湖南常宁市第一中学等学校2025-2026学年高一下学期期中数学试题

高一数学期中 时量：120分钟满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 3. 若，是空间中两条不同的直线，则“存在平面，使，”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知，，则（ ） A. 4 B. C. 8 D. 16 5. 某船行驶到甲地看号灯塔时，号灯塔在甲地的北偏东方向上，相距；在甲地看号灯塔时，号灯塔在甲地的南偏西方向上，相距．该船由甲地向正南航行到乙地时，再看号灯塔，则号灯塔在乙地的北偏东方向上，则号灯塔与乙地之间的距离是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 在直角梯形中，，，，，为的中点，则（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 8. 如图，在函数的部分图象中，若，则点的纵坐标为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图所示，在正方体中，，分别为棱，的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 直线与是平行直线 B. 直线与是异面直线 C. 直线与所成的角为 D. ，，，四点共面 10. 设，，为复数，．下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 在中，，，分别为内角，，的对边，，，的面积为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若幂函数的定义域为，则实数______． 13. 若，则______． 14. 四棱锥的底面为正方形，，，，，平面，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）若，且，求的值； （2）设函数，，求的值域． 16. 在中，内角，，的对边分别为，，，． （1）求； （2）若，为的中点，，求． 17. 已知函数的图象关于原点对称． （1）求实数的值； （2）若，求的取值范围； （3）若存在，使得成立，求实数的取值范围． 18. 如图所示的几何体，在底面中，，与交于点，，，垂直于平面，，且． （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积； （3）在内部（包括边界）的动点满足四棱锥的体积和三棱锥的体积相等，请找出点的轨迹，并说明理由． 19. 已知函数满足，集合都存在最大值和最小值，记其最大值与最小值之差为． （1）分别对以下函数计算（不要求写出计算过程）： ①； ②． （2）已知，且，求； （3）已知，，其中为给定的大于0的常数，且，，证明：． 高一数学期中 时量：120分钟满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】BCD 【10题答案】 【答案】ABC 【11题答案】 【答案】AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】3 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】## 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1） （2）． 【17题答案】 【答案】（1） （2） （3）． 【18题答案】 【答案】（1） 证明：在平面中，过作，交于， 因为为的中点，所以为的中点，则，， 又，，所以且， 则四边形为平行四边形，所以，即， 因为平面，平面，所以平面． （2） （3） 四棱锥和三棱锥中含有相同的字母，，， 保留这三个字母，将其他字母统一化．， 所以点到平面的距离是点到平面的距离的三倍， 即平面经过线段的一个四等分点（靠近点）， ， 所以点到平面的距离是点到平面的距离的两倍， 即平面经过线段的一个三等分点（靠近点）， 又平面与平面相交于一条直线，点，确定该直线， 因此，线段即为点的轨迹． 【19题答案】 【答案】（1）①10；② （2）或． （3） 先证明，在上的最值点有且仅有和．（*） 若存在，为上的最值点，不妨设为最大值点， 再设为上的最小值点，再不妨设， 此时，则，即， 而由可知，矛盾！ 故（*）成立，接下来证明． 故在上，由（*）知0，1为上唯二最值点． ，为最小值点，1为最大值点．（**） ． ，在上单调，且， 所以为增函数，则， 由（*）知为上的最大值点，0为上最小值点， ． ，由于为增函数，在上为最小值，为最大值， ． ，在上，由知1不为最小值点， 由（*）知为上的最小值点，1为上的最大值点． ． 综上：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $