专题 6.3 用关系式法表示变量的关系（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2025-2026学年北师大版七年级数学下册基础知识专项突破讲练

本讲义聚焦“用关系式法表示变量的关系”核心知识点，先衔接表格法表示变量关系，系统梳理关系式定义、写法规则（因变量左、自变量右，简化式子，实际问题取值范围）及优缺点，通过6类题型构建从概念到应用的学习支架。 以数学眼光、思维、语言为导向，融合生活实际（如购物优惠、油箱油量）和几何图形（如长方形周长）题型，培养模型意识与应用意识。同步检测分层设计，课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺，提升运算与推理能力。

专题 6.3 用关系式法表示变量的关系（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识一】表格法表示变量关系 1 【知识二】关系式写法规则 1 【知识三】关系式法优缺点 2 【题型 1】写出简单变量关系式 2 【题型 2】利用关系式代入求值（已知自变量求因变量） 2 【题型 3】已知关系式因变量求自变量 3 【题型 4】生活实际列关系式 4 【题型 5】几何图形列关系式 4 【题型 6】利用关系式判断变化规律 5 二.同步检测 6 （一）选择题（本大题共8个小题,每小题4分,共32分,） 6 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 8 （三）解答题（本大题共4小题，共32分） 9 一.知识梳理与基础题型精析 【知识一】表格法表示变量关系 用含有自变量的代数式来表示因变量的式子叫做关系式，也叫函数解析式。 自变量：常用含的量来表示；因变量：常用含的代数式表示随自变量变化而变化的量；常量：式子中固定不变的数。 【知识二】关系式写法规则 1、因变量单独写在等号左边，自变量式子放右边；2、简化式子，去掉多余括号、合并同类项 3、实际问题要写自变量取值范围（正数、整数、非负数等） 【知识三】关系式法优缺点 优点：简洁通用，可计算任意自变量对应的因变量，规律完整； 缺点：无法直接一眼看出变化趋势，不能直观读出所有对应数据。 【题型 1】写出简单变量关系式 【例题1】（25-26八年级下·河北衡水·期中）小明周末从家骑车去图书馆看书，家距图书馆，骑车的平均速度为，小时后小明距图书馆，则与之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级下·黑龙江大庆·期中）一个长方形的周长是10，一边长是，则它的另一条边长与的关系式是________．（不需要写出自变量的取值范围）． 【变式2】（24-25七年级下·河南驻马店·期中）在端午节即将来临之际，某商场搞优惠促销活动，其活动内容：“凡在本商场一次性购买粽子超过100元者，超过100元的部分按6折优惠”．在此活动中，方方到该商场一次性购买单价为80元的粽子礼盒，应付款y（元）与商品件数x（件）之间的关系式是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）水箱中原有水，漏水速度为，水箱中剩余的水量（单位：）随时间t（单位：）的变化而变化，写出表示关于t的函数解析式______． 【题型 2】利用关系式代入求值（已知自变量求因变量） 【例题2】（24-25七年级下·陕西西安·期中）自行车的链条是由每节链条连接在一起的，组合成的链条总长度随着链条的节数（节）的变化而变化，当链条的节数大于1节时，与之间的关系式可以用如图的关系式来表示． （1）在这个关系式中，因变量、常量分别是什么？ （2）当的值分别为5，8，20时，计算相应的值． 【变式1】（24-25七年级下·四川成都·期末）一种食品的总售价y（元）与售出食品的质量x（千克）之间的关系如下表： 售出食品质量x（千克） 0 0.5 1 1.5 2 4 总售价y（元） 0 2.5 5 7.5 10 20 若购买这样的食品5千克，需要（    ）元 A．15 B．22.5 C．25 D．27.5 【变式2】（24-25七年级下·全国·单元测试）根据如图所示的流程图计算变量y的对应值，若输入变量x的值为1，则输出的结果为（   ） A．2 B． C．1 D． 【变式3】（24-25七年级下·河南开封·期末）某小型加工厂2020年的年产值是15万元，计划以后每年增加2万元． （1）写出年产值（万元）与经过的年数之间的关系式： （2）填写表格中的对应值： 年数 0 1 2 3 4 5 …… （万元） 15 …… （3）求5年后的年产值． 【题型 3】已知关系式因变量求自变量 【例题3】（24-25七年级下·陕西西安·期末）一棵树高与生长时间（年）之间满足一定的关系，请你根据下表中的数据写出与（年）之间的关系式：__________． 年 1 2 4 6 8 … … 【变式1】（24-25七年级下·江西上饶·期中）汽车行驶时，油箱中的剩余油量与行驶时间的关系为，从关系式可知这辆汽车加满油后最多可行驶______h． 【变式2】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）在中，当时，_____． 【变式3】（25-26七年级上·山东临沂·开学考试）在泰盛广场，乐乐逛鞋店时发现鞋的尺码通常用“码”或“厘米”作单位，它们之间的换算关系是：（y表示码数，x表示厘米数），则的鞋换算后是______码． 【题型 4】生活实际列关系式 【例题4】（24-25七年级下·四川达州·期中）飞机飞行时距离地面的高度和相应高度处的气温有密切的联系．下面表格是飞机当日距离地面的高度（千米）与相应高度处的气温的关系： 海拔高度h（千米） 0 1 2 3 4 5 气温 20 14 8 2 根据上表，回答以下问题： （1）由上表可知距离地面的高度5千米的上空气温为_______； （2）求当日飞机飞行时的气温t与距离地面的高度h之间的关系式． 【变式1】（25-26八年级下·湖南长沙·期中）汽车油箱中有汽油，如果不再加油，那么油箱中剩余的油量（单位：）随行驶路程（单位：）的增加而减少．已知该汽车平均每千米耗油．当时，与的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26七年级上·广东惠州·期中）把一瓶果汁平均分成若干杯，分的杯数和每杯的果汁量如表． 分的杯数/杯 6 5 4 每杯的果汁量/ 100 120 150 （1）如果把这瓶果汁平均分成3杯，每杯的果汁量是多少？ （2）用表示分的杯数，用表示每杯的果汁量，用式子表示与的关系．与成什么比例关系？ 【题型 5】几何图形列关系式 【例题5】（25-26八年级下·山东聊城·期中）如图①，一种圆环的外圆直径是，环宽．如图②，把个这样的圆环扣在一起并拉紧，如图③，把个这样的圆环扣在一起并拉紧，其长度为，则与之间的关系式是___________． 【变式1】（24-25六年级下·山东威海·期末）如图，在长方形中，，，点是边上的动点（不与点重合），点是边上任意一点．点从点向点以的速度运动．则的面积与点的运动时间间的表达式为（   ） A． B． C． D．因点Q的位置不确定，故无法求出表达式 【变式2】（25-26七年级上·湖北武汉·期中）如图，在长方形中，，，是边上一动点，，垂足为，，，与的关系式为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25七年级下·云南文山·期末）李奶奶要围成一个矩形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边总长度恰好为36米．要围成的菜园是如图所示的长方形．设边的长为米，边的长为米，则与之间的关系式为__________． 【题型 6】利用关系式判断变化规律 【例题6】（24-25七年级下·江西抚州·期末）黑白棋子按如图所示的规律排列，观察图形，完成填空． （1）第6行白棋子有______个，黑棋子有______个． （2）第n行黑白棋子共有y个，则y与n的关系式为______． 【变式1】（24-25七年级下·江西景德镇·期末）用同样大小的黑色棋子按如图所示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第n个图形的棋子数______（用含n的式子表示），其中变量是______，常量是______． 【变式2】（2024·山东济宁·三模）如图所示，用棋子摆成“T”字形，按照图①，图②，图③的规律摆下去，若摆成第n个“T”字形需要m颗棋子，则m关于n的关系式是________． 二.同步检测 （一）选择题（本大题共8个小题,每小题4分,共32分,） 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）水池蓄水500立方米，每小时放水2立方米，t小时后，水池中的水Q（立方米）与t（小时）的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 2．（21-22八年级上·广西梧州·期末）某齿轮每分钟转120转，如果n表示总转数，t表示转动时间（分钟），那么n与t的关系，正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·河北石家庄·一模）古代数学著作《九章算术》中记载“盈不足术”问题：今有人共买物，人出八、盈三；人出七、不足四，问人数、物价各几何？意思是：几个人一起去买某物品，如果每人出8钱，则多3钱；如果每人出7钱，则少4钱．设人数为x，物价为y钱，则下列方程错误的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·河北秦皇岛·月考）电解水是一个重要的化学反应，可以生成氢气和氧气，且生成的氧气体积是氢气体积的函数，下表是一组实验数据，根据表中数据，y与x之间的函数关系式为（    ） 氢气的体积 1 2 3 10 氧气的体积 0.5 1 1.5 5 A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·湖南岳阳·月考）汨罗是“中国循环经济试点城市”，某再生资源企业处理废铝，进价为每吨万元，售价为每吨万元，每天可处理20吨．若每吨降价万元，每天可多处理5吨，设每吨降价万元，每天获利万元，则与的关系式为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）在学习地理时，我们知道：“海拔越高，气温越低”，下表是海拔高度与此高度处的气温之间的关系： 海拔高度 0 1 2 3 4 5 … 气温 20 14 8 2 … 下列说法错误的是（   ） A．海拔高度为自变量，气温为因变量 B．在一定范围内，海拔高度每增加，气温就下降 C．在一定范围内，气温t与海拔高度h之间的关系式为 D．当海拔高度为时，此高度处的气温是零下 7．（24-25六年级下·山东烟台·期末）汽车油箱中有汽油．如果不再加油，那么油箱中的油量（单位：）随行驶路程（单位：）的增加而减少，平均耗油量为．当时，与的表达式为（        ） A． B．y C． D． 8．（24-25八年级下·山东德州·期末）弹挂上物体后伸长，已知一弹的长度（）与所挂物体的质（）之间的关系如表：下列说法错误的是（    ） 物体的质量（） 0 1 2 3 4 5 弹簧的长度（） 10 12.5 15 17.5 20 22.5 A．在没挂物体时，弹簧的长度为． B．弹簧的长度随物体的质量的变化而变化，弹簧的长度是自变量，物体的质量是弹簧的长度的函数 C．在弹簧能承受的范围内，所挂物体的质量每增加，弹簧的长度就增加 D．在弹簧能承受的范围内，当物体的质量为时，弹簧的长度为 （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 9．（25-26八年级下·全国·课后作业）将一根长为的铁丝制作成一个长方形，则这个长方形的长y（）与宽x（）之间的关系式为________． 10．（24-25七年级下·山东济南·期末）如图，线段是底边上的高，，，动点P从点B出发，沿的方向运动至点C处停止．设的长为，的面积为，则与之间的关系式为_______． 11．（25-26七年级下·全国·周测）一辆汽车油箱内有56L油，从某地出发，每行驶耗油0.08L．如果设油箱内剩余油量为（单位：L），行驶路程为（单位：），那么与之间的关系式为____________． 12．（25-26八年级上·广东深圳·期末）深圳市出租车白天的收费起步价为10元（即路程不超过2公里时收费10元），超过部分每公里收费2.7元．如果乘客白天乘坐出租车的路程公里，乘车费为y元，那么y与x之间的关系式为______． 13．（2026·海南海口·一模）如图所示，某品牌的自行车链条每节长为，每两节链条连接时，重叠部分的圆直径为，按照这种连接方式，n节链条的总长度为，则y与n之间的关系式为_________． 14．（24-25七年级下·山西运城·期中）运城市某超市购进了一批新品种鸭梨，出售时销售量与销售总价的关系如下表： 销售量 1 2 3 4 5 … 销售总价（元） 6 9 … 请根据上表中的数据写出销售总价（元）与销售量之间的关系式：________． 15．（24-25七年级下·陕西西安·月考）七年级16班学生准备以班为单位购买一种兴趣书，书店推出一种优惠方案：若购买数量超过30本，则超出部分按单价的八折出售，16班同学购买单价为15元的兴趣书本，则应付款与购买数量的关系式为________． 16．（24-25七年级下·四川·期末）我们可以根据如图的程序计算因变量的值．若输入的自变量的值是2和时，输出的因变量的值相等，则的值为______．    （三）解答题（本大题共4小题，共32分） 17．（25-26七年级上·安徽阜阳·期中）某工厂要加工600件毛绒玩具，每小时加工的件数与加工的时间如表： 每小时加工件数（件） 60 50 40 … 加工时间（小时） 10 12 20 … （1）填空：_____，_____； （2）加工时间是怎样随着每小时加工件数的变化而变化的？ （3）用表示每小时加工毛绒玩具的件数，用表示加工时间，用式子表示与之间的关系，与成什么比例关系？ 18．（25-26七年级上·山东聊城·期中）如图所示，梯形的上底长是5厘米，下底长是13厘米，当梯形的高由大变小，梯形的面积也随之发生变化． （1）在这个变化过程中，变量是_________，常量是_________． （2）请直接写出梯形的面积（厘米2）与高（厘米）之间的关系式． （3）当梯形的高由8厘米变化到2厘米时，梯形的面积变化情况． 19．（25-26七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）某次茶艺比赛中指定使用的饮水机工作流程为：先将的饮用水加热到，然后马上停止加热，水温开始下降．已知整个过程中水温与通电时间的关系如下表所示： 0 1 2 3 4 8 10 20 … 20 40 60 m 100 50 40 20 … （1）在水温下降过程中，x与y满足某种比例关系，这种比例关系是 比例关系；用式子表示x与y之间的这种关系为 ． （2）比赛组织方要求，参赛选手必须把组织方提供的的饮用水用该款饮水机加热到，然后降温到方可使用．求从饮水机加热开始到可以使用需要等待多长时间？ 20．（25-26八年级上·河南平顶山·期末）加密技术是保障数据安全的一种方式，常常被用于军事通信，移位加密技术是其中一种简单且有效的方法，移位是一种通过将文本中的字或者字母移动一定数量的位置来加密信息的技术．现有如下的移位法则：把A~Z每个字母按顺序前移3位，A，B，C三个字母依次对应X，Y，Z，以此来实现对信息的加密，如将“ARMY”加密成“XOJV”传递． （1）按照上述的移位法则，“STOP”加密后的信息是“ ”，如果收到的加密后的信息是“ANY”，那么该信息在加密前是“ ”； （2）如果将字母A~Z依次赋值1~26，设加密前的数值为自变量，加密后对应的函数值为，那么，当，且为整数时，与的关系式是 ；当，且为整数时，与的关系式是 ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 6.3 用关系式法表示变量的关系（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识一】表格法表示变量关系 1 【知识二】关系式写法规则 1 【知识三】关系式法优缺点 2 【题型 1】写出简单变量关系式 2 【题型 2】利用关系式代入求值（已知自变量求因变量） 3 【题型 3】已知关系式因变量求自变量 5 【题型 4】生活实际列关系式 7 【题型 5】几何图形列关系式 9 【题型 6】利用关系式判断变化规律 11 二.同步检测 13 （一）选择题（本大题共8个小题,每小题4分,共32分,） 13 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 18 （三）解答题（本大题共4小题，共32分） 21 一.知识梳理与基础题型精析 【知识一】表格法表示变量关系 用含有自变量的代数式来表示因变量的式子叫做关系式，也叫函数解析式。 自变量：常用含的量来表示；因变量：常用含的代数式表示随自变量变化而变化的量；常量：式子中固定不变的数。 【知识二】关系式写法规则 1、因变量单独写在等号左边，自变量式子放右边；2、简化式子，去掉多余括号、合并同类项 3、实际问题要写自变量取值范围（正数、整数、非负数等） 【知识三】关系式法优缺点 优点：简洁通用，可计算任意自变量对应的因变量，规律完整； 缺点：无法直接一眼看出变化趋势，不能直观读出所有对应数据。 【题型 1】写出简单变量关系式 【例题1】（25-26八年级下·河北衡水·期中）小明周末从家骑车去图书馆看书，家距图书馆，骑车的平均速度为，小时后小明距图书馆，则与之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 解：∵骑车的平均速度为， ∴行驶的路程为， ∵小明距图书馆的路程等于家到图书馆的总路程减去已经骑行的路程， ∴，即． 【变式1】（25-26八年级下·黑龙江大庆·期中）一个长方形的周长是10，一边长是，则它的另一条边长与的关系式是________．（不需要写出自变量的取值范围）． 【答案】 【分析】利用长方形周长公式列出等式，再整理变形即可得到y与x的关系式． 解：根据长方形周长公式可得：， 等式两边同时除以得：， 移项得：． 【变式2】（24-25七年级下·河南驻马店·期中）在端午节即将来临之际，某商场搞优惠促销活动，其活动内容：“凡在本商场一次性购买粽子超过100元者，超过100元的部分按6折优惠”．在此活动中，方方到该商场一次性购买单价为80元的粽子礼盒，应付款y（元）与商品件数x（件）之间的关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知表示出买件礼盒超过100元部分的应付款，然后加上100元，即可得到总应付款，据此列式解答． 解：∵凡在本商场一次性购买粽子超过100元者，超过100元的部分按6折优惠，方方到该商场一次性购买单价为80元的粽子礼盒件， ∴方方应付款y（元）与商品件数x（件）之间的关系式是：． 【变式3】（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）水箱中原有水，漏水速度为，水箱中剩余的水量（单位：）随时间t（单位：）的变化而变化，写出表示关于t的函数解析式______． 【答案】 【分析】根据水箱中的剩余水量等于初始水量减去小时的漏水量列出关系式即可． 解：∵水箱中的剩余水量等于初始水量减去小时的漏水量， ∴， 由题意可得：，， ∴， 解得, ∴． 【题型 2】利用关系式代入求值（已知自变量求因变量） 【例题2】（24-25七年级下·陕西西安·期中）自行车的链条是由每节链条连接在一起的，组合成的链条总长度随着链条的节数（节）的变化而变化，当链条的节数大于1节时，与之间的关系式可以用如图的关系式来表示． （1）在这个关系式中，因变量、常量分别是什么？ （2）当的值分别为5，8，20时，计算相应的值． 【答案】（1）因变量是总长度，常量是和；（2）当时，；当时，；当时， 【分析】（1）根据函数的定义，即可求解； （2）当的值分别为5，8，20时，分别代入关系式，即可求解． 解：（1）解：因变量是总长度，常量是和； （2）当时，； 当时，； 当时，． 【点拨】本题考查函数的定义，求函数值，掌握函数的定义是解题的关键． 【变式1】（24-25七年级下·四川成都·期末）一种食品的总售价y（元）与售出食品的质量x（千克）之间的关系如下表： 售出食品质量x（千克） 0 0.5 1 1.5 2 4 总售价y（元） 0 2.5 5 7.5 10 20 若购买这样的食品5千克，需要（    ）元 A．15 B．22.5 C．25 D．27.5 【答案】C 【分析】本题考查用关系式表示变量间的关系，解题的关键是通过表格数据得出关系式． 根据表格中的数据，得出关系式，代入变量的值计算即可． 解：根据表格数据，可得， ∴当时，， ∴购买这样的食品5千克，需要25元， 故选：． 【变式2】（24-25七年级下·全国·单元测试）根据如图所示的流程图计算变量y的对应值，若输入变量x的值为1，则输出的结果为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了用关系式表示变量间的关系，根据流程图把代入中进行求解即可． 解：∵， ∴当输入变量x的值为1时，输出的结果为， 故选：C． 【变式3】（24-25七年级下·河南开封·期末）某小型加工厂2020年的年产值是15万元，计划以后每年增加2万元． （1）写出年产值（万元）与经过的年数之间的关系式： （2）填写表格中的对应值： 年数 0 1 2 3 4 5 …… （万元） 15 …… （3）求5年后的年产值． 【答案】（1）y=2x+15；（2）见详解；（3）25万元． 【分析】（1）根据题意，直接写出即可； （2）分别求出当x=0、1、2、3、4、5时的y的值，然后填入表格； （3）把x=5代入关系式，计算求出y的值即可． 解：（1）根据题意，某小型加工厂2020年的年产值是15万元，计划以后每年增加2万元， ∴关系式为：y=2x+15； 故答案为：y=2x+15； （2）如图： （3）当x=5时， y=2×5+15=25， ∴5年后的年产值是25万元． 【点拨】本题主要考查变量之间的关系，比较简单，正确理解题意是关键． 【题型 3】已知关系式因变量求自变量 【例题3】（24-25七年级下·陕西西安·期末）一棵树高与生长时间（年）之间满足一定的关系，请你根据下表中的数据写出与（年）之间的关系式：__________． 年 1 2 4 6 8 … … 【答案】 【分析】本题考查了根据表格数据寻找变量间的关系，解题的关键是观察数据变化规律，通过计算差值确定两者的线性关系． 观察表格中n每增加一定年份时h的变化量，发现n每增加2年，h增加，即每年h增加；再结合时h的值，确定关系式中的常数项． 解：观察表格数据，当时，时，，相比时增加了时，，相比时增加了，即每2年增加，也就是每年增加． 由此可知h与n的关系为h等于每年增加的高度乘年数再加上初始高度． 当时，，符合数据时，，符合数据．​ 所以h与n之间的关系式为． 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级下·江西上饶·期中）汽车行驶时，油箱中的剩余油量与行驶时间的关系为，从关系式可知这辆汽车加满油后最多可行驶______h． 【答案】 【分析】本题考查了函数关系式，根据题意，得，则，解得，即可作答． 解：∵， ∴令时，则， ∴解得， 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）在中，当时，_____． 【答案】 【分析】本题考查用关系式表示两个变量的关系，熟练掌握用关系式表示两个变量的关系是解决问题的关键．将代入计算即可得到答案． 解：当时，， 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级上·山东临沂·开学考试）在泰盛广场，乐乐逛鞋店时发现鞋的尺码通常用“码”或“厘米”作单位，它们之间的换算关系是：（y表示码数，x表示厘米数），则的鞋换算后是______码． 【答案】40 【分析】本题主要考查了用关系式表示变量之间的关系，把代入即可得出答案． 解：把代入，得：（码） 故答案为：40 【题型 4】生活实际列关系式 【例题4】（24-25七年级下·四川达州·期中）飞机飞行时距离地面的高度和相应高度处的气温有密切的联系．下面表格是飞机当日距离地面的高度（千米）与相应高度处的气温的关系： 海拔高度h（千米） 0 1 2 3 4 5 气温 20 14 8 2 根据上表，回答以下问题： （1）由上表可知距离地面的高度5千米的上空气温为_______； （2）求当日飞机飞行时的气温t与距离地面的高度h之间的关系式． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由表格直接可得结果； （2）根据表格中气温随海拔高度的变化的规律得出答案． 解：（1）解：由表格得距离地面的高度5千米的上空气温为； （2）解：从表格中两个变量的变化对应值的变化规律可知，海拔高度每升高1千米，气温就减少， 所以当日飞机飞行时的气温t与距离地面的高度h之间的关系式为． 【变式1】（25-26八年级下·湖南长沙·期中）汽车油箱中有汽油，如果不再加油，那么油箱中剩余的油量（单位：）随行驶路程（单位：）的增加而减少．已知该汽车平均每千米耗油．当时，与的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 解：由题意得，与的函数关系式为． 【变式2】（25-26六年级下·山东济南·期中）小张准备乘出租车到距家超过的图书馆参观，出租车的收费标准如下： 里程数/km 收费/元 以内（含） 7.00 以外每增加1km 2.00 则小张应付车费y（元）与行驶里程数之间的关系式为______． 【答案】 【分析】根据出租车收费标准，总车费为以内的收费与以外超出部分收费的和，据此列代数式即可得到函数关系式． 解：由题意得，当时，超出的里程为， 因此应付车费， 故小张应付车费y（元）与行驶里程数之间的关系式为． 【变式3】（25-26七年级上·广东惠州·期中）把一瓶果汁平均分成若干杯，分的杯数和每杯的果汁量如表． 分的杯数/杯 6 5 4 每杯的果汁量/ 100 120 150 （1）如果把这瓶果汁平均分成3杯，每杯的果汁量是多少？ （2）用表示分的杯数，用表示每杯的果汁量，用式子表示与的关系．与成什么比例关系？ 【答案】（1）；（2），与成反比例关系 【分析】（）根据表格求出这瓶果汁的总量，再除以即可求解； （）根据果汁的总量不变求出与的关系，进而根据成反比例关系的定义即可求解； 本题考查了有理数除法的应用，列代数式，成反比例关系，理解题意是解题的关键． 解：（1）解：这瓶果汁共有， ∵， ∴如果把这瓶果汁平均分成3杯，每杯的果汁量是； （2）解：∵这瓶果汁共有， ∴，即， ∵与的乘积一定， ∴与成反比例关系． 【题型 5】几何图形列关系式 【例题5】（25-26八年级下·山东聊城·期中）如图①，一种圆环的外圆直径是，环宽．如图②，把个这样的圆环扣在一起并拉紧，如图③，把个这样的圆环扣在一起并拉紧，其长度为，则与之间的关系式是___________． 【答案】 【分析】先分析单个圆环、两个圆环扣在一起时的长度，找出每增加一个圆环长度的变化规律，再据此列出个圆环扣紧时总长度与的关系式． 解：∵单个圆环的外圆直径为，环宽为， ∴每增加一个圆环，长度增加， ∵个圆环扣在一起时，第一个圆环长度为，后面还有个圆环， ∴总长度， ∵， ∴． 【变式1】（24-25六年级下·山东威海·期末）如图，在长方形中，，，点是边上的动点（不与点重合），点是边上任意一点．点从点向点以的速度运动．则的面积与点的运动时间间的表达式为（   ） A． B． C． D．因点Q的位置不确定，故无法求出表达式 【答案】C 【分析】本题考查动点问题、求自变量与因变量的关系式，根据，用含的代数式表示出的底边的长即可得到答案． 解：由题意，， ∴ ∴ 故选C． 【变式2】（25-26七年级上·湖北武汉·期中）如图，在长方形中，，，是边上一动点，，垂足为，，，与的关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了用关系式表示变量之间的关系， 根据，再代入数值可得答案． 解：连接， 由题意可知， ∵， ∴， ∴， 即， ∴． 故选：D． 【变式3】（24-25七年级下·云南文山·期末）李奶奶要围成一个矩形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边总长度恰好为36米．要围成的菜园是如图所示的长方形．设边的长为米，边的长为米，则与之间的关系式为__________． 【答案】 【分析】本题考查了用关系式表示变量间的关系，根据用篱笆围成的另外三边总长度恰好为36米，设边的长为米，则，即可作答． 解：∵用篱笆围成的另外三边总长度恰好为36米，设边的长为米，边的长为米， ∴， ∴． 【题型 6】利用关系式判断变化规律 【例题6】（24-25七年级下·江西抚州·期末）黑白棋子按如图所示的规律排列，观察图形，完成填空． （1）第6行白棋子有______个，黑棋子有______个． （2）第n行黑白棋子共有y个，则y与n的关系式为______． 【答案】（1）6，11；（2） 【分析】（1）根据题干中黑白棋子的摆放规律，即可得到答案； （2）根据题干中黑白棋子的摆放数量，得到一般规律，即第行白棋子数量为，黑棋子的数量为，进而得到第n行黑白棋子的总数，即可得到答案． 解：（1）解：由黑白棋子的排列规律可知，白棋子每行比上一行多1个，黑棋子每行比上一行多2， 第6行白棋子有个，黑棋子有个， 故答案为：6，11； （2）解：由题意可知， 第一行白棋子数量为：1，黑棋子的数量为：1； 第二行白棋子数量为：2，黑棋子的数量为：， 第三行白棋子数量为：3，黑棋子的数量为：， 第四行白棋子数量为：4，黑棋子的数量为：， …… 第行白棋子数量为：，黑棋子的数量为：， 第n行黑白棋子共有， y与n的关系式为． 【点拨】本题考查了数字类规律探索，函数关系式，根据题意得出一般规律是解题关键． 【变式1】（24-25七年级下·江西景德镇·期末）用同样大小的黑色棋子按如图所示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第n个图形的棋子数______（用含n的式子表示），其中变量是______，常量是______． 【答案】 和 3和1 【分析】此题主要考查了常量与变量，规律型：数字变化类，正确得出棋子个数变化规律是解题关键． 解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加 （或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论． 解：第一个图需棋子 ； 第二个图需棋子； 第三个图需棋子； 第个图需棋子枚． 其中变量是，常量是 1 和3． 故答案为：． 【变式2】（2024·山东济宁·三模）如图所示，用棋子摆成“T”字形，按照图①，图②，图③的规律摆下去，若摆成第n个“T”字形需要m颗棋子，则m关于n的关系式是________． 【答案】m＝3n+2 【分析】观察图形，可以发现图形中棋子的变化规律：第n个图形所需棋子数量相比较第1个图形要增加（n-1）个3，从而可以求得关系式． 解：观察图形可得，图②需要棋子个数：5+3×1=8， 图③需要棋子个数：5+3×2=11， ∴第n个“T”字形需要棋子个数：5+3×（n-1）=3n+2， ∴m=3n+2． 故答案为：m=3n+2． 【点拨】本题考查了关系式表示变量间关系，观察图形，发现题目中棋子的变化规律是解题的关键． 二.同步检测 （一）选择题（本大题共8个小题,每小题4分,共32分,） 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）水池蓄水500立方米，每小时放水2立方米，t小时后，水池中的水Q（立方米）与t（小时）的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据剩余水量=原有水量-放出水量，推导与的函数关系式即可． 解：∵水池原有水量为500立方米，每小时放水2立方米， ∴t小时一共放出水量立方米， 剩余水量等于原有水量减去放出水量， 可得． 2．（21-22八年级上·广西梧州·期末）某齿轮每分钟转120转，如果n表示总转数，t表示转动时间（分钟），那么n与t的关系，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“总转数=每分钟转数×转动时间”，找出n与t的等量关系即可得到结果． 解：∵齿轮每分钟转120转，n表示总转数，t表示转动时间（单位：分钟）， ∴总转数=每分钟转数×转动时间， 即． 3．（2026·河北石家庄·一模）古代数学著作《九章算术》中记载“盈不足术”问题：今有人共买物，人出八、盈三；人出七、不足四，问人数、物价各几何？意思是：几个人一起去买某物品，如果每人出8钱，则多3钱；如果每人出7钱，则少4钱．设人数为x，物价为y钱，则下列方程错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列出函数关系式，一元一次方程的应用，根据题意列方程，根据如果每人出8钱，则多3钱；如果每人出7钱，则少4钱．设人数为x，物价为y钱，列方程即可． 解：∵如果每人出8钱，则多3钱；如果每人出7钱，则少4钱．设人数为x，物价为y钱， ∴，， 故A，B选项正确，不符合题意； 则， 整理得 故D选项不正确，符合题意； ∵人数不变， ∴， 故C选项正确，不符合题意； 4．（25-26八年级下·河北秦皇岛·月考）电解水是一个重要的化学反应，可以生成氢气和氧气，且生成的氧气体积是氢气体积的函数，下表是一组实验数据，根据表中数据，y与x之间的函数关系式为（    ） 氢气的体积 1 2 3 10 氧气的体积 0.5 1 1.5 5 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题根据表格给出的对应数据，探究y与x的数量关系，即可确定函数关系式． 解：对表格中每组对应数据计算可得：，，，， ∴所有数据均满足，整理得． 5．（25-26七年级上·湖南岳阳·月考）汨罗是“中国循环经济试点城市”，某再生资源企业处理废铝，进价为每吨万元，售价为每吨万元，每天可处理20吨．若每吨降价万元，每天可多处理5吨，设每吨降价万元，每天获利万元，则与的关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据题意列关系式． 根据利润计算公式，每天获利y等于每吨利润乘以每天处理吨数．每吨降价x万元后，每吨利润为万元，每天处理吨数为吨，因此y与x的关系式为． 解：∵每吨降价x万元， ∴售价为万元， ∵进价为万元， ∴每吨利润为万元， ∵每吨降价万元，每天可多处理5吨， ∴每吨降价x万元，每天可多处理吨， ∴每天处理吨数为吨， ∴． 故选：D． 6．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）在学习地理时，我们知道：“海拔越高，气温越低”，下表是海拔高度与此高度处的气温之间的关系： 海拔高度 0 1 2 3 4 5 … 气温 20 14 8 2 … 下列说法错误的是（   ） A．海拔高度为自变量，气温为因变量 B．在一定范围内，海拔高度每增加，气温就下降 C．在一定范围内，气温t与海拔高度h之间的关系式为 D．当海拔高度为时，此高度处的气温是零下 【答案】D 【分析】本题主要考查常量与变量；根据表格数据，逐一判断选项，海拔高度每增加，气温下降，得到关系式在给定范围内成立，再把代入关系式计算，即可得出结果． 解：∵从表格数据可得， 海拔高度为自变量，气温为因变量，故A正确， 在一定范围内，海拔高度每增加，气温就下降，B正确， 当时，时，时，时，时，时，， ∴关系式成立．故C正确， 对于选项D，当时，，但选项D是，与计算不符， ∴选项D错误． 选项A、B、C均正确． 故选：D． 7．（24-25六年级下·山东烟台·期末）汽车油箱中有汽油．如果不再加油，那么油箱中的油量（单位：）随行驶路程（单位：）的增加而减少，平均耗油量为．当时，与的表达式为（        ） A． B．y C． D． 【答案】C 【分析】直接利用油箱中的油量总油量耗油量进而得出x与y的关系式，再求出的求值范围，即可得出答案． 解：由题意可知：， 故选：． 【点拨】此题主要考查了根据实际问题列变量间的表达式以及自变量取值范围求法，正确得出x、y的表达式是解题关键． 8．（24-25八年级下·山东德州·期末）弹挂上物体后伸长，已知一弹的长度（）与所挂物体的质（）之间的关系如表：下列说法错误的是（    ） 物体的质量（） 0 1 2 3 4 5 弹簧的长度（） 10 12.5 15 17.5 20 22.5 A．在没挂物体时，弹簧的长度为． B．弹簧的长度随物体的质量的变化而变化，弹簧的长度是自变量，物体的质量是弹簧的长度的函数 C．在弹簧能承受的范围内，所挂物体的质量每增加，弹簧的长度就增加 D．在弹簧能承受的范围内，当物体的质量为时，弹簧的长度为 【答案】B 【分析】根据表格数据，自变量x所挂物体的重量与因变量y弹簧的长度的关系，依次判断正误即可． 解：根据条件，可列关系式为：． A、在没挂物体时，弹簧的长度为，根据图表，当质量时，，故此选项正确，不符合题意； B、反映了所挂物体的质量和弹簧的长度之间的关系，所挂物体的质量是自变量；弹簧的长度是因变量，故此选项错误，符合题意； C、在弹簧能承受的范围内，所挂物体的质量每增加，弹簧的长度就增加，故此选项正确，不符合题意； D、由关系式，，解得，在弹簧的弹性范围内，故此选项正确，不符合题意； 故选：B． 【点拨】此题考查了函数关系式，主要考查了函数的定义和结合几何图形列函数关系式．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 9．（25-26八年级下·全国·课后作业）将一根长为的铁丝制作成一个长方形，则这个长方形的长y（）与宽x（）之间的关系式为________． 【答案】 【分析】根据长方形的周长公式列出等式，整理即可得到与的关系式． 解：∵长方形的周长为， ∴ 整理得：． 10．（24-25七年级下·山东济南·期末）如图，线段是底边上的高，，，动点P从点B出发，沿的方向运动至点C处停止．设的长为，的面积为，则与之间的关系式为_______． 【答案】 【分析】求出的长和的取值范围，再利用三角形的面积公式求解即可． 解：∵，的长为， ∴，且， ∵线段是底边上的高，， ∴的面积为， 综上，与之间的关系式为． 11．（25-26七年级下·全国·周测）一辆汽车油箱内有56L油，从某地出发，每行驶耗油0.08L．如果设油箱内剩余油量为（单位：L），行驶路程为（单位：），那么与之间的关系式为____________． 【答案】 【分析】本题主要考查用关系式表示变量间的关系，找到等量关系是解题的关键． 根据剩余油量总油量消耗油量，列出函数关系式即可． 解：总油量为，每行驶耗油， 行驶消耗油量为，因此剩余油量， 故答案为：． 12．（25-26八年级上·广东深圳·期末）深圳市出租车白天的收费起步价为10元（即路程不超过2公里时收费10元），超过部分每公里收费2.7元．如果乘客白天乘坐出租车的路程公里，乘车费为y元，那么y与x之间的关系式为______． 【答案】 【分析】本题考查了用函数关系式表示变量之间的关系，根据乘车费用包括起步价和超过2公里部分的费用，列出关系式即可． 解：当时，， 故答案为：， 13．（2026·海南海口·一模）如图所示，某品牌的自行车链条每节长为，每两节链条连接时，重叠部分的圆直径为，按照这种连接方式，n节链条的总长度为，则y与n之间的关系式为_________． 【答案】 【分析】先求出1节链条的长度，2节链条的总长度，3节链条的总长度，即可得出规律，从而可得出y与n之间的关系式． 解：由题意可得： 1节链条的长度为， 2节链条的总长度为， 3节链条的总长度为， …， ∴n节链条的总长度为， ∴y与n之间的关系式为． 14．（24-25七年级下·山西运城·期中）运城市某超市购进了一批新品种鸭梨，出售时销售量与销售总价的关系如下表： 销售量 1 2 3 4 5 … 销售总价（元） 6 9 … 请根据上表中的数据写出销售总价（元）与销售量之间的关系式：________． 【答案】 【分析】本题考查观察表格规律求关系式问题，找出表格中的规律是解答此题的关键. 销售总价y是一个整数加一个小数的形式，通过观察发现分别是：，，，……，从而得到销售总价y与销售量x之间的关系. 解：观察表格即可得到：当时，， 当时，， 当时， … ∴销售总价（元）与销售量之间的关系式为 故答案为：. 15．（24-25七年级下·陕西西安·月考）七年级16班学生准备以班为单位购买一种兴趣书，书店推出一种优惠方案：若购买数量超过30本，则超出部分按单价的八折出售，16班同学购买单价为15元的兴趣书本，则应付款与购买数量的关系式为________． 【答案】 【分析】本题考查了用函数关系式表示变量之间的关系，解题的关键是找出题目的等量关系． 根据题意可知应付款为前30本兴趣书费用加上超出部分的费用． 解：由题意得：， 化简得：， 故答案为：． 16．（24-25七年级下·四川·期末）我们可以根据如图的程序计算因变量的值．若输入的自变量的值是2和时，输出的因变量的值相等，则的值为______．    【答案】5 【分析】根据程序流程图，分别求出自变量的值是2和时的因变量值，根据因变量值相等进行计算即可． 解：由图可知：当时，，当时，， ∵输入的自变量的值是2和时，输出的因变量的值相等， ∴， ∴； 故答案为：5． 【点拨】本题考查求因变量的值，解题的关键的读懂流程图，正确的进行计算． （三）解答题（本大题共4小题，共32分） 17．（25-26七年级上·安徽阜阳·期中）某工厂要加工600件毛绒玩具，每小时加工的件数与加工的时间如表： 每小时加工件数（件） 60 50 40 … 加工时间（小时） 10 12 20 … （1）填空：_____，_____； （2）加工时间是怎样随着每小时加工件数的变化而变化的？ （3）用表示每小时加工毛绒玩具的件数，用表示加工时间，用式子表示与之间的关系，与成什么比例关系？ 【答案】（1）15，30；（2）加工时间随着每小时加工件数的增大而减小（或减小而增大）；（3），反比例关系 【分析】本题考查了乘法运算及应用，变量之间的变化关系以及反比例关系． （1）通过每小时加工的件数与加工时间的乘积等于玩具的总件数计算即可； （2）观察表格中每小时加工件数和加工时间的数据，可得出加工时间随着每小时加工件数的变化情况； （3）由工作总量每小时加工件数加工时间可得与的乘积等于 600 ，即，根据反比例关系的定义，如果两个变量的乘积是一个定值，那么这两个变量成反比例关系，由于，所以与成反比例关系． 解：（1）解：∵这批毛绒玩具共 600 件， ∴， ∴． （2）解：结合表格，得出加工时间随着每小时加工件数的增大而减小（或减小而增大）． （3）解：∵工作总量不变，都是 600 件， ∴加工时间与每小时加工件数乘积都是 600 ，即乘积不变， ， 故与成反比例关系． 18．（25-26七年级上·山东聊城·期中）如图所示，梯形的上底长是5厘米，下底长是13厘米，当梯形的高由大变小，梯形的面积也随之发生变化． （1）在这个变化过程中，变量是_________，常量是_________． （2）请直接写出梯形的面积（厘米2）与高（厘米）之间的关系式． （3）当梯形的高由8厘米变化到2厘米时，梯形的面积变化情况． 【答案】（1）变量是梯形的高和面积；常量是梯形的上底和下底；（2）；（3）梯形的面积由72平方厘米减小到18平方厘米，减少了54平方厘米 【分析】本题考查了常量和变量，求代数式的值，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据常量和变量的定义并结合题意即可得解； （2）根据梯形面积公式 （上底下底） 高即可得解； （3）分别计算出当和时的值，由此即可得解． 解：（1）解：由题意可得：变量是梯形的高和面积；常量是梯形的上底和下底； （2）解：梯形面积公式 （上底下底） 高， 代入上底，下底，得； （3）解：当时，（平方厘米） 当时，（平方厘米） 面积变化：（平方厘米） 答：梯形的面积由72平方厘米减小到18平方厘米，减少了54平方厘米． 19．（25-26七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）某次茶艺比赛中指定使用的饮水机工作流程为：先将的饮用水加热到，然后马上停止加热，水温开始下降．已知整个过程中水温与通电时间的关系如下表所示： 0 1 2 3 4 8 10 20 … 20 40 60 m 100 50 40 20 … （1）在水温下降过程中，x与y满足某种比例关系，这种比例关系是 比例关系；用式子表示x与y之间的这种关系为 ． （2）比赛组织方要求，参赛选手必须把组织方提供的的饮用水用该款饮水机加热到，然后降温到方可使用．求从饮水机加热开始到可以使用需要等待多长时间？ 【答案】（1）反比例，；（2） 【分析】（1）观察表格可知，在水温下降过程中，x与y的乘积等于400，据此可得答案； （2）根据（1）所求求出当时，，据此可得答案． 解：（1）解：观察表格可知，在水温下降过程中，x与y的乘积等于400， ∴x与y满足反比例关系，且， 故答案为：反比例，； （2）解：在中，当时，， ∴从饮水机加热开始到可以使用需要等待． 20．（25-26八年级上·河南平顶山·期末）加密技术是保障数据安全的一种方式，常常被用于军事通信，移位加密技术是其中一种简单且有效的方法，移位是一种通过将文本中的字或者字母移动一定数量的位置来加密信息的技术．现有如下的移位法则：把A~Z每个字母按顺序前移3位，A，B，C三个字母依次对应X，Y，Z，以此来实现对信息的加密，如将“ARMY”加密成“XOJV”传递． （1）按照上述的移位法则，“STOP”加密后的信息是“ ”，如果收到的加密后的信息是“ANY”，那么该信息在加密前是“ ”； （2）如果将字母A~Z依次赋值1~26，设加密前的数值为自变量，加密后对应的函数值为，那么，当，且为整数时，与的关系式是 ；当，且为整数时，与的关系式是 ． 【答案】（1）PQLM，DQB；（2）， 【分析】本题主要考查常量与变量： （1）将字母S，T，O，P分别前移3位，则字母S，T，O，P依次对应字母P，Q，L，M；将字母A，N，Y分别后移3位，则字母A，N，Y依次对应字母D，Q，B； （2）当时，根据将字母按顺序前移3位进行加密可知，；当时，根据A，B，C三个字母前移3位后依次对应X，Y，Z可知，． 解：（1）将字母S，T，O，P分别前移3位，则字母S，T，O，P依次对应字母P，Q，L，M，所以“STOP”加密后的信息是“PQLM”． 将字母A，N，Y分别后移3位，则字母A，N，Y依次对应字母D，Q，B， “ANY”在加密前是“DQB”． 故答案为：PQLM    DQB （2）当时，根据将字母按顺序前移3位进行加密可知，． 当时，根据A，B，C三个字母前移3位后依次对应X，Y，Z可知，． 故答案为：    2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $