2026年黑龙江省大庆市萨尔图区中考 二模数学试题

**基本信息** 以科技前沿（如AI鹰眼系统、人机共跑）与文化传承（如汉字轴对称、“明德启智”定义）为情境，覆盖初中数学四大领域，梯度设计适配二模综合能力评估。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|正负数、轴对称图形、科学记数法等|结合月球温度、汉字文化考查抽象能力与几何直观| |填空题|8/24|二次根式、因式分解、新定义“明德启智函数”等|通过虚数运算、动点图像分析提升推理意识| |解答题|10/66|方程应用、二次函数建模、几何证明等|以机器人速度、网球轨迹为背景，体现模型意识与应用能力|

▣▣ 成绩报告查询： 攀}扫描维码下我四 ■■ ■■ 可沙转 2.应用商店搜索【好分数】下载安装 数学学科模拟试题答题卡 班级： 姓名： 注意事项 准考证号 1. 答题前请将姓名、班级、考场、座 号和准考证号填写清楚。 2. 客观题答题，必须使用2B铅笔填涂， [0] [0] [0] [0][0][0] [0] [0] ■ 修改时用橡皮擦干净 [1] C1] C1] [1][1][1] [1] [1] 3. 主观题必须使用黑色签字笔书写。 [2] [2] [2] [2][][2] [] 4. 必须在题号对应的答题区域内作答， [3] [3] [3] [3][3][3] [3] 3 超出答题区域书写无效。 [4] [4] [4] [4] [4][4] [4] 4 5. 保持答卷清洁完整。 [5] [5] [5] [5] [5] [5] [5] [5] [6] [6] [6] [6] [6] [6] [6] [6] [7] [7] [7] [7] 7] [7] [7] 正确填涂 缺考标记 口 [8] [8] [8] [8] [8 [8] [8] [8] [9] [][9] [9][9][9] [9][9] 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） ■ I[A][B][c][D] 6[a][B][c][D] 2[A][B][C][D]7[A][B][c][D] ■ 3[A][B][C][D]8[A][B][c][D] ■ 4[A][B][C][D]9[A][B][c][D] 5[A][B][C][D]I0[A][B][c][D] ■■■■■■■■■ 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 三、解答题（本大题共10题，共66分） 19.(本题4分)》 计第：25×8-a-+s-小- ▣▣ ID:4075339 20.(本题4分) 先化简，再求值： a2-2ab+b2,a2-b2 a-b+ ,其中a=2026°，b=21 a+b 21.(本题5分) 22.(本题6分) D M E 图2 图3 第1页共2页 23.(本题7分) 24.(本题7分) A B D E B 图1 图2 25.(本题7分)》 26.(本题8分) y/米小 3.5 2 A 0 6 米 ▣聚▣ ▣ ID:4075339 请使用2B铅笔填涂选择题答案等选项及考号 27.(本题9分) E 第2页共2页 28.(本题9分)》 y本 m E A0 B 图3 姓名： 考号 ■ 数学学科模拟试题 考试时间:120分钟 满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．月球表面的白天平均温度是零上 126°C 记作+126°C，夜间平均温度零下150°C应记作（　　） A．+150°C B．﹣150°C C．+276°C D．﹣276°C 2．中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．下列四个选项中，是轴对称图形的为（　　） A．爱 B．我 C．中 D．华 3．通电瞬间，导线中的电流以接近光速形成，但其中自由电子定向移动的平均速度大约只有0.000074m/s，比蜗牛爬行的速度还慢．数据“0.000074”用科学记数法表示为（　　） A．0.74×10﹣4 B．7.4×10﹣4 C．7.4×10﹣5 D．74×10﹣6 4．下列几何体中，主视图和俯视图相同的是（　　） A． B． C． D． 5．如图，△ABC绕点A逆时针旋转64°得到△ADE，DE边经过点C，∠ABC＝38°，则∠ACB的 度数为（　　） A．56° B．57° C．58° D．64° 6．下列说法正确的是（　　） A．如果|a|＝|b|，那么a＝b B．命题“同旁内角互补”是假命题 C．两点可以确定无数条直线 D．相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等 7．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，点O、A、B都在格点上，若扇形AOB是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的高为（　　） A． B． C． D． 8． 如图，一块含45°的直角三角板放在平面直角坐标系中，直角边BC与x轴重合，点A在双曲线y= 上，C（﹣1，0），，则△DEF的面积为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 9．小亮在学习函数后，在“几何画板”软件中绘制了函数的图象，如图所示．通 过观察此图象，下列说法错误的是（　　） A．点在的图象上 B．当时，随的增大而减小 C．最多有三个实数根 D．若，则 10．如图，∠A＝∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，AD＝1，点E为边AB上的动点．将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接FB，FC，EC，则下列结论错误的是（　　） A．EC﹣ED的最大值是2 B．FB的最小值是 C．EC+ED的最小值是4 D．FC的最大值是 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11．若二次根式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是 　 　 ． 12．因式分解：a2-9b2＝ 　 　 ． 13．关于x的一元一次不等式组的所有整数解的积是 　 　 ． 14．在一个平衡的天平左、右两端托盘上，分别放置质量为10g和25g的物品后，天平倾斜（如 图所示），现从质量为5g，10g，15g的三件物品中， 随机选取两件放置在天平的左端托盘上，则天平恢 复平衡的概率为 　 　 ． 15． 如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，点A的坐标为（0，3），点D的 坐标为（1，0），点C落在x轴的正半轴上，点B落在第一象限内．根据尺规作图的痕迹可知，点H的坐标为 　 　 ． 16．我们知道，一元二次方程x2＝﹣1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于﹣1．若我们定义一个新数“i”，使其满足i2＝﹣1（即方程x2＝﹣1有一个根为i），并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有i1＝i， i2＝﹣1，i3＝i2•i＝﹣i，i4＝（i2）2＝1，例如：i+i2+i3+i4+i5＝i-1-i+1+i＝i. 则i+i2+i3+…+i2026＝ 　 　 ． 17．如图①，A、B是⊙上的两定点，点P是圆上一动点，点P从点A出发，按逆时针方向匀 速运动到点B．设动点P运动的时间是x（s），线段AP的长度是y（cm），图②是y随x变 化的关系图象， 则动点P的运动速度为 　 　 cm/s． 第15题图 第17题图 18．“明德启智”以明德立品，以启智赋能，彰显了当代教育德才兼备的育人追求.我们不妨约定：在平面直角坐标系中，横、纵坐标相等的点称为“明德点”，横、纵坐标互为相反数的点称为“启智点”．把函数图象至少经过一个“明德点”和一个“启智点”的函数称为“明德启智函数”.下列说法正确的序号为 　 　 ． ①已知函数是一个“明德启智函数”，则该函数图象上的“明德点”为（1,1）； ②二次函数的顶点是一个“明德点”，并且该函数图象还经过一个“启智 点”，则该二次函数的解析式为； ③二次函数（c，d为常数，）图象的顶点为点M，与y轴交于点N， 若经过点M，N的直线 上存在无数个“明德点”，则该函数图象上的所有“启智点”为，（0,0），－，. 三、解答题（本大题共10题，共66分） 19．（本题4分） 计算：． 20．（本题4分） 先化简，再求值：，其中，． 21．（本题5分） 2026年4月19日，全球首次“人机共跑”半程马拉松在北京完赛，国内高校，科研机构，企业等20支机器人队伍参赛，其中6支成功完赛，这些技术突破具有里程碑的意义，未来将应用于工业制造，物流分拣，特种作业，家庭服务或养老服务等场景．这次机器人马拉松比赛里程约为21km，北京天工机器人获得冠军，松延动力机器人获得亚军．北京天工机器人每小时比松延动力机器人多跑，用时比松延动力机器人少，求松延动力机器人的平均速度． 22．（本题6分） 某种水龙头关闭时如图1所示，将其简画成图2，D，A，E三点共线，E﹣A﹣B﹣C是水 管，AE⊥台面MN．A﹣D﹣F是开关，可整体绕点A上下旋转，且AD⊥DF，AE⊥AB，连接AF， ∠FAD＝71°，AE＝14cm，AD＝4cm． （1）求AF的长度（结果保留整数）； （2）如图3，当开关开到最大时，△ADF旋转到△AD′F′的位置上，旋转角∠F′AF＝ 41°，求此时点F′到台面MN的距离（结果保留整数）．（参考数据：sin71°≈0.95， cos71°≈0.33，tan71°≈2.9，π取3.14，，） 23．（本题7分）初中数学课程内容包含数与代数、空间与图形、统计与概率、综合与实践四个学习领域.甲、乙两名学生参加数学素质测试（四项），每项测试成绩采用百分制，成绩如下表. 学生 数与代数 空间与图形 统计与概率 综合与实践 平均成绩 方差 甲 87 93 85 91 89 乙 89 96 80 91 33.5 （1）请计算甲的四项成绩的方差和乙的平均成绩； （2）若数与代数、空间与图形、统计与概率、综合与实践的成绩按4:3:2:1计算，哪位学 生数学综合素质测试成绩更好？请说明理由． 24．（本题7分）【综合与实践】主题：探究特殊四边形的折叠问题 在数学活动课上，老师发给每位同学一张矩形纸片，引导同学们进 行折叠探究． 操作一：如图，点E为边BC上一点，将△ABE沿直线AE折叠，点B的对应点恰好落在 边CD上． （1）求证：△B＇CE∽△ADB＇. 操作二：如图，将矩形纸片先沿对角线AC对折，再展开，折痕为AC．点F为边AB上一 点，将沿直线EF折叠，使点A的对应点落在对角线AC上． （2）若AB=6，BC=8，当点为AC的三等分点时，求AF的长． 25．（本题7分）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与反比例函数在第 一象限中的图象交于点A，，点C为反比例函数图象上位于A点上方的一 点，直线AC与轴，轴分别交于D，E两点． （1）求反比例函数的解析式； （2）若AC=2AD，求点E的坐标． （3）在（2）的条件下，根据图象，直接写出-＞0的解集. 26．（本题8分）某智慧网球馆部署了AI鹰眼系统，该系统能够实时捕捉网球的飞行轨迹、速度、落点等关键数据，并自动生成分析报告，帮助教练科学评估球员表现、制定个性化训练方案．在一次训练中，该系统追踪到球员小明的某次发球：小明从点O正上方2米的A点将球击出，球在距离发球点A水平距离6米处达到最高，最高点距离地面3.5米．在如图所示的平面直角坐标系中，O为原点，OA在y轴上，球的飞行轨迹可近似看作抛物线的一部分，其中y（米）是球的高度，x（米）是球与原点的水平距离． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）已知球网高1.07米，发球点A到球网的水平距离为13米，求该球飞行到球网正上方 时，球离球网顶端的高度差；（不考虑球网中间下垂；结果精确到0.01米） （3）鹰眼系统显示，球员小亮站在球飞行轨迹的正前方，且距原点16米处准备接球．已 知小亮的有效接球高度范围为米至米（即球离地面的高度在此范围内时，球员能够成 功击球），且小亮只能在球飞行至其站立位置正上方（即球的横坐标与球员站位相同）时 进行击球．经系统计算，球会在小亮站立位置之前落地，因此小亮需要向前移动d米 （0＜d＜3）才能击到球．那么小亮刚好能在有效接球高度范围成功击球时，d的最小值是 多少？ 27．（本题9分）如图，在△ABC中，∠ACB=900，点D和点E分别在AB和AC边上（不与端点重合），且AD=AE，延长DE和射线BC交于点F，作DG⊥DF，与BC边交于点G，作△FDG的外接圆⊙在BF上方的部分，连接OD． （1）若∠OFD=300，OD=2，求DG的长． （2）求证：AB是⊙的切线． （3）若AC=3，BC=4，求tan∠DFG的值． 28．（本题9分）如图1，平面直角坐标系中，有抛物线G1：y＝a（x+1）（x﹣3）．设抛物线G1与x轴相交于点A，B，与y轴正半轴相交于点C，且OC＝3． （1）求a的值． （2）如图2，将抛物线G1平移得到抛物线G2，使G2过点C和（﹣1，6），求抛物线G2的解 析式． （3）设（2）中G2在y轴左侧的部分与G1在y轴右侧的部分组成的新图象记为G．过点C 作直线 平行于x轴，与图象G交于D，E两点，如图3． 1 过G1的最高点H作直线m∥ 交G2于点M，N（点M在点N左侧），求MN﹣NH的值； 2 点P是图象G上一个动点，当点P与直线 的距离小于4时，直接写出点P的横坐标 m的取值范围． 第2页 共6页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学学科模拟试题 参考答案 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C C C C B A B D A 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. x≤2026 ； 12.（a+3b）（a-3b） ； 13. 　　12 ； 14. 　 ； 15. ( ,3) 　 ； 16. i-1 ； 17. ； 18. 　 ① 　 . 三、解答题（本大题共10小题，共66分） 19．（本题4分） 解：原式 ……………………………………………2分 ． ………………………………………………………………………4分 20．（本题4分） 解：原式 ， ……………………………………………………………………………………2分 ，， 原式． …………………………………………………………………4分 21．（本题5分） 解：设松延动力机器人的平均速度是， 则北京天工机器人的平均速度是， …………………………………………1分 由题意得， …………………………………………………………2分 即， 整理得，即， 解得或（舍去）， ………………………………………………………4分 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：松延动力机器人的平均速度是6km/h. ……………………………………………5分 22．（本题6分） 解：（1）由题意得，在中，∠FAD＝71°，AD=4cm. ∵cos∠FAD， ∴． ∴AF的长度约为12cm. …………………………………………………………………2分 （2）如图，过点F′作F′H⊥MN，垂足为H，交AB于点G， ∵AE⊥AB， ∴∠DAB＝90°， ∵∠FAD＝71°， ∴∠FAB＝90°﹣71°＝19°， ∴∠F′AG＝∠F′AF+∠FAB＝41°+19°＝60°. ………………………………………4分 在Rt△F′AG中，， ∴， ∵AE＝14cm， ∴． ∴点F′到台面MN的距离约为24cm． ………………………………………………6分 23．（本题7分） 解：（1）S2 …………………………2分 乙平均数= ………………………………………………3分 （2）甲的分数= 乙的分数= 故乙的成绩更好 ． ………………………………………………………………………7分 24．（本题7分） （1）证明：由折叠性质知，， ， 在矩形中，， ， ， 又， △B＇CE∽△ADB＇. ………………………………………………………………………3分 （2）解：如图，设与交于点． 在矩形中，，，则． 情形一：当点为靠近点的三等分点时，， 由折叠知，，， 垂直平分， ，， ， ， ， ， ， 则， 解得． ………………………………………………………………………………5分 情形二：当点为靠近点的三等分点时，． 同理建立方程，，解得． 故的长为或．………………………………………………………………………7分 25．（本题7分） （1）解：函数的图象与反比例函数在第一象限中的图象交于点A， 设， ， ， ， 在第一象限， ， ， ， ； ……………………………………………………………………………………2分 （2）解：过点作轴于 ，过点作轴于， ， ， ， ， ， ， ，即， 在上， ， ， 设直线的解析式为， ， 解得， ， 令 ，得 . ………………………………………………………………………………5分 （3） 0＜x＜1或x＞3. ………………………………………………………………………7分 26．（本题8分） 解：（1）由题意得，抛物线的顶点坐标为（6，3.5）， ∴设抛物线的函数表达式为y＝a（x﹣6）2+3.5， 把A（0，2）代入可得2＝a×62+3.5， 解得，， ∴抛物线的函数表达式为； ………………………………2分 （2）球网高1.07米，发球点A到球网的水平距离为13米， 由题意，把x＝13代入得， ， ， ∴球离球网顶端的高度差为0.39米． ………………………………………………5分 （3）解由题意，把代入得，， 解得x＝14，x＝﹣2（舍去）， 16﹣14＝2（米）， ∴d的最小值是2． ……………………………………………………………………8分 27．（本题9分） 解：（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； ……………………………………………………………………3分 （2）∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵是⊙的半径， ∴是⊙的切线； ……………………………………………………………………6分 （3）∵，，， ∴． 设⊙的半径为，， ∴． ∵，即， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵，是⊙的切线， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，即， ∴， 解得(舍去)． ∴． ∴． …………………………………………………………9分 【其他证明方法，正确即可】 28．（本题9分） 解：（1）， ， 将代入，得； …………………………………………………………………………………………2分 （2）由平移性质及题中图象可知抛物线过， 设抛物线的解析式为， 把代入，得，解得， ∴抛物线的解析式为； …………………………………………………………………………5分 （3）①由（1）得，抛物线的解析式为， 抛物线顶点， 依题意，过点作直线平行于轴，则直线为；过的最高点作直线，则直线m为， 令，解得或， ∵点在点左侧， ∴，， ∴，， ∴， …………………………………………………7分 ②点横坐标的取值范围是，且． 由的图象及直线为可知，当时，，解得或， 则， 当点位于点左侧时，， 令，解得或（舍去）， 此时的取值范围是； 由（2）得抛物线：，可得顶点坐标为， 而直线l为，则顶点与直线的距离恰好为4， 当点在之间，且不与顶点重合时，与的距离小于4， 此时的取值范围是，且； 当点在之间时，均符合题意，此时的取值范围是； 当点位于点右侧时，， 令，解得或（舍去）， 此时的取值范围是； 综上，点横坐标的取值范围是，且． ……………………9分 第2页 共6页 学科网（北京）股份有限公司 $数学学科模拟试题 参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C C C C B A B D 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11.x≤2026； 12.(a+3b)(a-3b);13. 12 14. 15.(W10,3):16. i-1 17. 18. ① 三、解答题（本大题共10小题，共66分） 19.(本题4分) 原就-25子-1+35-(5-到 …2分 =22-1+3V2-√2+1 =4v2. …4分 20.(本题4分) 解：原式=a-ba+b)(a-b) a-b a+b =a-b+a-b =2a-2b, …2分 第1页 a=2026°=1，b=21=1 1 .原式=2×1-2×三=1. …4分 21.(本题5分) 解：设松延动力机器人的平均速度是xkam/h, 则北京天工机器人的平均速度是(x+2)km/h, …】分 由题意得2121.7 xx+28 …2分 即21×8(x+2)-21×8x=7x(x+2), 整理得x2+2x-48=0,即(x-6)(x+8)=0, 解得x=6或x=-8(舍去)， …4分 经检验，x=6是原方程的解，且符合题意. 答：松延动力机器人的平均速度是6km/h. 00…………5分 22.(本题6分) 解：(1)由题意得，在Rt△ADF中，∠FAD=71°，AD=4cm. ,coS∠FAD= A F' ..AF= 4 4 cos71≈0.33≈12(cm). ∴.AF的长度约为12cm. …2分 (2)如图，过点F'作F'H⊥MN,垂足为H,交AB于点G, 共6页 D B ME H N .AE⊥AB, .∴.∠DAB=90°， ,∠FAD=71°， .∴.∠FAB=90°-71°=19°， ∴.∠F'AG=∠F′AF+∠FAB=41°+19°=60°. …4分 在胜AP'G中，Sn∠P'AG=9 p'G≈12sin60°=12×'号 =6V3(cm), .'AE=14cm, .F′H=F′G+GH≈6V3+14≈6×1.7+14≈24(cm). ∴.点F'到台面MN的距离约为24cm. …6分 23.(本题7分) 解：1)s=4[87-89P+(93-892+(85-89°+(91-89]=10 …2分 乙平均数=(89+96+80+91)÷4=89 …3分 (2)甲的分数音×87+93+片85+×91-88 10 5 10 第2页 乙的分数=4×89+3x96+x80+×91=89.5 1 10 10 5 10 故乙的成绩更好. …7分 24.(本题7分) (1)证明：，由折叠性质知，∠ABE=∠ABE=90°， ∴.∠EB'C+∠AB'D=90°， 在矩形ABCD中，∠D=90°， ∴.∠AB'D+∠DAB′=90°， .∴.∠EB'C=∠DAB', 又：∠C=∠D=90°， .△B′CE∽△ADB′.…3分 (2)解：如图，设EF与AA交于点O. B 在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,则AC=10. 情形一：当点A为靠近点A的三等分点时，AA=}4C=1 3 3 由折叠知，AF=AF,AE=A'E, .EF垂直平分AA, ∠FA0+∠0FA=90°，0A=0AN=5AH=1x10】 2X3=3’ 共6页 ,∠FAO+∠ACB=90°， ∴.∠OFA=∠ACB, .∠AOF=∠B=90°， .△AOF∽△ABC, :A0、AF AB AC 则3AF, 610 解得4F=2 5……5分 9 情形二：当点4为靠近点C的三等分点时，A4=2AC=20 2 10 同理建立方程， 3=F,解得AF=50 9 610 25 0 故AF的长为 9或 …7分 25.(本题7分) (1)解：~函数y=x的图象与反比例函数y=在第一象限中的图象交于点， 3 六设Amm .O4=v10, 1)2 m+3m=10, m2=9, 第3页 :A在第一象限， :m-3兮n=l .A(3,1), ∴k=3×1=3, ..y=- …2分 (2)解：过点C作CG⊥x轴于G,过点A作AF⊥x轴于F, ∴.CG0AF, .AFDCGD, AC=2AD, .AD:CD=1:3, ..AF:CG=AD:CD=1:3, AF=1, ∴.CG=3,即yc=3, C在y=3上， C(1,3), 设直线AC的解析式为y=kx+b, 3k+b=1 k+b=3 共6页 解得k=-1,b=4, ∴.y=-x+4, 令x=0,得y=4 .E(0,4) …5分 1(3,1) (3)0<x<1或x>3. …7分 26.(本题8分) 解：（1)由题意得，抛物线的顶点坐标为(6,3.5)， ∴设抛物线的函数表达式为y=a(x-6)2+3.5, 把A(0,2)代入可得2=a×62+3.5, 解得，0=- ∴抛物线的函数表达式为y=-牙x-62+3.5: …2分 (2)球网高1.07米，发球点A到球网的水平距离为13米， 1 由题意，把x=13代入y=-24×c-6)2+3.5得， y=-a×13-6)2+35=2 1 35 -1.07≈0.39， 24 ∴.球离球网顶端的高度差为0.39米 …5分 第4页 (3)解由题意，把y=代入y=-京×c-6+35得，专- ×(x-6)2+3.5, 6=-24 解得x=14,x=-2（舍去)， 16-14=2(米)， .d的最小值是2. …8分 y/米4 3.5 2 A 6 x/米 27.(本题9分) 解：(1)DG⊥DF, ∴.∠FDG=90°， OD=2, ∴.FG=2OD=4, .∠OFD=30°， DG=TFG=2 …3分 (2).∠ACB=90°， ∴.∠CFE+∠CEF=90°. AD=AE, ∴.∠AED=∠ADE. ,∠AED=∠CEF, 共6页 ∴.∠CFE+∠ADE=90°. .OD=OF, ∴.∠CFE=∠ODF, .∴.∠ODF+∠ADE=90°=∠ADO. .OD是⊙O的半径， ∴.AB是⊙O的切线： B (3).'∠ACB=90°，AC=3,BC=4, .AB=AC2+BC2 =5. 设⊙O的半径为”，BG=x, ∴.BF=FG+BG=2r+x. .'tan B=4C_OD BCBD'即 4 BD BD= AD=AE=AB-BD=5-4n r, 3 CE=AC-AE= -2. 3 .OD=OF, ∴.∠DFG=∠ODF. DG⊥DF,AB是⊙O的切线， .∠FDG=∠ODB=90°， ∴.∠ODF+∠ODG=∠ODG+∠BDG=90°， ∴.∠DFG=∠ODF=∠BDG. …6分 .∠B=∠B, ∴.BFDBDG, ·部器 4)2 3=(2r+x, 即 2+2x-162=0. 9 2 8 解得=，=兮（舍. 小CF=BF-BC=2r+x-4=2r+2,-4=8 2 r-4, -2 ·tan∠DFG=CE=3 1 8 …9分 CF P-4 3 【其他证明方法，正确即可】 28.(本题9分) 解：(1)OC=3, .C(0,3), 将C(0,3)代入y=a(x+1)(x-3),得 第5页共6页 ☑=1；……………………………… …2分 (2)由平移性质及题中图象可知抛物线G,过C(0,3), 设抛物线G2的解析式为y=-x2+bx+3, 把(-1,6)代入y=-x2+bx+3,得6=-1-b+3,解得b=-4, :抛物线G,的解析式为 y=-x2-4x+3; …5分 (3)①由(1)得，抛物线G,的解析式为y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3=-(x-1)2+4, ∴.抛物线顶点H(1,4), 依题意，过点C(0,3)作直线1平行于x轴，则直线1为y=3:过G的最高点H(1,4)作直线 m∥1，则直线m为y=4, 令-x2-4x+3=4,解得x=-√5-2或x=√5-2， :点M在点N左侧， M-5-2,4),N(5-2,4, MN=V5-2-（-N5-2=2W3,NH=1-V3-2=3-5, MN-NH=2W3-(3-5)=3W5-3, ………7分 ②点P横坐标m的取值范围是-2√2-2<m<1+√5，且m≠-2. 由G2的图象及直线1为y=3可知，当y=3时，3=-x2-4x+3,解得x=0或x=-4, 则D(-4,3), 当点P位于点D左侧时，P(m,-m2-4m+3), 第6页 令3-（-m2-4m+3)=4,解得m=-2√2-2或m=2√2-2（舍去）， 此时m的取值范围是-2√2-2<m<-4: 由(2)得抛物线G2:y=-x2-4x+3=-(x+2)2+7,可得顶点坐标为(-2,7)， 而直线1为y=3,则顶点与直线I的距离恰好为4， .当点P在D,C之间，且不与顶点重合时，与1的距离小于4， 此时m的取值范围是4≤m≤0，且m≠-2： 当点P在C,E之间时，均符合题意，此时m的取值范围是0<m≤2； 当点P位于点E右侧时，P(m,-m2+2m+3), 令3-（-m2+2m+3)=4,解得m=1+√5或m=1-5（舍去)， 此时m的取值范围是2<m<1+√5； 综上，点P横坐标m的取值范围是-2√2-2<m<1+√5，且m≠-2.…9分 共6页数学学科模拟试题 考试时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家.月球表面的白天平均温度是零上 126°C记作+126°C,夜间平均温度零下150°C应记作() A.+150°C B.-150°C C.+276°C D.-276°C 2.中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广.下列四个选项中，是轴对称图形的为() A.爱 B.我 C.中 D.华 3.通电瞬间，导线中的电流以接近光速形成，但其中自由电子定向移动的平均速度大约只有 0.000074m/s,比蜗牛爬行的速度还慢.数据“0.000074”用科学记数法表示为() A.0.74×104 B.7.4×104 C.7.4×105 D.74×106 4.下列几何体中，主视图和俯视图相同的是() B 0 5.如图，△ABC绕点A逆时针旋转64°得到△ADE,DE边经过点C,∠ABC=38°，则∠ACB的 度数为() E A.56° B.57 C.58° D.64° B 6.下列说法正确的是() A.如果|a=b,那么a=b B.命题“同旁内角互补”是假命题 C.两点可以确定无数条直线 D.相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等 7.在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，点O、A、B在格点上，若扇形A0B是一 个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的高为() A.55 8.55 4 8 5v5 5V5 4 8 第1页共 8.如图，一块含45°的直角三角板放在平面直角坐标系中，直角边BC与x轴重合，点A在双 曲线y=上上，C(-1,0),AC=2W2,则△DBF的面积为() A.2 B.3 C.4 D.6 9.小亮在学习函数后，在“几何画板”软件中绘制了函数y=x2(化-3)的图象，如图所示.通 过观察此图象，下列说法错误的是() A.点(2，-4)在y=x2(x-3)的图象上 B.当0<x<2时，y随x的增大而减小 C.x2(x-3)=x-2最多有三个实数根 D.若x<3,则y<0 10.如图，∠A=∠ABC=90°，AB=4,BC=3,AD=1,点E为边AB上的动点.将线段DE绕点 D逆时针旋转90°得到线段DF,连接B,FC,EC,则下列结论错误的是() A.EC-D的最大值是25 B.FB的最小值是√I0 C.EC+ED的最小值是4v2 D.FC的最大值是VI3 E B 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11.若二次根式v2026-x在实数范围内有意义，则x的取值范围是 12.因式分解：a2-9b2= 13。关于x的一元一次不等式区2158三4的所有影数解的积是 14.在一个平衡的天平左、右两端托盘上，分别放置质量为10g和25g的物品后，天平倾斜（如 图所示)，现从质量为5g,10g,15g的三件物品中， 随机选取两件放置在天平的左端托盘上，则天平恢 复平衡的概率为 邑品固 6页 15.如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，点A的坐标为(0,3)，点D的 坐标为(1，O),点C落在x轴的正半轴上，点B落在第一象限内.根据尺规作图的痕迹可 知，点H的坐标为 16.我们知道，一元二次方程x--1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于-1.若我们 定义一个新数“1”，使其满足1=-1（即方程x=-1有一个根为1），并且进一步规定： 一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有1=1， 1=-1,13=121=-1,14=(1)2=1,例如：1+i+13+14+i=1-1-i+1+i=1. 则1+1+13+…+1026= 17.如图①，A、B是⊙O上的两定点，点P是圆上一动点，点P从点A出发，按逆时针方向匀 速运动到点B.设动点P运动的时间是x(s),线段AP的长度是y(cm),图②是y随x变 化的关系图象，则动点P的运动速度为 cm/s. A y/cm H A B 2 -1012345s 1 图① 图② 第15题图 第17题图 18.“明德启智”以明德立品，以启智赋能，彰显了当代教育德才兼备的育人追求.我们不妨约 定：在平面直角坐标系中，横、纵坐标相等的点称为“明德点”，横、纵坐标互为相反数的 点称为“启智点”.把函数图象至少经过一个“明德点”和一个“启智点”的函数称为“明 德启智函数”.下列说法正确的序号为 ①已知函数y=2x-1是一个“明德启智函数”，则该函数图象上的“明德点”为（1,1)： ②二次函数y=-(x-)+k的顶点是一个“明德点”，并且该函数图象还经过一个“启智 点”P(3,m),则该二次函数的解析式为y=-(x-1)+1; ③二次函数y=2(x-c)+d(c,d为常数，c≠0)图象的顶点为点M,与y轴交于点N, 若经过点M,N的直线1上存在无数个“明德点”，则该函数图象上的所有“启智点”为 (》ao.（ 第2页共 三、解答题（本大题共10题，共66分） 19.(本题4分) 计算：2V5x, -g-+-- 20.(本题4分) 先化简，再求值： d-2b+B+d-bB,其中a=2026,b=2. a-b a+b 21.(本题5分) 2026年4月19日，全球首次“人机共跑”半程马拉松在北京完赛，国内高校，科研 机构，企业等20支机器人队伍参赛，其中6支成功完赛，这些技术突破具有里程碑的意 义，未来将应用于工业制造，物流分拣，特种作业，家庭服务或养老服务等场景.这次机 器人马拉松比赛里程约为21km,北京天工机器人获得冠军，松延动力机器人获得亚军.北 京天工机器人每小时比松延动力机器人多跑2，用时比松延动力机器人少二h,求松延 动力机器人的平均速度， 22.(本题6分) 某种水龙头关闭时如图1所示，将其简画成图2，D,A,E三点共线，E-A-B-C是水 管，AE⊥台面MN.A-D-F是开关，可整体绕点A上下旋转，且AD⊥DP,AE⊥AB,连接AF, ∠FAD=71°，AE=14cm,AD=4cm. D B B M E M E 图1 图2 图3 (1)求AF的长度（结果保留整数）： (2)如图3，当开关开到最大时，△ADF旋转到△AD'F'的位置上，旋转角∠F'AF= 41°，求此时点F'到台面MW的距离（结果保留整数）.（参考数据：sin71°≈0.95， c0s71°≈0.33，tan71°≈2.9，π取3.14，V2≈1.4，v3≈1.7) 6页 23.(本题7分)初中数学课程内容包含数与代数、空间与图形、统计与概率、综合与实践四个 学习领域.甲、乙两名学生参加数学素质测试（四项），每项测试成绩采用百分制，成绩如 下表 学生 数与代数 空间与图形 统计与概率 综合与实践 平均成绩 方差 甲 87 93 85 91 89 乙 89 96 80 91 33.5 (1)请计算甲的四项成绩的方差和乙的平均成绩： (2)若数与代数、空间与图形、统计与概率、综合与实践的成绩按4：3：2：1计算，哪位学 生数学综合素质测试成绩更好？请说明理由 24.(本题7分)【综合与实践】主题：探究特殊四边形的折叠问题 在数学活动课上，老师发给每位同学一张矩形纸片ABCD(AB>AD),引导同学们进 行折叠探究. 操作一：如图1，点E为边BC上一点，将△ABE沿直线AE折叠，点B的对应点B'恰好落在 边CD上. (1)求证：△B'CE∽△ADB'· 操作二：如图2，将矩形纸片先沿对角线AC对折，再展开，折痕为AC.点F为边AB上一 点，将△AEF沿直线EF折叠，使点A的对应点A落在对角线AC上， (2)若AB=6,BC=8,当点A为AC的三等分点时，求AF的长. B B 图1 图2 第3页共6 25.（本题7分)如图，在平面直角坐标系中，函数y=}x的图象与反比例函数y=在第 一象限中的图象交于点A,OA=0,点C为反比例函数y=k图象上位于A点上方的一 VA 点，直线AC与x轴，y轴分别交于D,E两点. (1)求反比例函数的解析式： (2)若AC=2AD,求点E的坐标. (3)在(2)的条件下，根据图象，直接写出 k 1. x>0的解集. x 3 D八 26.(本题8分)某智慧网球馆部署了AI鹰眼系统，该系统能够实时捕捉网球的飞行轨迹、速 度、落点等关键数据，并自动生成分析报告，帮助教练科学评估球员表现、制定个性化训 练方案.在一次训练中，该系统追踪到球员小明的某次发球：小明从点0正上方2米的A 点将球击出，球在距离发球点A水平距离6米处达到最高，最高点距离地面3.5米.在如 图所示的平面直角坐标系中，0为原点，OA在y轴上，球的飞行轨迹可近似看作抛物线的 一部分，其中y(米)是球的高度，x(米)是球与原点的水平距离. (1)求该抛物线的函数表达式： (2)已知球网高1.07米，发球点A到球网的水平距离为13米，求该球飞行到球网正上方 时，球离球网项端的高度差：（不考虑球网中间下垂；结果精确到O.O1米) (3)鹰眼系统显示，球员小亮站在球飞行轨迹的正前方，且距原点16米处准备接球.已 知小亮的有效接球高度范围为米至3米（即球离地面的高度在此范围内时，球员能够成 6 功击球)，且小亮只能在球飞行至其站立位置正上方（即球的横坐标与球员站位相同）时 进行击球.经系统计算，球会在小亮站立位置之前落地，因此小亮需要向前移动d米 (0<d<3)才能击到球.那么小亮刚好能在有效接球高度范围成功击球时，d的最小值是 多少？ y/米A 3.5 2 A 0 米 27.(本题9分)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D和点E分别在AB和AC边上（不与端点重 合)，且AD=AE,延长DE和射线BC交于点F,作DG⊥DF,与BC边交于点G,作△FDG的外 接圆⊙O在BF上方的部分，连接OD. (1)若∠0FD=30°，0D=2,求DG的长. (2)求证：AB是⊙O的切线， E (3)若AC=3,BC=4,求tan∠DFG的值. B 第4页 28.(本题9分)如图1，平面直角坐标系中，有抛物线G1:y=a（x+1)（x-3).设抛物线G 与x轴相交于点A,B,与y轴正半轴相交于点C,且OC=3. m 、E A 2 G 图1 图2 图3 (1)求a的值 (2)如图2，将抛物线G1平移得到抛物线G2,使G2过点C和(-1,6)，求抛物线G2的解 析式 (3)设(2)中G2在y轴左侧的部分与G在y轴右侧的部分组成的新图象记为G.过点C 作直线1平行于x轴，与图象G交于D,E两点，如图3. ①过G的最高点H作直线m∥1交G于点M,N(点M在点N左侧)，求N-H的值： ②点P是图象G上一个动点，当点P与直线1的距离小于4时，直接写出点P的横坐标 m的取值范围. 共6页