6.2.2 第2课时 空间向量数量积的坐标运算及空间两点间的距离公式分层同步练习-2025-2026学年高二下学期数学苏教版选择性必修第二册

**基本信息** 本同步练通过A、B、C三层设计，实现空间向量坐标运算及距离公式从基础到综合再到应用的递进巩固，适配新授课分层教学需求，培养运算能力、空间观念与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A层|空间向量坐标运算、数量积、距离公式|以选择、填空为主，如第2题地球仪距离计算，强化基础运算，落实运算能力| |B层|垂直判定、夹角余弦、模长综合|含多选题（第12题正方体几何）和解答题，提升符号推理与逻辑分析能力| |C层|立体几何应用（四棱锥、空间三点）|结合空间直角坐标系解决异面直线夹角等问题，如第15题四棱锥长度计算，发展空间观念与创新意识|

6.2.2　空间向量的坐标表示 第2课时　空间向量数量积的坐标运算及空间两点间的距离公式 A层 基础达标练 1.若向量a=(4,2,-4),b=(6,-3,2),则(2a-3b)·(a+2b)等于(　　) A.-212 B.-106 C.106 D.212 2.设一地球仪的球心为空间直角坐标系的原点O,球面上的两个点A,B的坐标分别为(1,2,2),(2,-2,1),则||等于(　　) A.18 B.12 C.2 D.3 3.已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且ka+b与2a-b互相垂直,则k的值是(　　) A.1 B. C. D. 4.已知a+b=(2,,2),a-b=(0,,0),则cos<a,b>等于(　　) A. B. C. D. 5.(多选题)已知向量a=(1,1,-1),b=(2,-1,0),c=(0,1,-2),则下列结论正确的是(　　) A.a·(b+c)=4 B.(a-b)·(b-c)=-8 C.记a与b-c的夹角为θ,则cos θ= D.若(a+λb)⊥c,则λ=3 6.已知A(2,-5,1),B(2,-2,4),C(1,-4,1),则向量的夹角为　　　　.  7.已知向量a=(x,4,1),b=(-2,y,-1),c=(3,-2,z),且a∥b,b⊥c. (1)求向量a,b,c; (2)求向量a+c与向量b+c所成角的余弦值. B层 能力提升练 8.(2024江苏通州中学高二月考)已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且ka+b与2a-b互相垂直,则k=(　　) A. B.1 C. D. 9.已知向量a=(0,-1,1),b=(4,1,0),|λa+b|=,且λ>0,则λ等于(　　) A.5 B.4 C.3 D.2 10.已知向量a=(1,2,3),b=(-2,-4,-6),|c|=,若(a+b)·c=7,则a与c的夹角为(　　) A.30° B.60° C.120° D.150° 11.已知O为坐标原点,=(1,2,3),=(2,1,2),=(1,1,2),点Q在直线OP上运动,则当取得最小值时,点Q的坐标为(　　) A. B. C. D. 12.(多选题)若正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,M为B1C1的中点,则下列说法正确的是(　　) A.直线AB1与直线BC1成60°角 B.若,平面A1MN交CD于点E,则CE= C.点P在正方形ABB1A1边界及内部运动,且MP⊥DB1,则点P的轨迹长等于 D.E,F分别在线段DB1,A1C1上,且=2,直线EF与AD1,A1D所成的角分别是α,β,则α+β= 13.若a=(x,2,-4),b=(-1,y,3),c=(1,-2,z),且a,b,c两两垂直,则x=　　　　,y=　　　　,z=　　　　.  14.已知A(1,0,0),B(0,-1,1),O(0,0,0),+λ的夹角为120°,求λ的值. C层 拓展探究练 15.如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,PA与平面ABCD所成的角为60°,在四边形ABCD中,∠ADC=∠DAB=90°,AB=4,CD=1,AD=2. (1)求BP的长; (2)求异面直线PA与BC所成角的余弦值. 16.已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5). (1)若,且||=2,求点P的坐标; (2)求以为邻边的平行四边形的面积. 参考答案 1.A　由题意,得(2a-3b)·(a+2b)=(-10,13,-14)·(16,-4,0)=-10×16+13×(-4)=-212. 2.D　由题意,得||==3,故选D. 3.D　因为(ka+b)·(2a-b)=0,所以2k|a|2-ka·b+2a·b-|b|2=0, 因为|a|2=2,|b|2=5,a·b=-1, 所以4k+k-2-5=0,解得k=. 4.C　由已知,得a=(1,),b=(1,0,),故cos<a,b>=. 5.ABD　由题意,得a·(b+c)=(1,1,-1)·(2,0,-2)=2+0+2=4. (a-b)·(b-c)=(-1,2,-1)·(2,-2,2)=-2-4-2=-8. cos θ= ==-. 因为(a+λb)⊥c,所以(a+λb)·c=0, 即(1+2λ,1-λ,-1)·(0,1,-2)=0, 得1-λ+2=0,解得λ=3.综上可知,选项ABD正确. 6.　∵=(0,3,3),=(-1,1,0), ∴||=3,||=, =0×(-1)+3×1+3×0=3, ∴cos<>=. 又∵<>∈[0,π],∴<>=. 7.解 (1)因为a∥b,所以,且y≠0,解得x=2,y=-4, 此时a=(2,4,1),b=(-2,-4,-1). 又由b⊥c,得b·c=0, 故(-2,-4,-1)·(3,-2,z)=-6+8-z=0, 得z=2,此时c=(3,-2,2). (2)由(1)得a+c=(5,2,3),b+c=(1,-6,1), 因此向量a+c与向量b+c所成角θ的余弦值为cos θ==-. 8.A　∵a=,b=, ∴ka+b=,2a-b=. 又∵ka+b与2a-b互相垂直,∴=0, ∴3k-3+2k-4=0,解得k=.故选A. 9.C　λa+b=λ(0,-1,1)+(4,1,0)=(4,1-λ,λ), 由已知,得|λa+b|=,且λ>0,解得λ=3或λ=-2(舍). 10.C　由题意知,a+b=(-1,-2,-3)=-a, 故(a+b)·c=-a·c=7,得a·c=-7, 而|a|=, 所以cos<a,c>==-,所以<a,c>=120°. 11.C　由题意,设=λ, 则-λ=(1-λ,2-λ,3-2λ), -λ=(2-λ,1-λ,2-2λ), 所以=(1-λ,2-λ,3-2λ)·(2-λ,1-λ,2-2λ)=2(3λ2-8λ+5)=2. 当λ=时,取得最小值, 此时点Q的坐标为. 12.ACD　如图,建立空间直角坐标系,则A(2,0,2),B(2,2,2),C(0,2,2),D(0,0,2),A1(2,0,0),B1(2,2,0),C1(0,2,0),D1(0,0,0),M(1,2,0). 对于A,=(0,2,-2),=(-2,0,-2), |cos<>|=, ∴直线AB1与直线BC1成60°角,故A正确; 对于B,∵,∴N0,2,, 设E(0,m,2),则=(-1,2,0),=-2,2,,=(-2,m,2), 由已知,得A1,M,N,E四点共面, ∴存在λ,μ∈R,使得=λ+μ, 得解得 ∴E0,,2,∴=0,-,0,||=,故B错误; 对于C,设P(2,y,z)(0≤y≤2,0≤z≤2),则=(1,y-2,z),=(2,2,-2), 由MP⊥DB1,得=2+2y-4-2z=0,则y-z=1, ∴点P的轨迹长为线段y-z=1(0≤y≤2,0≤z≤2)的长度,为,故C正确; 对于D,∵E,F分别在线段DB1,A1C1上,且=2, ∴×(2,2,-2)=,-,×(-2,2,0)=-,0, 则E,F,0, 则=-,0,-, 则cos α=|cos<>| = ==1, 故α=0, cos β=|cos<>| ==0, 故β=,故α+β=,故D正确.故选ACD. 13.-64　-26　-17　∵a⊥b,a⊥c,b⊥c, ∴ 解得 14.解 ∵=(1,0,0),=(0,-1,1), ∴+λ=(1,-λ,λ), ∴(+λ)·=λ+λ=2λ, |+λ|=,||=, ∴cos 120°==-,∴λ2=. 又<0,∴λ=-. 15.解 (1)如图,建立空间直角坐标系. ∵∠ADC=∠DAB=90°, AB=4,CD=1,AD=2, ∴A(2,0,0),C(0,1,0),B(2,4,0). 由PD⊥平面ABCD,得∠PAD为PA与平面ABCD所成的角,∴∠PAD=60°. 在Rt△PAD中,由AD=2,得PD=2, ∴P(0,0,2), ∴BP==4. (2)由(1),得=(2,0,-2),=(-2,-3,0), ∴cos<>==-,∴异面直线PA与BC所成角的余弦值为. 16.解 (1)∵, ∴设=λ, 又=(3,-2,-1), ∴=(3λ,-2λ,-λ), 又||==2,得λ=±2, ∴=(6,-4,-2)或=(-6,4,2). 又A(0,2,3), 设P(x,y,z), ∴ 得 ∴P(6,-2,1)或(-6,6,5). (2)∵=(-2,-1,3),=(1,-3,2), cos <>=, 又<>∈[0,180°], ∴∠BAC=60°. ∴以为邻边的平行四边形的面积 S=||||sin 60°=14×=7. 学科网（北京）股份有限公司 $