精品解析：2025年黑龙江省哈尔滨市香坊区中考二模数学试题

2025年香坊区初中毕业学年调研测试（二） 数学学科（九年级） 考生须知： 1．本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2．答题前，考生先将自己的“姓名”，“考场”，“座位号”在答题卡上填写清楚． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸上、试题纸上答题无效． 4．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、字迹清楚． 5．保证卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、弄皱，不准使用涂改液，刮纸刀． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的意义，根据意义即可求解，解题的关键是正确理解表示一个数 的点到原点的距离叫做这个数的绝对值，一个正数的绝对值等于它的本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝对值等于它的相反数． 【详解】解：根据绝对值的定义可得：的绝对值是， 故选：． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法计算，幂的乘方计算和合并同类项，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解：A．与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：B． 3. 下列中国传统纹样图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形，解题的关键是理解轴对称图形的定义，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．由题意直接根据轴对称图形的定义依次对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，不合题意； B、是轴对称图形，符合题意； C、不是轴对称图形，不合题意； D、不是轴对称图形，不合题意． 故选：B． 4. 四个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从正面看到的视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】从正面看到的有三列，从左到右正方形的个数依次是1，1，2，据此判断即可. 【详解】解：从正面看到的视图是： ， 故选：A. 【点睛】本题考查了几何体的视图，明确从正面看到的视图是解题关键. 5. 方程的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，根据解分式方程的步骤解分式方程并检验即可得出答案． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 化系数为1： ， 经检验， 是分式方程的解， 故选：C 6. 抛物线与 轴的交点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特点，令 ，求出 的值即可，掌握 轴上点的坐标特点是解题的关键． 【详解】解：由得，当 时，， ∴与 轴的交点坐标是， 故选： ． 7. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式的解集，先求解每个不等式的解集，再求得它们的公共部分得到不等式组的解集，再将解集表示在数轴上即可，注意端点是空心还是实心． 【详解】解：解不等式得， 解不等式得， ∴不等式组的解集为， 解集在数轴上表示为： 故选：C． 8. 早在1700多年前中国古代数学家赵爽就在注解《周髀算经》时给出可以证明著名的“勾股定理”的几何图形，人们称它为“赵爽弦图”，如图所示的“弦图”由四个全等的直角三角形（， ，，）围成大正方形（正方形 ）．连接，设，，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了以弦图为背景的计算题，设，，则，由和正切的定义即可得出． 【详解】解：设，， ∴， ∵， ∴， 故选:A 9. 甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人 次射击成绩（单位：环）的平均数及方差如下表所示： 甲 乙 丙 丁 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了平均数和方差，首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的参加比赛即可，解题的关键是明确方差的定义：方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 【详解】解：由表知甲、丙、丁射击成绩的平均数相等，且大于乙的平均数， ∴从甲、丙、丁中选择一人参加竞赛， ∵丁的方差较小， ∴选择丁参加比赛， 故选：． 10. 如图，在等边 中， ，点 从 出发，沿路线以每秒1个单位的速度运动，同时点从 出发，沿路线以相同速度运动，当 、两点相遇同时停止运动．设两点运动时间为 秒，的面积为 ，则下列图象能表示 与 之间的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象、二次函数图象的性质，根据题意求得解析式是解题的关键． 根据题意当时，当时，分别求得的面积，即可判断函数图象． 【详解】解：依题意，时，， 连接 、 ，过点 作 ，垂足为 ， ∵在等边 中， ， ∴，， ∴ ∵，， ∴， 函数图象为开口向上的抛物线的一部分，当时，， ，图象为直线的一部分， ∵，点运动时间为 秒， 当时，点 、在 上，如图所示， ∴， ∴ 当时，图象为直线的一部分， 故选：D． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 黑龙江省是森林资源大省，有“中国北方生态安全屏障”之称，全省森林面积21000000公顷，占全国森林面积的，居全国第二位．将数据21000000用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 在函数中，自变量 的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，求自变量的取值范围．根据二次根式有意义的条件解答即可． 【详解】解：根据题意得：， ∴ ． 故答案为： 13. 计算的结果为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法和加减运算，同类二次根式的合并，熟练掌握运算法则是解题的关键； 首先利用二次根式乘法法则计算，然后合并同类二次根式即可解答． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 14. 将进行因式分解， 结果为____________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再运用完全平方差公式即可． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查因式分解，解题关键是掌握因式分解的方法与步骤． 15. 一个仅装有球的不透明布袋里只有6个红球和 个白球（仅有颜色不同）．若从中任意摸出一个球是红球的概率为，则 _________． 【答案】9 【解析】 【分析】根据概率公式列分式方程，解方程即可． 【详解】解： 从中任意摸出一个球是红球的概率为， ， 去分母，得， 解得， 经检验是所列分式方程的根， ， 故答案为：9． 【点睛】本题考查已知概率求数量、解分式方程，解题的关键是掌握概率公式． 16. 某商品经过连续两次降价后，销售单价由原来的120元降到现在的97.2元，若平均每次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查一元二次方程的应用．设平均每次降价的百分率为x，每个售价由原来的120元降到97.2元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为x， 根据题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 即每次降价的百分率为， 故答案为：． 17. 若扇形的面积为，半径为18，则该扇形的弧长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算及弧长的计算，根据扇形的面积公式即可解决问题． 【详解】解：由题知， 因为扇形的面积为，半径为18， 令扇形的弧长为， 则， 解得， 所以该扇形的弧长为． 故答案为：． 18. 科学课上，某同学用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度（单位：）是液体的密度（单位：）的反比例函数，当密度计悬浮在密度为的水中时，．当该密度计悬浮在另一种液体中时，，则该液体的密度为________． 【答案】0.9 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数的应用．由题意可得，设，把，代入解析式，求得h关于的函数解析式；把代入（1）中的解析式，求解即可． 【详解】解：设h关于的函数解析式为， 把，代入解析式，得． ∴h关于的函数解析式为． 把代入，得． 解得：． 答：该液体的密度为． 故答案为：． 19. 已知的半径为，弦，弦，则 的度数为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理逆定理，解直角三角形，掌握知识点的应用及分类讨论思想是解题的关键． 过点 作，垂足为 ，根据垂径定理可得，然后在中， 利用锐角三角函数的定义可得，从而可得，再利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，进而可得 ，最后分两种情况：当点 不在上时；当点 在上时；分别进行计算即可解答． 【详解】解：过点 作，垂足为 ， ∴， 在中，， ∴， 在中，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∵， ∴， 分两种情况： 当点 不在上时，如图： ∴， 当点 在上时，如图： ∴， 综上所述： 的度数为或， 故答案为：或． 20. 如图，在 中，，平分 交 于点 ，于 ， 为 中点，连接，过 作交 于 ．则下列结论：①；②四边形为平行四边形；③；④若，，则线段的长为7．其中一定正确的结论是________．（请将正确结论的序号填在横线上） 【答案】①②③ 【解析】 【分析】延长延长交 于点H，证明得，，，结合外角的性质可判断①正确；根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判断②正确；由平行四边形的性质可判断③正确；由得，从而，整理得，设，则，，由平行线分线段成比例定理得，进而可判断④不正确． 【详解】解：延长交 于点H， ∵平分 交 于点D，于E， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵M为 中点，E为 中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形，故②正确； ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴， ∵，即， ∴， 整理得， 设，则，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故④错误， 故答案为：①②③． 【点睛】此题考查了等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、平行线分线段成比例定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 三、解答题（其中21、22每题7分，23、24每题8分，25－27每题10分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，分式的化简求值，特殊角度数的三角函数值，解题的关键是熟练掌握分式的运算法则和特殊角度数的三角函数值． 先利用分式的混合运算进行分式化简，然后求出 的值，代入即可． 【详解】解：原式 当时，代入上式， 原式． 22. 如图是由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．线段 的端点均在格点上． （1）在图中画出面积为10的等腰，使；再画出面积为10的等腰，使（点和点均在格点上）； （2）在（1）的条件下如果规定：从平面上一点向已知角的两边所在的直线作垂线，则把较短垂线段的长度定义为“点到角的距离”．当该点在角的两边所在直线上时，则“点到角的距离”为0．根据上面定义，写出点到的距离为________；写出点到的距离为________． 【答案】（1）如图， （2）；4 【解析】 【分析】本题主要依托新定义考查网格的性质和菱形的性质，以及点到直线的距离， （1）结合题意可知等腰和等腰的面积相等，可知划菱形即可满足上述条件，由网格可知边长为5，结合网格得特性进一步分析即可找到满足的点和点； （2）先利用网格的性质找到点到角两边的距离，再结合“点到角的距离”即可求得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由网格的性质可知四边形为菱形，设和的交点为O，过点作于点K，过点作于点L，如图， 则点到两边的距离分别为和， 那么，点到的距离为； 则点到的距离为分别为和， 那么，点到的距离为4． 23. 1995年，联合国教科文组织大会宣布4月23日为“世界读书日”．某学校在“世界读书日”开展的主题读书活动中，对本学期开学以来学生课外读书情况进行了随机抽样调查，所抽取的12名学生课外读书数量（单位：本）数据如下：4，2，5，4，3，5，3，1，4，3，2，4．同时绘制了不完整的条形统计图． （1）直接写出抽取的12名学生本学期课外读书共有________本；并直接补全学生课外读书数量条形统计图； （2）请直接写出本次所抽取学生课外读书数量的众数为________，中位数为________； （3）该校有720名学生，请根据抽样调查的结果，估计本学期开学以来全校学生中课外读书数量不少于3本的学生有多少人？ 【答案】（1）40，补全统计图如下： （2）4， （3）540人 【解析】 【分析】本题主要考查了频数分布直方图，中位数，众数和用样本估计总体，正确理解题意是解题的关键． （1）把12人的阅读量相加可得第一空答案，再补全统计图即可； （2）根据中位数和众数的定义求解即可； （3）用720乘以样本中课外读书数量不少于3本的学生人数占比即可得到答案． 【小问1详解】 解：本， ∴抽取的12名学生本学期课外读书共有40本， 【小问2详解】 解：∵阅读量为4本的人数最大， ∴众数为4本， 把这12人的阅读量按照从低到高排列，处在第6名和第7名的阅读量分别为3本，4本， ∴中位数为本； 【小问3详解】 解：（人） 答：估计本学期开学以来全校课外读书数量不少于3本的学生有540人． 24. 如图在四边形 中，，点 在边上，连接 ， ，过 作于 ，，． （1）如图1，求证：四边形 为平行四边形； （2）①如图2，当时，请直接写出和 之间的数量关系________； ②如图3，当时，试判断和 之间的数量关系，并写出证明过程． 【答案】（1） 证明：设， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 在 中， ∴ ∴ 又， ∴， ∵， ∴四边形 为平行四边形． （2）①； ②． 证明：∵，四边形 为平行四边形， ∴四边形 为菱形， ∴， ∵， ∴． 过 做于点 ， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）证明，结合，可证明四边形 为平行四边形； （2）①当时，判定四边形 为矩形，证明，继而证明，得到，结合已知证明． ②当时，判定四边形 为菱形，过 做于点 ，证明 ，解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①理由如下： ∵，四边形 为平行四边形， ∴四边形 为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ②略 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定和性质，菱形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角函数的应用，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 25. 某商场计划购进甲、乙两种不同型号背包，已知购进甲型号背包2个和乙型号背包3个共需270元；购进甲型号背包3个和乙型号背包2个共需230元． （1）甲、乙两种型号背包每个的进价分别是多少元？ （2）商场决定甲型号背包以每个40元价格出售，乙型号背包以每个90元价格出售，为满足市场需求，需购进甲、乙两种背包共100个，当购进的背包全部售出后，该商场要想获得利润超过1200元，则最多购进甲种背包多少个？ 【答案】（1）甲种型号背包每个进价为30元，乙种型号背包每个进价为70元 （2）最多购进甲种型号背包79个 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，正确得出不等关系是解题关键． （1）设甲、乙两种型号背包每个的进价分别是x、y元，根据题意列方程组求解可得； （2）设购进甲型号背包m个，乙型号背包个，根据“获利超过元”列不等式求解可得． 【小问1详解】 解：设甲种型号背包每个进价为 元，乙种型号背包每个进价为 元． 根据题意得：，解得 答：甲种型号背包每个进价为30元，乙种型号背包每个进价为70元． 【小问2详解】 设购进甲种背包 个，乙型号背包个，根据题意可得 ， 取最大整数解为79． 答：最多购进甲种型号背包79个． 26. 已知， 为的直径，弦交 于点 ，连接 ，，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，点 在弧上，连接，，延长交于点 ，连接 ，若，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，过点 作于点 ，若，，求的半径． 【答案】（1） 证明：连接 ， ， ， ， ， ， ， ； （2） 证明：连接 ，，设， 则由（1）可知， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）． 【解析】 【分析】连接 ，根据圆周角定理可得：，又因为，可得，因为，根据三角形的三线合一定理可证结论成立； 连接 ，，设，则由（1）可知，则，从而可得：，又因为，所以，所以可证结论成立； 过 作于 ，利用可证，根据全等三角形的性质可证，，连接 ，在 上取点，使，利用可证，利用全等三角形的性质可证，根据等边对等角可证，根据可证，根据等角对等边可得，所以，所以可得，因为，可知，延长交于 ，连接，则，利用三角函数可求出，可知 的半径为． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如下图所示，过 作于 ， ， ， ， ， ，于 ， ， 在和中，， ， ，， 连接 ，在 上取点，使， ， 在和中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 延长交于 ，连接，则， ，， ， 则，， 的半径为． 【点睛】本题主要考查了关于圆的综合运用、全等三角形的判定与性质、圆周角定理、勾股定理、解直角三角形、锐角三角函数，本题的综合性较强，解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形和全等三角形． 27. 在平面直角坐标系中， 为坐标原点，直线 交 轴的正半轴于点A，交 轴的正半轴于点 ，且，过点 的直线交 轴于点 ． （1）求直线 的解析式； （2）如图1，点 在线段上（不与点 ，A重合），过点 作 轴的垂线，分别交直线 ， 于点 ， ．设，求 与 的函数解析式； （3）如图2，在（2）的条件下，时，点 在 上，点 在第四象限的直线 上，且．连接 ，，轴交的延长线于点，连接 ， ．点 在 轴的负半轴上，，连接 ，若，且，求点 的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由中，令 ，则．得，得，得，即得 解析式． （2）设，得，．，，即得． （3）求出，得，，由，得．过 作轴于 ，过作轴于 ，设，证明，得，，得，，由，，得，由，得，得，得，得，得为等腰直角三角形，求出，，可得，得，得，解得：，（舍），得． 【小问1详解】 中，令 ，则． ． ． ∵， ． ． 设 解析式 ， ． ． ∴ 解析式． 【小问2详解】 设， 分别代入和， 可得，． 则． ． ． 【小问3详解】 由（2）得， ． ，． 轴， ． ， ． 过 作轴于 ，过作轴于 ， 设， 则． ∵， ． ，． ． ∴． ∴． 在中，， ． ． 在中，， ． ， ． ． ， ． 即． ∴． ． ． 为等腰直角三角形． ． ， ． ∴，． ，， ． ∵， ∴． ． ． 解得：，（舍）． ，． 【点睛】本题考查了一次函数与几何综合．熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的图象和性质，线段的比，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正切定义，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年香坊区初中毕业学年调研测试（二） 数学学科（九年级） 考生须知： 1．本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2．答题前，考生先将自己的“姓名”，“考场”，“座位号”在答题卡上填写清楚． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸上、试题纸上答题无效． 4．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、字迹清楚． 5．保证卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、弄皱，不准使用涂改液，刮纸刀． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列中国传统纹样图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 四个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从正面看到的视图是（ ） A. B. C. D. 5. 方程的解为（ ） A. B. C. D. 6. 抛物线与 轴的交点坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 早在1700多年前中国古代数学家赵爽就在注解《周髀算经》时给出可以证明著名的“勾股定理”的几何图形，人们称它为“赵爽弦图”，如图所示的“弦图”由四个全等的直角三角形（， ，，）围成大正方形（正方形 ）．连接，设，，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 9. 甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人次射击成绩（单位：环）的平均数及方差如下表所示： 甲 乙 丙 丁 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 10. 如图，在等边 中， ，点 从出发，沿路线以每秒1个单位的速度运动，同时点 从出发，沿路线以相同速度运动，当 、 两点相遇同时停止运动．设两点运动时间为 秒，的面积为 ，则下列图象能表示 与 之间的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 黑龙江省是森林资源大省，有“中国北方生态安全屏障”之称，全省森林面积21000000公顷，占全国森林面积的，居全国第二位．将数据21000000用科学记数法表示为________． 12. 在函数中，自变量 的取值范围是________． 13. 计算的结果为________． 14. 将进行因式分解， 结果为____________． 15. 一个仅装有球的不透明布袋里只有6个红球和 个白球（仅有颜色不同）．若从中任意摸出一个球是红球的概率为，则 _________． 16. 某商品经过连续两次降价后，销售单价由原来的120元降到现在的97.2元，若平均每次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为________． 17. 若扇形的面积为，半径为18，则该扇形的弧长为________． 18. 科学课上，某同学用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度 （单位：）是液体的密度（单位：）的反比例函数，当密度计悬浮在密度为的水中时，．当该密度计悬浮在另一种液体中时，，则该液体的密度为________． 19. 已知的半径为，弦，弦，则 的度数为______． 20. 如图，在 中，，平分 交于点 ，于 ，为中点，连接，过作交 于 ．则下列结论：①；②四边形为平行四边形；③；④若，，则线段的长为7．其中一定正确的结论是________．（请将正确结论的序号填在横线上） 三、解答题（其中21、22每题7分，23、24每题8分，25－27每题10分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中． 22. 如图是由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．线段 的端点均在格点上． （1）在图中画出面积为10的等腰，使；再画出面积为10的等腰，使（点和点均在格点上）； （2）在（1）的条件下如果规定：从平面上一点向已知角的两边所在的直线作垂线，则把较短垂线段的长度定义为“点到角的距离”．当该点在角的两边所在直线上时，则“点到角的距离”为0．根据上面定义，写出点到的距离为________；写出点到的距离为________． 23. 1995年，联合国教科文组织大会宣布4月23日为“世界读书日”．某学校在“世界读书日”开展的主题读书活动中，对本学期开学以来学生课外读书情况进行了随机抽样调查，所抽取的12名学生课外读书数量（单位：本）数据如下：4，2，5，4，3，5，3，1，4，3，2，4．同时绘制了不完整的条形统计图． （1）直接写出抽取的12名学生本学期课外读书共有________本；并直接补全学生课外读书数量条形统计图； （2）请直接写出本次所抽取学生课外读书数量的众数为________，中位数为________； （3）该校有720名学生，请根据抽样调查的结果，估计本学期开学以来全校学生中课外读书数量不少于3本的学生有多少人？ 24. 如图在四边形 中，，点 在边上，连接 ， ，过作于 ，，． （1）如图1，求证：四边形 为平行四边形； （2）①如图2，当时，请直接写出和 之间的数量关系________； ②如图3，当时，试判断和 之间的数量关系，并写出证明过程． 25. 某商场计划购进甲、乙两种不同型号背包，已知购进甲型号背包2个和乙型号背包3个共需270元；购进甲型号背包3个和乙型号背包2个共需230元． （1）甲、乙两种型号背包每个的进价分别是多少元？ （2）商场决定甲型号背包以每个40元价格出售，乙型号背包以每个90元价格出售，为满足市场需求，需购进甲、乙两种背包共100个，当购进的背包全部售出后，该商场要想获得利润超过1200元，则最多购进甲种背包多少个？ 26. 已知， 为的直径，弦交 于点 ，连接 ，，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，点 在弧上，连接，，延长交于点 ，连接 ，若，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，过点作于点，若，，求的半径． 27. 在平面直角坐标系中， 为坐标原点，直线 交 轴的正半轴于点A，交 轴的正半轴于点，且，过点的直线交 轴于点． （1）求直线 的解析式； （2）如图1，点 在线段上（不与点 ，A重合），过点 作 轴的垂线，分别交直线 ，于点 ， ．设，求 与 的函数解析式； （3）如图2，在（2）的条件下，时，点 在 上，点 在第四象限的直线 上，且．连接，，轴交的延长线于点 ，连接， ．点 在 轴的负半轴上，，连接，若，且，求点 的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $