精品解析：2026年吉林省吉林市二模数学试题

吉林市2025-2026学年度初中毕业年级第二次阶段性教学质量检测数学 本试卷包括三道大题，共22道小题，共8页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考试结束后，上交答题卡． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、单项选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列实数中，属于无理数的是（ ） A. B. 0 C. D. 3.14 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查无理数与有理数的概念，根据无理数是无限不循环小数，有理数是整数和分数的统称，对各选项逐一判断即可． 【详解】解：∵ 是开方开不尽的数，属于无限不循环小数， ∴ 是无理数； ∵ 0是整数，是分数，3.14是有限小数，都属于有理数； 只有选项A符合题意． 2. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．小杨利用软件创作下列四幅作品，它们分别代表“惊蛰”“芒种”“小满”“小雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意． 3. 不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 无解 【答案】C 【解析】 【分析】先分别求解不等式组中两个一元一次不等式，再取两个解集的公共部分，即可得到不等式组的解集． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， 因此原不等式组的解集为． 4. 若正多边形的一个外角等于，则这个多边形的边数是（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】本题利用正多边形外角和性质求解，任意多边形的外角和为，正多边形的所有外角都相等，据此计算可得边数． 【详解】解：∵任意多边形的外角和恒为，正多边形的每个外角都相等， 又∵该正多边形的一个外角等于， ∴这个多边形的边数为． 5. 已知反比例函数，下列结论正确的是（ ） A. 其图象经过点 B. 其图象位于第二、第四象限 C. 当时，随的增大而增大 D. 当时， 【答案】A 【解析】 【分析】本题利用反比例函数图象上点的坐标特征，以及反比例函数的性质，逐一判断各选项即可得到结论． 【详解】解：A选项：将点代入， 当时，， 图象经过点，该选项符合题意； B选项：， 反比例函数图象位于第一，第三象限，该选项不符合题意； C选项：， 当时，随的增大而减小，该选项不符合题意； D选项：当时， ，， ，该选项不符合题意． 6. “曹冲称象”是流传很广的故事，现仿照其称重方法进行操作：将象牵到船上，并在船侧面标记水位，再将象牵出．准备若干重量相等的石块和两个体重相同的搬运工．第一次，往船上放置100块石块，船上留2个搬运工，水位恰好到达标记位置；第二次，向船上增加3块石块，船上留1个搬运工，水位也恰好到达标记位置．已知每个搬运工体重为150斤，设每块石块的重为斤，大象重为斤，下列说法错误的是（ ） A. B. C. 该象重5150斤 D. 每块石块重50斤 【答案】C 【解析】 【分析】利用两次称重时船的总重量等于大象重量这一等量关系，列出关于  和  的方程组，求解后即可判断各选项的正误.  【详解】解：设每块石块重斤，大象重斤， 由第一次称重情况可得方程：， 故选项 A 说法正确； 由第二次称重情况可得方程：， 故选项 B 说法正确； 联立上述两个方程组成方程组：， ，解得 ， 将代入得：， 每块石块重斤，大象重斤； 故选项 D 说法正确，选项 C 说法错误. 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：=； 故答案为 8. 若代数式有意义，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件求出的取值范围即可． 【详解】解：依题意得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解答此题的关键． 9. 吉林市牢固树立和践行正确政绩观，摒弃“形象工程”，秉持“功成不必在我、功成必定有我”的担当，聚力推动高质量发展．年，吉林市计划实施万元以上项目个，总投资亿元．数据亿用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】先将亿转化为原数，再根据科学记数法的表示方法确定和的值即可得到答案． 【详解】解：亿， 科学记数法表示，其中，为整数，则将的小数点向左移动位得到 ，满足，因此， ． 10. 吉林市某中学数学作业：如图1，已知线段，线段．请利用无刻度的直尺和圆规，借助已知线段作面积为的平行四边形． 下面是小帆完成该作业题的过程： 作法：如图2． （1）画直线，在直线上取一点． （2）以点为圆心，截取线段的长为半径作弧，交直线于点． （3）分别以点和点为圆心，截取线段的长为半径作弧，两弧相交于，两点． （4）连接，，，．四边形即为所求． 老师在对小帆面批面改时，肯定其作法，并向其追问：“在你所作的图中，的正弦值是多少？”请写出该问题的正确答案，即________． 【答案】 【解析】 【分析】根据作图步骤可知四边形的四条边相等，判定其为菱形，利用菱形对角线互相垂直平分的性质构造直角三角形，结合勾股定理求出对角线的一半长度，最后利用锐角三角函数的定义求解即可． 【详解】解：由作法可知，，， ∴四边形是菱形， 如图，连接，设与相交于点 ， ∵四边形是菱形， ∴，， 在中，由勾股定理得， ∴． 11. 如图，，是的半径，，是的弦，，点为上一点，连接，．当时，的度数为________． 【答案】50 【解析】 【分析】连接，根据圆内接四边形的性质可得，再结合等腰三角形的性质以及平行线的性质可得，，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形为的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 三、解答题（12-14每小题6分，15-17每小题7分，18-19每小题8分，20-21每小题10分，22题12分，共87分） 12. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 13. 有3张看上去无差别的卡片，上面分别写着，，．随机抽取1张后，放回并混在一起，再随机抽取1张，请用画树状图或列表的方法，求两次取出的字母相同的概率． 【答案】 【解析】 【详解】解：由题意，列表如下： A B C A A，A A，B A，C B B，A B，B B，C C C，A C，B C，C 共9种等可能的结果，其中两次取出的字母相同的结果有3种， ∴. 14. 某学习小组进行小孔成像相关实验探究，装置如图所示，物体，幕布，物体通过小孔成像，物体成像后的顶端与点重合，底端落在点处．求证． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据题意得到，再根据相似三角形的判定即可求解． 【详解】证明：∵，， ∴， ∴，， ∴． 15. 为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，甲、乙两校分别组织学生去中国人民抗日战争纪念馆参观．甲校距纪念馆，乙校距纪念馆．两校学生同时从学校出发，甲校学生乘坐中巴车，乙校学生乘坐大巴车，结果两校学生同时到达纪念馆．已知中巴车的平均速度比大巴车的平均速度快．求大巴车行驶的时间． 【答案】大巴车行驶的时间为． 【解析】 【分析】设大巴车的平均速度为，则中巴车的平均速度为，根据结果两校学生同时到达纪念馆，列出分式方程，解方程，即可解决问题． 【详解】解：设大巴车的平均速度为，则中巴车的平均速度为， 根据题意可列方程，得， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 答：大巴车行驶的时间为． 16. 图1是一座风力发电机．图2是某团队使用无人机测量该风力发电机塔筒高度（轮毂中心高度）的示意图．已知无人机在距塔筒水平距离的地面点处竖直升至点处悬停，点距离地面的高度为，在点处测得塔筒顶端的仰角为．求这座风电塔筒的高度（结果取整数）．（参考数据：，，） 【答案】这座风电塔筒的高度约为． 【解析】 【分析】由图可知四边形是矩形，因此可得 是直角三角形，在中，已知，根据正切定义 ，可求得的长度，进而，即得到塔筒高度． 【详解】解：延长，交于点， ∴根据题意可知，，，， ∴四边形是矩形， ∴ ， ∴在中，， ∴ ， ​ ∴， ∴ ， 答：这座风电塔筒的高度约为． 17. 冰雪经济是吉林省新质生产力重要板块．如图为年吉林省冰雪经济市场规模及同比增速的统计图． 根据以上信息，回答下列问题： （1）年吉林省冰雪经济市场规模中，同比增速的中位数是________． （2）下列判断合理的是________（填序号）． ①年，2026年吉林省冰雪经济市场规模最高． ②年，2026年吉林省冰雪经济市场规模增量最多． ③2023年吉林省冰雪经济市场规模同比增速． （3）若2027年吉林省冰雪经济市场规模同比增速与2026年持平，则2027年吉林省冰雪经济市场规模约为________亿元（只填算式，不计算结果）． 【答案】（1） （2） ① （3） 【解析】 【分析】（1）根据中位数的定义，将5个同比增速数据从小到大排列，找出位于中间位置的数即可； （2）根据条形统计图的数据判断市场规模的大小及增量的多少，根据折线统计图读取具体的增速数值进行逐一判断； （3） 根据增长率的计算公式：现期量基期量增长率，代入2026年的市场规模和增速列式即可. 【小问1详解】  解：年的同比增速分别为：， 将这组数据从小到大排列为：； 位于中间位置的数是，所以中位数为； 【小问2详解】 解：①观察条形统计图可知，2026年的条形最高，数值为3414，是年中最大的，故①合理； ②计算各年市场规模的增量： 2023年增量：； 2024年增量：； 2025年增量：； 2026年增量：； ∵， ∴2024年增量最多，故②不合理； ③观察折线统计图可知，2023年的同比增速为，不是，故不合理； 综上所述，合理的判断是①； 【小问3详解】 解：2026年吉林省冰雪经济市场规模为3414亿元，2026年同比增速为， 若2027年同比增速与2026年持平，则2027年增速也为， 故2027年市场规模.  18. 图1，图2，图3均是正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点，，，，均在格点上，点在网格中的圆上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图． （1）在图1中，画出圆的直径． （2）在图2中，画出圆的直径． （3）在图3中，画出圆心． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）利用圆周角定理即可作出图形； （2）证明，利用圆周角定理即可作出图形； （3）综合（1）（2）即可作出圆心． 【小问1详解】 解：圆的直径如图所示： ； 【小问2详解】 解：圆的直径如图所示： ； ，，， ∴， ∴， ∴， ∴是圆的直径； 【小问3详解】 解：圆心如图所示： ． 19. 如图，在矩形中，，．点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿折线向终点匀速运动，过点作于点，将绕点顺时针旋转得到，连接．设点运动的时间为秒，与矩形重叠部分的图形面积为． （1）当点与点重合时，________． （2）求关于的函数解析式，并写出的取值范围． 【答案】（1）4 （2）． 【解析】 【分析】（1）求得，据此计算即可求解； （2）分三种情况讨论，利用三角形面积公式列式即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得， ∵矩形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 点与点重合时， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：当点在上时，此时， ∴； 当点在上且点未到点时，此时， ∴； 当点在上且点超过点时，此时， ，设交于点， ； 综上，． 20. 为研究城区空气质量变化，某校环保社团对吉林市某日的空气状况进行连续监测，记录了10个小时城区浓度（单位：）与监测时间（单位：）的变化情况，函数图象如图所示． （1）当时，求关于的函数解析式． （2）当时，求的值． （3）当时，直接写出时的取值范围． 【答案】（1）（）； （2）60 （3）． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）把代入，求解即可； （3）利用待定系数法求得时函数的解析式，求得时，的值，结合函数图象即可求解． 【小问1详解】 解：当时，设y与x的函数解析式为， 将和代入，得， 解得， 所以y与x的函数解析式为（）； 【小问2详解】 解：把代入，得； 【小问3详解】 解：当时，设y与x的函数解析式为， 将和代入，得， 解得， 所以y与x的函数解析式为； 当时，或， 解得或， 观察图象，当时的取值范围是． 21. 【问题背景】如图1，在中，，点，在边上，，，． 【特例探究】如图2，当时，将绕点顺时针旋转得到，连接． （1）求证：． （2）直接写出的长． （3）【类比迁移】如图3，当时，直接写出的长． （4）【思维拓展】若是锐角，当时，直接写出的长． 【答案】（1）见解析 （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质得，，则，再利用即可证明； （2）由旋转的性质得，从而得到，在中，由勾股定理求解即可； （3）将绕点顺时针旋转得，同理证明，作交的延长线于点，求得，，在中，利用勾股定理求解即可； （4）设，将绕点顺时针旋转得，连接，同（3）的方法求解即可． 【小问1详解】 证明：∵将绕点顺时针旋转得， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； 【小问2详解】 解：∵将绕点顺时针旋转得， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， 在中，； 【小问3详解】 解：将绕点顺时针旋转得，连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵将绕点顺时针旋转得， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， 作交的延长线于点， ∵将绕点顺时针旋转得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， 在中，； 【小问4详解】 解：设， 将绕点顺时针旋转得，连接， ∵，， ∴， ∵将绕点顺时针旋转得， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， 作交的延长线于点， ∵将绕点顺时针旋转得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，． 22. 如图，抛物线经过点，点，在抛物线上，作射线，过点作轴交射线于点．已知点的横坐标为，点的横坐标为（，），线段的长为． （1）求的值． （2）当时，求关于的函数解析式． （3）当时，若随的增大而增大，则的取值范围为________． （4）当（为常数，且）时，若随的增大而增大，则的取值范围为________（用含的式子表示）． 【答案】（1）； （2）； （3）或 （4）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求得直线的解析式为，根据题意得，，分当和，两种情况讨论； （3）根据（2）的结论，分别利用二次函数的性质求解即可； （4）求得，，同（3）理，分别利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：把代入，得， 解得； 【小问2详解】 解：由（1）知，， 当时， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将代入得，，解得， ∴直线的解析式为， 根据题意得，， 当时，； 当时，； 综上，； 【小问3详解】 解：当时，， ∵，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大； 当时，， ∵，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大； 综上，当或时，随的增大而增大； 【小问4详解】 解：由（1）知，， ∴， 设直线的解析式为， 将代入得，， 解得， ∵， ∴， ∴直线的解析式为， 根据题意得，， 当即时，； ∵，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大； 当即时，， ∵，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大； 综上，当或时，随的增大而增大． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林市2025-2026学年度初中毕业年级第二次阶段性教学质量检测数学 本试卷包括三道大题，共22道小题，共8页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考试结束后，上交答题卡． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、单项选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列实数中，属于无理数的是（ ） A. B. 0 C. D. 3.14 2. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．小杨利用软件创作下列四幅作品，它们分别代表“惊蛰”“芒种”“小满”“小雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 无解 4. 若正多边形的一个外角等于，则这个多边形的边数是（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 5. 已知反比例函数，下列结论正确的是（ ） A. 其图象经过点 B. 其图象位于第二、第四象限 C. 当时，随的增大而增大 D. 当时， 6. “曹冲称象”是流传很广的故事，现仿照其称重方法进行操作：将象牵到船上，并在船侧面标记水位，再将象牵出．准备若干重量相等的石块和两个体重相同的搬运工．第一次，往船上放置100块石块，船上留2个搬运工，水位恰好到达标记位置；第二次，向船上增加3块石块，船上留1个搬运工，水位也恰好到达标记位置．已知每个搬运工体重为150斤，设每块石块的重为斤，大象重为斤，下列说法错误的是（ ） A. B. C. 该象重5150斤 D. 每块石块重50斤 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 因式分解：__________． 8. 若代数式有意义，则实数的取值范围是________． 9. 吉林市牢固树立和践行正确政绩观，摒弃“形象工程”，秉持“功成不必在我、功成必定有我”的担当，聚力推动高质量发展．年，吉林市计划实施万元以上项目个，总投资亿元．数据亿用科学记数法表示为________． 10. 吉林市某中学数学作业：如图1，已知线段，线段．请利用无刻度的直尺和圆规，借助已知线段作面积为的平行四边形． 下面是小帆完成该作业题的过程： 作法：如图2． （1）画直线，在直线上取一点． （2）以点为圆心，截取线段的长为半径作弧，交直线于点． （3）分别以点和点为圆心，截取线段的长为半径作弧，两弧相交于，两点． （4）连接，，，．四边形即为所求． 老师在对小帆面批面改时，肯定其作法，并向其追问：“在你所作的图中，的正弦值是多少？”请写出该问题的正确答案，即________． 11. 如图，，是的半径，，是的弦，，点为上一点，连接，．当时，的度数为________． 三、解答题（12-14每小题6分，15-17每小题7分，18-19每小题8分，20-21每小题10分，22题12分，共87分） 12. 计算：． 13. 有3张看上去无差别的卡片，上面分别写着，，．随机抽取1张后，放回并混在一起，再随机抽取1张，请用画树状图或列表的方法，求两次取出的字母相同的概率． 14. 某学习小组进行小孔成像相关实验探究，装置如图所示，物体，幕布，物体通过小孔成像，物体成像后的顶端与点重合，底端落在点处．求证． 15. 为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，甲、乙两校分别组织学生去中国人民抗日战争纪念馆参观．甲校距纪念馆，乙校距纪念馆．两校学生同时从学校出发，甲校学生乘坐中巴车，乙校学生乘坐大巴车，结果两校学生同时到达纪念馆．已知中巴车的平均速度比大巴车的平均速度快．求大巴车行驶的时间． 16. 图1是一座风力发电机．图2是某团队使用无人机测量该风力发电机塔筒高度（轮毂中心高度）的示意图．已知无人机在距塔筒水平距离的地面点处竖直升至点处悬停，点距离地面的高度为，在点处测得塔筒顶端的仰角为．求这座风电塔筒的高度（结果取整数）．（参考数据：，，） 17. 冰雪经济是吉林省新质生产力重要板块．如图为年吉林省冰雪经济市场规模及同比增速的统计图． 根据以上信息，回答下列问题： （1）年吉林省冰雪经济市场规模中，同比增速的中位数是________． （2）下列判断合理的是________（填序号）． ①年，2026年吉林省冰雪经济市场规模最高． ②年，2026年吉林省冰雪经济市场规模增量最多． ③2023年吉林省冰雪经济市场规模同比增速． （3）若2027年吉林省冰雪经济市场规模同比增速与2026年持平，则2027年吉林省冰雪经济市场规模约为________亿元（只填算式，不计算结果）． 18. 图1，图2，图3均是正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点，，，，均在格点上，点在网格中的圆上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图． （1）在图1中，画出圆的直径． （2）在图2中，画出圆的直径． （3）在图3中，画出圆心． 19. 如图，在矩形中，，．点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿折线向终点匀速运动，过点作于点，将绕点顺时针旋转得到，连接．设点运动的时间为秒，与矩形重叠部分的图形面积为． （1）当点与点重合时，________． （2）求关于的函数解析式，并写出的取值范围． 20. 为研究城区空气质量变化，某校环保社团对吉林市某日的空气状况进行连续监测，记录了10个小时城区浓度（单位：）与监测时间（单位：）的变化情况，函数图象如图所示． （1）当时，求关于的函数解析式． （2）当时，求的值． （3）当时，直接写出时的取值范围． 21. 【问题背景】如图1，在中，，点，在边上，，，． 【特例探究】如图2，当时，将绕点顺时针旋转得到，连接． （1）求证：． （2）直接写出的长． （3）【类比迁移】如图3，当时，直接写出的长． （4）【思维拓展】若是锐角，当时，直接写出的长． 22. 如图，抛物线经过点，点，在抛物线上，作射线，过点作轴交射线于点．已知点的横坐标为，点的横坐标为（，），线段的长为． （1）求的值． （2）当时，求关于的函数解析式． （3）当时，若随的增大而增大，则的取值范围为________． （4）当（为常数，且）时，若随的增大而增大，则的取值范围为________（用含的式子表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $