四川省仪陇中学校2025-2026学年高一下学期5月期中考试数学试题

数 学 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．已知，则（ ） A．i B．-i C．-1 D．1 3．已知某扇形的弧长为1，面积为2，则该扇形圆心角的弧度数为（ ） A． B． C． D．1 4．不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 5．在中，，，，则（ ） A． B． C． D． 6．函数的部分图象可能是（ ） A． B． C． D． 7．如图：A，B，P，Q在同一个铅垂面，在山脚A测得山顶P的仰角，，斜坡长为m，在B处测得山顶P的仰角为，则山的高度为（ ） A． B． C． D． 8．已知非零向量与满足，且，点D是的边上的动点，则的最小值为（ ） A．2 B．-2 C．-1 D．1 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9．下列说法错误的是（ ） A． B．若向量与共线，则存在唯一的实数使 C．若非零向量与相等，则B，C重合 D．若，则 10．函数，下列结论正确的有（ ） A．函数在上单调递增 B．函数的图象关于直线对称 C．若关于x的方程在上有两个不相等的实数根，则 D．函数的最大值为 11．中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，则下列说法正确的是（ ） A． B．若，则周长的最大值为3 C．若为锐角三角形，且，则c的取值范围为 D．若的外心为O，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知平面向量，，若，则________． 13．已知点，，点P在线段的延长线上，且，则点P的坐标为________． 14．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，，点P是的重心，且，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知，． （1）若，求与的夹角； （2）若，求的坐标． 16．（15分）已知向量，，，设函数； （1）求的最小正周期与单调递增区间； （2）对，不等式恒成立，求m的取值范围． 17．（15分）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，，且． （1）求角A的大小； （2）若，的面积为，线段的中点为D，求的长． 18．（17分）如图，在边长为1的正方形中，点P，Q分别在边，上． （1）若点P为边上的一个靠近点B的三等分点，且，求； （2）若的面积加1等于两条直角边之和，设， ①求的大小； ②求的最小值以及取得最小值时的值． 19．（17分）如图1所示，设，是平面内相交成（，）角的两条数轴，，分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量，则平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为． （1）在仿射坐标系下，，，若，则是否一定成立？请说明理由； （2）在仿射坐标系下，若，，且与的夹角为，求； （3）如图2，在仿射坐标系中，点B，C分别在两条数轴正半轴上（均与点O不重合），，，E，F分别为，的中点，求的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年高一下 数学参考答案与评分标准 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求) 题号 1 2 4 5 6 7 8 答案 0 B A B D B 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中有多项符合 题目要求.全部选对的得全部分，部分选对的得部分分，有错选的得0分) 题号 9 10 11 答案 ABD AD ABD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.1 13.(5,-6) 14.2V5或2W3 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15.命题说明： 题目来源：改编自教材必修二P36第9题 35 (1)记a与b的夹角为0，.cos0= ab 35-2'且0e(0,),(4分) 21 5 :0=行则ā与6的夹角为 3 .(5分) x2+y2=9 [x- x-35 (2)设d=(x,y),则 ,解得 5 或 (9分) 2 6V5 y= 6V y=- 5 因此a (13分) 16.命题说明： (2)(2,+0) 【详解】(1)f(x)=a·b=2 sinxcosx+V3-2V3cos2x1分 =sin 2x+3(1-2cos2x) =sin2x-V3cos2x2分 -22x -cos 2x 2 3分 4分 所以函数的最小正周期为T=2=元，5分 2 ∴令-+2km≤2x-Ts+2kπ(keZ),7分 2 3-2 解得-工+k红≤x 5π +kπ(k∈Z), 12 12 故/)=2sm2x-骨 的单调增区间为 元+k 12 5π+kr(keZ).9分 (2)对x∈ 5π 不等式f(x)=2sin2x- m<0恒成立， 3 等价于m>f(x)在 π5π 46 上恒成立，即m要大于f(x)在该区间的最大值，11分 x∈ π5π 46 2x- π4π 63 ππ π4π :y=sint在te 62 上单调递增，在 2’3 上单调递减，13分 当t=时，sint取得最大值，即2x-T=, 2 32 ∴.f(x)max=2×1=2, 故m的取值范围(2，+0).15分 17.【详解】(1)由m∥n,则2b-c=2 a cos C,2分 结合余弦定理可得2b-c=2a× b2+a2-c2b2+a2-c2 ,4分 2ab b 所以b2+a2-c2=2b2-bc,所以b2+c2-a2=bc,所以cosA= b2+c2-a21 2bc 2 又0<4<，所以4=子7分 2因为△4BC的积为华，所以，cs功 3v5 4 由(1)知A=买，所以bc=3,9分 3 又b2+c2-a2=bc,a=3,所以b2+c2=9+3=12,11分 因为D为线段BC的中点，所以D=B+4C),1B分 所以而-丽+2：c+c)Fe+2ce号+0月 =4e2+c+b)=402+3)= 15 所AD= 2 .15分 18.【小问1详解】 因为点P为靠近点B的三等分点， BP-写am∠PMB 1 51 因为∠PAQ-背所以am∠D0=am I-∠P1B=33-55-6.4分 V3113 1+ 一X 33 【小问2详解】 ①设CP=x,CQ=y, 由Rt△PCQ的面积加1等于两条直角边之和可待)y+1=x+,化简可得y=2x+)-2,8分 又tan∠PAB=1-x,tan∠QAD=1-y, 于是tan(∠PAB+∠QAD)=,ian∠PAB+an∠0AD=1-x+1-y 1-tan∠PAB.tan∠QAD1-(1-x)1-y) (x+川-[2(x+)-21,则∠PAB+∠QAD= 2-(x+y) 4 所以∠PAQ的大小为T.10分 4 4 所以|APAQ= 、,12分 cos0.cos 4 icos0-cos-0-co0 2 2 2 2cos'0+ 2 n0o0-9+5w0+9n0】 2 422 20+e] 当20+=， .啡0-号，cas9c任-0j]反最大242， 42 8 4 4 因此AP|AQ的最小值为 ==4-2√2,16分 2+√ |APAQ取最小值时O的集合为 17分 19.命题说明： 题目来源：素材选自教材必修二37页15题 解：(1)不一定成立.(1分) 若a1b,可得ā-6=(xg+y8(x,g+y,e)=xx,e+(y+x)ge+y,6, =xx2+yiy2+(x2y+x y2)ee2 而(x2y+x》2)e巴2不恒为零，因此xx2+2=0不一定成立.(4分) (2)由a=1,2),万=(2,1)，得a=g+2e,万=2e+e,且ee,=1x1×cos0=cos0, 所以a2=(+2e=g+4ee,+4e2=5+4cos0, 2 62=2g+e)=4g+4ee2+e=5+4cos0, 则=5=V5+4cos0,(6分) 故ā-万=(g+2e)2e+e)=2g+2e,+1x1+2×2)ee,=4+5cos0,(7分) 因为ā与6的夹角为写 心w工a-5+0解释cos0号阅09分》 则cos 小同 3 (3) a图在血相标0w卡，=0.6-(o号m引-日】 设0B=me=(m,0),0C=ne2 3 -1 m>0,n>0, 即在△OBC中，由余弦定理得m2+n2-mn=3,11分 E,F分别为BD,BC的中点， uoc-o0-g7小om远-+ oe-a+g+得号-书a+ +51分y 在△OBC中，由正弦定理BC= OB OC sinsin∠BCOsin∠CBo1 3 t∠8C0=8,则sn∠C0=sm0+引9e0 所以m=2sn0.n=2s如0+写到 2π 8m2+5n=32sin20+20sim0+]=32x1-cos2020x-co29 3 2 2 =2 =26+5V3sin20-11cos20=26+14sin(20-9月， 其中o为锐角，且tanp 11 5V3,15分) 因为9则p<20-p<- 当20-9=时，8m+5n取得最大值26+14字 则0E0Fa+51-号行0碧-岩7分y -76=76