专题 5.4 图形的轴对称全章复习讲义（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2025-2026学年北师大版七年级数学下册基础知识专项突破讲练

本讲义系统梳理图形的轴对称核心知识，从轴对称图形与轴对称的概念及性质出发，衔接等腰三角形“三线合一”“等边对等角”性质，延伸至垂直平分线、角平分线性质及尺规作图，构建从基础到综合应用（如将军饮马、动点问题）的递进学习支架。 以“知识梳理+题型精析+同步检测”为框架，例题与变式题结合，培养几何直观与推理能力。如折叠问题提升抽象能力，将军饮马问题发展空间观念，尺规作图强化动手与推理意识。课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，落实数学核心素养。

专题 5.4 图形的轴对称全章复习讲义（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点一】轴对称图形与轴对称 2 【题型 1】轴对称图形的识别 2 【题型 2】轴对称图形的性质 4 【题型 3】轴对称图形与折叠问题 6 【知识点二】等腰三角形性质 10 【题型 4】等腰三角形性质——三线合一 10 【题型 5】等腰三角形性质——等边对等角 14 【题型 6】等边三角形性质综合 17 【知识点三】垂直平分线 20 【题型 7】利用垂直平分线性质求值证明 20 【知识点四】角平分线的性质 23 【题型 8】利用角平分线性质求值证明 23 【知识点五】尺规作图——垂直平分线与角平分线 27 【题型 9】尺规作图——角平分与垂直平分线作图与求值 27 二.综合培优题型精析 30 【题型 10】轴对称性质——将军饮马问题 30 【题型 11】等腰三角形性质——动点问题 36 三.同步检测 42 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分,） 42 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 49 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 54 一.知识梳理与基础题型精析 【知识点一】轴对称图形与轴对称 1、如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫作轴对称图形，这条直线叫作对称轴。 2、如果两个平面图形沿一条直线折叠后能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线叫作这两个图形的对称轴。 3、在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等。 【题型 1】轴对称图形的识别 【例题1】（24-25八年级上·黑龙江大庆·期末）如图，由△ABC经过怎样的变换得到△DEC．答：_______． 【答案】轴对称（或翻折变换） 【分析】根据网格结构和几何变换的特点解答． 解：如图，△ABC沿虚线翻折变换得到△DEC． 故答案为：轴对称（或翻折变换）． 【点拨】本题考查了几何变换的类型，熟练掌握网格结构和几何变换的特点是解题的关键． 【变式1】（2026·贵州遵义·二模）下列图案中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 解：A、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，故不符合题意； B、沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故符合题意； C、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，故不符合题意； D、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，故不符合题意． 【变式2】（25-26八年级上·山东德州·期末）下列两图形成轴对称的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是两图形成轴对称的定义，解题关键是熟练掌握某两个图形沿着一条直线对折，能够完全重合，则称这两个图形关于这条直线形成轴对称． 根据两图形成轴对称的定义对选项进行逐一判断即可． 解：选项，两图形大小不相等，不能完全重合，不符合两图形成轴对称的定义，不符合题意； 选项，两图形大小不相等，形状不相同，不能完全重合，不符合两图形成轴对称的定义，不符合题意； 选项，两图形大小不相等，形状不相同，不能完全重合，不符合两图形成轴对称的定义，不符合题意； 选项，能找到直线使两图形完全重合，符合定义，符合题意． 故选：． 【变式3】（23-24八年级上·全国·期中）观察下列图形，其中是轴对称图形的是__________（填序号） 【答案】①②③④⑥ 【分析】本题考查了轴对称图形的知识，牢记轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴是解题的关键．根据轴对称图形的定义，寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合的图形即为所求． 解：①②③④⑥沿某条直线折叠后直线两旁的部分能够完全重合，都是轴对称图形． 故答案为：①②③④⑥． 【题型 2】轴对称图形的性质 【例题2】（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）如图，已知点是内的一点，，分别是点关于、的对称点，连接，与、分别相交于点，，已知，求的周长． 【答案】 解：∵，分别是点关于、的对称点，， ∴，， ∴， 即的周长为． 【变式1】（25-26八年级上·福建厦门·期末）如图，与关于直线对称，下列所连线段中，能被直线垂直平分的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称图形的性质；根据对称点所连线段被对称轴垂直平分，即可得到答案． 解：∵与关于直线对称， ∴对称点所连线段被对称轴垂直平分， ∴能被直线垂直平分的是， 故选：D． 【变式2】（25-26七年级下·江苏连云港·期中）在中，，于D，点B关于的对称点在上，若，则______． 【答案】36 【分析】根据轴对称的性质知，再计算，即可求解． 解：∵于D，点B关于的对称点在上， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【变式3】（25-26八年级上·河北邯郸·期末）如图，在正方形网格纸中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点均在格点上． （1）在图中作关于直线对称的； （2）若直线上有一点，请标出使的值最小时的位置，并求出的最小值． 【答案】（1）见分析；（2）见分析， 【分析】本题考查了作图-轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．也考查了最短路径问题． （1）利用网格特点和轴对称的性质画出A、B、C的对应点即可； （2）连接交直线于点P，利用两点之间线段最短判断P点满足条件．再运用勾股定理可求最短距离． 解：（1）解：如图，即为所作图形和所作点： （2）解：如图，点P为所作． 根据题意得， 由勾股定理得． 【题型 3】轴对称图形与折叠问题 【例题3】（2026七年级下·江苏·专题练习）美术课上我们经常利用长方形的卡纸玩折纸游戏．如图，将长方形卡纸沿折痕折叠，点C落在了点处，交于点N． （1）如果 ，那么 °； （2）点E为线段上一点，将三角形沿折叠，点A恰好落在上的点处，如果，请用α的代数式表示； （3）将三角形沿折叠，点A落在点处，当时，求出的度数． 【答案】（1）50；（2）；（3）或 【分析】（1）根据所给折叠方式，先求出，进一步求出的度数即可； （2）根据题意，画出示意图，再结合所给折叠方式进行计算即可； （3）对点在左上方和右下方的情况，分别画出示意图，再据此进行计算即可． 解：（1）解：由折叠可知，． 因为四边形是长方形， 所以， 所以． 故答案为：50； （2）解：如图所示， 因为， 所以， 由折叠可得， 所以； （3）解：当点在的左上方时，如图所示， 设， 则， ∵，， ∴， 解得， 所以． 当点在的右下方时，如图所示， 设， 则， ∵，， ∴， 解得， 所以． 综上所述，∠CBD的度数为或． 【变式1】（25-26六年级下·山东淄博·期中）数学活动课上，老师让同学们折叠矩形纸片进行探究活动．兴趣小组的同学通过如图的方法折纸后进行探究，并提出了以下说法．下列说法中不正确的是（    ） A．平分 B． C．与互补 D．与互余 【答案】A 【分析】根据图形易得，，然后问题可求解． 解：由图可得：，， ∴与互补，， ∴，即， ∴与互余， ∵， ∴不平分． 【变式2】（25-26七年级下·浙江温州·期中）如图，将一张长方形纸带沿折叠，将点、分别折至、，若，则的度数为______． 【答案】 【分析】首先由折叠的性质得到，然后根据平行线的性质求解即可． 解：由折叠得， ，， ， 四边形是长方形， ， ， ． 【变式3】（25-26七年级上·江西抚州·期末）点分别是长方形纸片边上的点，沿翻折，点A落在点处，点B落在点处． （1）如图1，当点恰好落在线段上时，求的度数； （2）如图2，当点落在的内部时，若，求的度数． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了折叠的性质、几何图形中角度的计算，熟练掌握折叠的性质是解此题的关键． （1）由折叠的性质，得到，，然后根据即可求解； （2）先求出，由折叠的性质，得到，，求出，然后根据即可求解． 解：（1）解：由折叠的性质，得到，， 因为， 所以， 即． （2）解：因为， 所以， 由折叠的性质，得， 所以， 所以． 【知识点二】等腰三角形性质 1、等腰三角形相关概念 相等的两边称为腰，两腰所对的角称为底角，另一个角称为顶角，顶角所对的边称为底边。 2、 等腰三角形的性质 （1）对称性：等腰三角形是轴对称图形； （2）三线合一：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称“三线合一”），它们所在的直线是等腰三角形的对称轴； （3）等边对等角：等腰三角形的两个底角相等。 【题型 4】等腰三角形性质——三线合一 【例题4】（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图：在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、三线合一以及等边对等角等知识点，掌握相关结论是解题关键. （1）连接，由题意得：，推出即可求证； （2）根据，得到，进而得到，即可求解 解：（1）证明：连接， 由题意得：， ∵， ∴， ∵D为线段的中点， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式1】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）下列说法中，正确的有（   ）个． ①两个全等的三角形一定关于某直线对称； ②关于某条直线对称的两个图形，对称点所连线段被对称轴垂直平分； ③等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合； ④等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查轴对称的性质，等腰三角形的性质．利用轴对称的性质、等腰三角形的性质分别判断后即可确定正确的选项． 解：①两个全等的三角形不一定关于某直线对称，原说法错误； ②关于某条直线对称的两个图形，对称点所连线段被对称轴垂直平分，原说法正确； ③等腰三角形底边的高和中线、顶角的角平分线互相重合，原说法错误； ④等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半，原说法正确； 正确的有2个， 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）八年级（1）班分到一块呈等腰三角形的菜地，如图，，为了方便灌溉，从顶点A修了一条与底边垂直的水渠， 已知， 则_______m． 【答案】20 【分析】本题主要考查了等腰三角形三线合一，熟练掌握等腰三角形的性质，是解题的关键．根据等腰三角形“三线合一”进行求解即可． 解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：20． 【变式3】（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图1是一个平分角的仪器，其中． （1）如图2，将仪器放置在锐角上，使点与点重合，，分别在边，上，沿画一条射线，交于点，求证：平分； （2）如图3，在（1）的条件下，过点作，垂足为，在边上，若，求证：． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质： （1）证明，即可解答； （2）在上截取，证明，可得，从而得到，再由等腰三角形的性质解答即可． 解：（1）证明：在和中 ， 是的平分线； （2）证明：在上截取， 由（1）得：平分， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【题型 5】等腰三角形性质——等边对等角 【例题5】（25-26八年级上·江苏淮安·期末）如图，点A、D、C、F在一条直线上，且，，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边对等角，三角形内角和定理，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）先证明，再利用即可证明； （2）由等边对等角和三角形内角和定理可得的度数，再由全等三角形的性质即可得到答案． 解：（1）证明：∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴． 【变式1】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，以A为圆心，长为半径画弧交于点E，以点E为圆心，长为半径画弧交于点D，若，，则的度数为（   ）度 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了尺规作图，等腰三角形的性质．由作法得：，根据等腰三角形的性质可得，，即可求解． 解：由作法得：， ∴，， ∴，， ∴． 故选：A 【变式2】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）已知一个等腰三角形的顶角为，则该三角形的底角的度数为________． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理．利用等腰三角形两底角相等的性质，结合三角形内角和定理，通过内角和减去顶角度数后除以2即可求解底角度数． 解：∵等腰三角形的顶角为，等腰三角形的两底角相等，三角形内角和为， ∴底角的度数为， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·江苏泰州·月考）如图，．若， （1）如果，那么的度数为______°； （2）猜想和的数量关系并证明． 【答案】（1）40；（2） 【分析】本题考查等边对等角，平行线的判定和性质： （1）等边对等角，结合平行线的性质，推出，进而得到，即可得出结果； （2）同（1）即可得出结论． 解：（1）解：∵， ， ， ， ， ， ， 故答案为：40； （2）解：， 证明：， ， ， ， ． 3、 等边三角形的性质 （1）三条边长等，属于特殊的等腰三角形。 （2）三个内角都相等，每个角都是 60∘。 （3）三线合一：每条边上的中线、高、对应角平分线重合，有三条对称轴，分别为三边的垂直平分线。 【题型 6】等边三角形性质综合 【例题6】（25-26八年级上·江西赣州·期末）如图，是等边三角形，是边上的点，且，． （1）求证：； （2）判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）见分析；（2）是等边三角形，理由见分析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键． （1）根据“”证明即可； （2）根据等边三角形的判定方法，证明是等边三角形即可． 解：（1）证明：∵是等边三角形， ∴，， 在和中 ∴． （2）解：是等边三角形，理由如下： 由（1）得， ∴，， ∴是等腰三角形，且， ∴是等边三角形． 【变式1】（2026·北京顺义·一模）如图，，点在射线上，以点为圆心，长为半径画弧，分别交射线于点，连接，分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点，连接，则的大小为（    ）． A．100° B．105° C．110° D．115° 【答案】C 【分析】利用作图的方法和痕迹，得到和，再利用等腰三角形的底角相等及三角形内角和为，求出答案． 解：如图所示，连， 由作图可知，，， ∴为等边三角形， ∴ ∵，， ∴， 则， ∵， ∴， 在中，， ． 【变式2】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，等腰，，，则________． 【答案】/15度 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质．证明为等边三角形，可得，可得的度数，再由等腰三角形的性质解答即可． 解：∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵等腰，， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 【变式3】（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，在和中，，，，连接、交于点F． （1）求证： （2）若，求的度数． 【答案】（1）证明见分析；（2） 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题关键． （1）先求出，再根据定理即可得证； （2）先证出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，再根据全等三角形的性质可得，然后根据三角形的内角和定理求解即可得． 解：（1）证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． （2）解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， 由（1）已证：， ∴， ∴ ． 【知识点三】垂直平分线 1、 线段垂直平分线定义：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线（简称中垂线）。 2、 线段垂直平分线性质： （1）线段是轴对称图形，垂直并且平分线段的直线是它的一条对称轴； （2）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 【题型 7】利用垂直平分线性质求值证明 【例题7】（25-26八年级下·四川成都·期中）如图，在中，，平分，交于点． （1）求作：射线，使得，垂足为点；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，与相交于点，若，求的度数； 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】（1）根据“过直线外一点作已知直线的垂线”作图即可； （2）先求出，得，根据直角三角形两锐角互余可得结论． 解：（1）解：如图所示，即为所求． （2）解：， ， ， ， ， 平分， ， ； 【变式1】（25-26八年级下·广东清远·期中）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，则的周长为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】利用线段垂直平分线的性质定理求解． 解：∵垂直平分线段，垂直平分线段， ∴， ∴． 【变式2】（2026·四川成都·二模）如图，在中，边的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，若，，则的周长为______． 【答案】15 【分析】根据垂直平分线可知，进而可知周长． 解：在中，边的垂直平分线交于点D， ∴， ∵，， ∴ 的周长 ． 【变式3】（25-26八年级下·广东湛江·开学考试）如图，在中，，的平分线交于点D，过点D作，垂足为E，此时点E恰为的中点． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见分析；（2）3 【分析】（1）根据证明即可； （2）先得到，继而求出，然后由的直角三角形的性质求解即可． 解：（1）证明：∵的平分线交于点D， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴； （2）解：∵，且E为的中点   ∴垂直平分． ∴， ∴． ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【知识点四】角平分线的性质 （1）角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴； （2）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 【题型 8】利用角平分线性质求值证明 【例题8】（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图，已知四边形的面积为16，平分． （1）求点D到的距离的长； （2）若，求证：． 【答案】（1）的长为；（2）见分析 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握以上性质． （1）过点作，交的延长线于点，根据角平分线的性质得出，然后根据图形的面积即可求解； （2）过点作，交的延长线于点，证明，即可得出结论． 解：（1）解：如图，过点作，交的延长线于点， ∵平分，且， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴的长为； （2）证明：如图，过点作，交的延长线于点， 由（1）得， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（2026·陕西西安·三模）如图，在中，，平分，若，则点到的距离为（   ） A．4 B． C． D．3 【答案】D 【分析】作，垂足为，根据角平分线的性质即可求解． 解：如图，作，垂足为， ，平分，， ， ， ， 则点到的距离为． 【变式2】（2025七年级下·重庆沙坪坝·专题练习）如图，在中，，D是边上一点，连接．将沿直线翻折后，点B恰好在边上点，使得，则点D到的距离是______ 【答案】7.5 【分析】根据翻折的性质得到平分，根据，求出的长，角平分线的性质，结合等积法进行求解即可． 解：∵折叠， ∴平分， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴点到的距离相等， 设点到的距离均为， ∵，， ∴， ∴， ∴；即点D到的距离是7.5． 【变式3】（25-26八年级上·重庆忠县·期末）在如图所示的中，平分交于点D． （1）若，，求的度数； （2）过点D作于点E，若，，，求的面积． 【答案】（1）；（2）18 【分析】本题考查角平分线的性质，关键是根据角平分线的性质得出解答． （1）根据三角形内角和定理得出，进而利用角平分线的定义得出即可； （2）过点D作于点F，根据角平分线的性质得出，进而利用三角形面积公式解答即可． 解：（1）解：∵，， ∴， ∵的角平分线交于D， ∴， ∴； （2）解：过点D作于点F， ∵， ∴， ∴， 又，， ∴的面积的面积的面积． 【知识点五】尺规作图——垂直平分线与角平分线 1、 尺规作图——线段垂直平分线： （1） 分别以已知线段的两个端点为圆心，以大于线段一半的长为半径画弧； （2） 在线段上下两侧各画出两组弧，使两侧弧分别相交； （3） 得到上下两个交点； （4） 过两个交点作直线，这条直线即为该线段的垂直平分线。 2、 尺规作图——角的平分线： （1） 以角的顶点为圆心，任意长为半径画弧，交角的两条边于两个点； （2） 分别以这两个交点为圆心，选取适当等长为半径； （3） 在角的内部作弧，两弧相交于一点； （4） 连接角的顶点与该交点，所得射线即为这个角的平分线。 【题型 9】尺规作图——角平分与垂直平分线作图与求值 【例题9】（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）如图，点在直线上，是的平分线． （1）仅利用无刻度的直尺与圆规，作出的平分线，记为．（不写作法，但要保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，试说明：． 【答案】（1）作图见分析；（2）理由见分析 【分析】（1）利用基本作图作出的平分线即可； （2）根据角平分线的定义得，，再根据平角的定义求出，可得结论． 解：（1）解：如图，为所作； （2）解：∵是的平分线，平分， ∴，， ∴， ∴． 【变式1】（2026·云南红河·一模）如图，在内，按下列步骤进行尺规作图的操作： ①以为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，； ②分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部交于点； ③作射线． 已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据尺规作图的步骤可知是的角平分线，根据角平分线的定义即可求出的度数． 解：由作图步骤可知，射线是的角平分线， ， ． 【变式2】（25-26八年级上·河南新乡·期中）如图，在中，，，根据图中的作图痕迹，可得的度数为________． 【答案】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，角平分线的性质，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合作图过程，得平分，是的垂直平分线，则，，又因为，且结合三角形内角和性质，进行列式计算，即可作答． 解：观察作图痕迹，得出平分， 则， 观察作图痕迹，得出是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴， 则， 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级下·江苏南京·期中）按要求完成作图 （1）尺规作图：如图①，已知，作的对称轴； （2）仅用直尺：如图②，作出线段的垂直平分线． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】（1）作出的平分线所在的直线即可； （2）作出正方形，取与格线的交点，由正方形网格特征可得为的中点，则直线为的垂直平分线． 解：（1）解：如图，直线即为所求； （2）解：如图所示，直线即为所求； 二.综合培优题型精析 【题型 10】轴对称性质——将军饮马问题 【例题10】（24-25七年级下·广东清远·期末） “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李顾《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题． （1）如图1，若点A和点B分别在直线l的两侧，请作出示意图，在直线l上找到点C，使得有最小值，并说明作图依据： ； （2）如图2，若点A和点B在直线l的同侧，请在直线l上作出点P，使得有最小值，并说明理由． 【答案】（1）两点之间线段最短；（2）见分析 【分析】本题考查作图﹣应用与设计作图，轴对称﹣最短问题. （1）根据两点之间线段最短解决问题； （2）利用轴对称解决最短问题，作点A关于直线l的对称点，连接交直线l于点P，连接，点P即为所求． 解：（1）解：如图1中，点C即为所求，依据是两点之间线段最短． 故答案为：两点之间线段最短； （2）如图2中，点P即为所求． 理由：在直线l上任意取一点，连接， ． ∵A，关于直线l对称， ∴，， ∵， ∴点P即为所求的点P． 【变式1】（25-26八年级上·河北廊坊·期中）数学课上，老师给出如图所示的直角三角形，其中，动点在线段上运动（不与端点重合），点关于边的对称点分别为，连接，点在上，小明认为：点在运动过程中，始终是直角三角形；小亮认为：点在运动过程中，线段存在最小值，最小值为，下列判断正确的是（   ） A．只有小明正确 B．只有小亮正确 C．两人都对 D．两人都错 【答案】A 【分析】本题考查轴对称的性质，垂线的定义，垂线段最短，三角形的面积，掌握知识点是解题的关键． 求出，即可判断出点在运动过程中，始终是直角三角形，即可判断小明正确；连接，推导出，得到当时，取得最小值，即也取得最小值，由，求出，则，即可判定小亮错误，即可解答． 解：∵点关于边的对称点分别为， ∴， ∴， ∴点在运动过程中，始终是直角三角形； 故小明正确． 连接，如图 ∵点关于边的对称点分别为， ∴， ∴， 当时，取得最小值，即也取得最小值， ∴， 即， 解得， ∴． 故小亮错误． 综上所述，小明正确，小亮错误． 故选：A． 【变式2】（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，在直角中，，，，，、、分别是、、边上的动点，则的最小值是________． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称路径最短问题，作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，．，推出，可得、、共线，由，，可知、、、共线时，且时，的值最小，最小值，求出的值即可解决问题理解转化思想是解题的关键． 解：如图作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，． ∴ ，，， ， 、、共线， ， ， 当、、、共线时，且时，的值最小，最小值， ， ， 即 ∴的最小值为， 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级上·山东威海·期中）如图，在正方形网格中有一个，其顶点都在格点上，小正方形网格的边长为（用直尺画图，保留画图痕迹）． （1）画出格点关于直线对称的； （2）在直线上找一点，使值最小；并求出最小值（要求在直线上标出点的位置） （3）求出的面积 【答案】（1）图见分析；（2）图见分析；（3）6 【分析】本题主要考查画轴对称图形，最短路径问题； （1）根据轴对称的性质画图即可； （2）连接，交直线于点P，连接，此时，为最小值，则点P即为所求． （3）用正方形面积减去三个三角形面积即可． 解：（1）解：如图，即为所求． （2）解：如图，连接，交直线于点P，连接， 此时，为最小值，则点P即为所求． （3）解：的面积为：， ∴的面积为6． 【题型 11】等腰三角形性质——动点问题 【例题11】（25-26八年级上·吉林长春·开学考试）如图，在长方形中，，．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向终点运动；同时动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向终点运动，连结．设点的运动时间为秒（）． （1）当点在边上时，线段的长为；（用含的代数式表示）当点在边上时，线段的长为；（用含的代数式表示） （2）当线段将长方形分割后，所得图形中存在轴对称图形时，求的值； （3）若点到达点后，立即以原速度的倍返回到点，同时点以原速度继续向终点运动．在点的整个运动过程中，作点关于点的中心对称点，当的面积是面积的倍时，直接写出的值． 【答案】（1）；；（2）的值为或；（3）的值为或 【分析】本题考查了列代数式，轴对称图形的性质，三角形的面积公式，分类讨论的思想方法，利用t的代数式表示出相应线段的长度是解题的关键． （1）利用路程，速度，时间的关系式解答即可； （2）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①当点在边上时，，当时，为等腰直角三角形，是轴对称图形，列出关于的方程解答即可；②当点在边上时，，当时，四边形为长方形，是轴对称图形，列出关于的方程解答即可； （3）利用分类讨论的思想方法分三种情况讨论解答：当点在边上时，，，利用三角形的面积公式列出关于的方程解答即可；②当点在边上，且未到达点时，，利用三角形的面积公式列出关于的方程解答即可；③当点在边上，到达点以原速度的倍返回时，，利用三角形的面积公式列出关于的方程解答即可． 解：（1）解：（1）当点在边上时，， ， ； 当点在边上时，， ． 故答案为：；； （2）①当点在边上时，， 由题意得： ． 当时，为等腰直角三角形，是轴对称图形， ， ． ②当点在边上时，， 当时，四边形为长方形，是轴对称图形， ， ． 综上，当线段将长方形分割后，所得图形中存在轴对称图形时，的值为或． （3）当的面积是面积的倍时，的值为或．理由： ①当点在边上时，， 由题意得： 作点关于点的中心对称点，如图， 则， 的面积是面积的倍， ， ， 不合题意，舍去． ②当点在边上，且未到达点时，， 由题意得：， ． 作点关于点的中心对称点，如图， ， ， 的面积是面积的倍， ， ． ③当点在边上，到达点以原速度的倍返回时，， 由题意得：， ． 作点关于点的中心对称点，如图， ， ． ． ， ． 综上，当的面积是面积的倍时，的值为或． 【变式1】（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图，是的平分线，点D是上一点，点F为直线上的一个动点．若的面积为18，，则线段的长不可能是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查了角平分线的性质与三角形的面积计算公式，作出辅助线是正确解答本题的关键．过点D作，垂足分别为M，P，利用角平分线的性质可得，进而根据三角形的面积得出的长，结合“垂线段最短”即可获得答案． 解：过点D作，垂足分别为M，P， ∵是的平分线， ∴， ∵的面积为18，， ∴， ∴， 选项中只有2不在这一范围内， 故选：D 【变式2】（25-26七年级上·河北保定·阶段检测）如图，分别是长方形的边上的点，是折线上的动点，将沿折叠至处，同时将沿折叠至处．当时，，则的度数为____________． 【答案】或 【分析】本题考查了折叠的性质、角的和差，熟练掌握折叠的性质是解题关键．先根据折叠的性质可得，，再分两种情况：当在左侧时， 当在右侧时，分别画出图形，进行求解即可． 解：由折叠的性质得：，， 当在左侧时，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴， 即此时； 当在右侧时，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴， 即此时； 综上，的度数为或． 故答案为：或． 【变式3】（20-21七年级下·山东青岛·期末）古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸同侧的两个军营A，B．他总是先去A营，再到河边饮马，之后，再巡查B营．他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢?大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题． 如图2，作B关于直线l的对称点B′，连结AB′与直线l交于点C，点C就是所求的位置． 证明：如图3，在直线l上另取任一点C′，连结AC′，BC，B′C′， ∵直线l是点B，B′的对称轴，点C，C′在l上， ∴CB=_________，C′B=_________， ∴AC +CB=AC+CB′=_________． 在△AC′B′， ∵AB′＜AC′+C′B′， ∴AC+CB＜AC′+C′B′即AC+CB最小． 本问题实际上是利用轴对称变换的思想，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中C在AB′与l的交点上，即A，C，B′三点共线）．本问题可归纳为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”的问题的数学模型． 拓展应用：如图，等腰直角△ABC中，∠ACB = 90°，BD平分∠ABC交AC于D，点P是BD上一个动点，点M是BC上一个动点，请在图5中画出PC + PM的值最小时P的位置．（可用三角尺） 【答案】见分析 【分析】利用轴对称的性质和三角形的三边关系可得；拓展应用中，在BA上截取BC'=BC，连接CC'，可证得C、C'关于BD对称，将两条线段的和最小问题转化为垂线段最短来解决． 解：证明：如图3，在直线l上另取任一点C′，连结AC′，BC，B′C′， ∵直线l是点B，B′的对称轴，点C，C′在l上， ∴CB=CB'，C′B=C'B'， ∴AC+CB=AC+CB′=AB'． 在△AC′B′， ∵AB′＜AC′+C′B′， ∴AC+CB＜AC′+C′B′即AC+CB最小． 故答案为：CB'，C'B'，AB'； 拓展应用：如图，在BA上截取BC'=BC，连接CC'，过C'作C'M⊥BC于点M，交BD于点P，在BD上另取一点P'，连接P'C'，在BC上取点M'，连接P'M'， ∵BC=BC'，BD平分∠CBC'， ∴BD垂直平分CC'， ∴PC=PC'，P'C=P'C'， ∴PC+PM=PC'+PM=C'M， ∵C'P'+P'M'＞C'M， ∴PC+PM＜P'C+P'M'， ∴点P即为所求． 【点拨】本题主要考查了轴对称的性质、三角形三边的关系、以及垂线段最短等知识，利用轴对称的性质对线段进行转化是解题的关键． 三.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分,） 1．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）下列图形是几款常用AI软件的图标，其中轴对称图形是（颜色除外）（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此进行判断即可． 【详解】 解：B，C，D不是轴对称图形，A是轴对称图形， 故选：A． 2．（2026七年级下·全国·专题练习）如图，若与关于直线对称，交于点，则下列说法中，不一定正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据轴对称的性质对各选项分析判断后利用排除法求解；轴对称的性质：对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等． 【详解】解：与关于直线对称， ， ， ，故A、C、D选项正确， 不一定成立，故B选项错误， 所以，不一定正确的是B． 3．（25-26七年级下·江苏镇江·期中）如图，每个小三角形都是等边三角形，再将1个小三角形涂黑，使4个小三角形构成轴对称图形．不同涂法有 （    ）种． A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】根据轴对称的性质进行作图即可． 【详解】解：如图所示： 满足题意的涂色方式有4种． 4．（25-26八年级上·湖南娄底·期末）如图，在中，，将三角形折叠，使点与点重合，折痕为．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了等腰三角形的性质、折叠的性质，熟记折叠的性质是解题的关键． 由等腰三角形性质可得，由折叠得到，即可． 【详解】解：∵，， ∴， 由折叠得， ∴． 故选：B． 5．（23-24八年级下·云南文山·期末）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质可得，然后利用线段垂直平分线的性质可得，从而可得，最后利用角的和差关系进行计算即可解答． 【详解】解：，， ， 是的垂直平分线， ， ， ． 6．（21-22八年级上·重庆璧山·期中）如图，中，，利用尺规在，上分别截取、，使；分别以D、E为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F；作射线交于点G．若，P为上一动点，则的最小值为（   ） A．无法确定 B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】由垂线段最短可得，当时，的值最小，再结合角平分线的性质定理即可得出结果． 【详解】解：由作图可得：平分， 由垂线段最短可得，当时，的值最小， ∵， ∴由角平分线的性质定理可得，即的最小值为． 7．（24-25八年级上·云南昆明·期中）昆明市打算在某条街道新建一所中学，为了方便居民区A、B的学生上学，要使A、B两小区到学校的距离之和最小，则学校C的位置应该在（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最短路径，先作点A关于街道的对称点，再连接，与街道的所在直线的交点即为点，此时，满足A、B两小区到学校的距离之和最小，即可作答． 【详解】解：∵要使A、B两小区到学校的距离之和最小， ∴先作点A关于街道的对称点，再连接，与街道的所在直线的交点即为点，学校C的位置如图所示： ∴此时， 故选：C． 8．（25-26七年级下·江苏淮安·期中）如图，已知四边形纸片．按图、图的折纸方法依次折叠后再展开，得到两条折痕，如图第二条折痕与边交于点，连接、．若，平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由折叠可知， 根据平行线的性质结合角平分线的性质求解即可． 【详解】解：由折叠可知， ． ，平分， ， ． 9．（25-26七年级下·山东临沂·期中）如图1，已知是一块平面镜，光线在平面镜上经点反射后，形成反射光线，我们称为入射光线，为反射光线．镜面反射有如下性质：入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，即．如图2，和是两块平面镜，入射光线经过两次反射后，得到反射光线．则下列结论错误的个数是（    ） ①若，则；②若，则；③若，则；④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据反射的性质和平行线的性质和判定逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，故①正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故②正确，不符合题意； C、∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，不能得出，故③错误，符合题意； D、∵， ∴， ∵，， ， ∴，故④正确，不符合题意； 综上，错误的个数为1个． 10．（2026·浙江杭州·一模）如图，已知，按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于点；②以点为圆心，大于长为半径画弧，分别交边于点；③连接，交点为，作射线.则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据作图步骤可得，利用证明，进而利用证明，得到，最后利用证明，即可得出. 【详解】解：由作图步骤可知：， 在和中， ， ； ； ， ， ， ， 即； 在和中， ， ； ； 在和中， ， ； ， 即. 其它选项均无法得到. （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）如图，线段与关于直线l对称，与直线l相交于点O，若，则______． 【答案】36 【详解】解：∵ ∴ ∵线段与关于直线l对称，与直线l相交于点O， ∴． 12．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）浏水月夜民宿用等腰形状设计窗台，为保证窗台两侧受力均匀，需使，并用连接和加固支架．已知是边的中点，且，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解题的关键． 已知等腰中，是边的中点，根据等腰三角形“三线合一”的性质，平分顶角，因此只需将的度数除以即可得到的度数． 【详解】解：∵在等腰中，，是边的中点， ∴平分（等腰三角形三线合一）， ∵， ∴， 故答案为：． 13．（25-26八年级上·广东湛江·期末）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，点，过这两个点作直线，交于点，连接．若，，则的长为_____． 【答案】4 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、尺规作图等知识点，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 首先求出，由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得． 【详解】解：∵，， ∴， 由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ∴． 故答案为：4． 14．（25-26七年级下·四川德阳·期中）如图1是长方形纸带，，先将纸带沿折叠成图2，再沿折叠成图3，则图3中的度数为___． 【答案】96度/ 【分析】由得出，然后结合折叠的性质求解． 【详解】解：四边形为长方形， ， ． 由翻折的性质得，图2中，， ∵ ∴， ∴， ∴图3中，． 15．（25-26七年级上·辽宁沈阳·阶段检测）如图，已知，在的内部．按下列步骤作图： （1）在上取一点M，以点O为圆心，以为半径画弧交射线于点N； （2）以点N为圆心，线段的长为半径画弧交前弧于点D； （3）以点O为端点，作射线． 若，则的度数为______． 【答案】/130度 【分析】本题考查了尺规作图—角平分线，角平分线的定义，熟练掌握其相关知识点是解题关键． 根据作图得到，根据余角的性质可得到，即可求解． 【详解】解：由作图过程可知，， ∵， ∴ ， ∴． 故答案为：． 16．（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，"，点E、F分别在射线上，，的面积为10，点P是直线上的动点，点P关于对称的点为，点P关于对称的点为，则______的面积最小值为______． 【答案】 /度 【分析】本题考查了轴对称、垂线段最短等知识点，连接，过点作交的延长线于，，先利用三角形的面积公式求出，再根据轴对称的性质可得，，，从而可得，然后利用三角形的面积公式可得的面积为，根据垂线段最短可得当点与点重合时，取得最小值，的面积最小，由此即可得． 【详解】解：如图，连接，过点作交的延长线于， ∵，且， ∴， ∵点关于对称的点为，点关于对称的点为， ∴，，， ∵， ∴， ∴的面积为， 由垂线段最短可知，当点与点重合时，取得最小值，最小值为， ∴的面积的最小值为， 故答案为：；． 17．（21-22八年级上·湖北黄冈·期末）已知，如图，，点M，N分别是边OA，OB上的定点，点P，Q分别是边OB，OA上的动点，记，，当最小时，则______． 【答案】60°/60度 【分析】作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P，则MP+PQ+QN最小易知∠OPM＝∠OPM′＝∠NPQ，∠OQP＝∠AQN′＝∠AQN，根据三角形的外角的性质和平角的定义即可得到结论． 【详解】解：如图，作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P，则MP+PQ+QN最小， ∴∠OPM＝∠OPM′＝∠NPQ，∠OQP＝∠AQN′＝∠AQN， ∴∠QPN＝（180°﹣α）＝∠AOB+∠MQP＝30°+ （180°﹣β）， ∴180°﹣α＝60°+（180°﹣β）， ∴β﹣α＝60°， 故答案为：60． 【点睛】本题考查轴对称﹣最短路线问题、三角形的内角和定理．三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用轴对称知识作出辅助线解决问题． 18．（25-26七年级下·吉林长春·期中）如图，点P是外的一点，点M，N分别是两边上的点，点P关于的对称点Q恰好落在线段上，点P关于的对称点R落在的延长线上．若，，，则线段的长为______． 【答案】 【分析】根据轴对称的性质可得，，再根据得出答案． 【详解】解：∵点P关于的对称点是Q， ∴， 同理． ∵， ∴． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26七年级下·全国·单元测试）如图，若与关于直线对称，交于点． (1)点的对称点是点 ，点的对称点是点 ； (2)若，则 ； (3)写出两组相等的线段． 【答案】(1)， (2) (3)，（答案不唯一） 【详解】（1）解：∵与关于直线对称， ∴点的对称点是点，点的对称点是点 （2）解：∵与关于直线对称， ∴，则 （3）解：∵与关于直线对称， ∴，．（答案不唯一）． 20．（本小题满分8分）（25-26七年级上·北京门头沟·期末）如图，．点为内部一点．平分平分． (1)当时．依题意补全图形．并求的度数； (2)当时，直接用含的代数式表示的度数． 【答案】(1)图形见解析， (2) 【分析】本题考查了角平分线的性质，角平分线的作图，角度的计算，解决本题的关键是熟练掌握角平分线的性质． （1）根据角平分线的作图方法作图即可，由可得，再根据角平分线的性质即可得； （2）注意分情况讨论：当与重合时， ，故分 ，和 三种情况讨论；先表示出，再根据角平分线的性质表示出与，再由角度的计算求解即可． 【详解】（1）解：以点O为圆心，任意长度为半径画弧， 分别交，于点M，点N， 以点M为圆心，大于一半的长度为半径画弧， 再以点N为圆心，相同长度为半径画弧，两弧相交于点D， 连接，则为的角平分线， 同样方法即可作出的平分线，如图， ∵，， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴； （2）解：当与重合时，如图①， ， ①当时，如图①， ∴ ， ∴ ； ②当 时，如图②， ∵，， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴． ③当 时，如图③， ∵，， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴． 21．（本小题满分10分）（25-26八年级下·全国·周测）在中，是边上的点（不与点，重合），连接． (1)如图①，当是的平分线时，若，，求的值（用含，的代数式表示）． (2)如图②，平分，延长至点，使得，连接．若，，，求的值． 【答案】(1) (2)9 【分析】（1）过点作于点，于点，根据角平分线性质求出，根据三角形面积公式求出即可； （2）根据已知和（1）的结论求出和的面积，即可求出的面积． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，于点． 是的平分线，，， ． ，， ． （2）解：， ． ， ． ，，平分， ∴由（1）知，， ， ． 【点睛】本题考查了角平分线性质和三角形的面积公式，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用面积法解决问题． 22．（本小题满分10分）（24-25八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，中，垂直平分，交于点，交于点，，垂足为，且，连接． (1)求证：点为的中点； (2)若，的周长为，求的长； (3)若，，（其中）求的周长．（用含有、的代数式表示） 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． （1）由垂直平分得到，再证明，最后利用等腰三角形“三线合一”的性质即可得结论； （2）由题意得，从而得出，即，由线段垂直平分线的性质可得．可得，再由，，可得，再求解即可； （3）先求得，再由垂直平分线的性质得出，从而得出，再由，，可得，即可得答案． 【详解】（1）证明：∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴点为的中点． （2）解：∵的周长为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． （3）解：∵， ∴， ∵垂直平分， ∴． ∴， ∴，， ∴， ∴的周长． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在中，作的平分线． (1)下列操作中，作的平分线的正确顺序的序号依次为________． ①分别以点为圆心，大于的长为半径作圆弧，在内，两弧交于点P； ②以点B为圆心，适当长为半径作圆弧，交于点M，交于点N； ③作射线，交于点D． (2)证明的理论依据是________（填序号）． ①SSS；②ASA；③AAS；④角平分线上的点到角两边的距离相等． (3)过点D作于E，若，，，求的长． 【答案】(1)②①③ (2)① (3)． 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，作角平分线； （1）根据作角平分线的顺序进行判断，即可求解； （2）证明，根据全等三角形的性质，即可得证； （3）根据角平分线的性质可得，进而根据，即可求解． 【详解】（1）解：作的平分线的正确顺序是②①③； 故答案为：②①③； （2）解：能说明的依据是①； 如图所示，连接，． 在和中， ， 故选：①； （3）解：如图所示，过点作于点． ，，， ． ， 即， ， 解得． 24．（本小题满分12分）（24-25七年级下·江苏淮安·期末）综合与实践课上，同学们动手折叠一张长方形纸片，点在边上，点分别在边上，沿折叠，使顶点落在点处，其中题中所有角都是指小于的角． (1)如图，______（填“”“”或“”）； (2)如图，若沿折叠，使顶点落在点处，点，点，点恰好在一条直线上，请用无刻度直尺和圆规作图，作出折痕（在图上标注出点）； (3)如图，若，，求的度数（用含的代数式表示）； (4)连接，若，，且射线，射线，射线都与长方形的边相交，若射线是的角平分线，求出的度数．（用含的代数式表示） 【答案】(1) (2)作图见解析 (3)或 (4) 【分析】（）根据折叠的性质即可求解； （）作的角平分线交于，线段即为所求； （）分点在的右边和左边两种情况，分别画出图形，根据折叠的性质和平角的定义解答即可求解； （）当分点在的右边和点在的右侧，在的左侧两种情况，分别画出图形，根据折叠的性质和角平分线的定义解答即可求解； 本题考查了作角平分线，折叠的性质，角平分线的定义，掌握折叠的性质并利用分类讨论的思想解答是解题关键 【详解】（1）解：∵沿折叠，使顶点落在点处， ∴， 故答案为：； （2）解：如图所示，折痕即为所求； （3）解：如图，当点在的右边时， ∵沿折叠，使顶点落在点处， ∴， ∵， ∴， ∵沿折叠，使顶点落在点处， ∴， ∴； 当点在的左边时，如图， ∵沿折叠，使顶点落在点处， ∴， ∵， ∴， ∵沿折叠，使顶点落在点处， ∴， ∴； 综上，的度数为或； （4）解：如图，当点在的右边时， 由折叠可得， ∵， ∴， ∵射线是的角平分线， ∴， ∴， ∴由折叠得， ∴； 当点在的右侧，在的左侧时，如图， 由折叠可得，， ∴， ∵， ∴， ∵射线是的角平分线， ∴， ∴， ∴由折叠得，， ∴； 综上，的度数为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 5.4 图形的轴对称全章复习讲义（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点一】轴对称图形与轴对称 2 【题型 1】轴对称图形的识别 2 【题型 2】轴对称图形的性质 3 【题型 3】轴对称图形与折叠问题 4 【知识点二】等腰三角形性质 5 【题型 4】等腰三角形性质——三线合一 5 【题型 5】等腰三角形性质——等边对等角 6 【题型 6】等边三角形性质综合 8 【知识点三】垂直平分线 9 【题型 7】利用垂直平分线性质求值证明 9 【知识点四】角平分线的性质 10 【题型 8】利用角平分线性质求值证明 10 【知识点五】尺规作图——垂直平分线与角平分线 11 【题型 9】尺规作图——角平分与垂直平分线作图与求值 12 二.综合培优题型精析 13 【题型 10】轴对称性质——将军饮马问题 13 【题型 11】等腰三角形性质——动点问题 14 三.同步检测 16 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分,） 16 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 23 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 28 一.知识梳理与基础题型精析 【知识点一】轴对称图形与轴对称 1、如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫作轴对称图形，这条直线叫作对称轴。 2、如果两个平面图形沿一条直线折叠后能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线叫作这两个图形的对称轴。 3、在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等。 【题型 1】轴对称图形的识别 【例题1】（24-25八年级上·黑龙江大庆·期末）如图，由△ABC经过怎样的变换得到△DEC．答：_______． 【变式1】（2026·贵州遵义·二模）下列图案中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·山东德州·期末）下列两图形成轴对称的是（ ） A． B． C． D． 【变式3】（23-24八年级上·全国·期中）观察下列图形，其中是轴对称图形的是__________（填序号） 【题型 2】轴对称图形的性质 【例题2】（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）如图，已知点是内的一点，，分别是点关于、的对称点，连接，与、分别相交于点，，已知，求的周长． 【变式1】（25-26八年级上·福建厦门·期末）如图，与关于直线对称，下列所连线段中，能被直线垂直平分的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·江苏连云港·期中）在中，，于D，点B关于的对称点在上，若，则______． 【变式3】（25-26八年级上·河北邯郸·期末）如图，在正方形网格纸中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点均在格点上． （1）在图中作关于直线对称的； （2）若直线上有一点，请标出使的值最小时的位置，并求出的最小值． 【题型 3】轴对称图形与折叠问题 【例题3】（2026七年级下·江苏·专题练习）美术课上我们经常利用长方形的卡纸玩折纸游戏．如图，将长方形卡纸沿折痕折叠，点C落在了点处，交于点N． （1）如果 ，那么 °； （2）点E为线段上一点，将三角形沿折叠，点A恰好落在上的点处，如果，请用α的代数式表示； （3）将三角形沿折叠，点A落在点处，当时，求出的度数． 【变式1】（25-26六年级下·山东淄博·期中）数学活动课上，老师让同学们折叠矩形纸片进行探究活动．兴趣小组的同学通过如图的方法折纸后进行探究，并提出了以下说法．下列说法中不正确的是（    ） A．平分 B． C．与互补 D．与互余 【变式2】（25-26七年级下·浙江温州·期中）如图，将一张长方形纸带沿折叠，将点、分别折至、，若，则的度数为______． 【变式3】（25-26七年级上·江西抚州·期末）点分别是长方形纸片边上的点，沿翻折，点A落在点处，点B落在点处． （1）如图1，当点恰好落在线段上时，求的度数； （2）如图2，当点落在的内部时，若，求的度数． 【知识点二】等腰三角形性质 1、等腰三角形相关概念 相等的两边称为腰，两腰所对的角称为底角，另一个角称为顶角，顶角所对的边称为底边。 2、 等腰三角形的性质 （1）对称性：等腰三角形是轴对称图形； （2）三线合一：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称“三线合一”），它们所在的直线是等腰三角形的对称轴； （3）等边对等角：等腰三角形的两个底角相等。 【题型 4】等腰三角形性质——三线合一 【例题4】（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图：在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【变式1】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）下列说法中，正确的有（   ）个． ①两个全等的三角形一定关于某直线对称； ②关于某条直线对称的两个图形，对称点所连线段被对称轴垂直平分； ③等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合； ④等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）八年级（1）班分到一块呈等腰三角形的菜地，如图，，为了方便灌溉，从顶点A修了一条与底边垂直的水渠， 已知， 则_______m． 【变式3】（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图1是一个平分角的仪器，其中． （1）如图2，将仪器放置在锐角上，使点与点重合，，分别在边，上，沿画一条射线，交于点，求证：平分； （2）如图3，在（1）的条件下，过点作，垂足为，在边上，若，求证：． 【题型 5】等腰三角形性质——等边对等角 【例题5】（25-26八年级上·江苏淮安·期末）如图，点A、D、C、F在一条直线上，且，，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【变式1】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，以A为圆心，长为半径画弧交于点E，以点E为圆心，长为半径画弧交于点D，若，，则的度数为（   ）度 A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）已知一个等腰三角形的顶角为，则该三角形的底角的度数为________． 【变式3】（25-26八年级上·江苏泰州·月考）如图，．若， （1）如果，那么的度数为______°； （2）猜想和的数量关系并证明． 3、 等边三角形的性质 （1）三条边长等，属于特殊的等腰三角形。 （2）三个内角都相等，每个角都是 60∘。 （3）三线合一：每条边上的中线、高、对应角平分线重合，有三条对称轴，分别为三边的垂直平分线。 【题型 6】等边三角形性质综合 【例题6】（25-26八年级上·江西赣州·期末）如图，是等边三角形，是边上的点，且，． （1）求证：； （2）判断的形状，并说明理由． 【变式1】（2026·北京顺义·一模）如图，，点在射线上，以点为圆心，长为半径画弧，分别交射线于点，连接，分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点，连接，则的大小为（    ）． A．100° B．105° C．110° D．115° 【变式2】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，等腰，，，则________． 【变式3】（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，在和中，，，，连接、交于点F． （1）求证： （2）若，求的度数． 【知识点三】垂直平分线 1、 线段垂直平分线定义：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线（简称中垂线）。 2、 线段垂直平分线性质： （1）线段是轴对称图形，垂直并且平分线段的直线是它的一条对称轴； （2）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 【题型 7】利用垂直平分线性质求值证明 【例题7】（25-26八年级下·四川成都·期中）如图，在中，，平分，交于点． （1）求作：射线，使得，垂足为点；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，与相交于点，若，求的度数； 【变式1】（25-26八年级下·广东清远·期中）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，则的周长为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【变式2】（2026·四川成都·二模）如图，在中，边的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，若，，则的周长为______． 【变式3】（25-26八年级下·广东湛江·开学考试）如图，在中，，的平分线交于点D，过点D作，垂足为E，此时点E恰为的中点． （1）求证：； （2）若，求的长． 【知识点四】角平分线的性质 （1）角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴； （2）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 【题型 8】利用角平分线性质求值证明 【例题8】（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图，已知四边形的面积为16，平分． （1）求点D到的距离的长； （2）若，求证：． 【变式1】（2026·陕西西安·三模）如图，在中，，平分，若，则点到的距离为（   ） A．4 B． C． D．3 【变式2】（2025七年级下·重庆沙坪坝·专题练习）如图，在中，，D是边上一点，连接．将沿直线翻折后，点B恰好在边上点，使得，则点D到的距离是______ 【变式3】（25-26八年级上·重庆忠县·期末）在如图所示的中，平分交于点D． （1）若，，求的度数； （2）过点D作于点E，若，，，求的面积． 【知识点五】尺规作图——垂直平分线与角平分线 1、 尺规作图——线段垂直平分线： （1） 分别以已知线段的两个端点为圆心，以大于线段一半的长为半径画弧； （2） 在线段上下两侧各画出两组弧，使两侧弧分别相交； （3） 得到上下两个交点； （4） 过两个交点作直线，这条直线即为该线段的垂直平分线。 2、 尺规作图——角的平分线： （1） 以角的顶点为圆心，任意长为半径画弧，交角的两条边于两个点； （2） 分别以这两个交点为圆心，选取适当等长为半径； （3） 在角的内部作弧，两弧相交于一点； （4） 连接角的顶点与该交点，所得射线即为这个角的平分线。 【题型 9】尺规作图——角平分与垂直平分线作图与求值 【例题9】（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）如图，点在直线上，是的平分线． （1）仅利用无刻度的直尺与圆规，作出的平分线，记为．（不写作法，但要保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，试说明：． 【变式1】（2026·云南红河·一模）如图，在内，按下列步骤进行尺规作图的操作： ①以为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，； ②分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部交于点； ③作射线． 已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·河南新乡·期中）如图，在中，，，根据图中的作图痕迹，可得的度数为________． 【变式3】（25-26七年级下·江苏南京·期中）按要求完成作图 （1）尺规作图：如图①，已知，作的对称轴； （2）仅用直尺：如图②，作出线段的垂直平分线． 二.综合培优题型精析 【题型 10】轴对称性质——将军饮马问题 【例题10】（24-25七年级下·广东清远·期末） “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李顾《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题． （1）如图1，若点A和点B分别在直线l的两侧，请作出示意图，在直线l上找到点C，使得有最小值，并说明作图依据： ； （2）如图2，若点A和点B在直线l的同侧，请在直线l上作出点P，使得有最小值，并说明理由． 【变式1】（25-26八年级上·河北廊坊·期中）数学课上，老师给出如图所示的直角三角形，其中，动点在线段上运动（不与端点重合），点关于边的对称点分别为，连接，点在上，小明认为：点在运动过程中，始终是直角三角形；小亮认为：点在运动过程中，线段存在最小值，最小值为，下列判断正确的是（   ） A．只有小明正确 B．只有小亮正确 C．两人都对 D．两人都错 【变式2】（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，在直角中，，，，，、、分别是、、边上的动点，则的最小值是________． 【变式3】（25-26七年级上·山东威海·期中）如图，在正方形网格中有一个，其顶点都在格点上，小正方形网格的边长为（用直尺画图，保留画图痕迹）． （1）画出格点关于直线对称的； （2）在直线上找一点，使值最小；并求出最小值（要求在直线上标出点的位置） （3）求出的面积 【题型 11】等腰三角形性质——动点问题 【例题11】（25-26八年级上·吉林长春·开学考试）如图，在长方形中，，．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向终点运动；同时动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向终点运动，连结．设点的运动时间为秒（）． （1）当点在边上时，线段的长为；（用含的代数式表示）当点在边上时，线段的长为；（用含的代数式表示） （2）当线段将长方形分割后，所得图形中存在轴对称图形时，求的值； （3）若点到达点后，立即以原速度的倍返回到点，同时点以原速度继续向终点运动．在点的整个运动过程中，作点关于点的中心对称点，当的面积是面积的倍时，直接写出的值． 【变式1】（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图，是的平分线，点D是上一点，点F为直线上的一个动点．若的面积为18，，则线段的长不可能是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【变式2】（25-26七年级上·河北保定·阶段检测）如图，分别是长方形的边上的点，是折线上的动点，将沿折叠至处，同时将沿折叠至处．当时，，则的度数为____________． 【变式3】（20-21七年级下·山东青岛·期末）古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸同侧的两个军营A，B．他总是先去A营，再到河边饮马，之后，再巡查B营．他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢?大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题． 如图2，作B关于直线l的对称点B′，连结AB′与直线l交于点C，点C就是所求的位置． 证明：如图3，在直线l上另取任一点C′，连结AC′，BC，B′C′， ∵直线l是点B，B′的对称轴，点C，C′在l上， ∴CB=_________，C′B=_________， ∴AC +CB=AC+CB′=_________． 在△AC′B′， ∵AB′＜AC′+C′B′， ∴AC+CB＜AC′+C′B′即AC+CB最小． 本问题实际上是利用轴对称变换的思想，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中C在AB′与l的交点上，即A，C，B′三点共线）．本问题可归纳为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”的问题的数学模型． 拓展应用：如图，等腰直角△ABC中，∠ACB = 90°，BD平分∠ABC交AC于D，点P是BD上一个动点，点M是BC上一个动点，请在图5中画出PC + PM的值最小时P的位置．（可用三角尺） 三.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分,） 1．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）下列图形是几款常用AI软件的图标，其中轴对称图形是（颜色除外）（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此进行判断即可． 【详解】 解：B，C，D不是轴对称图形，A是轴对称图形， 故选：A． 2．（2026七年级下·全国·专题练习）如图，若与关于直线对称，交于点，则下列说法中，不一定正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据轴对称的性质对各选项分析判断后利用排除法求解；轴对称的性质：对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等． 【详解】解：与关于直线对称， ， ， ，故A、C、D选项正确， 不一定成立，故B选项错误， 所以，不一定正确的是B． 3．（25-26七年级下·江苏镇江·期中）如图，每个小三角形都是等边三角形，再将1个小三角形涂黑，使4个小三角形构成轴对称图形．不同涂法有 （    ）种． A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】根据轴对称的性质进行作图即可． 【详解】解：如图所示： 满足题意的涂色方式有4种． 4．（25-26八年级上·湖南娄底·期末）如图，在中，，将三角形折叠，使点与点重合，折痕为．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了等腰三角形的性质、折叠的性质，熟记折叠的性质是解题的关键． 由等腰三角形性质可得，由折叠得到，即可． 【详解】解：∵，， ∴， 由折叠得， ∴． 故选：B． 5．（23-24八年级下·云南文山·期末）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质可得，然后利用线段垂直平分线的性质可得，从而可得，最后利用角的和差关系进行计算即可解答． 【详解】解：，， ， 是的垂直平分线， ， ， ． 6．（21-22八年级上·重庆璧山·期中）如图，中，，利用尺规在，上分别截取、，使；分别以D、E为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F；作射线交于点G．若，P为上一动点，则的最小值为（   ） A．无法确定 B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】由垂线段最短可得，当时，的值最小，再结合角平分线的性质定理即可得出结果． 【详解】解：由作图可得：平分， 由垂线段最短可得，当时，的值最小， ∵， ∴由角平分线的性质定理可得，即的最小值为． 7．（24-25八年级上·云南昆明·期中）昆明市打算在某条街道新建一所中学，为了方便居民区A、B的学生上学，要使A、B两小区到学校的距离之和最小，则学校C的位置应该在（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最短路径，先作点A关于街道的对称点，再连接，与街道的所在直线的交点即为点，此时，满足A、B两小区到学校的距离之和最小，即可作答． 【详解】解：∵要使A、B两小区到学校的距离之和最小， ∴先作点A关于街道的对称点，再连接，与街道的所在直线的交点即为点，学校C的位置如图所示： ∴此时， 故选：C． 8．（25-26七年级下·江苏淮安·期中）如图，已知四边形纸片．按图、图的折纸方法依次折叠后再展开，得到两条折痕，如图第二条折痕与边交于点，连接、．若，平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由折叠可知， 根据平行线的性质结合角平分线的性质求解即可． 【详解】解：由折叠可知， ． ，平分， ， ． 9．（25-26七年级下·山东临沂·期中）如图1，已知是一块平面镜，光线在平面镜上经点反射后，形成反射光线，我们称为入射光线，为反射光线．镜面反射有如下性质：入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，即．如图2，和是两块平面镜，入射光线经过两次反射后，得到反射光线．则下列结论错误的个数是（    ） ①若，则；②若，则；③若，则；④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据反射的性质和平行线的性质和判定逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，故①正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故②正确，不符合题意； C、∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，不能得出，故③错误，符合题意； D、∵， ∴， ∵，， ， ∴，故④正确，不符合题意； 综上，错误的个数为1个． 10．（2026·浙江杭州·一模）如图，已知，按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于点；②以点为圆心，大于长为半径画弧，分别交边于点；③连接，交点为，作射线.则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据作图步骤可得，利用证明，进而利用证明，得到，最后利用证明，即可得出. 【详解】解：由作图步骤可知：， 在和中， ， ； ； ， ， ， ， 即； 在和中， ， ； ； 在和中， ， ； ， 即. 其它选项均无法得到. （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）如图，线段与关于直线l对称，与直线l相交于点O，若，则______． 【答案】36 【详解】解：∵ ∴ ∵线段与关于直线l对称，与直线l相交于点O， ∴． 12．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）浏水月夜民宿用等腰形状设计窗台，为保证窗台两侧受力均匀，需使，并用连接和加固支架．已知是边的中点，且，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解题的关键． 已知等腰中，是边的中点，根据等腰三角形“三线合一”的性质，平分顶角，因此只需将的度数除以即可得到的度数． 【详解】解：∵在等腰中，，是边的中点， ∴平分（等腰三角形三线合一）， ∵， ∴， 故答案为：． 13．（25-26八年级上·广东湛江·期末）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，点，过这两个点作直线，交于点，连接．若，，则的长为_____． 【答案】4 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、尺规作图等知识点，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 首先求出，由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得． 【详解】解：∵，， ∴， 由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ∴． 故答案为：4． 14．（25-26七年级下·四川德阳·期中）如图1是长方形纸带，，先将纸带沿折叠成图2，再沿折叠成图3，则图3中的度数为___． 【答案】96度/ 【分析】由得出，然后结合折叠的性质求解． 【详解】解：四边形为长方形， ， ． 由翻折的性质得，图2中，， ∵ ∴， ∴， ∴图3中，． 15．（25-26七年级上·辽宁沈阳·阶段检测）如图，已知，在的内部．按下列步骤作图： （1）在上取一点M，以点O为圆心，以为半径画弧交射线于点N； （2）以点N为圆心，线段的长为半径画弧交前弧于点D； （3）以点O为端点，作射线． 若，则的度数为______． 【答案】/130度 【分析】本题考查了尺规作图—角平分线，角平分线的定义，熟练掌握其相关知识点是解题关键． 根据作图得到，根据余角的性质可得到，即可求解． 【详解】解：由作图过程可知，， ∵， ∴ ， ∴． 故答案为：． 16．（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，"，点E、F分别在射线上，，的面积为10，点P是直线上的动点，点P关于对称的点为，点P关于对称的点为，则______的面积最小值为______． 【答案】 /度 【分析】本题考查了轴对称、垂线段最短等知识点，连接，过点作交的延长线于，，先利用三角形的面积公式求出，再根据轴对称的性质可得，，，从而可得，然后利用三角形的面积公式可得的面积为，根据垂线段最短可得当点与点重合时，取得最小值，的面积最小，由此即可得． 【详解】解：如图，连接，过点作交的延长线于， ∵，且， ∴， ∵点关于对称的点为，点关于对称的点为， ∴，，， ∵， ∴， ∴的面积为， 由垂线段最短可知，当点与点重合时，取得最小值，最小值为， ∴的面积的最小值为， 故答案为：；． 17．（21-22八年级上·湖北黄冈·期末）已知，如图，，点M，N分别是边OA，OB上的定点，点P，Q分别是边OB，OA上的动点，记，，当最小时，则______． 【答案】60°/60度 【分析】作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P，则MP+PQ+QN最小易知∠OPM＝∠OPM′＝∠NPQ，∠OQP＝∠AQN′＝∠AQN，根据三角形的外角的性质和平角的定义即可得到结论． 【详解】解：如图，作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P，则MP+PQ+QN最小， ∴∠OPM＝∠OPM′＝∠NPQ，∠OQP＝∠AQN′＝∠AQN， ∴∠QPN＝（180°﹣α）＝∠AOB+∠MQP＝30°+ （180°﹣β）， ∴180°﹣α＝60°+（180°﹣β）， ∴β﹣α＝60°， 故答案为：60． 【点睛】本题考查轴对称﹣最短路线问题、三角形的内角和定理．三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用轴对称知识作出辅助线解决问题． 18．（25-26七年级下·吉林长春·期中）如图，点P是外的一点，点M，N分别是两边上的点，点P关于的对称点Q恰好落在线段上，点P关于的对称点R落在的延长线上．若，，，则线段的长为______． 【答案】 【分析】根据轴对称的性质可得，，再根据得出答案． 【详解】解：∵点P关于的对称点是Q， ∴， 同理． ∵， ∴． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26七年级下·全国·单元测试）如图，若与关于直线对称，交于点． (1)点的对称点是点 ，点的对称点是点 ； (2)若，则 ； (3)写出两组相等的线段． 【答案】(1)， (2) (3)，（答案不唯一） 【详解】（1）解：∵与关于直线对称， ∴点的对称点是点，点的对称点是点 （2）解：∵与关于直线对称， ∴，则 （3）解：∵与关于直线对称， ∴，．（答案不唯一）． 20．（本小题满分8分）（25-26七年级上·北京门头沟·期末）如图，．点为内部一点．平分平分． (1)当时．依题意补全图形．并求的度数； (2)当时，直接用含的代数式表示的度数． 【答案】(1)图形见解析， (2) 【分析】本题考查了角平分线的性质，角平分线的作图，角度的计算，解决本题的关键是熟练掌握角平分线的性质． （1）根据角平分线的作图方法作图即可，由可得，再根据角平分线的性质即可得； （2）注意分情况讨论：当与重合时， ，故分 ，和 三种情况讨论；先表示出，再根据角平分线的性质表示出与，再由角度的计算求解即可． 【详解】（1）解：以点O为圆心，任意长度为半径画弧， 分别交，于点M，点N， 以点M为圆心，大于一半的长度为半径画弧， 再以点N为圆心，相同长度为半径画弧，两弧相交于点D， 连接，则为的角平分线， 同样方法即可作出的平分线，如图， ∵，， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴； （2）解：当与重合时，如图①， ， ①当时，如图①， ∴ ， ∴ ； ②当 时，如图②， ∵，， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴． ③当 时，如图③， ∵，， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴． 21．（本小题满分10分）（25-26八年级下·全国·周测）在中，是边上的点（不与点，重合），连接． (1)如图①，当是的平分线时，若，，求的值（用含，的代数式表示）． (2)如图②，平分，延长至点，使得，连接．若，，，求的值． 【答案】(1) (2)9 【分析】（1）过点作于点，于点，根据角平分线性质求出，根据三角形面积公式求出即可； （2）根据已知和（1）的结论求出和的面积，即可求出的面积． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，于点． 是的平分线，，， ． ，， ． （2）解：， ． ， ． ，，平分， ∴由（1）知，， ， ． 【点睛】本题考查了角平分线性质和三角形的面积公式，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用面积法解决问题． 22．（本小题满分10分）（24-25八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，中，垂直平分，交于点，交于点，，垂足为，且，连接． (1)求证：点为的中点； (2)若，的周长为，求的长； (3)若，，（其中）求的周长．（用含有、的代数式表示） 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． （1）由垂直平分得到，再证明，最后利用等腰三角形“三线合一”的性质即可得结论； （2）由题意得，从而得出，即，由线段垂直平分线的性质可得．可得，再由，，可得，再求解即可； （3）先求得，再由垂直平分线的性质得出，从而得出，再由，，可得，即可得答案． 【详解】（1）证明：∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴点为的中点． （2）解：∵的周长为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． （3）解：∵， ∴， ∵垂直平分， ∴． ∴， ∴，， ∴， ∴的周长． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在中，作的平分线． (1)下列操作中，作的平分线的正确顺序的序号依次为________． ①分别以点为圆心，大于的长为半径作圆弧，在内，两弧交于点P； ②以点B为圆心，适当长为半径作圆弧，交于点M，交于点N； ③作射线，交于点D． (2)证明的理论依据是________（填序号）． ①SSS；②ASA；③AAS；④角平分线上的点到角两边的距离相等． (3)过点D作于E，若，，，求的长． 【答案】(1)②①③ (2)① (3)． 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，作角平分线； （1）根据作角平分线的顺序进行判断，即可求解； （2）证明，根据全等三角形的性质，即可得证； （3）根据角平分线的性质可得，进而根据，即可求解． 【详解】（1）解：作的平分线的正确顺序是②①③； 故答案为：②①③； （2）解：能说明的依据是①； 如图所示，连接，． 在和中， ， 故选：①； （3）解：如图所示，过点作于点． ，，， ． ， 即， ， 解得． 24．（本小题满分12分）（24-25七年级下·江苏淮安·期末）综合与实践课上，同学们动手折叠一张长方形纸片，点在边上，点分别在边上，沿折叠，使顶点落在点处，其中题中所有角都是指小于的角． (1)如图，______（填“”“”或“”）； (2)如图，若沿折叠，使顶点落在点处，点，点，点恰好在一条直线上，请用无刻度直尺和圆规作图，作出折痕（在图上标注出点）； (3)如图，若，，求的度数（用含的代数式表示）； (4)连接，若，，且射线，射线，射线都与长方形的边相交，若射线是的角平分线，求出的度数．（用含的代数式表示） 【答案】(1) (2)作图见解析 (3)或 (4) 【分析】（）根据折叠的性质即可求解； （）作的角平分线交于，线段即为所求； （）分点在的右边和左边两种情况，分别画出图形，根据折叠的性质和平角的定义解答即可求解； （）当分点在的右边和点在的右侧，在的左侧两种情况，分别画出图形，根据折叠的性质和角平分线的定义解答即可求解； 本题考查了作角平分线，折叠的性质，角平分线的定义，掌握折叠的性质并利用分类讨论的思想解答是解题关键 【详解】（1）解：∵沿折叠，使顶点落在点处， ∴， 故答案为：； （2）解：如图所示，折痕即为所求； （3）解：如图，当点在的右边时， ∵沿折叠，使顶点落在点处， ∴， ∵， ∴， ∵沿折叠，使顶点落在点处， ∴， ∴； 当点在的左边时，如图， ∵沿折叠，使顶点落在点处， ∴， ∵， ∴， ∵沿折叠，使顶点落在点处， ∴， ∴； 综上，的度数为或； （4）解：如图，当点在的右边时， 由折叠可得， ∵， ∴， ∵射线是的角平分线， ∴， ∴， ∴由折叠得， ∴； 当点在的右侧，在的左侧时，如图， 由折叠可得，， ∴， ∵， ∴， ∵射线是的角平分线， ∴， ∴， ∴由折叠得，， ∴； 综上，的度数为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $