6.2.2 第2课时 空间向量数量积的坐标表示 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套练习word（苏教版）

6.2.2 第2课时 空间向量数量积的坐标表示 [课时跟踪检测] 1.已知向量a=(0,-1,1),b=(4,1,0),|λa+b|=,且λ>0,则λ等于 (　　) A.5 B.4 C.3 D.2 解析:选C　λa+b=λ(0,-1,1)+(4,1,0)=(4,1-λ,λ),由已知得|λa+b|==,且λ>0,解得λ=3. 2.若向量a=(x,-4,-5),b=(1,-2,2),且a与b的夹角的余弦值为-,则实数x的值为 (　　) A.-3 B.11 C.3 D.-3或11 解析:选A　根据题意得cos<a,b>===-. 化简得=-.解得x=-3.故选A. 3.如图,PD垂直于正方形ABCD所在平面,AB=2,E为PB的中点,cos<,>=,若以DA,DC,DP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则点E的坐标为 (　　) A. B.(1,1,1) C.(1,1,) D.(1,1,) 解析:选B　设PD=a(a>0),则A(2,0,0),B(2,2,0),P(0,0,a),E,∴=(0,0,a),=, ∴cos<,>==,解得a=2,∴E的坐标为(1,1,1). 4.[多选]已知空间向量m=(-1,2,5),n=(2,-4,x),则下列选项正确的是 (　　) A.当m⊥n时,x=2 B.当m∥n时,x=-10 C.当|m+n|=时,x=-4 D.当x=时,cos<m,n>= 解析:选ABD　因为m⊥n,所以m·n=-1×2+2×(-4)+5x=-10+5x=0,解得x=2,故A正确;因为m∥n,所以存在λ∈R,使得m=λn,则(-1,2,5)=λ(2,-4,x)=(2λ,-4λ,λx),即解得故B正确;因为m+n=(-1+2,2-4,5+x)=(1,-2,5+x),所以|m+n|===,解得x=-5,故C错误;因为x=,则m=(-1,2,5),n=(2,-4,),所以cos<m,n>===,故D正确. 5.[多选]如图,矩形ADFE,矩形CDFG,正方形ABCD两两垂直,且AB=2,若线段DE上存在点P使得GP⊥BP,则边CG长度的可能取值为 (　　) A.4 B.4 C.2 D.2 解析:选ABD　以DA,DC,DF为坐标轴建立空间直角坐标系,如图所示.设CG=a,P(x,0,z),则=,即z=,又B(2,2,0),G(0,2,a),所以=,=,·=x(x-2)+4+=0,显然x≠0且x≠2,所以a2=-4.因为x∈(0,2),所以2x-x2∈(0,1],则当2x-x2=1时,a2取得最小值12,所以a的最小值为2,即边CG长度的最小值为2. 6.若A(3cos α,3sin α,1),B(2cos θ,2sin θ,1),则||的取值范围是 (　　) A.[1,3] B.[1,5] C.[,5] D.[3,] 解析:选B　∵A(3cos α,3sin α,1),B(2cos θ,2sin θ,1), ∴=(2cos θ-3cos α,2sin θ-3sin α,0), ∴||= = =,∴1≤||≤5.故选B. 7.在棱长为1的正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,P是底面ABCD(含边界)上一动点,满足A1P⊥AC1,则线段A1P长度的取值范围是 (　　) A. B. C. D. 解析:选A　如图,建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),A1(0,0,1),C1(1,1,1),∵P是底面ABCD(含边界)上一动点,∴设P(x,y,0)(0≤x≤1,0≤y≤1),则=(x,y,-1),=(1,1,1),∵A1P⊥AC1,∴·=x+y-1=0,∴=x2+y2+1=x2+(1-x)2+1=2x2-2x+2=2+,∴当x=时,取最小值,此时线段A1P的长度为;当x=0或x=1时,取最大值2,此时线段A1P的长度为,∴线段A1P长度的取值范围是.故选A. 8.(5分)已知向量a=(-2,1,x),b=(-1,1,2),a·b=3,则x=　　　　.  解析:a·b=2+1+2x=2x+3=3,解得x=0. 答案:0 9.(5分)若m=(2,-1,1),n=(λ,5,1),且m⊥(m-n),则λ=　　　　.  解析:由已知得m-n=(2-λ,-6,0). 由m·(m-n)=0,得2(2-λ)+6+0=0,所以λ=5. 答案:5 10.(5分)由二维平面向量可以类比得到三维空间向量一些公式,比如若a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则a·b=x1x2+y1y2+z1z2,|a|=,非零向量a,b,a⊥b⇔a·b=0等.若a=(2,3,-4),b=(2,-3,2),则与a,b向量垂直的单位向量的坐标是　　　　　　　　.(写出一个即可)  解析:设向量n=(x,y,z)与a,b垂直,则取x=1,得n=(1,2,2),所以与n共线的单位向量±的坐标为或. 答案:(满足x2+y2+z2=1,且2x=y=z即可) 11.(5分)已知向量a=(-2,1,1),点A(-3,-1,4),B(-2,-2,2).在直线AB上,存在一点E,使得⊥a,其中O为坐标原点,则点E的坐标为　　　　　　.  解析:设=λ,因为A(-3,-1,4),B(-2,-2,2),所以=(1,-1,-2),=(λ,-λ,-2λ),=(3,1,-4),=-=(λ-3,-λ-1,-2λ+4).因为⊥a,所以-2(λ-3)+(-λ-1)+(-2λ+4)=0,解得λ=.又A(-3,-1,4),=,所以点E的坐标为. 答案: 12.(10分)已知空间向量a=(2,-1,3),b=(m,4,n). (1)若c∥a,且a·c=28,求c的坐标;(4分) (2)若a⊥b,且m>0,n>0,求mn的最大值.(6分) 解:(1)由题意c∥a,a=(2,-1,3)≠0,不妨设c=λa,因为a·c=28, 所以a·c=λa2=λ|a|2=λ×[22+(-1)2+32]=28,解得λ=2,所以c=λa=2a=(4,-2,6). (2)由题意a⊥b,得a·b=2m-4+3n=0,即2m+3n=4. 又因为m>0,n>0, 所以由基本不等式可得2m+3n=4≥2,当且仅当m=1,n=时,等号成立, 解得mn≤. 所以当且仅当m=1,n=时,mn的最大值为. 13.(10分)如图,设边长为2的正方形ABCD的中心为O,过点O作平面ABCD的垂线VO,VO=2,E为VO的中点,求与夹角的余弦值. 解:连接BD,AC,显然有BD⊥AC,BD∩AC=O,BD=AC=2.如图分别以,,的方向为x、y、z轴的正方向,建立空间直角坐标系. 则B(0,,0),C(-,0,0),O(0,0,0),V(0,0,2),E(0,0,1),则=(0,-,2),=(,0,1),则·=0×-×0+2×1=2,||= =,||= =, 所以cos<,>===. 所以与夹角的余弦值为. 14.(15分)如图,在四棱锥P⁃ABCD中,△PBC为等腰直角三角形,且∠CPB=90°,四边形ABCD为直角梯形,满足AD∥BC,CD⊥AD,BC=CD=2AD=4,PD=2. (1)若点F为DC的中点,求cos<,>;(9分) (2)若点E为PB的中点,点M为AB上一点,当⊥时,求的值.(6分) 解:(1)因为△PBC为等腰直角三角形,∠CPB=90°,BC=CD=4,所以PC=PB=2. 又PD2==24,PC2+CD2=+42=24,所以DC⊥PC. 而CD⊥AD,AD∥BC,故CD⊥BC, 因为PC∩BC=C,PC,BC⊂平面PBC,所以CD⊥平面PBC. 以点C为原点,CP,CD所在直线分别为x,z轴,过点C作PB的平行线为y轴,建立空间直角坐标系C⁃xyz,如图所示, 则P(2,0,0),B(2,2,0),F(0,0,2),A(,,4),=(,-,-4),=(-2,-2,2). 所以cos<,>===-. (2)由(1)知E(2,,0),=(,,-4), 设=t,则=(t,t,-4t), 所以M(+t,+t,4-4t),所以=(t-,t,4-4t). 又=(-2,-2,2),⊥, 所以·=-2×(t-)-2×t+8-8t=0,解得t=, 所以=. 15.(15分)如图,在直三棱柱ABC⁃A1B1C1中,底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形,AC=2a,BB1=3a,D是A1C1的中点,E是B1C的中点. (1)求cos<,>;(7分) (2)在线段AA1上是否存在点F,使CF⊥平面B1DF?若存在,求出||;若不存在,请说明理由.(8分) 解:(1)以B为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系. ∵AC=2a,∠ABC=90°, ∴AB=BC=a. ∴B(0,0,0),A(a,0,0),C(0,a,0),B1(0,0,3a),A1(a,0,3a),C1(0,a,3a),D,E,=(a,-a,3a),=.∴||=a,||=a,·=0-a2+a2=a2. ∴cos<,>==. (2)存在.理由如下: 假设存在点F,使CF⊥平面B1DF. 不妨设AF=b,则F(a,0,b), =(a,-a,b),=(a,0,b-3a),=. ∵·=a2-a2+0=0,∴⊥恒成立. 由·=2a2+b(b-3a)=b2-3ab+2a2=0,得b=a或b=2a. ∴在线段AA1上存在点F,使CF⊥平面B1DF,且||=a或||=2a. 学科网（北京）股份有限公司 $