9.1.2 第2课时 非线性回归模型及拟合效果的判断（教用word）-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（苏教版）

本讲义聚焦非线性回归模型及拟合效果判断核心知识点，从红铃虫产卵数与温度的实例切入，通过散点图观察非线性关系，系统梳理残差（残差图、残差平方和）、决定系数R²等分析方法，最终构建非线性回归方程的建立步骤，形成从数据观察到模型构建的完整学习支架。 该资料以真实案例为载体，通过散点图直观呈现数据特征培养数学眼光，借助残差分析和R²推理拟合效果发展数学思维，用变量代换建立非线性模型强化数学语言表达。题型示例与跟踪训练结合，课中辅助教师教学，课后帮助学生巩固知识、查漏补缺。

第2课时　非线性回归模型及拟合效果的判断 　　一只红铃虫的产卵数y（个）和温度x（℃）有关.现收集了7组观测数据列表如下： 温度x/℃ 21 23 25 27 29 32 35 产卵数y/个 7 11 21 24 66 115 325 画出散点图如图. 【问题】　（1）温度与产卵数是正相关关系吗？散点图是否分布在某条直线附近？ （2）连接这些散点图后曲线类似于哪一种函数变换后的图象？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　残差分析 1.残差：一般地，我们将　观测值　与对应的估计值　之差　称为残差.残差是随机误差ε的估计结果. 2.残差图：以观测值为横坐标，残差为纵坐标作点，可以画出残差图. 3.残差分析：通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析. 知识点二　对模型刻画数据效果的分析 1.残差图法：在残差图中，如果残差点比较均匀地分布在横轴的两边，则说明回归方程较好地刻画了两个变量的关系，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高. 2.残差平方和法*：残差平方和（yi－）2越小，模型的拟合效果越好. 3.决定系数R2法*：可以用R2＝1－来比较两个模型的拟合效果，R2越大，模型的拟合效果越好，R2越小，模型的拟合效果越差. 知识点三　非线性经验回归方程 1.非线性回归分析的思想 研究两个变量的关系时，依据样本点画出散点图，从整体上看，如果样本点没有分布在某个带状区域内，就称这两个变量之间不具有线性相关关系，此时不能直接利用经验回归方程来建立两个变量之间的关系. 2.非线性经验回归方程 当回归方程不是形如＝x＋（，∈R）时，称之为非线性经验回归方程.当两个变量不呈线性相关关系时，依据样本点的分布选择合适的曲线方程来拟合数据，可通过变量代换，利用线性回归模型建立两个变量间的非线性经验回归方程. 3.求非线性经验回归方程的一般步骤 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）残差平方和越接近0， 线性回归模型的拟合效果越好.（　√　） （2）R2越小， 线性回归模型的拟合效果越好.（　×　） （3）在残差图中，纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号.（　√　） 2.已知某成对样本数据的残差图如图，则样本点数据中可能不准确的是从左到右第几个（　　） A.5　　　　B.6　　　　C.7　　　　D.8 解析：B　原始数据中的可疑数据往往是残差绝对值过大的那个数据，即偏离平衡位置过大. 3.某校数学学习兴趣小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：℃）的关系，由试验数据得到如图所示的散点图.由此散点图，可以得出最适宜作为发芽率y和温度x的回归模型的是（　　） A.y＝a＋bx B.y＝a＋bln x C.y＝a＋bex D.y＝a＋bx2 解析：B　由散点图可知，数据分布成递增趋势，但是呈现上凸效果，即增加越来越缓慢.A中，y＝a＋bx是直线型，均匀增长，不符合要求；B中，y＝a＋bln x是对数型，增长越来越缓慢，符合要求；C中，y＝a＋bex是指数型，爆炸式增长，增长越来越快，不符合要求；D中，y＝a＋bx2是二次函数型，图象既有上升，又有下降，不符合要求. 　 题型一｜残差与残差分析 【例1】　某运动员训练次数x与成绩y的数据如表： 次数x 30 33 35 37 39 44 46 50 成绩y 30 34 37 39 42 46 48 51 （1）建立成绩y关于次数x的经验回归方程（结果精确到0.001）； （2）用残差分析的方法判断用线性回归模型是否合理. 参考数据：＝12 656，xiyi＝13 180. 解：（1）∵＝39.25，＝40.875， ∴＝＝≈1.041， ＝－≈0.016. ∴经验回归方程为＝1.041x＋0.016. （2）某运动员训练次数与成绩之间的数据及相应的残差数据为 x 30 33 35 37 39 44 46 50 y 30 34 37 39 42 46 48 51 ε＝y－ －1.246 －0.369 0.549 0.467 1.385 0.18 0.098 －1.066 残差图如图所示. 由图可知，残差比较均匀地分布在横轴的两边，说明该线性回归模型比较合理. 通性通法 1.残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适.这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高. 2.残差是随机误差的估计值，＝yi－. 【跟踪训练】 1.对变量x，y进行回归分析时，依据得到的4个不同的回归模型画出残差图，则下列模型拟合精度最高的是（　　） 解析：A　用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适，带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高. 2.已知一系列样本点（xi，yi）（i＝1，2，3，…，n）的经验回归方程为＝2x＋，若样本点（r，1）与（1，s）的残差相同，则有（　　） A.r＝s 　 B.s＝2r C.s＝－2r＋3 　 D.s＝2r＋1 解析：C　样本点（r，1）的残差为1－2r－，样本点（1，s）的残差为s－－2，依题意得1－2r－＝s－－2，故s＝－2r＋3. 题型二｜残差平方和法*与决定系数R2法* 【例2】　已知某种商品的价格x（单位：元）与需求量y（单位：件）之间的关系有如下一组数据： x 14 16 18 20 22 y 12 10 7 5 3 （1）求y关于x的经验回归方程； （2）借助残差平方和与R2说明回归模型拟合效果的好坏. （参考公式及数据：＝，＝－，＝1 660，xiyi＝620，（yi－）2＝53.2） 解：（1）＝×（14＋16＋18＋20＋22）＝18， ＝×（12＋10＋7＋5＋3）＝7.4， 所以＝＝＝－1.15， ＝7.4＋1.15×18＝28.1， 所以所求经验回归方程是＝－1.15x＋28.1. （2）列出残差表为 yi－ 0 0.3 －0.4 －0.1 0.2 yi－ 4.6 2.6 －0.4 －2.4 －4.4 所以（yi－）2＝0.3，且（yi－）2＝53.2， R2＝1－≈0.994， 所以回归模型的拟合效果很好. 通性通法 刻画回归效果的三种方法 （1）残差图法：残差点比较均匀地落在水平的带状区域内说明选用的模型比较合适； （2）残差平方和法：残差平方和（yi－）2越小，模型的拟合效果越好； （3）决定系数法：R2＝1－越接近1，表明模型的拟合效果越好. 【跟踪训练】 1.一组数据（xi，yi）经过分析，提出了四种回归模型①②③④，四种模型残差平方和的值分别是1.23，0.80，0.12，1.36.则拟合效果最好的是（　　） A.模型①　　　 　　　 B.模型② C.模型③ D.模型④ 解析：C　残差平方和越小则拟合效果越好，而模型③的残差平方和最小，所以C正确.故选C. 2.在研究气温和热茶销售杯数的关系时，若求得决定系数R2≈0.85，则表明气温解释了85%的热茶销售杯数变化，而随机误差贡献了剩余的15%，所以气温对热茶销售杯数的效应比随机误差的效应大得多. 解析：由决定系数R2的意义可知，R2≈0.85表明气温解释了85%，而随机误差贡献了剩余的15%. 题型三｜求非线性经验回归方程 【例3】　某企业为确定下一年投入某种产品的研发费用，需了解年研发费用x（单位：千万元）对年销售量y（单位：千万件）的影响，统计了近10年投入的年研发费用xi与年销售量yi（i＝1，2，…，10）的数据，得到散点图如图所示. （1）利用散点图判断y＝a＋bx和y＝c·xd（其中c，d均为大于0的常数）哪一个更适合作为年销售量y和年研发费用x的回归方程类型（只要给出判断即可，不必说明理由）； （2）对数据作出如下处理，令ui＝ln xi，vi＝ln yi，得到相关统计量的值如下表： vi ui （ui－）（vi－） （ui－）2 15 15 28.25 56.5 根据（1）的判断结果及表中数据， 求y关于x的回归方程. 附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（un，vn），其经验回归直线＝＋u的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝－. 解：（1）由散点图可知，选择回归方程类型y＝c·xd更适合. （2）对y＝c·xd两边取对数，得ln y＝ln c＋dln x，即v＝ln c＋du. 由表中数据求得＝＝＝， ＝＝＝. 令ln c＝m， 则＝－＝－×＝，即c＝， 所以年销售量y与年研发费用x的回归方程为＝. 通性通法 非线性回归问题的处理方法 （1）指数函数型y＝ebx＋a：两边取对数得ln y＝ln ebx＋a，即ln y＝bx＋a.令z＝ln y，把原始数据（x，y）转化为（x，z），再根据线性回归模型的方法求出a，b； （2）对数函数型y＝bln x＋a：设x'＝ln x，原方程可化为y＝bx'＋a，再根据线性回归模型的方法求出a，b； （3）y＝bx2＋a型：设x'＝x2，原方程可化为y＝bx'＋a，再根据线性回归模型的方法求出a，b. 【跟踪训练】 1.若一函数模型为y＝ax2＋bx＋c（a≠0），将y转化为t的经验回归方程，则需做变换t＝（　　） A.x2 B.（x＋a）2 C.（x＋）2 D.以上都不对 解析：C　y＝ax2＋bx＋c＝a（x＋）2＋（a≠0），可令t＝（x＋）2，则y＝at＋为y关于t的经验回归方程. 2.已知变量y关于x的非线性经验回归方程为y＝ebx－0.5，若对y＝ebx－0.5两边取自然对数，可以发现ln y与x线性相关，现有一组数据如下表所示，x＝5时，预测y值为e7.5. x 1 2 3 4 y e e3 e4 e6 解析：对y＝ebx－0.5两边取对数，得ln y＝bx－0.5，令z＝ln y则z＝bx－0.5，列表如下： x 1 2 3 4 y e e3 e4 e6 z 1 3 4 6 ＝＝2.5，＝＝3.5 ，代入＝b－0.5得3.5＝b·2.5－0.5，故b＝1.6，故z＝1.6x－0.5，y＝e1.6x－0.5，当x＝5时，y＝e1.6×5－0.5＝e7.5. 1.某种产品的投入x（单位：万元）与收入y（单位：万元）之间的关系如下表所示： x/万元 2 4 5 6 8 y/万元 30 40 60 50 70 若y与x的经验回归方程为＝6.5x＋17.5，则相应于点（4，40）的残差为（　　） A.－4.5 B.4.5 C.－3.5 D.3.5 解析：C　＝4×6.5＋17.5＝43.5，ε＝40－43.5＝－3.5. 2.用模型y＝aebx＋1（a＞0）拟合一组数据时，令z＝ln y，将其变换后得到经验回归方程z＝2x＋a，则＝（　　） A.e B. C. D.2 解析：D　对y＝aebx＋1（a＞0）两边同时取自然对数，得ln y＝ln（aebx＋1）＝ln a＋bx＋1，令z＝ln y，则z＝bx＋ln a＋1，所以解得所以＝2.故选D. 1.甲、乙、丙、丁四位同学在建立变量x，y的回归模型时，分别选择了4种不同模型，计算可得它们的决定系数R2如下表： 甲 乙 丙 丁 R2 0.98 0.78 0.50 0.85 则回归模型拟合效果最好的是（　　） A.甲　　 　B.乙　　 　C.丙　　 　D.丁 解析：A　决定系数R2越大，表示回归模型的拟合效果越好. 2.某样本点（xi，yi）（i＝1，2，…，n）的经验回归方程为＝0.5x＋0.7，当x＝8时，y的实际值为4.5，则当x＝8时，预测值与实际值的差值为（　　） A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4 解析：B　当x＝8时，y的预测值＝4.7，4.7－4.5＝0.2.故选B. 3.已知变量y关于变量x的经验回归方程为＝bln x＋0.24，其一组数据如表所示： x e e3 e4 e6 e7 y 1 2 3 4 5 若x＝e10，则y的值大约为（　　） A.4.94 B.5.74 C.6.81 D.8.04 解析：C　令t＝ln x，则＝bt＋0.24.由题意得，＝4.2，＝3，由线性经验回归直线过样本的中心点，有b＝，所以＝ln x＋0.24，将x＝e10代入得≈6.81.故选C. 4.如图是一组实验数据的散点图，拟合方程为y＝＋c（x＞0），令t＝，则y关于t的经验回归直线过点（2，5），（12，25），则当y∈（1.01，1.02）时，x的取值范围是（　　） A.（0.01，0.02） B.（50，100） C.（0.02，0.04） D.（100，200） 解析：D　根据题意可得y＝bt＋c（t＞0），由y关于t的经验回归直线过点（2，5），（12，25）可得：解得所以y＝2t＋1，由y∈（1.01，1.02）可得1.01＜2t＋1＜1.02，所以0.005＜t＜0.01，所以0.005＜＜0.01，所以100＜x＜200，故选D. 5.〔多选〕某研究小组采集了5组数据，作出如图所示的散点图.若去掉D（3，10）后，下列说法正确的是（　　） A.样本相关系数r变小 B.决定系数R2变大 C.残差平方和变大 D.自变量x与因变量y的相关性变强 解析：BD　根据散点图可知，去掉点D（3，10）后，y与x的线性相关性加强，且为正相关，样本相关系数r变大，则A错，D对；去掉点D（3，10）后，残差平方和变小，则R2变大，B对，C错.故选B、D. 6.〔多选〕某种商品的价格x（单位：元/kg）与日需求量y（单位：kg）之间的对应数据如下表所示： x 10 15 20 25 30 y 11 10 8 6 5 根据表中的数据可得经验回归方程＝x＋14.4，则以下说法正确的是（　　） A.样本相关系数r＞0 B.＝－0.32 C.若该商品的价格为35元/kg，则日需求量大约为3.2 kg D.第四个样本点对应的残差为－0.4 解析：BCD　对于A、B，由题表中的数据，得＝＝20，＝＝8，将，代入＝x＋14.4得＝－0.32，所以A选项说法错误，B选项说法正确；对于C，将x＝35代入＝－0.32x＋14.4，得＝3.2，所以日需求量大约为3.2 kg，所以C选项说法正确；对于D，第四个样本点对应的残差为y4－＝6－（－0.32×25＋14.4）＝－0.4，所以D选项说法正确.故选B、C、D. 7.在研究两个变量的相关关系时，观察散点图发现样本点集中于某一条指数曲线y＝ebx＋a的周围，令z＝ln y，求得经验回归方程为＝0.25x－2.58，则该模型的回归方程为＝e0.25x－2.58. 解析：由z＝ln y，＝0.25x－2.58，得ln ＝0.25x－2.58，所以＝e0.25x－2.58.故该模型的回归方程为＝e0.25x－2.58. 8.某工厂为研究某种产品的产量x（吨）与所需某种原材料y（吨）的相关性，在生产过程中收集了对应数据如下表所示，根据表中数据，得出y关于x的经验回归方程为＝0.6x＋.据此计算出在样本（4，3）处的残差为－0.15，则表中m＝4.8. x 3 4 5 6 y 2 3 4 m 解析：∵样本（4，3）处的残差为－0.15，且y关于x的经验回归方程为＝0.6x＋，∴3－（0.6×4＋）＝－0.15，解得＝0.75，故经验回归方程为＝0.6x＋0.75，∵＝＝4.5，＝＝，∴＝0.6×4.5＋0.75，解得m＝4.8. 9.“绿水青山就是金山银山”的理念推动了新能源汽车产业的迅速发展.以下表格和散点图反映了近几年我国某新能源汽车的年销售量情况. 年份 2020 2021 2022 2023 2024 年份代码x 1 2 3 4 5 某新能源汽车 年销售量y/万辆 1.5 5.9 17.7 32.9 55.6 （1）请根据散点图判断，y＝bx＋a与y＝cx2＋d中哪一个更适宜作为年销售量y关于年份代码x的回归方程类型.（给出判断即可，不必说明理由） （2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程，并预测2025年我国该新能源汽车的年销售量.（精确到0.1） 参考数据：＝22.72，（wi－）2＝374，（wi－）（yi－）＝851.2（其中wi＝）. 解：（1）根据散点图可知，y＝cx2＋d更适宜作为年销售量y关于年份代码x的回归方程类型. （2）令w＝x2，则＝w＋. 易知＝11，＝＝≈2.28， ＝－≈22.72－2.28×11＝－2.36， 所以＝2.28w－2.36， 所以y关于x的回归方程为＝2.28x2－2.36. 令x＝6，得＝79.72≈79.7. 故预测2025年我国该新能源汽车的年销售量为79.7万辆. 10.假定小麦基本苗数x与成熟期有效穗y之间存在相关关系，今测得5组数据如下： x 15.0 25.8 30.0 36.6 44.4 y 39.4 42.9 42.9 43.1 49.2 若由最小二乘法计算得经验回归方程＝0.29x＋34.7. （1）计算各组残差，并计算残差平方和； （2）求R2，并说明回归模型拟合效果的好坏. 解：（1）由＝xi＋，可以算得＝yi－. 分别为＝0.35，＝0.718，＝－0.5，＝－2.214，＝1.624， 所以残差平方和为（）2≈8.43. （2）由表中数据得＝43.5，（yi－）2＝50.18， 故R2＝1－≈1－≈0.832. 所以回归模型的拟合效果较好. 11.某企业坚持以市场需求为导向，合理配置生产资源，不断改革、探索销售模式.下表是该企业每月生产的一种核心产品的产量x（单位：t）与相应的生产总成本y（单位：万元）的五组对照数据. 产量x/t 1 2 3 4 5 生产总成本y/万元 3 7 8 10 12 （1）根据上表数据，若用最小二乘法进行线性模拟，试求y关于x的经验回归方程＝x＋. （2）记第（1）问中所求y与x的经验回归方程＝x＋为模型①，同时该企业科研人员利用计算机根据数据又建立了y与x的回归模型②：＝x2＋1.其中模型②的残差图（残差＝实际值－估计值）如图所示. 请完成模型①的残差表与残差图，并根据残差图，判断哪一个模型更适宜作为y关于x的回归方程，并说明理由. （3）根据模型①中y与x的经验回归方程，预测产量为6 t时生产总成本为多少万元. 解：（1）计算＝（1＋2＋3＋4＋5）＝3， ＝（3＋7＋8＋10＋12）＝8， ＝12＋22＋32＋42＋52＝55， xiyi＝1×3＋2×7＋3×8＋4×10＋5×12＝141， ＝＝＝2.1， ＝－＝8－2.1×3＝1.7， 因此，经验回归方程为＝2.1x＋1.7. （2）模型①的残差表为 x 1 2 3 4 5 y 3 7 8 10 12 3.8 5.9 8 10.1 12.2 －0.8 1.1 0 －0.1 －0.2 画出残差图，如图所示： 结论：模型①更适宜作为y关于x的回归方程，理由1：模型①的5个样本点的残差点落在的带状区域比模型②的带状区域更窄； 理由2：模型①的5个样本点的残差点比模型②的残差点更贴近x轴.（写出一个理由即可） （3）根据模型①中y与x的经验回归方程，计算x＝6时，＝2.1×6＋1.7＝14.3， 所以预测产量为6吨时生产总成本为14.3万元. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $