精品解析：四川安岳中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题

安岳中学高2023级第二学期半期考试 数 学 试 题 考试时间120分钟；满分：150分； 一、单选题（共8小题，共计40分.） 1. 已知向量，，则的充要条件是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由垂直的坐标表示计算后可得． 【详解】，． 故选：D． 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】使用诱导公式及逆用余弦的差角公式进行求解. 【详解】． 故选：D． 3. 如图所示，一个水平放置的四边形OABC的斜二测画法的直观图是边长为2的正方形，则原四边形的面积是（ ） A. B. C. 16 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据斜二测画法规则求出，判断的形状，确定，由此求出原四边形的面积. 【详解】在正方形中可得， 由斜二测画法可知，， 且，， 所以四边形为平行四边形， 所以． 故选：B. 4. 已知复数z满足（其中为虚数单位），则复数z在复平面上对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数模的运算及除法运算化简复数，然后利用复数的几何意义判断即可. 【详解】因为，所以，所以， 复数z在复平面上对应的点为，位于第四象限. 故选：D. 5. 在中，已知，且，则是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】由两边平方得，由化简得，得为等腰直角三角形. 【详解】由得，所以，所以，所以为直角三角形； 由得， 所以 ，所以， 即，因为，所以，所以为等腰三角形； 综上，为等腰直角三角形. 故选：C 6. 记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，b=2，，则c=（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由正弦定理边角互化可求得，结合面积公式即可求得. 【详解】因为，由正弦定理可得，即，因为， 所以，即，结合△ABC的面积为可知， 解得. 故选：B. 7. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 直线是图象的一条对称轴 B. 图象的对称中心为， C. 在区间上单调递增 D. 将的图象向左平移个单位长度后，可得到一个奇函数的图象 【答案】C 【解析】 【分析】由已知图象求得函数解析式，将代入解析式，由其结果判断A;求出函数的对称中心可判断B; 当时，，结合正弦函数的单调性判断C;根据三角函数图象的平移变换可得平移后函数解析式，判断D. 【详解】由函数图象可知，,最小正周期为 ， 所以 ， 将点代入函数解析式中，得：，结合， 所以，故， 对于A，当时，，故直线不是图象的一条对称轴，A错误; 对于B，令，则， 即图象的对称中心为，，故B错误； 对于C，当时，，由于正弦函数在上递增， 故在区间上单调递增，故C正确； 对于D，将的图象向左平移个单位长度后，得到的图象，该函数不是奇函数，故D错误； 故选：C 8. 十字测天仪广泛应用于欧洲中世纪晚期的航海领域，主要用于测量太阳等星体的方位，便于船员确定位置，如图1所示，十字测天仪由杆和横档构成，并且E是的中点，横档与杆垂直并且可在杆上滑动，十字测天仪的使用方法如下：如图2，手持十字测天仪，使得眼睛可以从A点观察，滑动横档使得A，C在同一水平面上，并且眼睛恰好能观察到太阳，此时视线恰好经过点D，的影子恰好是.然后，通过测量的长度，可计算出视线和水平面的夹角（称为太阳高度角），最后通过查阅地图来确定船员所在的位置. 若在一次测量中，，横档的长度为30，则太阳高度角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意推得垂直平分，可得，于是解直角三角形可得的值，由二倍角正弦公式即可求得答案. 【详解】由题意知垂直平分，故， 在中，，则, 则， 而，故， 即太阳高度角的正弦值为， 故选：B 二、多选题（共4小题，共计20分） 9. 下列说法中，正确的是（ ） A. 棱柱中每一个面都不会是三角形 B. 各个侧面都是正方形的四棱柱不一定是正方体 C. 经过圆锥的两条母线的截面一定是一个等腰三角形 D. 用斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图时，菱形的直观图还是菱形 【答案】BC 【解析】 【分析】ABD可举出反例；C选项，圆锥的两条母线相等，C正确. 【详解】A选项，三棱柱的上底面和下底面是三角形，A错误； B选项，各个侧面都是正方形，若上下底面是菱形，则这样的四棱柱不一定是正方体，B正确； C选项，圆锥的两条母线相等，故经过圆锥的两条母线的截面一定是一个等腰三角形，C正确； D选项，用斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图时，菱形的直观图不一定是菱形，如图所示， 正方形的直观图不是菱形， 故D错误. 故选：BC 10. 在复平面内，下列说法正确的是（ ） A. 若复数（i为虚数单位），则 B. 若复数z满足，则 C. 若复数，则z为纯虚数的充要条件是 D. 若复数z满足，则复数z对应点的集合是以原点O为圆心，以1为半径的圆 【答案】AD 【解析】 【分析】 根据复数的运算及相关概念一一判断可得； 【详解】解：对于A：，，，所以，故A正确； 对于B：设，，所以，若，则，则或或，当时，故B错误； 复数，则z为纯虚数的充要条件是且，故C错误； 若复数z满足，则复数z对应点的集合是以原点O为圆心，以1为半径的圆，故D正确； 故选：AD 【点睛】本题考查复数的运算及相关概念的理解，属于基础题. 11. 在中，角所对的边分别为，以下结论中正确的有（ ） A. 若 ，则 ； B. 若，则一定为等腰三角形； C. 若，则为直角三角形； D. 若为锐角三角形，则 . 【答案】AC 【解析】 【分析】结合三角形的性质、三角函数的性质及正弦定理，对四个选项逐个分析可选出答案. 【详解】对于A，由正弦定理，所以由，可推出，则，即A正确； 对于B，取，则，而不是等腰三角形，即B错误； 对于C，， 则，由正弦定理可得，故为直角三角形，即C正确； 对于D，若锐角三角形，取，此时，即，故D错误. 故选：AC. 【点睛】本题考查真假命题的判断，考查三角函数、解三角形知识，考查学生推理能力与计算求解能力，属于中档题. 12. 下列结论正确的是（ ） A. 点在所在的平面内，若，则点为的重心 B. 若，为锐角，则实数m的取值范围是 C. 点在所在的平面内，若，，分别表示，的面积，则 D. 点在所在的平面内，满足且，则点是且的内心 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A:设边上的中点为，证明点在边的中线上即可；对于B:利用为锐角，得到,且不共线，计算即可；对于选项C: 由，，设的中点为，设的中点为，可判断三点共线，进而可得面积关系；对于选项D:利用数量积公式可得，，进而得到点是且的内心. 【详解】对于选项A：设边上的中点为,则易得, 因为，所以, 所以，又点为公共点， 所以三点共线，即点在边的中线上， 同理可得点也在两边的中线上， 所以点为的重心，故A正确； 对于选项B:因为， 所以 因为为锐角，所以,且不共线， 所以，解得且，故选项B错误； 对于选项C: 因为，所以， 如图，设的中点为，设的中点为， 则,所以， 又点为公共点，所以三点共线，且， 所以,又， 所以，故C正确； 对于选项D:由，可得 即， 由，所以， 所以是的角平分线， 由，可得, 即， 由，所以， 所以是的角平分线， 所以点是且的内心，故选项D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：应用向量的坐标表示及夹角的坐标公式，数形结合法求参数或最值，利用向量的线性关系确定的位置，进而判断面积关系或哪种心. 三、填空题（每小题5分，共计20分） 13. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】 本题可通过三角恒等变换将转化为，然后代入进行计算即可得出结果. 【详解】因为， 所以， 故答案为：. 14. 如图，在边长为2的正方形ABCD中，其对称中心O平分线段MN，且，点E为DC的中点，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用平面向量线性运算、数量积运算求得正确答案. 【详解】由题可知， 所以 . 故答案为： 15. 如图，圆锥的底面圆直径AB为2，母线长SA为4，若小虫P从点A开始绕着圆锥表面爬行一圈到SA的中点C，则小虫爬行的最短距离为________． 【答案】2. 【解析】 【详解】 【分析】分析：要求小虫爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果． 详解： 由题意知底面圆的直径AB＝2， 故底面周长等于2π. 设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n°， 根据底面周长等于展开后扇形的弧长得2π＝， 解得n＝90， 所以展开图中∠PSC＝90°， 根据勾股定理求得PC＝2， 所以小虫爬行的最短距离为2. 故答案为2 点睛：圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决． 16. 在中，若，点为边的中点，，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据数量积的运算化简可得，再设，结合三角形中的余弦定理，根据基本不等式求解即可 【详解】，因为为边的中点，，故，故求的最大值.设，，则由余弦定理，，，因为，故，即，又，故，即，此时，故，当且仅当时取等号.即的最小值为 故答案为： 四、解答题（共计70分） 17. 如图，正方体的棱长为，连接，，，，，，得到一个三棱锥．求： （1）三棱锥的表面积； （2）三棱锥的体积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接按照锥体表面积计算即可； （2）利用正方体的体积减去三棱锥，，，的体积即可. 【小问1详解】 ∵是正方体， ∴， ∴三棱锥的表面积为． 【小问2详解】 三棱锥，，，是完全一样的． 且正方体的体积为，故． 18. 在平面四边形中，，，． （1）若的面积为，求； （2）记，若，，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角形的面积公式可求得，然后利用余弦定理可求得的长； （2）求得，，在中利用正弦定理可得出关于的等式，即可解得的值. 【小问1详解】 解：，解得， 由余弦定理得，因此，. 【小问2详解】 解：在中，， 在中，， 由正弦定理得，即， 所以，，即，故. 19. 已知函数（其中）的最大值为2，最小正周期为． （1）求函数f（x）的单调递减区间和对称轴方程； （2）求函数f（x）在上的值域． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）先求出，再求出，得到，然后利用定义求出单调性和对称轴方程即可 （2）根据，得出，然后就可以根据，得出函数在上的值域 【详解】解：（1）函数的最大值是2， ， 函数的周期， 则， 则， 由， 得， 即， 即函数的单调递减区间是， 由， 得， 即， 即函数的对称轴方程为； （2）， ，， 则当时，函数取得最大值为， 当时，函数取得最小值为， 即函数在上的值域为． 【点睛】本题考查三角函数的函数性质，解题关键点在于求出的与，属于简单题 20. 在直角梯形中，//. （1）求； （2）若与共线，求的值； （3）若为边上的动点（不包括端点），求的最小值. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）以为坐标原点，建立平面直角坐标系，写出各点坐标，求得的坐标，利用数量积的坐标运算即可求得结果； （2）根据（1）中所求点的坐标，写出与的坐标，根据向量共线的坐标表示，即可求得参数值； （3）设，求出点的坐标，再求得关于的函数关系，进而求得函数的最小值即可求得结果. 【小问1详解】 过作，易知，又，故可得； 以为坐标原点，建立平面直角坐标系，如下所示： 则，， 故. 【小问2详解】 由（1）可知，， 故， 若与共线，则，解得. 【小问3详解】 设，则，易知， 则 则， 对，其对称轴，故其最小只能为； 故的最小值为. 21. 已知向量，，. （1）若，求的值； （2）记，若对于任意，恒成立，求实数的最小值. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）由，得到，求得，即可得到的值； （2）根据题意，化简得到，由，得到，结合对于任意， 恒成立，即，即可求解. 【小问1详解】 解：由向量，， 因为，可得，整理得， 即，又因为，则. 【小问2详解】 解：由 ， 因为，则，所以， 因为对于任意，而恒成立， 则，所以实数的最小值为. 22. 在锐角中，角的对边分别为，S为的面积，且． （1）求的值； （2）求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角形面积公式及余弦定理可得，然后利用同角关系式即得； （2）利用正弦定理及三角恒等变换可得，结合条件可得，进而即得范围，最后换元应用单调性可解. 【小问1详解】 ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∴， ∴（舍），. 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴ ∵为锐角三角形， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 令， 单调递减，单调递增， 当，当， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安岳中学高2023级第二学期半期考试 数 学 试 题 考试时间120分钟；满分：150分； 一、单选题（共8小题，共计40分.） 1. 已知向量，，则的充要条件是（　　） A. B. C. D. 2. （ ） A. B. C. D. 3. 如图所示，一个水平放置的四边形OABC的斜二测画法的直观图是边长为2的正方形，则原四边形的面积是（ ） A. B. C. 16 D. 8 4. 已知复数z满足（其中为虚数单位），则复数z在复平面上对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 在中，已知，且，则是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 6. 记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，b=2，，则c=（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 直线是图象的一条对称轴 B. 图象的对称中心为， C. 在区间上单调递增 D. 将的图象向左平移个单位长度后，可得到一个奇函数的图象 8. 十字测天仪广泛应用于欧洲中世纪晚期的航海领域，主要用于测量太阳等星体的方位，便于船员确定位置，如图1所示，十字测天仪由杆和横档构成，并且E是的中点，横档与杆垂直并且可在杆上滑动，十字测天仪的使用方法如下：如图2，手持十字测天仪，使得眼睛可以从A点观察，滑动横档使得A，C在同一水平面上，并且眼睛恰好能观察到太阳，此时视线恰好经过点D，的影子恰好是.然后，通过测量的长度，可计算出视线和水平面的夹角（称为太阳高度角），最后通过查阅地图来确定船员所在的位置. 若在一次测量中，，横档的长度为30，则太阳高度角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共4小题，共计20分） 9. 下列说法中，正确的是（ ） A. 棱柱中每一个面都不会是三角形 B. 各个侧面都是正方形的四棱柱不一定是正方体 C. 经过圆锥的两条母线的截面一定是一个等腰三角形 D. 用斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图时，菱形的直观图还是菱形 10. 在复平面内，下列说法正确的是（ ） A. 若复数（i为虚数单位），则 B. 若复数z满足，则 C. 若复数，则z为纯虚数的充要条件是 D. 若复数z满足，则复数z对应点的集合是以原点O为圆心，以1为半径的圆 11. 在中，角所对的边分别为，以下结论中正确的有（ ） A. 若 ，则 ； B. 若，则一定为等腰三角形； C. 若，则为直角三角形； D. 若为锐角三角形，则 . 12. 下列结论正确的是（ ） A. 点在所在的平面内，若，则点为的重心 B. 若，为锐角，则实数m的取值范围是 C. 点在所在的平面内，若，，分别表示，的面积，则 D. 点在所在的平面内，满足且，则点是且的内心 三、填空题（每小题5分，共计20分） 13. 已知，则______． 14. 如图，在边长为2的正方形ABCD中，其对称中心O平分线段MN，且，点E为DC的中点，则______. 15. 如图，圆锥的底面圆直径AB为2，母线长SA为4，若小虫P从点A开始绕着圆锥表面爬行一圈到SA的中点C，则小虫爬行的最短距离为________． 16. 在中，若，点为边的中点，，则的最小值为______. 四、解答题（共计70分） 17. 如图，正方体的棱长为，连接，，，，，，得到一个三棱锥．求： （1）三棱锥的表面积； （2）三棱锥的体积． 18. 在平面四边形中，，，． （1）若的面积为，求； （2）记，若，，求． 19. 已知函数（其中）的最大值为2，最小正周期为． （1）求函数f（x）的单调递减区间和对称轴方程； （2）求函数f（x）在上的值域． 20. 在直角梯形中，//. （1）求； （2）若与共线，求的值； （3）若为边上的动点（不包括端点），求的最小值. 21. 已知向量，，. （1）若，求的值； （2）记，若对于任意，恒成立，求实数的最小值. 22. 在锐角中，角的对边分别为，S为的面积，且． （1）求的值； （2）求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $