第9章 培优课 高考中概率与统计的热点题型课件-2025-2026学年高二下学期数学苏教版选择性必修第二册

该高中数学课件系统梳理概率与统计的核心知识，涵盖离散型随机变量的分布列、期望方差、统计图表分析、线性回归及独立性检验，通过题型分类构建知识网络，串联各知识点的内在逻辑。 其亮点在于以高考热点题型为载体，设计“例题解析-题后反思-跟踪训练”的复习活动，如结合高尔顿板游戏计算盈利期望，培养学生的数据意识和模型观念，通过概率与统计图表综合题提升数学思维与表达能力。分层训练满足不同学生需求，帮助教师精准教学，有效巩固知识。

第9章 统计 培优课 高考中概率与统计的热点题型 1 要点深化·核心知识提炼 2 在高考的解答题中,对概率与随机变量及其分布相结合的综合问题的考查既是热点 又是重点,是高考必考的内容,并且常常与统计相结合,设计成包含概率计算、概率分布表、 随机变量的数学期望与方差、统计图表的识别等知识的综合题.以考生比较熟悉的实际 应用问题为载体,考查学生应用基础知识和基本方法分析问题和解决问题的能力. 3 题型分析·能力素养提升 4 【题型一】求离散型随机变量的均值与方差 例1 某学校组织“一带一路”知识竞赛,有A,B两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答,若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答,无论回答正确与否,该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分,否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分,否则得0分.已知小明能正确回答A类问题的概率为 ,能正确回答B类问题的概率为 ,且能正确回答问题的概率与回答次序无关. 5 （1）若小明先回答A类问题,记为小明的累计得分,求 的分布列; 解 随机变量 的所有可能取值为0,20,100, 则, , . 故随机变量 的分布列如下： 0 20 100 0.2 0.32 0.48 6 （2）为使累计得分的期望最大,小明应选择先回答哪类问题？并说明理由. 解 设小明先回答B类问题,记 为小明的累计得分, 则随机变量 的所有可能取值为0,80,100, 则, , , 故 . 由（1）知 . 因为 ,故应先回答B类问题. 7 题后反思 离散型随机变量的均值和方差的求解,一般分两步：一是定型,即先判断随机 变量的分布是特殊类型,还是一般类型,如两点分布、二项分布、超几何分布等属于特 殊类型；二是定性,对于特殊类型的均值和方差可以直接代入相应公式求解,而对于一 般类型的随机变量,应先求其分布列,然后代入相应公式计算,注意离散型随机变量的取 值与概率的对应. 8 跟踪训练1 高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型,在一 块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块,小木块之间留有适当的空 隙作为通道,前面挡有一块玻璃,让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下,小球在下落 的过程中与层层小木块碰撞,且等可能向左或向右滚下,最后掉入高尔顿板下方的某一 球槽内.如图1所示的高尔顿板有7层小木块,小球从通道口落下,第一次与第2层中间的 小木块碰撞,以 的概率向左或向右滚下,依次经过6次与小木块碰撞,最后掉入编号为 1,2, ,7的球槽内.例如小球要掉入3号球槽,则在6次碰撞中有2次向右4次向左滚下. 图1 图2 9 （1）如图1,进行一次高尔顿板试验,求小球掉入5号球槽的概率; 解 设这个小球掉入5号球槽为事件 ,掉入5号球槽,需要向右4次向左2次,所以 , 所以这个小球掉入5号球槽的概率为 . 10 （2）小红、小明同学在研究了高尔顿板后,利用高尔顿板来到社团文化节上进行盈利 性“抽奖”活动.小红使用图1所示的高尔顿板,付费6元可以玩一次游戏,小球掉入 号球 槽得到的奖金为 元,其中 .小明改进了高尔顿板（如图2）,首先将小木 块减少成5层,然后使小球在下落的过程中与小木块碰撞时,有的概率向左, 的概率向右 滚下,最后掉入编号为1,2, ,5的球槽内,改进高尔顿板后只需付费4元就可以玩一次游 戏,小球掉入号球槽得到的奖金为 元,其中 .两位同学的高尔顿板游戏火 爆进行,很多同学参加了游戏,你觉得小红和小明同学谁的盈利多？请说明理由. 11 解 小红的收益计算如下： 每一次游戏中, 的可能取值为0,4,8,12. , , , . 0 4 8 12 12 一次游戏付出的奖金 ,则小红的收益为 . 小明的收益计算如下： 每一次游戏中, 的可能取值为0,1,4,9. , , , . 0 1 4 9 14 一次游戏付出的奖金 ,则小明的收益为 . 显然, ,所以小明的盈利多. 【题型二】概率与统计的综合问题 例2 2023年5月19日是第13个“世界家庭医生日”.某地区自2016年开始全面推行家庭医 生签约服务.已知该地区人口为1 000万,从1岁到101岁的居民年龄结构的频率直方图如 图1所示.为了解各年龄段居民签约家庭医生的情况,现调查了1 000名年满18周岁的居 民,各年龄段被访者签约率如图2所示. 图1 图2 16 （1）国际上通常衡量人口老龄化的标准有以下四种：岁以上人口占比达到 以 上；②少年人口（14岁以下）占比以下；③老少比 以上；④人口年龄中位数 在30岁以上.请任选两个角度分析该地区人口分布现状. 解 ①60岁以上人口比例是 ； ②少年（14岁以下）人口比例小于 ； ③老少比大于 ； ④由于1岁岁人口比例为,1岁岁人口比例为 ,所以该地区人口年龄中 位数在31岁 岁范围内. 所以由以上四条中任意两条均可分析出该地区人口已经老龄化. 17 （2）估计该地区年龄在71岁 岁且已签约家庭医生的居民人数; 解 由折线统计图可知,该地区年龄在 岁且已签约家庭医生的居民人数为 万. 18 （3）据统计,该地区被访者的签约率约为 ,为把该地区年满18岁居民的签约率提高 到 以上,应着重提高图2中哪个年龄段的签约率？并结合数据对你的结论作出解释. 解 由图1、图2可知该地区年龄在18岁岁的人口为180万 万之间,签约率为 ； 年龄在31岁岁的人口数为万,签约率为 ； 年龄在51岁岁的人口数为万,签约率为 ； 年龄在61岁岁的人口数为万,签约率为 ； 年龄在71岁岁的人口数为万,签约率为 ； 年龄在81岁以上的人口数为万,签约率为 . 由以上数据可知,这个地区年龄在31岁 岁的人数为360万,基数较其他年龄段是最大 的,且签约率仅为,比较低,所以应着重提高 岁年龄段的签约率. 19 题后反思 概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体,已成为高考的一大亮点和热 点.它与其他知识融合、渗透,情境新颖,充分体现了概率与统计的工具性和交汇性.统计 以考查抽样方法、样本的频率分布、样本特征数的计算为主,概率以考查概率计算为 主,往往和实际问题相结合,要注意理解实际问题的意义,使之和相应的概率计算对应起 来,只有这样才能有效地解决问题. 20 跟踪训练2 零部件生产水平,是评判一个国家高端装备制造能力的重要标准之一.其中 切割加工技术是一项重要技术.某研究机构自主研发了一种切割设备,经过长期生产经 验,可以认为设备正常状态下切割的零件尺寸服从正态分布 .按照技术标准要求, 从该设备切割的一个批次零件中任意抽取10件作为样本,如果样本尺寸的平均值与零 件标准尺寸相差的绝对值小于（单位： ）,且所有零件尺寸均在 范围内,则认定该切割设备的技术标准为 级；如果样本尺寸的平均值 与零件标准尺寸相差的绝对值大于等于0.1小于 ,且所有零件尺寸均在 范围内,则认定该切割设备的技术标准为 级；如果样本尺寸的平均值 与零件标准尺寸相差的绝对值大于等于0.5或存在零件尺寸在 范围外, 则认定该切割设备的技术标准为 级. 21 （1）设某零件的标准尺寸为 ,下面是检验员抽取该设备切割的10个零件尺寸： 100.03 100.4 99.92 100.52 99.98 100.35 99.92 100.44 100.66 100.78 经计算,有,其中为抽取的第个样本的尺寸,,2,3, ,10,用样本 的平均数作为 的估计值,用样本的标准差作为 的估计值 ,根据数据判断该切割 设备的技术标准; 22 解 由题意,得 , , 所以,,样本的均值与零件标准尺寸差为 ,并且对每一 个数据,均有,由此判断该切割设备技术标准为 级 标准. 23 （2）生产该种零件的某制造商购买了该切割设备,正常投入生产,公司制定了两种销售 方案（假设每种方案对销售量没有影响）： 方案1：每个零件均按70元定价销售； 方案2：若零件的实际尺寸在 范围内,则该零件为Ⅰ级零件,每个零件定价100 元,否则为Ⅱ级零件,每个零件定价60元. 哪种销售方案能够给公司带来更多的利润？请说明理由. （附：若随机变量,则 , ） 24 解 方案1：每个零件售价为70元. 方案2：设生产的零件售价为随机变量 ,则 可以取60,100. 由题意,设备正常状态下切割的零件尺寸为,且 ,所以 , , 所以随机变量 的分布列为 60 100 所以 的数学期望 . 综上,方案2能够给公司带来更多的利润. 25 【题型三】概率与线性回归的综合问题 例3 某人经营淡水池塘养草鱼,根据过去40期的养 殖档案,该池塘的养殖重量 （百斤）都在20百斤 以上,其中不足40百斤的有8期,不低于40百斤且不 超过60百斤的有24期,超过60百斤的有8期.根据统 计,该池塘的草鱼重量的增加量 （百斤）与使用 某种饵料的质量 （百斤）之间的关系如图所示. 26 （1）根据数据可知与具有线性相关关系,请建立关于的线性回归方程 ； 如果此人设想使用某种饵料10百斤时,草鱼重量的增加量须多于5百斤,请根据回归方程 计算,确定此方案是否可行？并说明理由; 解依题意,得,,, , 所以, , 所以 , 当时, ,故此方案可行. 27 （2）养鱼的池塘对水质含氧量与新鲜度要求较高,某商家为该养殖户提供收费服务,即提 供不超过3台增氧冲水机,每期养殖使用的冲水机运行台数与鱼塘的鱼重量 有如下关系： 鱼的重量（单位：百斤） 冲水机只需运行台数 1 2 3 若某台增氧冲水机运行,则商家每期可获利5千元；若某台冲水机未运行,则商家每期亏 损2千元.视频率为概率,商家欲使每期冲水机总利润的均值达到最大,应提供几台增氧 冲水机？ 28 解 设盈利为,安装1台,盈利 . 安装2台,当时,, , 当时,, , 所以 . 安装3台,当时,, , 当时,, , 当时,, , 29 所以 . 因为 ,所以应提供2台增氧冲水机. 反思感悟 主要考查概率与回归方程等知识,考查数据处理能力和应用意识,注意分析数 据,定型求解,正确计算是关键. 跟踪训练3 蝗虫能对农作物造成严重伤害,每只蝗虫的平均产卵数和平均温度 有关, 现收集了以往某地的7组数据,得到下面的散点图及一些统计量的值. 平均温度 21 23 25 27 29 32 35 平均产卵数 个 7 11 21 24 66 115 325 31 27.429 81.286 3.612 40.182 147.714 表中, . （1）根据散点图判断,与（其中 为自然对数的底数） 哪一个更适宜作为平均产卵数关于平均温度 的回归模型（给出判断即可,不必说明 理由）; 解 由散点图可以判断,更适宜作为平均产卵数关于平均温度 的回归模型. 32 （2）求出关于 的线性回归方程（结果精确到小数点后第三位）; 解 对两边取自然对数得 , 令,,,则 . 因为 , , 所以关于的线性回归方程为 , 所以关于的线性回归方程为 . 33 （3）根据以往统计,该地每年平均温度达到 以上时蝗虫会对农作物造成严重伤害, 需要人工防治,其他情况均不需要人工防治,记该地每年平均温度达到 以上的概率 为 . ①记该地今后年恰好需要2次人工防治的概率为,求 取得最大 值时对应的概率 ； 34 解 由题意可知 , 所以 . 因为,且 , 所以当时, ； 当时, . 所以函数在区间,上单调递增,在区间, 上单调递减, 所以函数在 处取得极大值,亦即最大值, 所以 . 35 ②根据①中的结论,当取最大值时,记该地今后6年需要人工防治的次数为,求 的 均值和方差. 解 由①可知,当时, 取最大值. 又因为,所以 . 由题意可知,所以, . 36 【题型四】概率与独立性检验的综合问题 例4 为探究某药物对小鼠的生长抑制作用，将40只小鼠均分为两组，分别为对照组（不加药物）和实验组（加药物）. （1）设其中两只小鼠中对照组小鼠数目为，求 的分布列和数学期望； 解 依题意， 的可能取值为0,1,2， 则，， ， 所以 的分布列为 0 1 2 故 . 37 （2）测得40只小鼠体重如下（单位: ）:（已按从小到大排好） 对照组:17.3 18.4 20.1 20.4 21.5 23.2 24.6 24.8 25.0 25.4 26.1 26.3 26.4 26.5 26.8 27.0 27.4 27.5 27.6 28.3 实验组:5.4 6.6 6.8 6.9 7.8 8.2 9.4 10.0 10.4 11.2 14.4 17.3 19.02 20.2 23.6 23.8 24.5 25.1 25.2 26.0 38 （ⅰ）求40只小鼠体重的中位数，并完成下面 列联表: 对照组 实验组 39 解 依题意，可知这40只小鼠体重的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排后第 20位数据与第21位数据的平均数. 因为原数据已经排好，可得第11位数据为，后续依次为,,,, , ,,,,, ， 故第20位数据为，第21位数据为 ， 所以 ， 故列联表为 合计 对照组 6 14 20 实验组 14 6 20 合计 20 20 40 40 （ⅱ）根据列联表，能否有 的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用. 参考数据: 0.10 0.05 0.010 2.706 3.841 6.635 41 解 由（ⅰ）可得 ， 所以能有 的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用. , , . 所以 的分布列为 0 1 2 3 4 所以 . 42 反思感悟 此类题目虽然涉及的知识点较多,但每个知识点考查程度相对较浅,考查深度 有限,所以解决此类问题,最主要的是正确掌握概率与统计案例的基本知识,并能对这些 知识点进行有效地融合,把统计图表中的量转化为概率及分布列求解中的有用的量是 解决此类问题的关键所在. 43 跟踪训练4 从2020年开始,国家逐步推行全新的高考制度.新高考不再分文理科,部分省 份采用 模式,其中语文、数学、外语三科为必考科目,满分各150分,另外考生 还要依据想考取的高校及专业的要求,结合自己的兴趣爱好等因素,在物理、历史2门科 目中选1门,在政治、地理、化学、生物4门科目中选2门参加考试,每科目满分100分.为 了应对新高考,某高中从高一年级1 000名学生（其中男生550人,女生450人）中,采用 分层抽样的方法从中抽取 名学生进行调查. （1）已知抽取的名学生中含女生45人,求 的值及抽取到的男生人数; 解 由题意,得,解得,抽取到的男生人数为 . 44 （2）学校计划在高一上学期开设选修中的“物理”和“历史”两个科目,为了了解学生对 这两个科目的选课情况,对在（1）的条件下抽取到的 名学生进行问卷调查 （已知每名学生在这两个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目）,下表是根 据调查结果得到的列联表.请将列联表补充完整,并依据小概率值 的独立 性检验,能否认为选择科目与性别有关？说明你的理由; 性别 选择科目 合计 物理 历史 男生 10 女生 25 合计 45 解 列联表为 性别 选择科目 合计 物理 历史 男生 45 10 55 女生 25 20 45 合计 70 30 100 提出假设 选择科目与性别无关. 根据列联表中的数据,经计算得到 . 依据小概率值的独立性检验, 不成立,因此可以认为选择科目与性别有关. 46 （3）在抽取到的45名女生中按（2）中的选课情况进行分层抽样,从中抽出9名女生,再 从这9名女生中抽取4人,设这4人中选择“历史”的人数为,求 的概率分布及期望. 附：,其中 . 0.05 0.01 3.841 6.635 解 从45名女生中用分层抽样抽取9名女生,所以这9名女生中有5人选择“物理”,4人选择 “历史”,9名女生中再选择4名女生,则这4名女生中选择“历史”的人数 的所有可能取值 为0,1,2,3,4.设事件发生的概率为 ,则 , , 47 $