第12讲一次、二次函数与幂函数（知识清单+4典例精讲+5方法技巧+分层训练）讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦一次函数、二次函数与幂函数核心考点，紧密对接近3年高考对二次函数单调性、最值、不等式综合及幂函数图象性质的考查要求。知识点按定义、性质、图象、应用逻辑架构，通过知识清单梳理、典例精讲突破、方法技巧总结、分层训练巩固的教学流程，帮助学生系统构建知识网络，针对性突破高频难点。 资料以数学眼光、数学思维、数学语言为导向，创新设计解题大招如二次函数解析式灵活选用策略，通过典例对比培养学生抽象能力与推理意识。分层训练含基础过关、拔高选练及错题复盘，真题与模拟题结合提升应用表达，助力学生在有限时间内高效掌握解题规律，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支撑。

第12讲一次、二次函数与幂函数 （知识清单+4典例精讲+5方法技巧+分层训练） 近3年考查情况 题型 分值 二次函数单调性、最值、不等式综合；幂函数图象与性质辨析 单选、多选题 5分/6分 二次函数区间最值、图象识别；基础幂函数求值、单调性判断 单选、填空题 5分 二次函数基础性质、简单求值，幂函数基础判定，难度偏低 单选题 5分 二次函数与方程、导数、恒成立问题综合，压轴小题高频 单选、解答题 5分/12分 【知识点01】一次函数核心知识点 1. 定义：形如（为常数，且）的函数，叫做一次函数；当时，（）为正比例函数（特殊的一次函数）。 2. 定义域与值域：定义域、值域均为。 3. 图象与性质： 图象：一条直线，与x轴交点为，与y轴交点为； 单调性：由决定——时，在上单调递增；时，在上单调递减； 对称性：正比例函数（）关于原点中心对称（奇函数）；一次函数（）既不是奇函数也不是偶函数，无对称轴和对称中心（除特殊情况）。 4. 图象变换（结合本讲重点）：基于，平移变换可得到（左加右减、上加下减）。 【例1】已知一次函数（）的图象过点和，求该一次函数的解析式。 解析：将两点坐标代入解析式，列方程组： 两式相减得，解得，代入，得。 故该一次函数解析式为。 【知识点02】幂函数 (1)幂函数的定义 一般地,函数y＝xα叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数. (2)常见的五种幂函数的图象 (3)幂函数的性质 ①幂函数在(0,＋∞)上都有定义； ②当α>0时,幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,＋∞)上单调递增； ③当α<0时,幂函数的图象都过点(1,1),且在(0,＋∞)上单调递减； ④当α为奇数时,y＝xα为奇函数；当α为偶数时,y＝xα为偶函数. 【例2】求幂函数的定义域、单调性，并判断其对称性。 解析：① 定义域：由有意义，得，即定义域为； ② 单调性：由幂函数性质，，故在上单调递增； ③ 对称性：定义域不关于原点、轴对称，故既不是奇函数也不是偶函数，无对称性。 【知识点03】二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0). 顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0),顶点坐标为(m,n). 零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0),x1,x2为f(x)的零点. (2)二次函数的图象和性质 函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象(抛物线) 定义域 R 值域 对称轴 x＝－ 顶点坐标 奇偶性 当b＝0时是偶函数,当b≠0时是非奇非偶函数 单调性 在上单调递减； 在上单调递增 在上单调递增； 在上单调递减 【例3】已知二次函数（）过点、、，求其解析式。 解析：将三点坐标代入一般式，列方程组： 代入，得，解得； 故该二次函数解析式为。 【题型一】二次函数的概念 【例1】（2026·河南濮阳·二模）的最大值是（   ） A．9 B．3 C．18 D．6 【答案】B 【分析】根据二次函数的性质计算即可. 【详解】令，则，解得， 所以函数的定义域为. 因为在处取得最大值， 最大值为3，所以的最大值为3. 【例2】（2026·宁夏银川·一模）如果点在函数的图象上，都有点在函数的图象上，则（   ） A．17 B．5 C．3 D．2 【答案】D 【分析】求出函数的解析式，代入可得. 【详解】设点在函数的图象上，则点在函数的图象上， 所以，即，所以. 【例3】（2026·浙江台州·二模）已知平面向量，，，若，则的最小值为_______. 【答案】 【分析】利用向量平行坐标表示可得之间的关系，将问题转化为二次函数最小值的求解即可. 【详解】，，即， ， ，当时，取得最小值. 【变式1】（2025·广东·模拟预测）若函数与表示同一个函数，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】利用二次函数的两点式得出相应方程的根，再由函数相同计算参数即可. 【详解】注意到方程有两个解，方程的其中一个解为0，故只可能，所以，故， 故选：A. 【变式2】（2025·山东·模拟预测）设全集，集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出二次函数的值域，即集合，再根据集合的交并补运算即可确定选项. 【详解】当时，，即，则， 又，故. 故选：B. 【变式3】（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）已知函数，若，则实数的取值范围为_______________. 【答案】 【分析】化简得，根据题意得在有解，化简计算即可求解. 【详解】 ， 令得， 化简得， 由题意得，使得， 即在有解， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 【题型二】二次函数的性质与图象 【例4】（2026·云南昆明·二模）设．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 而在上单调递增，所以． 【例5】（多选）（2025·陕西榆林·模拟预测）已知函数的定义域为，，则（    ） A． B．的值域为 C．是偶函数 D．是增函数 【答案】ABC 【分析】根据给定的函数等式可得，再结合求出函数解析式，然后利用二次函数性质逐项判断得解. 【详解】由，得，令函数， 则，为常函数，令，则，， 因此，的值域为是偶函数， 函数在上单调递减，在上单调递增，ABC正确，D错误. 故选：ABC 【例6】（2024·全国·模拟预测）已知中，角，，所对的边分别为. (1)求的值； (2)若为线段上一点且满足平分，求的面积的取值范围. 【答案】(1)4 (2) 【分析】（1）利用三角形面积公式，结合余弦定理，即可求得答案； （2）由题意结合正弦定理推出，设，由余弦定理推出，即可表示出的面积的表达式，化简，结合二次函数知识，即可求得答案. 【详解】（1）由题意知，即， 故，即， 结合，得； （2）由于平分，故， 故， 而，即得, 设，则， 即，则， 故 ， 当，即时，取到最大值，最大值为3； 又，满足， 当无限趋近于1或2时，无限趋近于0， 故的面积的取值范围为. 【变式1】（2026·辽宁抚顺·二模）已知是定义在上的奇函数，且当时，，若在上恒成立，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的奇偶性以及二次函数的单调性求解即可. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以由在上恒成立，可得在上恒成立. 若，即，则在上单调递增，则，得. 若，即，则，化简得，得. 若，即，则在上单调递减，则，得. 综上所述，a的取值范围为. 【变式2】（2024·四川遂宁·模拟预测）函数在上的最小值为，最大值为1，则的最大值为______. 【答案】/ 【分析】分类讨论，画出函数的图象，当时，令，求得；当时，令，解得，结合题意，即可求得的最大值，得到答案. 【详解】由函数， 当时，；当时，， 作出的图象，如图所示， 由图象得，当时，令，解得； 当时，令，解得， 所以在上的最大值为1，最小值为， 所以的最大值为. 故答案为：. 【变式3】（2024·山西·模拟预测）已知集合，. (1)若，，且是的必要不充分条件，求的取值范围； (2)若函数的定义域为，且，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据绝对值不等式得出集合A,再根据集合间关系得出不等式组计算即可； （2）先应用对数函数的定义域得出集合C，根据函数有解转化为，最后结合二次函数的值域即可求参. 【详解】（1）由题意知， 解不等式，解得，所以， 因为是的必要不充分条件，所以是的真子集， 所以且等号不同时成立， 解得，即的取值范围是. （2）因为，所以在上有解， 所以， 令，则， 所以，即的取值范围是. 【题型三】幂函数的定义 【例7】（2026·四川广安·模拟预测）“”是“为幂函数”的（   ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由幂函数的定义求出的值，再由充分必要条件判断即可. 【详解】因为为幂函数， 所以， 解得：或, 所以“”是“为幂函数”的充分且不必要条件. 【例8】（2025·江苏盐城·三模）“”是“为幂函数”的（    ）条件． A．充要 B．必要不充分 C．既不充分也不必要 D．充分不必要 【答案】D 【分析】分别验证其充分性以及必要性，即可得到结果. 【详解】当时，，符合幂函数的形式，故充分性满足； 当为幂函数可得，解得或， 故必要性不满足， 所以“”是“为幂函数”的充分不必要条件. 故选：D 【例9】（2025·贵州遵义·模拟预测）已知幂函数过点，则为__________. 【答案】3 【分析】直接把点代入函数中即可求解. 【详解】由题意. 故答案为：3 【变式1】（2026·河南南阳·模拟预测）“”是“函数为幂函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据幂函数定义及充分必要条件关系可判断. 【详解】若函数为幂函数，则，解得， 所以“”是“函数为幂函数”的充分不必要条件. 故选：A 【变式2】（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知幂函数的图象经过点，则的值为（   ） A． B． C．3 D．9 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出幂函数的解析式，进而求出函数值. 【详解】设，则即， 故选：B． 【变式3】（2025·新疆·模拟预测）幂函数在上单调递减，且经过点，请写出符合条件的一个函数解析式__________． 【答案】或(答案不唯一) 【分析】设出幂函数解析式，将代入即可求得结果. 【详解】幂函数在上是减函数，设，则， 因为有很多解，如、、、等均符合题意. 故答案为：或(答案不唯一)． 【题型四】幂函数的单调性 【例10】（2026·河南新乡·三模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知, 因为，，， 所以， 故. 【例11】（多选）（2025·新疆喀什·模拟预测）下列关于幂函数的论述正确的是（    ） A．若，则幂函数的图象是一条直线 B．若两个幂函数的图象至少有三个公共点，则这两个函数一定相同 C．若幂函数为奇函数，则图象一定经过点 D．幂函数的图象一定经过点，且一定不经过点 【答案】CD 【分析】利用幂函数的图象、性质逐一判断即可. 【详解】对于A，当时，幂函数的定义域为，其图象是直线除去点，故A错误； 对于B，幂函数的图象有三个公共点，这两个函数不相同，B错误； 对于C，幂函数图象一定过点，当该幂函数是奇函数时，其图象关于原点对称， 则该幂函数图象必过点，C正确； 对于D，幂函数的图象一定经过点，且一定不经过点，D正确. 故选：CD 【例12】（2026·安徽合肥·模拟预测）“”是“函数为幂函数，且在上单调递减”的__________条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”） 【答案】充分不必要 【详解】当为幂函数时，解得或， 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减. 所以 “”是“为幂函数，且在上单调递减”的充分不必要条件． 【变式1】（2026·湖南长沙·一模）已知幂函数在上单调递减，则实数m的值为（    ） A．0或1 B．或1 C．1 D．0 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义及单调性即可求解． 【详解】由于为幂函数，所以，解得或， 又函数在上单调递减， 所以，即 故当时符合条件． 【变式2】（多选）（2025·河南·二模）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由指数函数单调性可判断A项，由幂函数单调性可判断B项，运用作差法及对数函数性质可判断C项，运用作差法及不等式性质可判断D项. 【详解】对于A项，因为是减函数，而，所以，故A项正确； 对于B项，因为在上单调递增，而，所以，故B项正确； 对于C项，，因为，，，所以，即，故C项错误； 对于D项，，因为，，，所以，即，故D项正确. 故选：ABD. 【变式3】（2025·安徽·模拟预测）已知幂函数是上的偶函数，将函数的图象先向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到的图象． (1)求函数的解析式； (2)求函数的值域； (3)设，解关于的不等式：． 【答案】(1)（或）； (2)； (3)当时，；当时，；当时，. 【分析】（1）通过幂函数定义和偶函数性质确定，再利用图象平移规律求； （2）先求的取值范围，结合指数函数单调性求值域； （3）将不等式转化为含参数的二次不等式，通过因式分解后分类讨论求解集. 【详解】（1）由幂函数定义，，解得或. 当时，，是上的偶函数，符合要求； 当时，，定义域不为且非偶函数，舍去. 故，经图象平移（右移2个单位，下移1个单位）， 得. （2）因，且单调递增， 故，值域为. （3）不等式整理为. 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 【解题大招01】幂函数的判断与解析式求解 紧扣幂函数定义（，系数为1），判断函数是否为幂函数；求解析式时，利用图象过定点，代入求解的值。 【例1】判断下列函数是否为幂函数，并求过点的幂函数解析式。 （1）；（2）；（3）。 解析：① 判断：（1）系数为4≠1，不是幂函数；（2）解析式为，系数为1，是幂函数；（3）自变量含常数项，不是幂函数； ② 求解析式：设幂函数为，将点代入，得，解得，故解析式为。 【解题大招02】幂函数单调性、奇偶性快速判断 由的符号判断单调性（在定义域内递增，在定义域内递减）；由定义域对称性+与的关系判断奇偶性。 【例2】判断幂函数的定义域、单调性及奇偶性。 解析：① 定义域：，故定义域为，关于原点对称； ② 单调性：，故在和上分别单调递减（注意：不能说在上单调递减）； ③ 奇偶性：，故为奇函数。 【解题大招03】二次函数解析式求解 根据已知条件，灵活选用一般式、顶点式、零点式，减少计算量——已知三点用一般式，已知顶点用顶点式，已知与x轴交点用零点式。 【例3】已知二次函数顶点为，且过点，求其解析式。 解析：设顶点式为（），将代入，得，解得； 故解析式为。 【解题大招04】二次函数最值与单调区间求解 先求对称轴，结合的符号判断单调性；求最值时，分“定义域为”和“定义域为区间”两种情况，区间内最值优先看对称轴是否在区间内。 【例4】求二次函数在区间上的单调区间及最值。 解析：① 化为顶点式：，对称轴为，； ② 单调区间：在上单调递增，在上单调递减； ③ 最值：对称轴，故最大值为； 端点值：，，故最小值为。 【解题大招05】二次函数与一元二次方程结合 利用二次函数图象与x轴的交点，转化为一元二次方程根的问题，结合判别式判断根的个数，利用韦达定理求根的关系。 【例5】已知二次函数，若其图象与x轴有两个不同交点，求实数的取值范围，并求两根之和与两根之积。 解析：① 图象与x轴有两个不同交点，即方程有两个不等实根，故； 解得，即的取值范围为； ② 由韦达定理，两根之和，两根之积。 【基础过关】（共8题） 一、单选题 1．（2026·海南海口·模拟预测）下列函数中，图象关于原点对称且在单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A选项，函数图象关于原点对称且在单调递减，A错误； B选项，函数图象不关于原点对称，在单调递增，B错误； C选项，函数图象不关于原点对称，在单调递增，C错误； D选项，函数图象关于原点对称，在单调递增，D正确. 2．（2025·河南信阳·模拟预测）已知在区间上不单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求函数的对称轴，要使函数在区间上不单调，则必有对称轴在区间内，列出不等式即可. 【详解】由已知，函数的对称轴为， 又因为函数在区间上不单调， 则必有，即. 故选：C 3．（2026·河南信阳·模拟预测）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先解一元二次不等式，再求解集合，最后应用交集定义计算求解. 【详解】集合，， 则. 二、多选题 4．（2026·山西临汾·一模）下列函数中既是偶函数，又在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据指、对数函数单调性结合单调性性质判断AD；根据偶函数定义结合幂函数单调性或一次函数单调性判断BC. 【详解】对于选项AD：当时，则在上单调递增，故D错误； 且在定义域内单调递增，可知在上单调递增，故A错误； 对于B：因为的定义域为，且，可知为偶函数， 由幂函数性质可知在上单调递减，故B正确； 对于C：因为的定义域为，且，可知为偶函数， 当时，则在上单调递减，故C正确. 三、填空题 5．（2025·江西·一模）已知幂函数在上单调递增，若正数、满足，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】由幂函数的定义与单调性可得出关于实数的等式或不等式，解出，可得出，将代数式与代数式相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为幂函数在上单调递增， 则，解得， 正数、满足，则 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故答案为：. 6．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）点为圆上的动点，则的取值范围为__________. 【答案】 【分析】法一：设，代入方程得到，从而题目实际上就是求的取值范围使得该方程有解，而这直接使用二次方程判别式就可得到结果；法二：利用圆的几何性质，将命题转化为距离问题，再使用距离公式求解. 【详解】法一：我们要求的取值范围使得存在满足，， 由于满足前一个方程的必不为零，故这等价于，. 而这又可以等价转化为，， 故我们就是要求的取值范围，使得关于的方程有解. 该方程中的系数显然非零，所以命题等价于，解得. 法二：由于圆和轴无公共点，故命题等价于求实数的取值范围， 使得直线和圆有公共点. 该圆的方程可化为，故命题等价于点到直线的距离不超过，即. 解得. 故答案为：. 7．（2023·广东珠海·模拟预测）已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】利用二次函数的单调性可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， 因为函数在区间上是增函数，则，解得. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 8．（2024·浙江·二模）在正四面体中，点分别在棱上（不与顶点重合），且 (1)若，证明 (2)求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）设．在,中，由余弦定理得，根据，则代入化简即可得； （2）由（1）知，或．设，取中点，则．根据或分别计算取值范围，然后计算取值范围即可. 【详解】（1）设． 因为四面体为正四面体， 所以， 在中，由余弦定理得，， 在中，由余弦定理得，， 又因为， 所以． 整理得：． 又因为，即， 代入得， 所以. （2）由（1）知，或． 设，取中点，则． ①若，则，为等边三角形，即， 设， 则. ②若，则， 设， 则． 综上所述，， 故． 【拔高选练】（共6题） 一、单选题 1．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知函数的定义域为，且满足下列性质： ①；② 则下列说法一定正确的为（   ） A．在上无最小值 B．在上单调递减 C．在上有最小值 D．在上单调递增 【答案】C 【分析】利用题给条件构造函数，结合二次函数的性质，即可得到在上不一定单调递增或单调递减，在上有最小值. 【详解】由于函数的定义域为，且， 令，则， 得，抛物线对称轴为 由可得， 解之得，则， 故在上不一定单调递增或单调递减，选项不确定， 由于表示开口向上的抛物线， 故函数在取得最小值，即在上有最小值. 故选项C正确，选项A错误． 故选：C 2．（2025·江苏·模拟预测）关于对称，则其最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先对进行因式分解，利用关于对称，得出的值，最后用换元法将转换为二次函数求最值即可. 【详解】，因关于对称， 故的根应为和，所以，得，，即. 令，则，代入得： ，令，，函数开口向上， 对称轴为，，因此，函数的最小值为. 故选：B 二、多选题 3．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知函数，设，．且关于的函数．则（    ） A． B． C．当时，存在关于的函数在区间上的最小值为6， D．当时，存在关于的函数在区间上的最小值为6， 【答案】ABD 【分析】根据新定义，归纳推理即可判断A，根据A及求和公式化简即可判断B，根据二次函数的对称轴分别求出函数最小值，建立方程求解正整数可判断CD. 【详解】因为，，所以， ，依次类推，可得，故A正确； 由A选项知，，故B正确； 当时，的对称轴， 所以在区间上单调递减，故当时，，方程无整数解，故C错误； 当时，的对称轴， 所以当时，，解得，故D正确. 故选：ABD 三、填空题 4．（2025·全国·模拟预测）已知实数，满足，则______. 【答案】4 【分析】通过对两个方程进行变形，构造出相同形式的函数，再利用函数的性质来求解x + y的值. 【详解】对进行变形，可化为， 对进行变形，可化为， 设，随增大而增大，，也是随增大而增大， 则是单调递增函数.则可得. 故答案为：4. 5．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知幂函数为偶函数，则______________． 【答案】9 【分析】由幂函数和偶函数的性质求得，结合对数的运算法则即可求解. 【详解】由题意得，解得或， 又为偶函数，所以，所以． 四、解答题 6．（2025·四川绵阳·一模）设函数. (1)若，写出函数的单调区间； (2)当时，，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析； (2). 【分析】（1）将函数式改写为，结合二次函数的性质确定单调区间； （2）由题设，问题化为上，利用对勾函数及复合函数的性质判断相关函数的区间单调性，进而求最值，即可得. 【详解】（1）由题设，即， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为、. （2）由题设，在上恒成立，则恒成立， 所以，只需， 由在上单调递增，在上单调递减，故， 由在上单调递减，故， 所以. 【错题复盘】（共5题） 一、单选题 1．（2026·重庆北碚·模拟预测）设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】找中间量、合理构造函数后，利用指数函数、幂函数的单调性求解 【详解】构造指数函数，底数，所以单调递减，即； ，即. 2．（2026·广东深圳·一模）若实数，，满足，则，，的大小关系不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由可得， 与互为反函数，故其交点在直线上，且交点横坐标小于1， 而与交点的横坐标等于1， 从而，，在同一直角坐标系中的大致图象如图所示：与的图像交点为,与的图像交点为, 且 当直线位于点的上方时，此时直线与三个函数的交点横坐标满足， 当直线位于点的上方，的下方时，此时直线与三个函数的交点横坐标满足， 当直线位于点的上方，的下方时，此时直线与三个函数的交点横坐标满足， 当直线位于点的下方时，此时直线与三个函数的交点横坐标满足， 二、多选题 3．若函数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用幂函数的性质及函数的单调性的性质，结合特殊值法及构造函数法即可求解. 【详解】由幂函数的性质知， 在上单调递增. 因为,所以，即，， 所以．故A正确； 令，则，故B错误； 令，则 由函数单调性的性质知，在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增， 因为，所以，即，于是有，故C正确； 令，则， 所以因为，故D错误． 故选：AC. 三、填空题 4．（2025·广东·模拟预测）已知函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是____． 【答案】 【分析】构造函数，分情况讨论的最值情况，即可得解. 【详解】 设， 则当时，不成立； 当时，由，得，则，不成立； 当时， 若，即，则，即成立； 若，即，则，即，得； 综上，的取值范围是． 四、解答题 5．（2026·河南开封·模拟预测）已知函数为定义在上的偶函数，且满足，． (1)求的解析式； (2)若不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)设，若对任意的，存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1). (2) (3) 【分析】（1）利用偶函数的性质运算求解即可；（2）根据函数的单调性化简不等式，再分离参数，利用基本不等式求最值即可；（3）由题意得，根据函数的单调性分别求出的最小值，即可求解. 【详解】（1）因为是上的偶函数，故对任意，恒成立， 所以，， 令，代入化简得得， 因此的解析式为. （2）由题意可得，易知在上单调递增， 因此不等式等价于. 令，不等式变为对任意恒成立，分离参数得， 由基本不等式得， 当且仅当取最小值，因此，即. （3）对任意，存在，满足，等价于在上的最小值在上的最小值. 因为单调递增，故，因此存在，使得， 即，开口向上，对称轴， 若，，得； 若，，恒成立； 若，，结合恒成立. 综上得，即. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲一次、二次函数与幂函数 （知识清单+4典例精讲+5方法技巧+分层训练） 近3年考查情况 题型 分值 二次函数单调性、最值、不等式综合；幂函数图象与性质辨析 单选、多选题 5分/6分 二次函数区间最值、图象识别；基础幂函数求值、单调性判断 单选、填空题 5分 二次函数基础性质、简单求值，幂函数基础判定，难度偏低 单选题 5分 二次函数与方程、导数、恒成立问题综合，压轴小题高频 单选、解答题 5分/12分 【知识点01】一次函数核心知识点 1. 定义：形如（为常数，且）的函数，叫做一次函数；当时，（）为正比例函数（特殊的一次函数）。 2. 定义域与值域：定义域、值域均为。 3. 图象与性质： 图象：一条直线，与x轴交点为，与y轴交点为； 单调性：由决定——时，在上单调递增；时，在上单调递减； 对称性：正比例函数（）关于原点中心对称（奇函数）；一次函数（）既不是奇函数也不是偶函数，无对称轴和对称中心（除特殊情况）。 4. 图象变换（结合本讲重点）：基于，平移变换可得到（左加右减、上加下减）。 【例1】已知一次函数（）的图象过点和，求该一次函数的解析式。 【知识点02】幂函数 (1)幂函数的定义 一般地,函数y＝xα叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数. (2)常见的五种幂函数的图象 (3)幂函数的性质 ①幂函数在(0,＋∞)上都有定义； ②当α>0时,幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,＋∞)上单调递增； ③当α<0时,幂函数的图象都过点(1,1),且在(0,＋∞)上单调递减； ④当α为奇数时,y＝xα为奇函数；当α为偶数时,y＝xα为偶函数. 【例2】求幂函数的定义域、单调性，并判断其对称性。 【知识点03】二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0). 顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0),顶点坐标为(m,n). 零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0),x1,x2为f(x)的零点. (2)二次函数的图象和性质 函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象(抛物线) 定义域 R 值域 对称轴 x＝－ 顶点坐标 奇偶性 当b＝0时是偶函数,当b≠0时是非奇非偶函数 单调性 在上单调递减； 在上单调递增 在上单调递增； 在上单调递减 【例3】已知二次函数（）过点、、，求其解析式。 【题型一】二次函数的概念 【例1】（2026·河南濮阳·二模）的最大值是（   ） A．9 B．3 C．18 D．6 【例2】（2026·宁夏银川·一模）如果点在函数的图象上，都有点在函数的图象上，则（   ） A．17 B．5 C．3 D．2 【例3】（2026·浙江台州·二模）已知平面向量，，，若，则的最小值为_______. 【变式1】（2025·广东·模拟预测）若函数与表示同一个函数，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【变式2】（2025·山东·模拟预测）设全集，集合，，则（   ） A． B． C． D． 【变式3】（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）已知函数，若，则实数的取值范围为_______________. 【题型二】二次函数的性质与图象 【例4】（2026·云南昆明·二模）设．若，则（    ） A． B． C． D． 【例5】（多选）（2025·陕西榆林·模拟预测）已知函数的定义域为，，则（    ） A． B．的值域为 C．是偶函数 D．是增函数 【例6】（2024·全国·模拟预测）已知中，角，，所对的边分别为. (1)求的值； (2)若为线段上一点且满足平分，求的面积的取值范围. 【变式1】（2026·辽宁抚顺·二模）已知是定义在上的奇函数，且当时，，若在上恒成立，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·四川遂宁·模拟预测）函数在上的最小值为，最大值为1，则的最大值为______. 【变式3】（2024·山西·模拟预测）已知集合，. (1)若，，且是的必要不充分条件，求的取值范围； (2)若函数的定义域为，且，求的取值范围. 【题型三】幂函数的定义 【例7】（2026·四川广安·模拟预测）“”是“为幂函数”的（   ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例8】（2025·江苏盐城·三模）“”是“为幂函数”的（    ）条件． A．充要 B．必要不充分 C．既不充分也不必要 D．充分不必要 【例9】（2025·贵州遵义·模拟预测）已知幂函数过点，则为__________. 【变式1】（2026·河南南阳·模拟预测）“”是“函数为幂函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知幂函数的图象经过点，则的值为（   ） A． B． C．3 D．9 【变式3】（2025·新疆·模拟预测）幂函数在上单调递减，且经过点，请写出符合条件的一个函数解析式__________． 【题型四】幂函数的单调性 【例10】（2026·河南新乡·三模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【例11】（多选）（2025·新疆喀什·模拟预测）下列关于幂函数的论述正确的是（    ） A．若，则幂函数的图象是一条直线 B．若两个幂函数的图象至少有三个公共点，则这两个函数一定相同 C．若幂函数为奇函数，则图象一定经过点 D．幂函数的图象一定经过点，且一定不经过点 【例12】（2026·安徽合肥·模拟预测）“”是“函数为幂函数，且在上单调递减”的__________条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”） 【变式1】（2026·湖南长沙·一模）已知幂函数在上单调递减，则实数m的值为（    ） A．0或1 B．或1 C．1 D．0 【变式2】（多选）（2025·河南·二模）已知，则（   ） A． B． C． D． 【变式3】（2025·安徽·模拟预测）已知幂函数是上的偶函数，将函数的图象先向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到的图象． (1)求函数的解析式； (2)求函数的值域； (3)设，解关于的不等式：． 【解题大招01】幂函数的判断与解析式求解 紧扣幂函数定义（，系数为1），判断函数是否为幂函数；求解析式时，利用图象过定点，代入求解的值。 【例1】判断下列函数是否为幂函数，并求过点的幂函数解析式。 （1）；（2）；（3）。 【解题大招02】幂函数单调性、奇偶性快速判断 由的符号判断单调性（在定义域内递增，在定义域内递减）；由定义域对称性+与的关系判断奇偶性。 【例2】判断幂函数的定义域、单调性及奇偶性。 【解题大招03】二次函数解析式求解 根据已知条件，灵活选用一般式、顶点式、零点式，减少计算量——已知三点用一般式，已知顶点用顶点式，已知与x轴交点用零点式。 【例3】已知二次函数顶点为，且过点，求其解析式。 【解题大招04】二次函数最值与单调区间求解 先求对称轴，结合的符号判断单调性；求最值时，分“定义域为”和“定义域为区间”两种情况，区间内最值优先看对称轴是否在区间内。 【例4】求二次函数在区间上的单调区间及最值。 【解题大招05】二次函数与一元二次方程结合 利用二次函数图象与x轴的交点，转化为一元二次方程根的问题，结合判别式判断根的个数，利用韦达定理求根的关系。 【例5】已知二次函数，若其图象与x轴有两个不同交点，求实数的取值范围，并求两根之和与两根之积。 【基础过关】（共8题） 一、单选题 1．（2026·海南海口·模拟预测）下列函数中，图象关于原点对称且在单调递增的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·河南信阳·模拟预测）已知在区间上不单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·河南信阳·模拟预测）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（2026·山西临汾·一模）下列函数中既是偶函数，又在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 5．（2025·江西·一模）已知幂函数在上单调递增，若正数、满足，则的最小值为___________． 6．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）点为圆上的动点，则的取值范围为__________. 7．（2023·广东珠海·模拟预测）已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是______. 四、解答题 8．（2024·浙江·二模）在正四面体中，点分别在棱上（不与顶点重合），且 (1)若，证明 (2)求的取值范围． 【拔高选练】（共6题） 一、单选题 1．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知函数的定义域为，且满足下列性质： ①；② 则下列说法一定正确的为（   ） A．在上无最小值 B．在上单调递减 C．在上有最小值 D．在上单调递增 2．（2025·江苏·模拟预测）关于对称，则其最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知函数，设，．且关于的函数．则（    ） A． B． C．当时，存在关于的函数在区间上的最小值为6， D．当时，存在关于的函数在区间上的最小值为6， 三、填空题 4．（2025·全国·模拟预测）已知实数，满足，则______. 5．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知幂函数为偶函数，则______________． 四、解答题 6．（2025·四川绵阳·一模）设函数. (1)若，写出函数的单调区间； (2)当时，，求实数的取值范围. 【错题复盘】（共5题） 一、单选题 1．（2026·重庆北碚·模拟预测）设，则（   ） A． B． C． D． 2．（2026·广东深圳·一模）若实数，，满足，则，，的大小关系不可能是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 3．若函数，且，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 4．（2025·广东·模拟预测）已知函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是____． 四、解答题 5．（2026·河南开封·模拟预测）已知函数为定义在上的偶函数，且满足，． (1)求的解析式； (2)若不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)设，若对任意的，存在，使得，求实数的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $