精品解析：内蒙古呼和浩特市新城区北京一零一中呼和浩特分校2025-2026学年九年级下学期5月阶段检测数学试题

2025-2026学年第二学期初三年级周测试卷（九）数学 （时间：45分钟 满分：100分） 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共4小题，每小题6分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 为维护校园安全，学校通常会在校门口安装防冲撞升降柱．某款升降柱如图所示，关于它的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都相同 【答案】A 【解析】 【详解】解：由三视图的定义可知，某款升降柱的主视图与左视图相同． 2. 下列语句叙述正确的是（ ） A. 矩形是中心对称图形但不是轴对称图形 B. 三角形的三条高所在直线交于一点 C. 有一个角是的等腰三角形都相似 D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【答案】B 【解析】 【分析】本题为概念辨析题，需要逐一判断各选项对应几何概念的正误． 【详解】解：∵ 矩形对边中点连线所在直线是矩形的对称轴，因此矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形，因此A错误； ∵ 任意三角形的三条高所在直线一定交于一点，符合三角形的基本性质，因此B正确； ∵ 有一个角是的等腰三角形，可以是顶角，也可以是底角，两个三角形内角可能不同，不一定相似，因此C错误； ∵ 对角线互相垂直平分且相等的四边形才是正方形，仅满足垂直相等无法判定，因此D错误． 3. 深度求索（DeepSeek）是一家专注人工智能领域的中国科技公司，致力于开发先进的大语言模型和生成式技术．一经发布，便占据各大手机应用市场下载榜首位．据统计，该软件首日在某平台的下载量为50万次，第二天、第三天下载量连续增长，第三天为150万次．设下载量的日平均增长率为，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系是解决此题的关键，设下载量的日平均增长率为．根据首日在某平台的下载量为50万次，第二天、第三天下载量连续增长，第三天为150万次，列方程即可得解． 【详解】解：设下载量的日平均增长率为． 根据题意，得， 故选：C． 4. 对于反比例函数，下列结论中错误的是（ ） A. 该函数的图象与坐标轴无交点 B. 若点在该函数的图象上，则点也在该函数的图象上 C. 若点在该函数的图象上，则 D. 满足的的取值范围为 【答案】C 【解析】 【分析】根据可判断A正确；根据可得B正确；根据解方程求出的值，可得C错误；结合函数图象即可得D正确． 【详解】解：对于反比例函数，， ∴该函数的图象与坐标轴无交点，则选项A正确； 若点在该函数的图象上，则， ∴， ∴点也在该函数的图象上，则选项B正确； ∵点在该函数的图象上， ∴， 解得或，则选项C错误； 对于反比例函数， 当时，， 当时，，且随的增大而减小， 令，则， ∴结合函数图象可知，满足的的取值范围为，则选项D正确． 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，共24分． 5. 若单项式与是同类项，__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据同类项的概念，同类项中相同字母的指数相等，据此列出方程，求出和的值，再计算即可． 【详解】解：与是同类项， ， 解得， 则． 6. 在函数中，自变量x的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式与分式有意义的条件及自变量的取值范围，熟练掌握二次根式与分式有意义的条件及自变量的取值范围是解题的关键；由题意易得且，然后进行求解即可． 【详解】解：由题意得：且， 解得：且； 故答案为且． 7. 已知a、b是方程的两根，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，用因式分解法解一元二次方程，得到a、b的值为1，，代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ∴a、b的值为1，， ∴， 故答案为：． 8. 如图，矩形纸片中，，，在矩形中剪下一个扇形和一个圆形，若以剪下的扇形为侧面，剪下的圆形为底面，恰好可以围成一个圆锥的表面，则围成的圆锥的底面半径为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，直角三角形的性质，扇形与圆锥的关系，掌握弧长公式是解题关键． 先构造直角三角形求出扇形圆心角，再利用“扇形弧长等于圆锥底面周长”的等量关系列方程，解出底面半径． 【详解】解：如图，过点作， 根据题意，，， ，， ， 扇形的圆心角，半径， ， 设底面圆的半径为，则， 解得，即圆锥的底面半径为． 故答案为：． 三、解答题：本题共5小题，共62分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 9. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用二次根式的性质、特殊角的三角函数值化简，然后再计算即可； （2）先对分子、分母因式分解，然后再约分即可解答． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 10. 为丰富学生的校园生活，提升学生的综合素质，某校计划开设丰富多彩的社团活动．为了解全校学生对各类社团活动的喜爱情况，该校随机抽取部分学生进行问卷调查（每名学生必选且只选一类），并根据调查结果制成如下统计图（不完整）： 结合调查信息，回答下列问题： （1）本次共调查了 名学生，喜爱“艺术类”社团活动的学生人数是 名； （2）补全条形统计图；扇形统计图中阅读类所占圆心角的度数为 ； （3）若该校有1600名学生，请估计其中大约有多少名学生喜爱“劳技类”社团活动？ （4）某班有3名男生和2名女生参加“体育类”社团中“追风篮球社”的选拔，2名学生被选中．请用列表法或画树状图法求选中的2名学生恰好为1名男生和1名女生的概率． 【答案】（1）， （2）图见解析， （3）人 （4） 【解析】 【分析】本题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）由喜爱“体育类”的学生除以所占百分比得出本次问卷共调查的学生人数，再用总人数乘以喜爱“艺术类”社团活动的占比即可解决问题； （2）根据（1）数据补全条形统计图，利用阅读类的占比乘以可得扇形统计图中阅读类所占圆心角的度数； （3）由该校共有学生人数乘以喜爱“劳技类”的学生所占的比例即可； （4）画树状图得出共有20种等可能的结果，其中选中的2名学生恰好为1名男生和1名女生的结果有12种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：本次共调查学生人数为（人）， 喜爱“艺术类”社团活动的学生人数是（人）， 故答案为：100；25； 【小问2详解】 解：由（1）可知，喜爱“艺术类”社团活动的学生人数是（人）， 补全条形统计图如图所示： 阅读类所占圆心角的度数为：； 故答案为：； 【小问3详解】 解：， 答：大约有320名学生喜爱“劳技类”社团活动； 【小问4详解】 解：画树状图，如下： 共有20种等可能的结果，其中抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的结果数为12种。所以，抽取的两人恰好是一名男生和一名女生概率为． 11. 某商场准备购进甲、乙两种文具，若每个甲文具的进价比每个乙文具的进价少3元，且用200元购进甲文具的数量与用320元购进乙文具的数量相同． （1）求每个甲文具和每个乙文具的进价分别是多少元？ （2）该商场购进甲、乙两种文具共90个，且购进甲文具的数量不低于乙文具的数量的3倍．若每个甲文具的售价为8元，每个乙文具的售价为12元，问该商场应怎样购进甲、乙两种文具才能使销售完这批文具时利润最大？最大利润是多少元？（利润＝售价﹣进价） 【答案】（1）5元、8元；（2）当该商场应购进甲种文具68个、乙种文具22个时，才能使销售完这批文具时利润最大，最大利润是292元 【解析】 【分析】（1）根据每个甲文具的进价比每个乙文具的进价少3元，且用200元购进甲文具的数量与用320元购进乙文具的数量相同，可以列出相应的分式方程，从而可以求得每个甲文具和每个乙文具的进价分别是多少元； （2）根据（1）中的结果和题意，可以得到利润和甲种文具数量的关系，再根据购进甲文具的数量不低于乙文具的数量的3倍，可以求得甲种文具数量的取值范围，然后根据一次函数的性质，即可得到该商场应怎样购进甲、乙两种文具才能使销售完这批文具时利润最大，最大利润是多少元． 【详解】解：（1）设每个乙文具的进价为x元，则每个甲文具的进价为（x﹣3）元， 由题意可得： 方程两边同乘以x（x﹣3），得 200x＝320（x﹣3）， 解得x＝8， 经检验，x＝8是原分式方程的解， ∴x﹣3＝5， 答：每个甲文具和每个乙文具的进价分别是5元、8元； （2）设购进甲文具a个，则购进乙文具（90﹣a）个，利润为w元， w＝（8﹣5）a+（12﹣8）×（90﹣a）＝﹣a+360， ∴w随a的增大而减小， ∵购进甲文具的数量不低于乙文具的数量的3倍， ∴a≥3（90﹣a）， 解得a≥67.5， ∴当a＝68时，w取得最大值，此时w＝﹣68+360＝292，90﹣a＝22， 答：当该商场应购进甲种文具68个、乙种文具22个时，才能使销售完这批文具时利润最大，最大利润是292元． 【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用和一元一次不等式的实际应用，解题的关键在于能够准确找到等量关系进行求解计算. 12. 如图，是的直径，点C在上，点E是的中点，延长交的延长线于点D，点F在的延长线上，，垂足为G． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，则，再由等边对等角推出，则可证明，进而证明，据此可证明结论； （2）设的半径为r，则，，由勾股定理得，解方程可求出，，，证明，得到，据此代入求值即可． 【小问1详解】 证明：连接，如图所示， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：设的半径为r，则， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴，， 由（1）得， ∴， ∴，即， ∴． 13. 小强发现家里智能冰箱内的温度刚好为时，制冷启动，当温度降低到设定温度时，制冷停止，然后温度逐渐上升，当温度上升到时，制冷又启动，开始下一个周期的运行． 他想知道按此规律运行，冰箱内的温度与时间之间存在怎样的关系，并且预测任意时刻冰箱内的温度．于是，小强记录了一个运行周期内部分温度及对应时间的数据如表所示： 时间 0 2 3 4 6 8 9 12 18 24 温度 然后以x的数值为横坐标，y的数值为纵坐标建立平面直角坐标系如图所示，在坐标系中描出以表中的数对为坐标的点．请完成下列问题： （1）用平滑的曲线从左往右将这些点依次连接起来； （2）结合表格中的数据，观察（1）中作出的图象，经过猜想、验证可得： 当时，y与x的函数表达式为______； 当时，y与x的函数表达式为______； （3）冰箱的一个运行周期时长为______分钟； （4）当冰箱温度刚好达到时，继续运行120分钟，此时冰箱内的温度是______． 【答案】（1）见解析 （2）； （3）36 （4） 【解析】 【分析】本题考查一次函数和反比例函数的应用： （1）用平滑的曲线从左往右将这些点依次连接起来得函数图象； （2）根据函数图象猜想函数满足得函数关系，然后用待定系数法求出函数解析式，再逐一验证即可； （3）令，求出x的值即可； （4）根据冰箱运行的周期求出124分钟为3个周期零16分钟，则求出时y的值即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：结合表格中的数据，观察（1）中作出的图象，经过猜想，当时，y与x的函数为一次函数，当时，y与x的函数为反比例函数， 当时，设y与x的函数表达式为， 把代入函数解析式得： ，解得：， ∴当时，设y与x的函数表达式为； 当时，y与x的函数表达式为， 把点代入得：， 解得：， ∴当时，y与x的函数表达式为； 故答案为：；； 【小问3详解】 解：当时，， 解得：， ∴冰箱的一个运行周期时长为36分钟， 故答案为：36； 【小问4详解】 解：当冰箱温度刚好达到时，继续运行120分钟，总共为124分钟， ∵， ∴124分钟冰箱运行3个周期零16分钟， 当时，， ∴冰箱内的温度是， 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期初三年级周测试卷（九）数学 （时间：45分钟 满分：100分） 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共4小题，每小题6分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 为维护校园安全，学校通常会在校门口安装防冲撞升降柱．某款升降柱如图所示，关于它的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都相同 2. 下列语句叙述正确的是（ ） A. 矩形是中心对称图形但不是轴对称图形 B. 三角形的三条高所在直线交于一点 C. 有一个角是的等腰三角形都相似 D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 3. 深度求索（DeepSeek）是一家专注人工智能领域的中国科技公司，致力于开发先进的大语言模型和生成式技术．一经发布，便占据各大手机应用市场下载榜首位．据统计，该软件首日在某平台的下载量为50万次，第二天、第三天下载量连续增长，第三天为150万次．设下载量的日平均增长率为，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 对于反比例函数，下列结论中错误的是（ ） A. 该函数的图象与坐标轴无交点 B. 若点在该函数的图象上，则点也在该函数的图象上 C. 若点在该函数的图象上，则 D. 满足的的取值范围为 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，共24分． 5. 若单项式与是同类项，__________． 6. 在函数中，自变量x的取值范围是________． 7. 已知a、b是方程的两根，则的值为__________． 8. 如图，矩形纸片中，，，在矩形中剪下一个扇形和一个圆形，若以剪下的扇形为侧面，剪下的圆形为底面，恰好可以围成一个圆锥的表面，则围成的圆锥的底面半径为______． 三、解答题：本题共5小题，共62分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 9. 计算： （1）； （2）． 10. 为丰富学生的校园生活，提升学生的综合素质，某校计划开设丰富多彩的社团活动．为了解全校学生对各类社团活动的喜爱情况，该校随机抽取部分学生进行问卷调查（每名学生必选且只选一类），并根据调查结果制成如下统计图（不完整）： 结合调查信息，回答下列问题： （1）本次共调查了 名学生，喜爱“艺术类”社团活动的学生人数是 名； （2）补全条形统计图；扇形统计图中阅读类所占圆心角的度数为 ； （3）若该校有1600名学生，请估计其中大约有多少名学生喜爱“劳技类”社团活动？ （4）某班有3名男生和2名女生参加“体育类”社团中“追风篮球社”的选拔，2名学生被选中．请用列表法或画树状图法求选中的2名学生恰好为1名男生和1名女生的概率． 11. 某商场准备购进甲、乙两种文具，若每个甲文具的进价比每个乙文具的进价少3元，且用200元购进甲文具的数量与用320元购进乙文具的数量相同． （1）求每个甲文具和每个乙文具的进价分别是多少元？ （2）该商场购进甲、乙两种文具共90个，且购进甲文具的数量不低于乙文具的数量的3倍．若每个甲文具的售价为8元，每个乙文具的售价为12元，问该商场应怎样购进甲、乙两种文具才能使销售完这批文具时利润最大？最大利润是多少元？（利润＝售价﹣进价） 12. 如图，是的直径，点C在上，点E是的中点，延长交的延长线于点D，点F在的延长线上，，垂足为G． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 13. 小强发现家里智能冰箱内的温度刚好为时，制冷启动，当温度降低到设定温度时，制冷停止，然后温度逐渐上升，当温度上升到时，制冷又启动，开始下一个周期的运行． 他想知道按此规律运行，冰箱内的温度与时间之间存在怎样的关系，并且预测任意时刻冰箱内的温度．于是，小强记录了一个运行周期内部分温度及对应时间的数据如表所示： 时间 0 2 3 4 6 8 9 12 18 24 温度 然后以x的数值为横坐标，y的数值为纵坐标建立平面直角坐标系如图所示，在坐标系中描出以表中的数对为坐标的点．请完成下列问题： （1）用平滑的曲线从左往右将这些点依次连接起来； （2）结合表格中的数据，观察（1）中作出的图象，经过猜想、验证可得： 当时，y与x的函数表达式为______； 当时，y与x的函数表达式为______； （3）冰箱的一个运行周期时长为______分钟； （4）当冰箱温度刚好达到时，继续运行120分钟，此时冰箱内的温度是______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $