黑龙江省哈尔滨市道里区2025-2026学年九年级下学期二模考试数学试题

2025-2026学年度下学期九年级调研测试（二） 数学学科 试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1．下列实数中，是无理数的是（ ） A．-2 B． C． D．1.414 2．下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 3．2025年11月14日，中国团队在国际顶级期刊《科学》发表论文，通过电化学沉积结合非晶晶化的创新方法，让镍钼原子以面心立方和密排六方两种结构交替堆叠，形成仅0.7纳米的超精细界面，一款具备“负能界面”的新型（）合金正式亮相．0.7纳米米，这个数用科学记数法表示为（ ） A． B． C． D． 4．下列立体图形中，主视图是圆的是（ ） A． B． C． D． 5．小明同学在将抛物线表达式化为形式时，他给出的结果是，那么这条抛物线的顶点坐标为（ ） A． B． C． D． 6．对于任意实数、，定义一种新运算“◎”：，这里等式右边是实数运算，例如：．则方程的解是（ ） A． B． C． D． 7．综合实践小组的同学们利用自制密度计测量溶液的密度，当密度计悬浮在不同溶液中时，浸在溶液中的高度与溶液的密度之间满足反比例函数的关系，其图象如图所示，当溶液密度时，密度计浸在溶液中的高度为（ ） A． B． C． D． 8．某类简单化合物中，前4种化合物的分子结构模型如图所示，其中白球代表碳原子，小黑球代表氢原子．按照这一规律，第26种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（ ） A．55 B．54 C．53 D．52 9．在课堂上，侯老师发给每人一张印有（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个，使得，小张和小李同学先画出了之后，后续画图的主要过程分别如图所示．对这两种画法的描述中错误的是（ ） A．小张同学第二步作图时，用圆规截取的长度是线段的长 B．小张同学作图判定的依据是 C．小李同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段的长 D．小李同学作图判定的依据是 10．如图，在矩形中，，，动点从点出发，以的速度沿的方向运动，动点同时从点出发，以的速度沿的方向运动，两动点到达点停止运动．设运动的时间为，的面积为，则下列关于的函数图象正确的是（ ） A． B． C． D． 二、填空题（每小题3分，共30分） 11．在函数中，自变量的取值范围是________． 12．分解因式：________． 13．不等式组的解集中，最大整数为________． 14．小鹤同学在研究一个扇形的弧长和面积时，发现一个扇形弧长的数值恰好等于面积的数值，则此扇形的半径的值为________． 15．哈尔滨市位于美丽的松花江畔，是黑龙江省旅游的名片，这里有许多旅游景点：①中央大街步行街；②中华巴洛克景区；③冰雪大世界；④太阳岛公园．若小亮从这四个景点中随机选择两个进行主题宣传，则所选两个代表景点中恰好是“中央大街步行街”和“冰雪大世界”的概率为________． 16．如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点，连接、、，若，则的度数为________． 17．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是________． 18．如图，平行四边形中，为对角线交点，平分，平分，，，则的长为________． 19．在中，，是底边上的中线，，作的高线，，则的正切值为________． 20．正方形中，O是对角线交点，E、F分别是、上的点，，连接、交于点G，连接．下列结论中：①；②则；③若，，则；④K是上一点，连接、，则的最小值等于的长．所有正确结论的序号是________． 三、解答题：（21-22题各7分，23-24题各8分，25-27题各10分，共60分） 21．先化简，再求代数式的值，其中 22．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，A、B均在格点上，请用无刻度的直尺按下列要求画图（保留画图痕迹）． （1）画，点在格点上； （2）在上找一点，使得， （3）过作，交延长线于点． 23．自2016年开始，每年4月24日是中国航天日，道里区某中学开展了“航空航天”知识问答系列活动，为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取20名学生的成绩进行统计分析（6分及6分以上为合格）．数据整理如图表： 学生成绩统计表 七年级 八年级 平均数 7.55 7.55 中位数 8 c 众数 7 合格率 85% 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出统计表中a，b，c的值； （2）若该校七年级有600名学生，请估计该校七年级学生成绩合格的人数； （3）若该校八年级有562名同学，请估计该校八年级分数在8分和8分以上的人数．（直接写出结果） 24．定义：在等腰三角形中，若有一个内角是另一个内角的2倍，我们就称这样的三角形为“二倍角等腰三角形”． 问题1：如图1，在中，平分，，求证：为二倍角等腰三角形； 问题2：如图2，在中，，在边上，在延长线上，且，交于点F，若，求证：为二倍角等腰三角形． 在问题1和问题2中选一个进行证明： （2）已知为二倍角等腰三角形，，，以为边向外作二倍角等腰三角形，请直接写出的度数． 25．某中学计划购买A、B两种学习用品奖励学生，已知购买一个A比购买一个B多用20元，若用400元购买A种学习用品的数量是用160元购买B种学习用品数量的一半． （1）求购买一个A种学习用品和购买一个B种学习用品分别需要多少元? （2）若该学校准备买两种学习用品一共200个，若购买A种学习用品的数量不超过B种学习用品数量的，求购买A种学习用品多少个时，学校费用最多，最多费用是多少? 26．如图，是的直径，C、D为上两侧两点，且． （1）求证： （2）过点C作的切线交的延长线于点E，求证：； （3）在（2）的条件下，过点作，垂足为，延长交于点，连接并延长交于K，分别交于点H，交于点M，，，求长． 27．在平面直角坐标系中，为坐标原点，二次函数的图象交轴于A、B两点（点在点左侧），交轴于点，连接，． （1）求的值； （2）如图1，点在第四象限抛物线上，连接交轴于点，设点的横坐标为t，的面积为，求与的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围） （3）如图2，在（2）的条件下，连接，当时，过P作轴交轴于点E，连接，点F在上，连接，过A作，垂足为G，过G作的角平分线交于点H，连接，K在上，连接，过C作于点，点在上，连接，，点在第一象限抛物线上，连接交轴于，延长至，连接、、、，N在上，连接、、，若，，求的长． 学科网（北京）股份有限公司 $