即， ∵四边形是矩形， ∴， ∵点B关于的对称点为， ∴点E是的中点，，， 又∵点O为的中点， ∴是的中位线， ∴，， 由（1）知， ∴． ∵与相切，点是矩形对角线的交点，又是的圆心， ∴点到两平行线间的距离相等， ∴与相切， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴，即， ∴的长度等于． 【点睛】由点B关于的对称点为， 点O为的中点，证得是的中位线，得，，， 再由以点为圆心，为半径作圆，与相切，证得与相切，得，是等腰三角形，进而证得， 得，可证得是等边三角形，是本题解题的关键． 25. 1946年4月28日哈尔滨宣告解放，是东北解放的标志性胜利．为纪念哈尔滨解放80周年，某大学组织150名学生中的一部分进行演讲活动，其余学生进行诗歌朗诵活动．活动结束后，学校为参加演讲活动的学生发放了A种纪念品，为参加诗歌朗诵活动的学生发放了B种纪念品．若购买1个A种纪念品和1个B种纪念品共需44元；购买6个A种纪念品的费用与购买5个B种纪念品的费用相同． （1）求A、B两种纪念品的销售单价各是多少元； （2）若参加演讲活动的人数不超过参加诗歌朗诵人数的，当多少人参加演讲活动时购买纪念品的总费用最低，最低费用是多少元？ 【答案】（1）A种纪念品的销售单价为20元，B种纪念品的销售单价为24元 （2）当66人参加演讲活动时，购买纪念品的总费用最低，最低费用是3336元 【解析】 【分析】（1）设A种纪念品的销售单价为元，B种纪念品的销售单价为元，根据“购买1个A种纪念品和1个B种纪念品共需44元；购买6个A种纪念品的费用与购买5个B种纪念品的费用相同”列方程组求解即可； （2）设人参加演讲活动，购买纪念品的总费用为元，先求出m的值，再求出的解析式，根据一次函数的性质作答即可． 【小问1详解】 解：设A种纪念品的销售单价为元，B种纪念品的销售单价为元，根据题意得 解得 答：A种纪念品的销售单价为20元，B种纪念品的销售单价为24元 【小问2详解】 解：设人参加演讲活动，购买纪念品的总费用为元，根据题意得 ， 解得 ∵是的一次函数，， ∴随的增大而减小． ∴取最大值时，有最小值． ∵为正整数， ∴． ∴时， 答：当66人参加演讲活动时，购买纪念品的总费用最低，最低费用是3336元． 26. 已知：为直径，弦交于点，弧弧． （1）如图，求证：； （2）如图，连接，点为弧上一点，点和点在弧上，连接，，求证：； （3）如图，在（）的条件下，点为弧中点，连接，，若，，求的长． 【答案】（1）见解析； （2）见解析； （3）． 【解析】 【分析】（）连接，，由圆周角定理可得，然后通过等腰三角形的性质即可求证； （）连接，，通过圆内接四边形的性质可得，证明，再由全等三角形的性质即可求证； （）连接，，，，，作 于点，作 交延长线于点，作于点，由点为中点，则，所以，设 ，则，，设，故有，，又，则，从而可得，证明，所以，设 ， ，则 ，通过勾股定理得，所以， ， ，通过，又，，所以，然后通过勾股定理得，通过，求得，再由勾股定理求出，，在中，，所以，则． 【小问1详解】 证明：连接，， ∵弧弧， ∴， ∵， ∴，； 【小问2详解】 证明：连接，， ∵， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：连接，，，，，作 于点，作 交延长线于点，作于点， 点为中点， ， ， 设 ， ， ， ， ， ， ， ， 设， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 又∵， ∴， ， 设 ， ，则 ， 中，， 中，， ， ∴，即， 整理得：， 解得：或（舍去）， ， ， ， ， 中，， 由上可知：， ， 中，，， ， ， ， ， ， （舍去），， ，， 中，， ， ， ， ， ， ， 中，， ， ， 中，， ， ． 27. 已知：如图1，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，二次函数的图象交轴于两点（点在点的左侧），交轴于点． （1）求二次函数的解析式； （2）如图2，点为上一点，过点作轴交抛物线于点，连接交轴于点，设点的横坐标为，的长为，求与的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）如图3，在（2）的条件下，点为轴上点右侧一点，在第一象限内作等边，点在第一象限，连接，连接并延长至点，，连接，，作于点，连接，，，点为第二象限抛物线上一点，连接，，，求直线的解析式． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据二次函数解析式的形式，可以求得，，由于，得到点C的坐标，将其坐标代入解析式可求得a的值； （2）根据已知条件，可得，分别表示出各线段的长度，不难得出与的关系式； （3）连接，，作交延长线于点，作 于点，作于点， 根据条件和可得为等边三角形，因此很容易证明，利用全等三角形的性质进行导边，导角，结合辅助线可证，利用各个点的坐标表示出各线段的长度，由条件建立方程，解得t的值，进而求得点E的坐标，再根据条件进行导角，可推导出是等腰直角三角形，利用建立关系式，求得点Q的坐标，最后利用待定系数法求直线的解析式． 【小问1详解】 二次函数图象交轴于，两点， ，， ，， ， ， ，代入解析式得， ，解得， 二次函数的解析式． 【小问2详解】 ，轴， ， ，， 中，，中，， ，即， ， ， ． 【小问3详解】 连接，，作交延长线于点，作 于点，作于点， 为等边三角形， ， ． ， ， ， 为等边三角形， ，， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， 四边形为矩形， ， ，， ， ， ， ， ，即 ， （舍），， ， ，， ， ， ， ， ， ， 设， ， （舍），， ， 设直线解析式为， 解得 ． 【点睛】本题是二次函数压轴题，考察了二次函数图像的性质、解直角三角形、平行线对应线段成比例、待定系数法求解析式、等边三角形的性质等知识点，其中掌握二次函数图像的性质，等边三角形的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年香坊区初中毕业学年调研测试（二） 数学试卷 考生须知： 1．本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2．答题前，考生先将自己的“姓名”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸上、试题纸上答题无效． 4．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、字迹清楚． 5．保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀． 第Ⅰ卷选择题（共30分）（涂卡） 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 若，则里的数应填（ ） A. B. C. D. 2. 下列手机手势解锁的图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 想象一下，在接近绝对零度（）的环境下，能清晰地“看见”材料内部微小的磁场变化，甚至能分辨相距仅米（一根头发丝直径的千分之一）的超导细线．这并不是科幻，是2025年中国科学家实现的最新突破．数据用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 4. 由几个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其主视图是（ ） A. B. C. D. 5. 方程的解是（） A. B. C. D. 6. 抛物线与轴的交点坐标是( ) A. B. C. D. 7. 如图，在正方形中，点为边上一点，连接，将沿翻折，得到，连接，，，则的度数为（ ） A. 25 B. 26 C. 28 D. 30 8. 用完全相同的正六边形卡片拼出如图所示的图案，每个图案由若干个正六边形组成．其中第①个图案有2个正六边形，第②个图案有5个正六边形，第③个图案有8个正六边形，第④个图案有11个正六边形，……，按照图示规律，则第⑩个图案有（ ）个正六边形． A. 32 B. 31 C. 30 D. 29 9. 如图，已知，以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点；分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点；作射线交于点；分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点；作直线交于点，交于点．依据以上作图，若，，，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 10. 如图，在中，，，．动点以的速度从点出发，沿折线向终点运动，同时动点也以的速度从点出发，沿边向终点运动．设点，的运动时间为，的面积为，则与的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷非选择题（共90分） 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 在函数中，自变量x的取值范围是___． 12. 把多项式分解因式的结果是__________． 13. 不等式组的解集是__________． 14. 定义：我们把关于的一元二次方程与称作一对“友好方程”．如的“友好方程”是．那么一元二次方程的“友好方程”的两根之和为__________． 15. 一个扇形的圆心角为，半径为3，则这个扇形的弧长为_______（结果保留）． 16. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）成反比例函数关系，它的图象如图所示．当电流为时，电阻为__________． 17. 今年1月5日中国邮政发行特种邮票《丙午年》，全套共两枚，票面图案分别为：一匹红马奔驰于祥云之上的“驰跃宏图”、三匹骏马并肩驰骋的“万骏臻福”．小骏同学收集了两套《丙午年》特种邮票，现将4枚邮票（除正面图案外完全相同）背面朝上洗匀后放在桌面，他先从中随机抽取1枚，记下名称后不放回，小佳再从剩下的邮票中随机抽取1枚，两人所抽取邮票的票面图案上马匹总数为4匹的概率为__________． 18. 函数与的图象如图所示，则关于的不等式的解集为______． 19. CD为的高，，点E在AB上，，则BE的长为__________． 20. 如图，四边形是菱形，，，，分别是，上的动点，且，连接，交于点，连接，过点作于点．则下列结论：①；②；③若，则；④若点，分别为，上的动点，连接，，，当线段最小时，的周长最小值为．上述结论中，所有正确结论的序号是__________． 三、解答题（其中21、22每题7分，23、24每题8分，25-27每题10分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中． 22. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，A，B，C都是格点，请用无刻度的直尺按下列要求画图（保留作图痕迹，体现作图过程）． （1）延长至点D，连接，使； （2）将绕点逆时针旋转至，过点E作于点F，并直接写出EF的长． 23. 某学校在八、九年级学生中各随机抽取40名学生对每月的工具使用次数进行了整理、描述和分析（次数用x表示，共分成四组，A：；B：；C：；D：）．下面给出了部分信息： 【信息一】 九年级学生使用次数在B组的数据：16，17，17，18，19，20，21，21，22，22，23，23，23，24． 【信息二】 八年级学生使用次数的条形统计图如图1，九年级学生使用次数的扇形统计图如图2． 根据以上信息，解答下列问题： （1）通过计算将图1补充完整，图2中__________； （2）抽取的学生中，九年级学生每月使用工具次数的中位数是__________； （3）若该校八年级学生共800名，请你根据样本数据，估计该校八年级学生每月工具使用次数不低于25次的学生人数． 24. 矩形中（），对角线，交于点，点关于的对称点为，连接交于点，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，以点为圆心，为半径作圆，在不添加任何辅助线的情况下，若与相切，请直接写出长度等于的线段． 25. 1946年4月28日哈尔滨宣告解放，是东北解放的标志性胜利．为纪念哈尔滨解放80周年，某大学组织150名学生中的一部分进行演讲活动，其余学生进行诗歌朗诵活动．活动结束后，学校为参加演讲活动的学生发放了A种纪念品，为参加诗歌朗诵活动的学生发放了B种纪念品．若购买1个A种纪念品和1个B种纪念品共需44元；购买6个A种纪念品的费用与购买5个B种纪念品的费用相同． （1）求A、B两种纪念品的销售单价各是多少元； （2）若参加演讲活动的人数不超过参加诗歌朗诵人数的，当多少人参加演讲活动时购买纪念品的总费用最低，最低费用是多少元？ 26. 已知：为直径，弦交于点，弧弧． （1）如图，求证：； （2）如图，连接，点为弧上一点，点和点在弧上，连接，，求证：； （3）如图，在（）的条件下，点为弧中点，连接，，若，，求的长． 27. 已知：如图1，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，二次函数的图象交轴于两点（点在点的左侧），交轴于点． （1）求二次函数的解析式； （2）如图2，点为上一点，过点作轴交抛物线于点，连接交轴于点，设点的横坐标为，的长为，求与的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）如图3，在（2）的条件下，点为轴上点右侧一点，在第一象限内作等边，点在第一象限，连接，连接并延长至点，，连接，，作于点，连接，，，点为第二象限抛物线上一点，连接，，，求直线的解析式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $