第11讲函数的对称性与图象变换（知识清单+5典例精讲+4方法技巧+分层训练）讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦函数对称性与图象变换高考核心考点，涵盖奇偶性对称、两函数对称及平移翻折等变换，按知识清单、典例精讲、方法技巧、分层训练逻辑架构，通过考点梳理、方法指导、真题训练环节，帮助学生构建知识网络突破难点。 资料特色在于结合高考命题规律设计分层训练，创新“一步到位”变换法等解题大招，如用对称性推导周期结论培养数学思维，通过真题演练与错题复盘保障复习效果，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供系统指导。

第11讲函数的对称性与图象变换 （知识清单+5典例精讲+4方法技巧+分层训练） 近3年考查情况 题型 分值 对称性质判定、对称与周期综合、图像翻折/平移变换 单选、多选 5分/6分 基础平移变换、对称求值、简单对称性质应用 单选、填空 5分 单一图像变换、基础对称性判断，难度偏低 单选、填空 5分 对称性推导周期、结合零点/单调性综合考查 单选、填空、解答 5分/6-10分 【知识点01】奇函数、偶函数的对称性 (1)若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝f(a＋x),则函数的图象关于直线x＝a对称； (2)若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x),则函数的图象关于点(a,0)对称. (3)若f(x＋a)是偶函数,则函数f(x)图象的对称轴为x＝a；若f(x＋a)是奇函数,则函数f(x)图象的对称中心为(a,0). 【例1】已知是奇函数，验证其图象关于原点对称，并求的值。 【知识点02】两个函数图象的对称 (1)函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称； (2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于x轴对称； (3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称. 【例2】判断函数与的对称关系，并写出关于直线对称的函数解析式。 【知识点03】利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换 (2)对称变换 ①y＝f(x)y＝－f(x). ②y＝f(x)y＝f(－x). ③y＝f(x)y＝－f(－x). ④y＝ax (a>0,且a≠1) y＝logax(a>0,且a≠1). (3)翻折变换 ①y＝f(x)y＝|f(x)|. ②y＝f(x)y＝f(|x|). 【例3】已知，作出下列函数的图象（写出变换过程）：（1）；（2）。 【题型一】判断或证明函数的对称性 【例1】（2026·江苏苏州·模拟预测）函数与的图象（   ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线对称 【例2】（多选）（2026·河北衡水·一模）已知函数的定义域为，且对任意实数，，恒成立，则（   ） A． B．的最小值为 C． D．的图象关于点对称 【例3】（2025·重庆·二模）函数的值域为________． 【变式1】（2026·湖南衡阳·模拟预测）函数与的图象（   ） A．关于y轴对称 B．关于直线对称 C．关于直线对称 D．关于直线对称 【变式2】（2024·山东·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为_________________. 【变式3】（2024·福建·模拟预测）已知函数，则曲线的对称中心为___________． 【题型二】函数对称性的应用 【例4】（2026·湖南长沙·模拟预测）若函数的定义域为，则“函数的图象关于点中心对称”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例5】（多选）（2026·广东茂名·二模）已知是定义在上的函数，且，，则（    ） A． B．是奇函数 C．的图象关于直线对称 D．是的周期 【例6】（2026·广东深圳·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，，且，则______． 【变式1】（2026·河南周口·三模）已知函数的定义域为，，且在上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·河北保定·模拟预测）已知定义在上的函数的图象关于直线对称，且为偶函数，当 时， 则 _______. 【变式3】（2025·陕西商洛·模拟预测）已知函数，且函数与的图象关于直线对称. (1)求函数的解析式； (2)若成立，求实数的取值范围； (3)若且，求的取值范围. 【题型三】函数图像的识别 【例7】（2024·全国甲卷·高考真题）函数在区间的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【例8】（2026·山东枣庄·三模）函数的部分图象大致是（    ） A． B． C． D． 【例9】（多选）（2025·山西临汾·二模）函数的图象可以是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·湖南长沙·一模）如图是下列四个函数中的某个函数在区间[-π,π]的大致图象，则该函数是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·四川自贡·三模）函数的部分图象大致为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（多选）（2025·湖北武汉·模拟预测）函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【题型四】函数图象的应用 【例10】（2026·湖南湘西·三模）已知分别为函数的零点，且，则（   ） A． B． C． D． 【例11】（多选）（2024·陕西宝鸡·模拟预测）已知函数，若函数有6个不同的零点，且最小的零点为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．6个零点之和是6 【例12】（2025·安徽蚌埠·模拟预测）设函数，若函数图像关于直线对称，求曲线的长度为__________． 【变式1】（2025·四川成都·一模）已知定义在上的奇函数在上的图象如图所示，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·山东德州·三模）已知曲线与和分别交于两点，设曲线在处的切线斜率为在处的切线斜率为，若，则______． 【变式3】（2024·河北石家庄·三模）给定函数，用表示中的较大者，记．若函数的图象与有3个不同的交点，则实数的取值范围是______． 【题型五】函数图象的变换 【例13】（2026·湖北随州·三模）已知，函数的最大值为0，则的最小值为（   ） A． B． C．1 D． 【例14】（2026·陕西安康·三模）已知函数为奇函数，且在上单调递增，在上单调递减，若的图象是一条连续的曲线，则（   ） A．在上单调递增 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递减 【例15】（2023·全国·模拟预测）将函数的图象向右平移一个单位后，再向上平移三个单位，所得函数图象与曲线关于直线对称，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·河北邢台·一模）函数图象的对称中心的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·四川南充·二模）已知函数，则函数的图象（    ） A．关于点对称 B．关于点对称 C．关于点对称 D．关于点对称 【变式3】（2024·湖北黄冈·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位长度得到曲线，曲线与函数的图象关于直线对称，则__________． 【解题大招01】奇偶性+对称性快速求值 利用奇偶性的对称性质（偶函数关于y轴对称、奇函数关于原点对称），跳过复杂计算，直接转化函数值，快速求解。 【例1】已知是奇函数，且，求、的值。 【解题大招02】两个函数对称，快速求解析式 记准3类高频对称结论，直接代入公式，无需画图，快速推导对称函数解析式。 关于轴对称：； 关于原点对称：； 关于轴对称：。 【例2】已知，求：（1）与关于轴对称的函数解析式；（2）与关于直线对称的函数解析式。 【解题大招03】图象变换“一步到位”法 遵循“先平移、后翻折”的顺序，避免变换顺序错误，结合公式快速写出变换后的解析式。 关键规律： 1. 平移+翻折：左移→，右移→；关于x轴对称→； 2. 易错提醒：先翻折再平移，平移方向易反向（如先关于y轴对称再左移，需注意x的符号）。 【例3】已知，求经过“右移3个单位，再关于x轴对称翻折”后的函数解析式。 【解题大招04】对称性+周期性快速推导 利用对称性质推导周期，熟记2个高频结论，快速转化函数值，简化计算。 核心结论： 1. 函数关于和（）对称，则周期； 2. 函数关于和点对称，则周期。 【例4】已知的图象关于直线和对称，且，求的值。 【基础过关】（共8题） 一、单选题 1．（2026·陕西榆林·模拟预测）函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·安徽·模拟预测）“函数的图象关于直线对称”是“函数为偶函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 3．（2026·海南海口·模拟预测）已知函数定义域为，下列是无最小值的充分条件的是（   ） A．为偶函数且图象关于直线对称 B．为偶函数且图象关于点对称 C．为奇函数且图象关于直线对称 D．为奇函数且图象关于点对称 二、多选题 4．（2025·江西新余·模拟预测）下列函数中，的图象可以由的图象仅通过一次轴对称变换得到的有：（   ）． A．， B．， C．， D．， 5．（2025·云南·模拟预测）已知函数的图象关于点对称，则的值可能为（　　） A． B． C． D． 三、填空题 6．（2026·山东·二模）已知函数的图象关于点对称，则_______________． 7．（2025·海南·模拟预测）已知为奇函数，若与的图象有10个交点，设交点的横坐标从小到大依次为，则______________. 四、解答题 8．（2024·陕西西安·二模）设函数. (1)在坐标系中画出函数的图象； (2)若对任意恒成立，求的取值范围. 【拔高选练】（共6题） 一、单选题 1．（2026·吉林·二模）已知函数的图象关于直线对称，且在上单调递减，若，，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·云南曲靖·二模）已知定义域为的函数满足，且对任意，，当时，都有，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 4．（2025·湖南·三模）已知函数，，函数的图象与曲线交于点，与曲线交于点，，点在第一象限，且，四点顺次呈逆时针排列，则直线的斜率与直线的斜率的乘积为______. 5．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知函数满足，且，则方程的实数解的个数为________． 四、解答题 6．（2025·河北唐山·模拟预测）已知函数． (1)若函数的图象关于点对称，求的值； (2)若是的极大值点，求的值； (3)设是的极值点，且满足，求的取值范围. 【错题复盘】（共5题） 一、单选题 1．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）已知函数的定义域为，，当时，，则曲线在点处的切线的斜率为（    ） A．2 B．1 C． D． 2．（2026·浙江宁波·三模）某函数的图像如图所示，则该函数解析式可能为（        ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（2026·四川成都·三模）已知函数，则（    ） A．当时，函数有最大值 B．若函数图象的对称中心为，则 C．函数在上一定存在减区间 D．函数可能有2个零点 三、填空题 4．（2026·山西晋中·三模）已知函数的定义域为是偶函数，，则__________. 四、解答题 5．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)是否存在a，b，使得曲线关于直线对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由. (3)若在存在极值，求a的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲函数的对称性与图象变换 （知识清单+5典例精讲+4方法技巧+分层训练） 近3年考查情况 题型 分值 对称性质判定、对称与周期综合、图像翻折/平移变换 单选、多选 5分/6分 基础平移变换、对称求值、简单对称性质应用 单选、填空 5分 单一图像变换、基础对称性判断，难度偏低 单选、填空 5分 对称性推导周期、结合零点/单调性综合考查 单选、填空、解答 5分/6-10分 【知识点01】奇函数、偶函数的对称性 (1)若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝f(a＋x),则函数的图象关于直线x＝a对称； (2)若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x),则函数的图象关于点(a,0)对称. (3)若f(x＋a)是偶函数,则函数f(x)图象的对称轴为x＝a；若f(x＋a)是奇函数,则函数f(x)图象的对称中心为(a,0). 【例1】已知是奇函数，验证其图象关于原点对称，并求的值。 解析：① 验证对称：任取是图象上一点，则，对应点，代入得，故图象关于原点对称； ② 求：由奇函数性质。 【知识点02】两个函数图象的对称 (1)函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称； (2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于x轴对称； (3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称. 【例2】判断函数与的对称关系，并写出关于直线对称的函数解析式。 解析：① 对称关系：由结论1，与（令），故两函数图象关于轴对称； ② 求对称函数：由结论3，，对称函数解析式为。 【知识点03】利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换 (2)对称变换 ①y＝f(x)y＝－f(x). ②y＝f(x)y＝f(－x). ③y＝f(x)y＝－f(－x). ④y＝ax (a>0,且a≠1) y＝logax(a>0,且a≠1). (3)翻折变换 ①y＝f(x)y＝|f(x)|. ②y＝f(x)y＝f(|x|). 【例3】已知，作出下列函数的图象（写出变换过程）：（1）；（2）。 解析：（1），变换过程：将的图象“右移2个单位”，再“上移1个单位”，即可得到目标图象； （2），变换过程：将的图象“关于x轴对称翻折”，即可得到目标图象。 【题型一】判断或证明函数的对称性 【例1】（2026·江苏苏州·模拟预测）函数与的图象（   ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线对称 【答案】C 【分析】通过对称性的概念可判断BC.通过特殊点判断AD. 【详解】令，， 对于A，，，显然，A错误， 对于B，，B错误， 对于C，，即两函数图象关于原点对称，C正确， 对于D，，当时，得点， 点关于直线对称点为， 当时，，故D错误. 【例2】（多选）（2026·河北衡水·一模）已知函数的定义域为，且对任意实数，，恒成立，则（   ） A． B．的最小值为 C． D．的图象关于点对称 【答案】ABD 【详解】令，得， 以替代，得， 消去，得. 再令，得，即， 所以，即， 则，，A正确，C错误. 而， 当时，取得最小值，且最小值为，B正确. 因为， 所以的图象关于点对称，D正确. 【例3】（2025·重庆·二模）函数的值域为________． 【答案】 【分析】设，分析可知函数为偶函数，可知函数的值域与的值域相同，进而分析的周期和对称性，取，利用辅助角公式结合正弦函数有界性分析求解. 【详解】设，可知函数的定义域为， 因为，可知函数为偶函数， 当时，， 可知函数的值域与的值域相同， 因为， 可知的一个周期为， 又因为， 可知关于直线对称， 且， 可知关于直线对称， 则可取，则，可得， 因为，则， 可得，即， 可知的值域为，所以的值域为. 故答案为：. 【变式1】（2026·湖南衡阳·模拟预测）函数与的图象（   ） A．关于y轴对称 B．关于直线对称 C．关于直线对称 D．关于直线对称 【答案】B 【分析】对指数函数化简变形，利用函数对称的代数判定规则直接求解对称轴. 【详解】将函数进行指数变形，得， 设，代入，可得， 因此，第二个函数即为. 由函数图象对称性质，与的图象关于直线对称， 此处，即，可得两函数图象关于直线对称. 【变式2】（2024·山东·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为_________________. 【答案】 【分析】要先证明函数的中心对称性，即，这样原不等式就可以化为，再用求导来证明单调递增，从而就可以解出结果. 【详解】由已知得：， 所以，即 则不等式等价于， 再由， 可得在上单调递增，所以，解得， 故答案为：. 【变式3】（2024·福建·模拟预测）已知函数，则曲线的对称中心为___________． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用对称中心的定义计算判断即得. 【详解】曲线的对称中心为，则， 即，整理得， 依题意，与无关，则，解得，此时， 所以曲线的对称中心为. 故答案为： 【题型二】函数对称性的应用 【例4】（2026·湖南长沙·模拟预测）若函数的定义域为，则“函数的图象关于点中心对称”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由已知条件，看“的图象关于点中心对称”与“”是否可以互相推导，进而判断前者是后者的什么条件. 【详解】若定义域为函数的图象关于点中心对称，则， 当时，，则， 但不能推出函数的图象关于点中心对称， 所以“的图象关于点中心对称”是“”的充分不必要条件. 【例5】（多选）（2026·广东茂名·二模）已知是定义在上的函数，且，，则（    ） A． B．是奇函数 C．的图象关于直线对称 D．是的周期 【答案】ACD 【详解】在中,令，可得，所以，故A正确； 由，可得的图象关于直线对称，故C正确； 在中，令，可得，又由选项A知，故， 若是定义在上的奇函数，则与矛盾，故不是奇函数，故B错误； 由，可得的图象关于点对称，又因为的图象关于直线对称， 故，故D正确． 【例6】（2026·广东深圳·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，，且，则______． 【答案】 【分析】先根据奇偶性和对称性得到 是周期为4的周期函数，然后计算出一个周期内函数值的和即 ，结合周期性可求原式的值. 【详解】因为 是定义在 上的奇函数， 所以 , 所以 , 则 , 故 是周期为4的周期函数. 又当 时， 所以 解得 故当 时， . 因为 所以 【变式1】（2026·河南周口·三模）已知函数的定义域为，，且在上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由可得函数关于点中心对称，再根据在上单调递增，结合对称性可得在上也单调递增，最后转化在一个单调区间上利用单调性比较大小即可. 【详解】解：由，则， 令，则，所以， 因此函数关于点中心对称， 因为在上单调递增，结合又关于点对称， 所以在上也单调递增. 由，则令，所以，即. 因为，在上单调递增， 所以，即. 【变式2】（2026·河北保定·模拟预测）已知定义在上的函数的图象关于直线对称，且为偶函数，当 时， 则 _______. 【答案】/0.25 【详解】因为的图象关于对称，所以， 将替换为，可得， 因为是偶函数，所以， 将替换为，可得， 联立可得， 将替换成，可得，即是周期为的周期函数， 因此， 因为，所以， 当时，，所以， 即. 【变式3】（2025·陕西商洛·模拟预测）已知函数，且函数与的图象关于直线对称. (1)求函数的解析式； (2)若成立，求实数的取值范围； (3)若且，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3). 【分析】（1）设为图象上任意一点，则点关于对称的点为，据此可得答案； （2）由（1）可得，然后由对数函数单调性可得答案； （3）由，可得，，然后由双勾函数性质结合对数函数单调性可得答案. 【详解】（1）设为图象上任意一点，该点关于对称的点为， 因此在的图象上， 因此，即， 因此函数. （2）由，得，即， 函数在上单调递增， ，解得或. 故实数的取值范围为. （3）由，得，即，得， ，而，，即， 根据对勾函数的单调性可得在为减函数， 的值域为，的取值范围为， 故的取值范围为，即. 【题型三】函数图像的识别 【例7】（2024·全国甲卷·高考真题）函数在区间的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数的奇偶性可排除A、C，代入可得，可排除D. 【详解】， 又函数定义域为，故该函数为偶函数，可排除A、C， 又， 故可排除D. 故选：B. 【例8】（2026·山东枣庄·三模）函数的部分图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据奇偶性排除A；根据正负性排除CD. 【详解】定义域为，， 则是偶函数，排除A选项； 当时，，则， 当时，，则； 当时，，则，排除CD选项 【例9】（多选）（2025·山西临汾·二模）函数的图象可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】对，，三种情况讨论判断即可. 【详解】当是，，故A符合； 当时，在上单调递减，且，故B符合； 当时，由为上的单调递增函数， 令，则，即， 因为，可得，所以在上的单调递增函数， 所以，所以有唯一解， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，故D正确. 故选：ABD. 【变式1】（2026·湖南长沙·一模）如图是下列四个函数中的某个函数在区间[-π,π]的大致图象，则该函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设图象对应函数为，由图可得奇偶性，结合可判断选项正误. 【详解】设图象对应函数为，由图可得为奇函数， 注意到为偶函数，为奇函数. 则为偶函数，不满足题设，故BC错误； 又由图可得，，则D不满足题意，故选A 【变式2】（2026·四川自贡·三模）函数的部分图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将与代入求解即可. 【详解】当时，，，故选A. 【变式3】（多选）（2025·湖北武汉·模拟预测）函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】求导，分四种情况讨论求解即可. 【详解】， 当时，若 ，得，即函数在上单调递减， 若 ，得，即函数在上单调递增， 此时函数有最小值为，且，故B符合题意，A不符合题意； 当时，若 ，得，即函数在上单调递减， 若 ，得，即函数在上单调递增， 此时函数有最小值为，故C符合题意； 当时，若 ，得，即函数在上单调递减， 若 ，得，即函数在上单调递增， 此时函数有最小值为，且，故D符合题意； 当时，恒成立，则函数在上单调递增. 故选：BCD 【题型四】函数图象的应用 【例10】（2026·湖南湘西·三模）已知分别为函数的零点，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据零点的定义转化问题为函数与函数的交点问题，再结合图象判断大小即可. 【详解】由，得，则函数与的图象的交点横坐标就是； 由，得，则函数与的图象的交点横坐标就是； 由，得，则函数与的图象的交点横坐标就是． 作出函数图象如图，可知． 【例11】（多选）（2024·陕西宝鸡·模拟预测）已知函数，若函数有6个不同的零点，且最小的零点为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．6个零点之和是6 【答案】BD 【分析】根据题意，利用函数的图象变换，得到函数的图象关于直线对称，令，得到关于的方程，结合二次函数的图象与性质，即可求解. 【详解】由函数的图象，经过轴翻折变换，可得函数的图象， 再向右平移1个单位，可得的图象， 最终经过轴翻折变换，可得的图象，如图所示， 则函数的图象关于直线对称，令， 因为函数最小的零点为，且， 故当时，方程有4个零点， 所以要使函数有6个不同的零点，且最小的零点为，则或， 由，可得或， 设的四个根从小到大依次为， 由函数的图象关于直线对称，可得， 所以的所有零点之和是6，故D正确； 关于的方程的两个实数根为和， 由韦达定理，得，所以B正确，A，C错误. 故选：BD. 【例12】（2025·安徽蚌埠·模拟预测）设函数，若函数图像关于直线对称，求曲线的长度为__________． 【答案】 【分析】首先根据对称的性质求出的值，然后将的解析式表示出来，进而可求出曲线的长度. 【详解】∵函数图像关于直线对称， ∴，即，所以， 所以，那么， 画出图象如图所示， 所以曲线段的长度为． 故答案为：. 【变式1】（2025·四川成都·一模）已知定义在上的奇函数在上的图象如图所示，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数为奇函数可得函数的图象，进而由数形结合可得不等式的解集. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以函数图象关于原点对称，故得函数的图象如下：且. 由图象可知，要使，当时，，得； 当时，，得； 当，不等式不成立； 综上，不等式的解集为. 故选：A. 【变式2】（2025·山东德州·三模）已知曲线与和分别交于两点，设曲线在处的切线斜率为在处的切线斜率为，若，则______． 【答案】 【分析】根据题意结合对称性可设，结合导数的几何义求得，即可得结果． 【详解】因为和互为反函数，其图象关于直线对称， 且反比例函数的图象也关于直线对称， 可知点关于直线对称， 设，则， 设，则， 由题意可得：，解得或(舍去)， 可得，代入可得，所以． 故答案为：． 【变式3】（2024·河北石家庄·三模）给定函数，用表示中的较大者，记．若函数的图象与有3个不同的交点，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】在同一坐标系下画出的图象，求出交点坐标；结合图象再做出满足条件的直线，进而求出的取值范围即可. 【详解】 由，， 因为， 所以图象变为： 其中，当且仅当时取最大值； 且设两函数在第一象限的交点为，即当， ， 解得：， 由题意与函数的图象有3个不同的交点， 由数形结合易知：，或， 故答案为：. 【题型五】函数图象的变换 【例13】（2026·湖北随州·三模）已知，函数的最大值为0，则的最小值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】结合函数图像分析，从而得到当与相切时，取得最小值，进而构造函数，求导，分析函数的单调性，从而求出最值，进而得到的最小值． 【详解】依题意可得函数的定义域为， 由函数的最大值为0， 即在上恒成立， 即的图象在的下方， 结合图象可得，当函数的图象过原点，且与相切时，取得最小值， 根据对称性，不妨只考虑的情况， 即当与相切时，取得最小值， 即在上恒成立， 令，即时，取得最小值， 则，令，则， 又时，，即在上单调递增； 时，，即在上单调递减， 所以，解得． 故选：A 【例14】（2026·陕西安康·三模）已知函数为奇函数，且在上单调递增，在上单调递减，若的图象是一条连续的曲线，则（   ） A．在上单调递增 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递减 【答案】B 【分析】先根据奇函数的对称性求得函数的单调区间，再结合函数图象平移求解即可. 【详解】因为为奇函数，且在上单调递增，在上单调递减，的图象是一条连续的曲线， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 因为的图象是由的图象向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度得到的， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减． 【例15】（2023·全国·模拟预测）将函数的图象向右平移一个单位后，再向上平移三个单位，所得函数图象与曲线关于直线对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据对称变换和平移变换得到，再代入求值即可. 【详解】关于直线对称的函数为， 将向下平移三个单位得到， 将向左平移一个单位得到， 即， 故. 故选：D 【变式1】（2026·河北邢台·一模）函数图象的对称中心的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用分离常数项化简函数解析式，根据函数图像变换，结合奇函数的对称性，可得答案. 【详解】， 易知函数的图像可由函数向左平移个单位，再向下平移个单位得到， 由奇函数的图像关于成中心对称，则函数的图像关于成中心对称. 故选：D. 【变式2】（2024·四川南充·二模）已知函数，则函数的图象（    ） A．关于点对称 B．关于点对称 C．关于点对称 D．关于点对称 【答案】A 【分析】先求的对称中心，结合图象变换可得答案. 【详解】因为，所以，即的图象关于原点对称， 函数的图象可由的图象，先向右平移一个单位，再向上平移一个单位得到， 所以函数的图象关于点对称. 故选：A. 【变式3】（2024·湖北黄冈·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位长度得到曲线，曲线与函数的图象关于直线对称，则__________． 【答案】 【分析】根据函数平移变换可得曲线方程；设上一点，将其关于直线对称的点代入方程即可求得. 【详解】图象向左平移个单位得到曲线：， 设上一点，则点关于直线对称的点为， 将点代入曲线方程可得：， 即. 故答案为：. 【解题大招01】奇偶性+对称性快速求值 利用奇偶性的对称性质（偶函数关于y轴对称、奇函数关于原点对称），跳过复杂计算，直接转化函数值，快速求解。 【例1】已知是奇函数，且，求、的值。 解析：① 求：由奇函数性质，得； ② 求：奇函数有定义，故（关于原点对称，图象过原点）。 【解题大招02】两个函数对称，快速求解析式 记准3类高频对称结论，直接代入公式，无需画图，快速推导对称函数解析式。 关于轴对称：； 关于原点对称：； 关于轴对称：。 【例2】已知，求：（1）与关于轴对称的函数解析式；（2）与关于直线对称的函数解析式。 解析：① 关于对称：代入结论，解析式为； ② 关于对称：，代入结论，解析式为。 【解题大招03】图象变换“一步到位”法 遵循“先平移、后翻折”的顺序，避免变换顺序错误，结合公式快速写出变换后的解析式。 关键规律： 1. 平移+翻折：左移→，右移→；关于x轴对称→； 2. 易错提醒：先翻折再平移，平移方向易反向（如先关于y轴对称再左移，需注意x的符号）。 【例3】已知，求经过“右移3个单位，再关于x轴对称翻折”后的函数解析式。 解析：第一步（右移3个单位）：； 第二步（关于x轴对称翻折）：，即为目标解析式 【解题大招04】对称性+周期性快速推导 利用对称性质推导周期，熟记2个高频结论，快速转化函数值，简化计算。 核心结论： 1. 函数关于和（）对称，则周期； 2. 函数关于和点对称，则周期。 【例4】已知的图象关于直线和对称，且，求的值。 解析：由结论1，周期，故； 又关于对称，，因此。 【基础过关】（共8题） 一、单选题 1．（2026·陕西榆林·模拟预测）函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由函数的解析式可知该函数的定义域为全体非零实数， 因为， 所以该函数是奇函数，它的图象关于原点对称，所以排除选项AC； 当时，，所以排除选项D，所以选项B中的图象有可能是该函数的图象. 2．（2025·安徽·模拟预测）“函数的图象关于直线对称”是“函数为偶函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【分析】根据对称和偶函数定义判断. 【详解】若函数的图象关于直线对称，则， 令，则，所以，是偶函数， 所以函数是偶函数， 所以“函数的图象关于直线对称”是“函数是偶函数”的充分条件； 若函数是偶函数，令，则是偶函数， 所以，又，所以， 即，所以的图象关于直线对称， 所以“函数的图象关于直线对称”是“函数是偶函数”的必要条件. 综上可知，“函数的图象关于直线对称”是“函数是偶函数”的充要条件， 故选：C. 3．（2026·海南海口·模拟预测）已知函数定义域为，下列是无最小值的充分条件的是（   ） A．为偶函数且图象关于直线对称 B．为偶函数且图象关于点对称 C．为奇函数且图象关于直线对称 D．为奇函数且图象关于点对称 【答案】D 【分析】根据对称性可判断函数的周期，故可判断ABC的正误，根据对称性可得，据此可判断D的正误. 【详解】对于A，因为为偶函数，故， 而的图象关于直线对称， 故，故， 故为周期函数且周期为4， 而在必有最小值，故必有最小值，故A错误. 对于B，而的图象关于点对称， 故，故， 因为为偶函数，故， 故，， 故为周期函数且周期为8， 而在必有最小值，故必有最小值，故B错误. 对于C，因为为奇函数，故， 而的图象关于直线对称，故，故， 所以故为周期函数且周期为8， 而在必有最小值，故必有最小值，故C错误. 对于D，因为为奇函数，故， 而的图像关于点对称，故， 故，设， 则，当时，， 故无最小值，故D正确. 二、多选题 4．（2025·江西新余·模拟预测）下列函数中，的图象可以由的图象仅通过一次轴对称变换得到的有：（   ）． A．， B．， C．， D．， 【答案】ABD 【分析】由两直线相交可判断A；由，可判断B；是一条完整的抛物线，是半只抛物线，可判断C；求得的反函数判断D. 【详解】对于A：因两直线斜率不等，故两条直线相交构成轴对称图形，故A正确； 对于B：因为，所以两函数的图象关于直线对称，故B正确； 对于C：因为是一条完整的抛物线，是半只抛物线， 所以与不关于直线对称，故C错误； 对于D：由，可得，所以，所以， 所以，所以与互为反函数，图象关于对称，故D正确． 故选：ABD. 5．（2025·云南·模拟预测）已知函数的图象关于点对称，则的值可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据正切型函数的对称性逐一判断即可. 【详解】因为函数的图象关于点对称， 所以，则. A：令，符合题意； B：令，不符合题意； C：令，符合题意； D：令，不符合题意， 故选：AC 三、填空题 6．（2026·山东·二模）已知函数的图象关于点对称，则_______________． 【答案】2 【详解】，关于点对称， 由题意可知函数关于点对称，所以解得. 7．（2025·海南·模拟预测）已知为奇函数，若与的图象有10个交点，设交点的横坐标从小到大依次为，则______________. 【答案】30 【分析】根据奇函数的定义以及图像平移可知与的图像的交点关于点对称，结合对称性即可得结果. 【详解】因为为奇函数，所以的图象关于原点对称， 又的图象可由的图象向右平移3个单位长度得到， 所以的图象关于点对称. 又的图象也关于点对称， 所以与的图象的交点关于点对称， 所以， 故. 故答案为：30. 四、解答题 8．（2024·陕西西安·二模）设函数. (1)在坐标系中画出函数的图象； (2)若对任意恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析； (2). 【分析】（1）根据题意求出的分段函数解析式，作出图像，从而可求解. （2）由（1）中图像可知，即任意对从而可求解. 【详解】（1）由题意得，作出图象，如图所示，    （2）由（1）知，所以对任意恒成立， 即，解得或， 所以的取值范围为. 【拔高选练】（共6题） 一、单选题 1．（2026·吉林·二模）已知函数的图象关于直线对称，且在上单调递减，若，，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数的对称性得到恒成立，通过平方化简即可求解. 【详解】由关于直线对称，且在上单调递减， 因为，恒成立， 所以 ， 两边平方展开化简： 即 ， 整理得， 因为对任意不等式恒成立，故，即， 故的取值范围是. 2．（2026·云南曲靖·二模）已知定义域为的函数满足，且对任意，，当时，都有，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数的对称性及单调性的定义确定区间单调性，再由单调性判断函数值的大小. 【详解】由得函数的图象关于对称， 根据已知及单调性的定义，知在上为减函数， 所以在上为增函数， ，且， ． 二、多选题 3．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据的定义域，可排除；求导讨论不同值对应的函数的单调性，判断选项. 【详解】的定义域为，所以选项错误； ， 当时，在恒成立，所以单调递增， 且当时，，，所以，所以图象可能是选项 当时，，此时图象可能是选项； 当时，因为与都是增函数，所以也是增函数， 令，则，设方程的根为，即， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以， 若，显然，则，所以图象可能是选项； 故选：. 三、填空题 4．（2025·湖南·三模）已知函数，，函数的图象与曲线交于点，与曲线交于点，，点在第一象限，且，四点顺次呈逆时针排列，则直线的斜率与直线的斜率的乘积为______. 【答案】1 【分析】由题意点与点关于直线对称，得，同理，代入直线的斜率公式化简即可求解. 【详解】设，则， 由点与点关于直线对称，所以，同理， 所以， 因为， 所以 故答案为：1. 5．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知函数满足，且，则方程的实数解的个数为________． 【答案】4 【分析】由题可知的周期为，方程的解即为与的交点横坐标，画出与的图象，数形结合即可判断. 【详解】由函数满足，则，所以的周期为， 由，， 可得函数的图象如下：    方程的解，即为的交点横坐标， 当时，，此时与无交点， 当时，，此时与无交点， 由图可知两图象交点个数为，即方程的实数解的个数为. 故答案为： 四、解答题 6．（2025·河北唐山·模拟预测）已知函数． (1)若函数的图象关于点对称，求的值； (2)若是的极大值点，求的值； (3)设是的极值点，且满足，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题可得是奇函数，利用奇函数的定义即可求解； （2）根据题意可得，解得或2，代入原函数结合函数单调性检验即可； （3）由是的极值点，得，代入化简得：，解不等式即可求解. 【详解】（1）由曲线的图象关于点对称，得是奇函数， 因为，所以，解得. （2）． 因为是的极大值点，所以，解得或2. 当时，，所以当时，单调递减， 当时，单调递增，因此是的极小值点（舍去）； 当时，，所以时，单调递增， 当时，单调递减，因此是的极大值点． 综上，可得. （3）， 因为是的极值点，所以， 因为，代入上式化简可得： 由可得， 解得. 【错题复盘】（共5题） 一、单选题 1．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）已知函数的定义域为，，当时，，则曲线在点处的切线的斜率为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】利用导数求出曲线在点处的切线的斜率，再利用对称性求得答案. 【详解】由函数的定义域为，，得函数的图象关于直线对称， 因此曲线在点处的切线与曲线在点处切线关于直线对称， 其斜率互为相反数，当时，，求导得，则， 所以曲线在点处的切线的斜率为. 2．（2026·浙江宁波·三模）某函数的图像如图所示，则该函数解析式可能为（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据零点特征排除A、C；结合导数和图象特点判断B；的图象特征判断D； 【详解】图像中函数与轴有两个交点（即两个零点）， 选项A ，只有1个零点，选项C，没有零点，因此排除A、C. 图像中时，函数值趋近于0，选项D ，当时，，不符合趋势，排除D. 选项B：，零点为（两个零点，一负一正，符合图像）； 时，，，且时，，符合图像左半部分趋势； 时，，，时，符合； 时，，求导得，可得时函数先增后减，且时，指数函数增长快于多项式，，完全符合图像特征. 二、多选题 3．（2026·四川成都·三模）已知函数，则（    ） A．当时，函数有最大值 B．若函数图象的对称中心为，则 C．函数在上一定存在减区间 D．函数可能有2个零点 【答案】BC 【分析】对于A，求导根据函数的单调性判断即可；对于B，二阶导数求对称中心横坐标或利用对称中心定义判断即可；对于C，求导，结合判别式大于零解出减区间即可判断；对于D，因式分解，结合判别式大于零进行判断即可. 【详解】对于A，当时，， 当时，在上单调递增， 当无限趋于正无穷大时，也无限趋于正无穷大，所以没有最大值，故A错误； 对于B，法一：，令，则， 结合三次函数对称性可知，，所以，故B正确； 法二：若函数图象的对称中心为，则对任意实数，恒有， 代入化简得，解得，故B正确； 对于C，，令， 解得或， 当时，所以在上单调递减，故C正确； 对于D，， 令，又， 所以有两个不为0的根，所以有3个零点，故D错误. 三、填空题 4．（2026·山西晋中·三模）已知函数的定义域为是偶函数，，则__________. 【答案】2 【分析】根据函数的对称性以及奇偶性求出函数的周期，再求解即可. 【详解】由是偶函数，可知是偶函数，则的图像关于直线对称. 由，可知的图象关于点对称，可得 故是的周期. 由，可得，，因此. 四、解答题 5．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)是否存在a，b，使得曲线关于直线对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由. (3)若在存在极值，求a的取值范围. 【答案】(1)； (2)存在满足题意，理由见解析. (3). 【分析】(1)由题意首先求得导函数的解析式，然后由导数的几何意义确定切线的斜率和切点坐标，最后求解切线方程即可； (2)首先求得函数的定义域，由函数的定义域可确定实数的值，进一步结合函数的对称性利用特殊值法可得关于实数的方程，解方程可得实数的值，最后检验所得的是否正确即可； (3)原问题等价于导函数有变号的零点，据此构造新函数，然后对函数求导，利用切线放缩研究导函数的性质，分类讨论，和三中情况即可求得实数的取值范围. 【详解】（1）当时，， 则， 据此可得， 函数在处的切线方程为， 即. （2）令， 函数的定义域满足，即函数的定义域为， 定义域关于直线对称，由题意可得， 由对称性可知， 取可得， 即，则，解得， 经检验满足题意，故. 即存在满足题意. （3）由函数的解析式可得， 由在区间存在极值点，则在区间上存在变号零点; 令， 则， 令， 在区间存在极值点，等价于在区间上存在变号零点， 当时，，在区间上单调递减， 此时，在区间上无零点，不合题意; 当，时，由于，所以在区间上单调递增， 所以，在区间上单调递增，， 所以在区间上无零点，不符合题意； 当时，由可得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故的最小值为， 令，则， 函数在定义域内单调递增，， 据此可得恒成立， 则， 由一次函数与对数函数的性质可得，当时， ， 且注意到， 根据零点存在性定理可知:在区间上存在唯一零点. 当时，，单调减， 当时，，单调递增， 所以. 令，则， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以， 所以 ， 所以函数在区间上存在变号零点，符合题意. 综合上面可知:实数得取值范围是. 【点睛】(1)求切线方程的核心是利用导函数求切线的斜率，求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导，合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元. (2)根据函数的极值(点)求参数的两个要领：①列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解;②验证:求解后验证根的合理性.本题中第二问利用对称性求参数值之后也需要进行验证. 1 学科网（北京）股份有限公司 $