内蒙古自治区呼和浩特市新城区北京一零一中呼和浩特分校2025-2026学年九年级下学期5月阶段检测数学试题

**基本信息** 北京101中呼和浩特分校初三周测卷以原创题为主，融合本地文化（如呼和浩特学校阅读活动、消防调查）与传统文化（四大名著、宋代点茶），通过生活情境（杆秤杠杆、汽车摩擦系数）考查数学抽象、数据意识与模型意识，分层设计适配初三学情。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|实数、概率、函数图像|第2题以四大名著阅读考概率，体现文化传承| |填空题|4/12|函数应用、规律探究|第10题酸的结构式规律探究，培养抽象能力| |解答题|6/64|统计、方程、几何综合、函数建模|14题消防调查数据分析考查数据意识，17题桥拱抛物线建模发展模型观念|

北京101中呼和浩特分校2026年初三年级周测卷 考试时长：90分钟　满分：100分 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.（原创）浪费用电千瓦记作千瓦，则节约用电千瓦记作(     ) A. 千瓦 B. 千瓦 C. 千瓦 D. 千瓦 【答案】A 【解析】解：根据题意可知，节约用电千瓦记作千瓦． 故选：． 根据题目给定的正方向，确定相反意义的量的符号． 本题考查了正数和负数，掌握正数和负数的意义是关键． 2.（原创）呼和浩特某校初三年级进行，红楼梦，西游记，水浒传四大名著的阅读活动，小明从中任取一本，恰好抽到红楼梦的概率为(     ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：共有本不同的名著，任取一本时所有等可能的结果共种，其中抽到红楼梦的结果只有种， 小明从中任取一本，恰好抽到红楼梦的概率为：． 故选：． 根据概率公式，用符合要求的结果数除以所有等可能的总结果数即可求解． 本题考查的是概率公式，熟记概率公式是解题的关键． 3.实数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：， ， 选项A不符合题意； 正确， 选项B符合题意； ，， ， 选项C不符合题意； ， 选项D不符合题意． 故选：． 根据图示，可得：，，据此逐项判定即可． 此题主要考查了在数轴上表示数的方法，以及数轴的特征：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，要熟练掌握． 4.如图，规格相同的某种盘子整齐地摞在一起，若这摞盘子的个数为，盘子摞在一起的厚度为，则与之间的函数图象关系不考虑自变量取值范围大致为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：每增加一个盘子，厚度增加， ， 即图象是经过一二三象限，与轴交于正半轴的一次函数， 故选：． 根据题意可得函数为，再判断图象即可． 本题考查的是列函数关系式，一次函数的图象，熟练掌握以上知识点是关键． 5.（原创）在平面直角坐标系中，若点在第四象限，则的取值范围在数轴上表示正确的是(     ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：根据题意，得：， 解不等式，得：， 解不等式，得：， 则不等式组的解集为， 故选：． 根据第四象限内点的坐标符号特点列出关于的不等式组，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 6.如图，杆秤是利用杠杆原理来称物品质量的简易衡器，其秤砣到秤纽的水平距离与所挂物重之间满足我们学过的某种函数关系，如下为记录几次数据之后所列表格． 则与之间的关系式为(     ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：观察可知，与之间呈一次函数关系， 设， 把，代入，得， 解得， ． 当时，，符合题意， 故选：． 观察表格可知，与之间呈一次函数关系，待定系数法求出函数解析式即可． 本题主要考查了反比例函数的应用，掌握其相关知识点是解题的关键． 7.（原创）在反比例函数的图象上有两点，，当时，有，则的取值范围是(     ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：由条件可知反比例函数图象在第二，四象限， ， 解得：． 故选：． 首先根据当时，有则判断函数图象所在象限，再根据所在象限判断的取值范围．本题考查反比例函数的性质．熟练掌握该知识点是关键． 8.如图，在中，，，以为直径作半按以下步骤操作：以点为圆心，以适当的长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线交半于点，交于点，则、、弧所围成的阴影部分的周长为(     ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：在中，，， ，， 由作图可知，平分， ， ， 连接，，，则， ， ，， 的长为， 阴影部分的周长为， 故选：． 求出弧长，线段，的长，可得结论． 本题考查作图基本作图，解直角三角形，弧长公式等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，掌握弧长公式，属于中考常考题型． 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 9.汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因素，在一定条件下，它会随车速的变化而变化研究发现，某款轮胎的摩擦系数与车速之间的函数关系如图所示若车速从增大到，则这款轮胎的摩擦系数减小了       ． 【答案】．  【解析】解；从图象中可知，当时，，当时，，则摩擦系数减小了， 故答案为：． 根据图象中的信息即可求解． 本题考查函数的图象，能够从图象中得到关键信息是解题的关键． 10.如图是同一类型酸的三种化合物的结构式，按其规律类推，若该类型酸的某种化合物中碳原子有个，则该化合物中氢原子的个数为        ． 【答案】．  【解析】解：第个图形中，有个，个， 第个图形中有个，个， 第个图形中有个，个， ， 第个图形中有个，个， 若该类型酸的某种化合物中碳原子有个，则该化合物中氢原子的个数为个． 故答案为：． 根据题目中分子结构式的变化，得第个图形有个，个，据此求解即可． 本题主要考查了图形类的规律探索，通过已知条件找到变化规律是解题关键． 11.如图，在边长为的正方形的外侧，作等腰三角形，若为的中点，连接并延长，与相交于点，则的长为           ． 【答案】  【解析】解：过作的垂线交于，于，于，    ，，  ，  ，  四边形是正方形，  ，  ，  四边形是矩形，  ，  ，  为的中点，  ，  在与中，  ，  ≌，  ，  ，  ，，  ，  ，  ，  故答案为：． 过作的垂线交于，于，于，根据等腰三角形的性质和勾股定理可得，根据正方形的性质得到，推出四边形是矩形，得到，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理即可得到结论． 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 12.如图，在中，，，是边上的中点，交于点，是的中点，连接并延长交于点若，则的长为         ． 【答案】  【解析】解：过作交于， 是的中点， ， ， ， ， ， ， 是的中点， ， ， ， ，， ， ≌， ， ， ． 故答案为：． 过作交于，由平行线等分线段定理推出，由，求出，由勾股定理求出，判定≌，推出，求出，即可得的值． 本题考查勾股定理，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，关键是判定≌，推出． 三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.本小题分 计算：； 化简：． 解： ...............................................................3分 .......................................................................................5分 ............................................................3分 ........................................................................5分 根据实数的运算法则计算即可； 根据分式的运算法则化简即可． 本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是关键． 14.本小题分（原创） 呼和浩特某学校为了了某学校为了了解学生消防安全的意识，从七年级和八年级各抽取名学生开展了“消防知识竞答”和“消防演练”项目进行考查下表是名七年级学生的消防知识竞答成绩成绩为百分制，用表示的统计数据： 分组 人数 各组平均分 其中的成绩为：，，，，，，，，，． 根据以上信息解决下列问题： ______，______，七年级消防知识竞答成绩的中位数是______分； 若七年级共有学生人，请估计有多少名学生消防知识竞答成绩不低于分； 七年级“消防知识竞答”和“消防演练”的平均分分别为分和分，八年级“消防知识竞答”和“消防演练”的平均分分别为分和分，学校将消防知识竞答成绩、消防演练成绩按：的比例确定这次活动各年级的综合成绩，通过计算，七年级、八年级哪个年级的综合成绩更高？ 解：由题意，可知：， ， 中位数为：； 故答案为：，，...........................................3分 利用样本估计总体的思想进行求解可得： 名...........................................5分 答：估计有名学生消防知识竞答成绩不低于分； 分；分； ， 八年级的综合成绩更高...........................................7分 根据题干确定的值，利用频数之和求出的值，数据排序后第个和第个数据的平均数即为中位数； 利用样本估计总体的思想进行求解即可； 根据加权平均数的计算方法，求解后判断即可． 本题考查频数分布表，求中位数，加权平均数，熟练掌握相关数据的计算方法，是解题的关键： 15.本小题分（原创） 宋代是茶文化发展的第二个高峰，宋代的饮茶主要以点茶为主，煎茶为辅，在点茶的基础上升华为斗茶、分茶和茶百戏呼和浩特某网店销售两种点茶器具套装，已知甲种点茶器具套装的单价比乙种点茶器具套装的单价少元，花元购进甲种点茶器具套装的数量是花元购进乙种点茶器具套装数量的倍  求甲、乙两种点茶器具套装的单价；  呼和浩特某学校社团开展茶文化学习活动，打算从该网店购进甲、乙两种点茶器具共套，且经费预算不超过元，则学校最多可以购进乙种点茶器具套装多少套？ 解：设甲种点茶器具套装的单价是元，则乙种点茶器具套装的单价是元， 根据题意得：...........................................2分 解得：...........................................3分 经检验，是所列方程的解，且符合题意...........................................4分 ， 答：甲种点茶器具套装的单价是元，乙种点茶器具套装的单价是元...........................................5分 设学校购进乙种点茶器具套装套，则购进甲种点茶器具套装套， 根据题意得：..........................................7分 解得：， 的最大值为，..........................................9分 答：学校最多可以购进乙种点茶器具套装套．..........................................10分 16.本小题分 如图，是的直径，是的中点，过点作的垂线，垂足为点． 求证：∽； 求证：是的切线； 若，，求阴影部分的面积． 【答案】证明：是的中点， ， ． 是的直径， ....................................2分 ， ， ， ∽....................................4分 证明：连接，如图， ， ， 由知：， ， ..................................6分 ， ． 为的半径， 是的切线..................................8分 解：连接，过点作于点，如图， 则， ， ． ，，， 四边形为矩形..................................9分 ， ， 则为等腰直角三角形， ，..................................10分 ， ， ..................................11分 ， ， 阴影部分的面积..................................12分 【解析】利用圆周角定理，垂直的定义和相似三角形的判定定理解答即可； 连接，利用角平分线的定义，等腰三角形的性质，平行线的判定与性质和圆的切线的判定定理解答即可； 连接，过点作于点，利用垂径定理，矩形的判定与性质得到，则为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质求得，再利用阴影部分的面积解答即可． 本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，圆的切线的判定定理，圆的有关计算，等腰直角三角形的判定与性质，垂径定理，连接经过切点的半径，作出弦的弦心距是解决此类问题常添加的辅助线． 17.本小题分 综合与实践 问题情境： “两水夹明镜，双桥落彩虹”出自唐代诗人李白的秋登宣城谢朓北楼，生动描绘了小桥倒映水中的美景春节期间，某公园的工作人员计划对园中一处小桥进行装饰，营造出别样的节日美景． 测量数据： 已知该桥拱呈抛物线型，测得桥拱与水面的交界点，之间的距离为米，桥拱最高点到水面的距离为米 数学建模： 如图，以水面为轴，的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系． 求该抛物线的函数表达式； 问题解决： 如图，当水位上涨后，桥拱下水面宽为米． 若在桥拱最高点处有一个星形灯饰大小忽略不计，求灯饰与其水中倒影之间的距离； 工作人员计划在桥拱悬挂盏红灯笼，其中盏甲型灯笼自身高度为米，另外盏乙型灯笼自身高度均为米，若要求灯笼底部距离水面的距离均为米，请直接写出盏灯笼分别与桥拱最高点的水平距离． 解：轴垂直平分，， ，，..............................2分 由题意．得， 设该抛物线的函数表达式为，将代入， 得， 解得， ..............................4分 由抛物线的对称性，得， 当时，..............................6分 米， 答：灯饰与其水中倒影之间的距离为米..............................8分 乙型灯笼与桥拱最高点的水平距离均为米，甲型灯笼与桥拱最高点的水平距离为米， 由题意可得，甲型灯笼的悬挂点到的距离为米， 由得，点与之间的距离为米， 甲型灯笼的悬挂点即为点．..............................10分 甲型灯笼与桥拱最高点的水平距离为米； 由题意可得，乙型灯笼的悬挂点到的距离为米， 由得，与之间的距离为米， 该悬挂点到的距离为米，..............................11分 令， 解得或， 乙型灯笼与桥拱最高点的水平距离均为米．..............................12分 因为已知抛物线的顶点坐标和与轴的交点坐标，所以可设顶点式来求解函数表达式．因为、和的坐标可由题干数据确定，所以将这些坐标代入顶点式，即可求出参数和的值． 求出点纵坐标，可得点到水面的距离，即可得到点到像点的距离； 因为灯笼底部距离水面的距离为米，所以先确定灯笼底部所在的纵坐标．因为要结合灯笼自身高度，所以可得到灯笼顶部对应的纵坐标，将其代入抛物线表达式，即可求出对应的横坐标，进而得到与点的水平距离． 本题考查二次函数的应用，镜面对称，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 18.本小题分 问题情境：如图，在中，点在边上沿过点的直线折叠该纸片，使的对应线段与平行，折痕与边交于点，得到，然后展平． 猜想证明：判断四边形的形状，并说明理由； 拓展探究：如图，继续沿过点的直线折叠该纸片，使点的对应点落在射线上，折痕与边交于点，展平后连接交边于点，连接． 若，判断与的位置关系，并说明理由； 若，，，当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出的长． 四边形是菱形；证明：沿过点的直线折叠该纸片，折痕与边交于点，得到，   ≌，   ，，，   ，   ，   ，  ...........................2分 ，   ，   ，   四边形是平行四边形，   ，   四边形是菱形...........................4分 (2) 与的位置关系为...........................6分 理由如下：   由知：四边形是菱形，   ，   ，  ...........................8分 沿过点的直线折叠该纸片，使点的对应点落在射线上，      ，   ，   ，   ，   ...........................10分 ，   ，即，   与的位置关系为；...........................11分 的长为或...........................13分 利用折叠的性质得到≌，则，，，利用平行线的性质，菱形的判定定理解答即可；  利用菱形的性质和等腰三角形的性质得到，，利用三角形的内角和定理和直角三角形的性质解答即可；  设与交于点，利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：当时，利用直角三角形的性质，勾股定理和折叠的性质得到，，，设，则，，再利用的代数式表示出线段，，最后利用相似三角形的判定与性质解答即可得出结论；当时，，利用类比的方法解答即可． 本题属于四边形综合题，主要考查了折叠的性质，菱形的判定、垂直证明与等腰三角形分类讨论，结合相似三角形与勾股定理求解，分类讨论是解答本题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京101中呼和浩特分校2026年初三年级周测卷 数 学 学 科 考试时长：90分钟　满分：100分 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.（原创）浪费用电千瓦记作千瓦，则节约用电千瓦记作(     ) A. 千瓦 B. 千瓦 C. 千瓦 D. 千瓦 2.（原创）呼和浩特某校初三年级进行，红楼梦，西游记，水浒传四大名著的阅读活动，小明从中任取一本，恰好抽到红楼梦的概率为(     ) A. B. C. D. 3.实数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是(     ) A. B. C. D. 4.如图，规格相同的某种盘子整齐地摞在一起，若这摞盘子的个数为，盘子摞在一起的厚度为，则与之间的函数图象关系不考虑自变量取值范围大致为(    ) A. B. C. D. 5.（原创）在平面直角坐标系中，若点在第四象限，则的取值范围在数轴上表示正确的是(     ) A. B. C. D. 6.如图，杆秤是利用杠杆原理来称物品质量的简易衡器，其秤砣到秤纽的水平距离与所挂物重之间满足我们学过的某种函数关系，如下为记录几次数据之后所列表格． 则与之间的关系式为(    ) A. B. C. D. 7.（原创）在反比例函数的图象上有两点，，当时，有，则的取值范围是(     ) A. B. C. D. 8.如图，在中，，，以为直径作半按以下步骤操作：以点为圆心，以适当的长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线交半于点，交于点，则、、弧所围成的阴影部分的周长为(     ) A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 9.汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因素，在一定条件下，它会随车速的变化而变化研究发现，某款轮胎的摩擦系数与车速之间的函数关系如图所示若车速从增大到，则这款轮胎的摩擦系数减小了        ． 10.如图是同一类型酸的三种化合物的结构式，按其规律类推，若该类型酸的某种化合物中碳原子有个，则该化合物中氢原子的个数为        ． 11.如图，在边长为的正方形的外侧，作等腰三角形，若为的中点，连接并延长，与相交于点，则的长为            ． 12.如图，在中，，，是边上的中点，交于点，是的中点，连接并延长交于点若，则的长为         ． 第9题图 第11题图 第12题图 三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.本小题分 计算：； 化简：． 14.本小题分（原创） 呼和浩特某学校为了了解学生消防安全的意识，从七年级和八年级各抽取名学生开展了“消防知识竞答”和“消防演练”项目进行考查下表是名七年级学生的消防知识竞答成绩成绩为百分制，用表示的统计数据： 分组 人数 各组平均分 其中的成绩为：，，，，，，，，，． 根据以上信息解决下列问题： ______，______，七年级消防知识竞答成绩的中位数是______分； 若七年级共有学生人，请估计有多少名学生消防知识竞答成绩不低于分； 七年级“消防知识竞答”和“消防演练”的平均分分别为分和分，八年级“消防知识竞答”和“消防演练”的平均分分别为分和分，学校将消防知识竞答成绩、消防演练成绩按：的比例确定这次活动各年级的综合成绩，通过计算，七年级、八年级哪个年级的综合成绩更高？ 15. 本小题分（原创） 宋代是茶文化发展的第二个高峰，宋代的饮茶主要以点茶为主，煎茶为辅，在点茶的基础上升华为斗茶、分茶和茶百戏呼和浩特某网店销售两种点茶器具套装，已知甲种点茶器具套装的单价比乙种点茶器具套装的单价少元，花元购进甲种点茶器具套装的数量是花元购进乙种点茶器具套装数量的倍  求甲、乙两种点茶器具套装的单价；  呼和浩特某学校社团开展茶文化学习活动，打算从该网店购进甲、乙两种点茶器具共套，且经费预算不超过元，则学校最多可以购进乙种点茶器具套装多少套？ 16.本小题分 如图，是的直径，是的中点，过点作的垂线，垂足为点． 求证：∽； 求证：是的切线； 若，，求阴影部分的面积． 17.本小题分 综合与实践 问题情境： “两水夹明镜，双桥落彩虹”出自唐代诗人李白的秋登宣城谢朓北楼，生动描绘了小桥倒映水中的美景春节期间，某公园的工作人员计划对园中一处小桥进行装饰，营造出别样的节日美景． 测量数据： 已知该桥拱呈抛物线型，测得桥拱与水面的交界点，之间的距离为米，桥拱最高点到水面的距离为米 数学建模： 如图，以水面为轴，的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系． 求该抛物线的函数表达式； 问题解决： 如图，当水位上涨后，桥拱下水面宽为米． 若在桥拱最高点处有一个星形灯饰大小忽略不计，求灯饰与其水中倒影之间的距离； 工作人员计划在桥拱悬挂盏红灯笼，其中盏甲型灯笼自身高度为米，另外盏乙型灯笼自身高度均为米，若要求灯笼底部距离水面的距离均为米，请直接写出盏灯笼分别与桥拱最高点的水平距离． 18.本小题分 问题情境：如图，在中，点在边上沿过点的直线折叠该纸片，使的对应线段与平行，折痕与边交于点，得到，然后展平． 猜想证明：判断四边形的形状，并说明理由； 拓展探究：如图，继续沿过点的直线折叠该纸片，使点的对应点落在射线上，折痕与边交于点，展平后连接交边于点，连接． 若，判断与的位置关系，并说明理由； 若，，，当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出的长． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $