内蒙古自治区呼和浩特市新城区北京一零一中呼和浩特分校2025-2026学年九年级下学期5月阶段检测数学试题

**基本信息** 以风力发电机、苏步青星、露营帐篷等科技与生活情境为载体，通过几何直观、模型意识、推理能力考查，体现数学眼光观察、思维思考、语言表达现实世界的核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|实数比较、旋转对称、反比例函数性质|结合光的反射光路图考查几何直观| |填空题|4/12|科学记数法、圆的计算、尺规作图|苏步青星数据体现文化传承与抽象能力| |解答题|6/64|统计图表分析、二次函数应用、几何证明|露营帐篷抛物线模型（模型意识）、手办销售方案设计（应用意识）|

2025-2026学年第二学期初三学业水平考试教学质量监测（二） 数 学 学 科 考试时长：90分钟　满分：100分 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列各数中比小的数是(     ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：，，，，故符合题意； B.，，，，故不符合题意； C.，，，，故不符合题意； D.，故不符合题意； 故选：． 利用有理数大小的比较方法：、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可． 本题考查了有理数的大小比较，掌握正数都大于零；负数都小于零；正数大于负数；两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解答本题的关键． 2.如图为小颖在试鞋镜前的光路图，入射光线经平面镜后反射入眼，若，，，则入射角的度数为(     ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：，， 两直线平行，内错角相等， ， ， 故选：． 根据平行线的性质得出，结合图形即可求解． 本题考查了平行线的性质，关键是平行线性质的熟练掌握． 3.如图，风力发电机的叶片在风的吹动下转动，使风能转化为电能图中的三个叶片组成的图形绕着它的中心旋转角后，能够与它本身重合，则角的大小可以为(     ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：， 图中的三个叶片组成的图形绕着它的中心旋转角后，能够与它本身重合，则角的大小可以为． 故选：． 先求出正三角形的中心角，再根据旋转变换的性质解答即可． 本题考查了旋转对称图形、正多边形的性质，掌握正三角形的中心角是关键． 4.下列计算正确的是(     ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：选项A： 与  不是同类项，不能合并， 计算错误，不符合题意； 选项B：根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，得 ， 计算错误，不符合题意； 选项C：根据幂的乘方，底数不变，指数相乘，得 ， 计算正确，符合题意； 选项D：根据完全平方公式，得 ， 计算错误，不符合题意； 故选：． 需要根据合并同类项法则，同底数幂的乘法法则，幂的乘方法则和完全平方公式，逐一判断各选项是否正确． 本题考查整式的基本运算，熟练掌握运算法则是关键． 5.如图，在中，，轴，点在反比例函数的图象上，若点在反比例函数的图象上，则的值为(     ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：如图，交轴于， 轴， 轴， 点在反比例函数的图象上， ， ， ， 点在反比例函数的图象上， ， 解得， 过第二象限， ， ， 故选：． 根据反比例函数的几何意义求解即可． 本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，的几何意义，正确记忆相关知识点是解题关键． 6.如图，在中，，以点为圆心，的长为半径画弧，与的另一个交点为，连接若，则的值为(     ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：，， ， 以点为圆心，的长为半径画弧，与的另一个交点为，连接， ， ， ． 故选：． 先根据勾股定理求出，由作图知：，根据等边对等角得出，然后根据正切的定义求出即可求解． 本题考查的是解直角三角形，勾股定理，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 7.某工厂有一款自动蓄水池，其内部结构呈圆柱体形状，某次匀速注水时蓄水池内水位高度米与注水时间小时之间的关系如图所示，若该蓄水池匀速注水时，每小时的注水量为立方米，则该蓄水池内部结构的半径约为注： A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C  【解析】解：由图可知，，则每小时的注水高度为米， 设该蓄水池内部结构的半径为米，  ， 解得，不符题意，舍去， 若该蓄水池匀速注水时，每小时的注水量为立方米，则该蓄水池内部结构的半径约为米． 故选：． 根据函数图象可求得每小时的注水高度为米，再根据每小时的注水量为立方米列关于半径的方程求解即可． 本题考查一次函数的实际应用，能够正确分析图象和理解“每小时的注水量为立方米”是解题的关键． 8.已知点在反比例函数的图象上，，则下列结论正确的是(     ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B  【解析】解：由条件可知反比例函数图象在第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小， ， A.若，则，由增减性得，，故不符合题意； B.若，则，由增减性得，，，即，故符合题意； C.若，则或，由增减性得，故不符合题意； D.若，则或，由增减性得或，故不符合题意． 故选：． 根据每个选项的条件，利用反比例函数的增减性逐个判断即可． 本题考查反比例函数的增减性，能够熟练利用增减性比较函数值大小是解题的关键． 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 9.苏步青来自“数学家之乡”，为纪念其卓越贡献，国际上将一颗距地球约公里的行星命名为“苏步青星”数据用科学记数法表示为         ． 【答案】  【解析】解：． 故答案为：． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 10.如图，在平面直角坐标系中有一三角形，其中，，，以点，为圆心，分别以，的长为半径作弧，两条弧相交于第一象限的点，则点的坐标为         ． 【答案】．  【解析】解：如图，连接，， 以点，为圆心，分别以，的长为半径作弧，两条弧相交于第一象限的点， ，，， ≌， ， ， 绕点顺时针旋转得到， 点在第一象限， 点的坐标为． 故答案为：． 连接，，由题意，得，，，则有≌，所以，则，故有点的横坐标等于点的纵坐标，点的纵坐标等于点的横坐标的绝对值，又点在第一象限，从而求解， 本题考查的是旋转的性质，熟知图形旋转不变性的性质是解题的关键． 11.如图，是的直径，点在上，连接过点作的垂线，垂足为在的垂线上截取，交于点，连接，交于点若，，则的长度为         ． 【答案】  【解析】解：如图，连接， 是的直径，， ，，， ，， ，， ， 故答案为：． 连接，根据已知条件及垂径定理得到，，，然后，由勾股定理得，，最后可得出的长． 本题主要考查了垂径定理，勾股定理，掌握其相关知识点是解题的关键． 12.如图，在四边形中，，，点在边上，且点在边上，平分与交于点若，则的长为        ． 【答案】．  【解析】解：如解图，分别延长，交于点， 由条件可知，， 平分， ， ， ， ， ， ，即为直角三角形， 在中，， ， ， ，即为直角三角形， 在中，， ， ， ． 故答案为：． 分别延长，交于点，先证，在中，求得，再在中，求得，然后由即可求解． 本题考查了解直角三角形，熟练掌握该知识点是关键． 三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.本小题分计算与化简： 计算：． 化简：． 解：原式.......................................................3分 ..............................................................................................................................5分 原式 .......................................................3分 .......................................................................5分 【解析】先分别化简二次根式、绝对值、零指数幂，然后计算加减法即可； 先通分括号内的式子，同时将括号外除法转化为乘法，然后约分即可． 本题考查实数混合运算和分式混合运算，解题的关键是掌握相关的运算法则． 14.本小题分 年蛇年春晚以“巳巳如意，生生不息”为主题，荟袭歌舞、荟萃、相声、小品、武术、杂技、少儿等多种类型节目，在开心，奋进拼搏的氛围中，陪伴全球华人开开心心过大年为了解学生最喜欢的节目，某校从“歌舞、相声、小品、其他”四种类型的节目对学生进行了一次抽样调查，每个学生只选择以上四种节目类型中的一种，现将调查的结果绘制成了两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息，解答下列问题： 抽取的总人数是______，并补全条形统计图； 估计该校名学生中，喜欢小品节目类型的人数； 若老师从九年级班学生喜欢歌舞类型的名男生和名女生中随机抽取名学生，将他们确定为班级节目表演重点培养对象，请用列表法或画树状图的方法求抽取的两名学生为一名男生和一名女生的概率． 【解析】解：由题意可知抽取的总人数是人................................................1分 所以小品的人数人， 补全条形图如图所示： ................................................2分 该校名学生中， 喜欢小品节目类型的人数有名................................................4分 画树状图为： ................................................5分 共有种等可能的结果数，其中抽取的两人恰好是一名男生和一名女生结果数为， 所以抽取的两人恰好是一名男生和一名女生概率................................................7分 首先求出总人数，进而可求出喜爱小品的人数，并补全条形图即可； 由总人数乘以喜爱喜爱小品的人数的百分数即可得解； 画树状图展示种等可能的结果数，再找出抽取的两人恰好是一名男生和一名女生结果数，然后根据概率公式求解． 本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．也考查了统计图． 15.本小题分 年初，国产动画电影“哪吒魔童闹海”票房创历史新高某生产商推出了哪吒手办类和敖丙手办类盲盒，已知生产商每天生产类手办比生产类手办多个，单独生产类手办天的总产量与单独生产类手办天的总产量相同． 求生产商每天单独生产，两类手办的个数； 两种手办某商家的购进价和售价如下表： 进价 售价 类个 类个 根据网上预约的情况，该商家计划用不超过元的资金购进，两种手办共个，若这个手办全部售完，请你设计购进方案，使商家获利最大，并求最大利润． 【解析】设生产商每天单独生产类手办个，则每天单独生产类手办个， 根据题意列一元一次方程得，，................................................3分 解得，个． 答：生产商每天单独生产类手办个，每天单独生产类手办个................................................5分 设购进类手办个，则购进类手办个， 根据题意列一元一次不等式得，................................................6分 整理得，， 解得................................................7分 设获利为元，则................................................8分 ， 随的增大而减小， ， 当时值最大，， 则个................................................9分 答：购进类手办个、类手办个可使商家获利最大，求最大利润为元．................................................10分 先设生产商每天单独生产类手办个，则每天单独生产类手办个，再列出一元一次方程，即可作答； 设购进类手办个，则购进类手办个，得，解得，设获利为元，则，结合一次函数的性质进行作答即可． 本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 16.本小题分 如图，在中，，以为直径作交于点，过点作，垂足为，延长交的延长线于点． 求证：为的切线； 若，，求的长． 【解析】证明：连接，，如图， 为的直径， ，................................................2分 ， ， 点为的中点， 点为的中点， 为的中位线， ，................................................4分 ， ， ， ， ， 为的半径，为的外端点， 为的切线................................................6分 解：如上图， ，，， 由勾股定理，得， 由知， ∽，................................................8分 ， ，，， ................................................10分 解得，， ................................................12分 连接，，证出，根据切线的判定推出即可； 由勾股定理，求出，证∽，求出，，则可得出答案． 本题考查切线的判定，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，关键是掌握切线的判定方法． 17.本小题2分 综合与实践 问题情境：远离城市喧嚣，走进自然山野，露营已成为当下人们放松身心、享受生活、感受自然之美的热门休闲方式已知某款露营帐篷的支架撑开后如图可近似看作抛物线． 建立模型：如图，抛物线与水平地面交于，两点，以的中点为原点，所在直线为轴，过点作的垂线与抛物线交于点，且点是抛物线的顶点，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系单位长度为已知，． 问题解决： 求抛物线的函数表达式． 为保证在帐篷内坐着休息时不碰头，要求活动区域的高度不低于，求活动区域在水平方向上的最大宽度． 如图，为获得更舒适的空间且方便悬挂露营灯，将抛物线支架沿竖直方向向上平移平移后的抛物线可视为原抛物线向上平移后的一部分后，在轴右侧抛物线上距原点水平距离为的点处悬挂露营灯，要求悬挂的露营灯高度不低于，直接写出的最小值． 【解析】解：，，为的中点，  ，  以点为原点，所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系单位长度为，  ，，， ................................................2分 设抛物线的函数表达式为，将点，点，点的坐标分别代入得：  ，  解得：，  抛物线的函数表达式为；................................................5分 由知：抛物线的函数表达式为，  当时，得：， ................................................6分 解得：或， ................................................7分 ，  活动区域在水平方向上的最大宽度为；................................................8分 将抛物线支架沿竖直方向向上平移 ，  平移后的抛物线的解析式为， ................................................9分 在轴右侧抛物线上距原点水平距离为的点处悬挂露营灯，要求悬挂的露营灯高度不低于，  此时抛物线上的点的坐标为， ................................................10分 将点的坐标代入为得：  ， ................................................11分 解得：，  的最小值为................................................12分 确定，，，设抛物线的函数表达式为，代入后得到关于，，的方程组，求解即可；  当时，代入由所得的抛物线的函数表达式得到，求解后可得答案；  确定平移后的抛物线解析式为，确定抛物线上的点的坐标为，再代入求出对应的的值即可． 本题属于二次函数综合题，主要考查待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 18.本小题分 如图，在矩形中，，先将矩形对折得到折痕，再展开，是上一点，沿折叠使点落在上的点处，与交于点，延长交于点． 求证：是等边三角形； 求证：； 如图，在图的基础上，取上的一点，连接，将沿折叠，点的对应点恰好落在上的点处，求的长． 证明：将矩形对折得到折痕， ，分别为，的中点，，， ， 由折叠而来， ，，， 在中，， ， ，................................................2分 ， ， ， ， 是等边三角形................................................4分 证明：由得， ， ， ， ，即................................................6分 为的中点，， 是等边三角形， ， ， ， ................................................7分 如图，连接， 在和中， ≌， ................................................8分 解：由得， ， ............................................9分 由折叠的性质可得， ， ， ............................................11分 在中，，即，............................................12分 解：得............................................13分 根据折叠的性质得，，由，求得，从而求得，其次求得即可证得为等边三角形； 连接，通过计算求得，从而证得，根据“”证明≌，得出； 由知，在中求出，由是由翻折得到，，在中，，，，根据求得． 本题属于四边形综合题，主要考查折叠的性质，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期初三学业水平考试教学质量监测（二） 数 学 学 科 考试时长：90分钟　满分：100分 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列各数中比小的数是(     ) A. B. C. D. 2.如图为小颖在试鞋镜前的光路图，入射光线经平面镜后反射入眼，若，，，则入射角的度数为(     ) A. B. C. D. 3.如图，风力发电机的叶片在风的吹动下转动，使风能转化为电能图中的三个叶片组成的图形绕着它的中心旋转角后，能够与它本身重合，则角的大小可以为(     ) A. B. C. D. 4.下列计算正确的是(     ) A. B. C. D. 5.如图，在中，，轴，点在反比例函数的图象上，若点在反比例函数的图象上，则的值为(     ) A. B. C. D. 6.如图，在中，，以点为圆心，的长为半径画弧，与的另一个交点为，连接若，则的值为(     ) A. B. C. D. 7.某工厂有一款自动蓄水池，其内部结构呈圆柱体形状，某次匀速注水时蓄水池内水位高度米与注水时间小时之间的关系如图所示，若该蓄水池匀速注水时，每小时的注水量为立方米，则该蓄水池内部结构的半径约为注： A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 8.已知点在反比例函数的图象上，，则下列结论正确的是(     ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 9.苏步青来自“数学家之乡”，为纪念其卓越贡献，国际上将一颗距地球约公里的行星命名为“苏步青星”数据用科学记数法表示为         ． 10.如图，在平面直角坐标系中有一三角形，其中，，，以点，为圆心，分别以，的长为半径作弧，两条弧相交于第一象限的点，则点的坐标为         ． 11.如图，是的直径，点在上，连接过点作的垂线，垂足为在的垂线上截取，交于点，连接，交于点若，，则的长度为         ． 12.如图，在四边形中，，，点在边上，且点在边上，平分与交于点若，则的长为         ． 第10题 第11题 第12题 三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.本小题分计算与化简： 计算：． 化简：． 14. 本小题分 年蛇年春晚以“巳巳如意，生生不息”为主题，荟袭歌舞、荟萃、相声、小品、武术、杂技、少儿等多种类型节目，在开心，奋进拼搏的氛围中，陪伴全球华人开开心心过大年为了解学生最喜欢的节目，某校从“歌舞、相声、小品、其他”四种类型的节目对学生进行了一次抽样调查，每个学生只选择以上四种节目类型中的一种，现将调查的结果绘制成了两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息，解答下列问题： 抽取的总人数是______，并补全条形统计图； 估计该校名学生中，喜欢小品节目类型的人数； 若老师从九年级班学生喜欢歌舞类型的名男生和名女生中随机抽取名学生，将他们确定为班级节目表演重点培养对象，请用列表法或画树状图的方法求抽取的两名学生为一名男生和一名女生的概率． 15.本小题分 年初，国产动画电影“哪吒魔童闹海”票房创历史新高某生产商推出了哪吒手办类和敖丙手办类盲盒，已知生产商每天生产类手办比生产类手办多个，单独生产类手办天的总产量与单独生产类手办天的总产量相同． 求生产商每天单独生产，两类手办的个数； 两种手办某商家的购进价和售价如下表： 进价 售价 类个 类个 根据网上预约的情况，该商家计划用不超过元的资金购进，两种手办共个，若这个手办全部售完，请你设计购进方案，使商家获利最大，并求最大利润． 16.本小题2分 如图，在中，，以为直径作交于点，过点作，垂足为，延长交的延长线于点． 求证：为的切线； 若，，求的长． 17. 本小题分 综合与实践 问题情境：远离城市喧嚣，走进自然山野，露营已成为当下人们放松身心、享受生活、感受自然之美的热门休闲方式已知某款露营帐篷的支架撑开后如图可近似看作抛物线． 建立模型：如图，抛物线与水平地面交于，两点，以的中点为原点，所在直线为轴，过点作的垂线与抛物线交于点，且点是抛物线的顶点，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系单位长度为已知，． 问题解决： 求抛物线的函数表达式． 为保证在帐篷内坐着休息时不碰头，要求活动区域的高度不低于，求活动区域在水平方向上的最大宽度． 如图，为获得更舒适的空间且方便悬挂露营灯，将抛物线支架沿竖直方向向上平移平移后的抛物线可视为原抛物线向上平移后的一部分后，在轴右侧抛物线上距原点水平距离为的点处悬挂露营灯，要求悬挂的露营灯高度不低于，直接写出的最小值． 18.本小题3分 如图，在矩形中，，先将矩形对折得到折痕，再展开，是上一点，沿折叠使点落在上的点处，与交于点，延长交于点． 求证：是等边三角形； 求证：； 如图，在图的基础上，取上的一点，连接，将沿折叠，点的对应点恰好落在上的点处，求的长． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $