精品解析：2025年吉林省吉林市永吉县中考二模数学试卷

2025年初中毕业年级阶段性教学质量检测 数学试卷 本试卷包括三道大题，共22道小题．共8页．全卷满分120分．考试时间120分钟．考试结束后，上交答题卡． 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、单项选择题（本题共6小题，每题3分，共18分） 1. －6的绝对值是（ ） A. -6 B. 6 C. - D. 2. 据网络平台数据显示，电影《哪吒之魔童闹海》票房突破150亿元，目前观影人次已超3亿，位居全球影史票房榜第5位，150亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. “月壤砖”是我国科学家模拟月壤成分烧制而成的，呈榫卯结构，有利于采来拼装建造月球基地．如图，这是“月壤砖”的示意图，其俯视图为（ ） A. B. C. D. 4. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ 　） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 不能确定 5. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，，点C落在x轴的正半轴上，点B落在第一象限内，按如图所示的步骤作图，则点H的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，点A、B、C、D在上，，，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 7 计算：______． 8. 如图所示，在杭州亚运会上一名中国运动员在跪姿射击时是由左手、左肘、左肩、右肩构成两个三角形，这样做的数学依据是_____． 9. 若一次函数的图象经过第二、三、四象限，则的取值范围是________． 10. 如图1，先把一张矩形纸片上下对折，设折痕为；如图2，再把点B叠在折痕线上，得到，过B点作，分别交于点P、Q，若则______． 11. 如图，正六边形的边长为，边，与相切于点C，F，连接，则的长为________． 三、解答题（12-14每小题6分，15-17每小题7分，18-19每小题8分，20-21每小题10分，22题12分，共计87分） 12. 先化简，再求值：，其中． 13. 某班级师生为了庆祝“五四青年节”，计划投入一笔资金购买甲、乙两种奖品，已知1件甲种奖品比1件乙种奖品多15元，用175元购买甲种奖品的数量和用100元购买乙种奖品的数量相同．求购买1件甲种奖品需要的钱数． 14. 化学元素符号是化学学科特有的语言工具，用于表示各种化学元素的符号．化学老师在一个不透明的袋子中装有4个分别标有化学元素符号S，C，N，O的小球（如图所示），这些小球除元素符号外无其他差别，化学老师从袋子中随机摸出一个小球（不放回），小明再从袋子中剩下的小球里随机摸出一个小球． （1）化学老师摸出的小球上面所标的元素符号是S的概率为___________； （2）用列表或画树状图的方法求化学老师与小明摸出的两个小球上标的元素能组成“”（一氧化碳）的概率． 15. 如图，在中，点分别在上，且相交于点，求证：． 16. “华罗庚数学奖”是中国三大顶尖数学奖项之一，是为激励中国数学家在发展中国数学事业中做出突出贡献而设立的．小华对截止到第十六届“华罗庚数学奖”得主获奖时的年龄（单位：岁）数据进行了收集、整理和分析．下面是部分信息． a．“华罗庚数学奖”得主获奖时的年龄统计图（数据分成5组：）： b．“华罗庚数学奖”得主获奖时的年龄在这一组的是： c．“华罗庚数学奖”得主获奖时的年龄数据的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 71.2 m 根据以上信息，回答下列问题： （1）截止到第十六届共有_______人获得“华罗庚数学奖”； （2）补全“华罗庚数学奖”得主获奖年龄频数分布直方图； （3）第十六届“华罗庚数学奖”得主徐宗本院士获奖时年龄为68岁，他的获奖年龄比一半以上“华罗庚数学奖”得主获奖年龄_______（填“小”或“大”），理由是_____________． 17. 某工程队修建一条公路，所需时间（单位：天）与每天修建该公路的长度（单位：米）是反比例函数关系，如图，该函数关系的图象经过点． （1）求与之间的函数解析式（不用写出自变量的取值范围）； （2）其它条件不变，求该工程队每天修建该公路30米要比每天修建25米提前多少天完成此项工程？ 18. 图①、图②、图③均是正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点．的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺按下列要求画图，保留作图痕迹． （1）在图①中作边上的中线； （2）在图②中的边上找到一点，使； （3）在图③中作的角平分线． 19. 如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂长为，灯罩长为，底座厚度为，灯臂与底座构成的．使用发现，光线最佳时灯罩与水平线所成的角为，此时灯罩顶端到桌面的高度是多少？（结果精确到，参考数据：，，） 20. 在一条笔直的公路上依次有三地，小明、小红两人同时出发．小明从地骑自行车匀速去地拿东西，停留一段时间后，再以相同的速度匀速前往地，小红步行匀速从地至地．小明、小红两人距地的距离（米）与时间（分）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题： （1）求小明、小红两人的速度． （2）求小明从地前往地过程中关于的函数表达式． （3）请求出经过多少时间后，小明与小红相距600米． 21. 如图，在矩形中，，连接，．点P从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿线段向终点D运动；同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线向终点C运动，以为邻边作平行四边形．设运动时间为x秒，平行四边形和矩形重叠部分的图形面积为y． （1）______； （2）当点E在CD上时，______； （3）求y关于x函数解析式，并写出x的取值范围． 22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、B两点，点A在点B左侧，与轴交于点，抛物线的顶点为D，作直线，点P是抛物线上的一个动点，且点P在抛物线对称轴左侧，过点P作轴的垂线，与直线交于点E，点C关于直线的对称点为，连接，设点P的横坐标为． （1）求抛物线的解析式； （2）当点的纵坐标与顶点D的纵坐标相等时，求的值； （3）当此抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而增大或随的增大而减小时，求的取值范围； （4）连接，当与相等时，直接写出值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年初中毕业年级阶段性教学质量检测 数学试卷 本试卷包括三道大题，共22道小题．共8页．全卷满分120分．考试时间120分钟．考试结束后，上交答题卡． 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、单项选择题（本题共6小题，每题3分，共18分） 1. －6的绝对值是（ ） A. -6 B. 6 C. - D. 【答案】B 【解析】 【分析】在数轴上，表示一个数的点到原点的距离叫做这个数的绝对值． 【详解】负数的绝对值等于它的相反数，所以-6的绝对值是6． 故选：B． 2. 据网络平台数据显示，电影《哪吒之魔童闹海》票房突破150亿元，目前观影人次已超3亿，位居全球影史票房榜第5位，150亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：150亿， 故选：C． 3. “月壤砖”是我国科学家模拟月壤成分烧制而成的，呈榫卯结构，有利于采来拼装建造月球基地．如图，这是“月壤砖”的示意图，其俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了判断几何体的三视图（判断简单组合体的三视图），熟练掌握简单组合体的三视图是解题的关键．画出题中“月壤砖”的俯视图，与各选项中的视图进行对比即可得出答案． 【详解】解：根据题中“月壤砖”的示意图，可知其俯视图为 故选：． 4. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ 　） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．由此进行计算即可得出答案． 【详解】解：关于x的一元二次方程， ． ∵， ∴，即， ∴关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． 故选：C． 5. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，，点C落在x轴的正半轴上，点B落在第一象限内，按如图所示的步骤作图，则点H的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题重点考查图形与坐标、勾股定理、平行四边形的性质、等腰三角形的判定等知识，推导出，进而证明是解题的关键. 由， 求得由作图得平分， 则， 由， 得， 所以， 则所以，于是得到问题的答案． 详解】解：∵， ∴， ∵， ∵四边形是平行四边形，在轴上 ∴轴， 由作图得平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵轴 故选：A． 6. 如图，点A、B、C、D在上，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，平行线的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，正确添加辅助线是解题的关键．连接，则，由平行线的性质以及等腰三角形得到，再由三角形内角和定理求出，再由角度和差计算即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 7. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，根据零指数幂、二次根式的性质进行计算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 8. 如图所示，在杭州亚运会上一名中国运动员在跪姿射击时是由左手、左肘、左肩、右肩构成两个三角形，这样做的数学依据是_____． 【答案】三角形的稳定性 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形稳定性的知识，理解三角形的稳定性是解题关键．根据三角形的稳定性，即可获得答案． 【详解】解：在杭州亚运会上一名中国运动员在跪姿射击时是由左手、左肘、左肩、右肩构成两个三角形，这样做的数学依据是三角形的稳定性． 故答案为：三角形的稳定性． 9. 若一次函数的图象经过第二、三、四象限，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，由一次函数图象经过第二、三、四象限，利用一次函数图象与系数的关系，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出结论． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第二、三、四象限， ∴， 解得：． 故答案为：． 10. 如图1，先把一张矩形纸片上下对折，设折痕为；如图2，再把点B叠在折痕线上，得到，过B点作，分别交于点P、Q，若则______． 【答案】 【解析】 【分析】延长交于F，通过折叠的性质证明出，则，继而垂直平分，故，那么，由折叠的性质可得，继而，再解直角三角形即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， 由折叠得，， ∴， ∴ ∵，， ∴， 延长交于F，如图， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定与性质等知识点，把握折叠的性质证明出角是解题的关键． 11. 如图，正六边形的边长为，边，与相切于点C，F，连接，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正多边形和圆，切线的性质，掌握正六边形的性质，切线的性质以及多边形内角和的计算方法是正确解答的关键． 连接，取的中点，连接，点是正六边形的中心，进而证明是等边三角形，求出圆的半径，利用切线求出，进而可得，，再由扇形面积公式即可求出答案． 【详解】解：连接，取中点，连接， ∵六边形是正六边形， ∴点是正六边形的中心， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵正六边形的边，与相切于点C，F， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 的长为. 故答案为：． 三、解答题（12-14每小题6分，15-17每小题7分，18-19每小题8分，20-21每小题10分，22题12分，共计87分） 12. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算及求值，运用平方差公式和单项式乘以多项式法则计算，再合并即可． 【详解】解：原式， 当时，原式 13. 某班级师生为了庆祝“五四青年节”，计划投入一笔资金购买甲、乙两种奖品，已知1件甲种奖品比1件乙种奖品多15元，用175元购买甲种奖品的数量和用100元购买乙种奖品的数量相同．求购买1件甲种奖品需要的钱数． 【答案】购买1件甲种奖品需35元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设购买1件甲种奖品需x元，则购买1件乙种奖品需元，利用数量=总价÷单价，结合用175元购买甲种奖品的数量和用100元购买乙种奖品的数量相同，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值． 【详解】解：设购买1件甲种奖品需x元，则购买1件乙种奖品需元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 答：购买1件甲种奖品需35元． 14. 化学元素符号是化学学科特有的语言工具，用于表示各种化学元素的符号．化学老师在一个不透明的袋子中装有4个分别标有化学元素符号S，C，N，O的小球（如图所示），这些小球除元素符号外无其他差别，化学老师从袋子中随机摸出一个小球（不放回），小明再从袋子中剩下的小球里随机摸出一个小球． （1）化学老师摸出的小球上面所标的元素符号是S的概率为___________； （2）用列表或画树状图的方法求化学老师与小明摸出的两个小球上标的元素能组成“”（一氧化碳）的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题题考查了概率的计算，用列表法或树状图法求概率，掌握树状图法或列表法求概率是解题的关键． （1）直接根据概率公式解答即可； （2）先根据题意画出树状图得出所有等可能的结果数以及符合题意的结果数，最后根据概率的计算公式即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意得：摸出的小球上面所标的元素符号是S的概率为． 故答案为： 【小问2详解】 解：画树状图如下：         由图可知共有12种等可能的结果，其中能组成“”（一氧化碳）的结果有2种， ∴化学老师与小明摸出的小球上标的元素能组成“”（一氧化碳）的概率为． 15. 如图，中，点分别在上，且相交于点，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，连接，证明四边形为平行四边形即可得证． 【详解】证明：连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵相交于点， ∴． 16. “华罗庚数学奖”是中国三大顶尖数学奖项之一，是为激励中国数学家在发展中国数学事业中做出突出贡献而设立的．小华对截止到第十六届“华罗庚数学奖”得主获奖时的年龄（单位：岁）数据进行了收集、整理和分析．下面是部分信息． a．“华罗庚数学奖”得主获奖时的年龄统计图（数据分成5组：）： b．“华罗庚数学奖”得主获奖时的年龄在这一组的是： c．“华罗庚数学奖”得主获奖时的年龄数据的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 71.2 m 根据以上信息，回答下列问题： （1）截止到第十六届共有_______人获得“华罗庚数学奖”； （2）补全“华罗庚数学奖”得主获奖年龄频数分布直方图； （3）第十六届“华罗庚数学奖”得主徐宗本院士获奖时的年龄为68岁，他的获奖年龄比一半以上“华罗庚数学奖”得主获奖年龄_______（填“小”或“大”），理由是_____________． 【答案】（1）30 （2）见解析 （3）小，徐宗本院士获奖时的年龄小于“华罗庚数学奖”得主获奖年龄的中位数． 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图、频数分布直方图，中位数的意义，掌握相关知识点是解题关键． （1）用年龄段的得主获奖人数除以所占百分比求解即可； （2）先求出年龄段的得主获奖人数，再补全频数分布直方图即可； （3）先求出“华罗庚数学奖”得主获奖年龄的中位数，再根据中位数的意义求解即可． 【小问1详解】 解：人， 即截止到第十六届共有30人获得“华罗庚数学奖”， 故答案为：30； 【小问2详解】 解：年龄段的得主获奖人数为：人， 补全频数分布直方图如下： 【小问3详解】 解：由“华罗庚数学奖”得主获奖人数为30人可知，获奖年龄的中位数为第和16名年龄的平均数， 年龄段有3人，年龄段有人， 第和16名年龄在年龄段，分别为69岁和69岁， “华罗庚数学奖”得主获奖年龄的中位数岁， 徐宗本院士获奖时的年龄为68岁， 他的获奖年龄比一半以上“华罗庚数学奖”得主获奖年龄小，理由是徐宗本院士获奖时的年龄小于“华罗庚数学奖”得主获奖年龄的中位数． 17. 某工程队修建一条公路，所需时间（单位：天）与每天修建该公路的长度（单位：米）是反比例函数关系，如图，该函数关系的图象经过点． （1）求与之间的函数解析式（不用写出自变量的取值范围）； （2）其它条件不变，求该工程队每天修建该公路30米要比每天修建25米提前多少天完成此项工程？ 【答案】（1）； （2）提前8天完成此项工程． 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数的实际应用； （1）把代入，再进一步解答即可； （2）把与分别代入，再进一步计算即可； 【小问1详解】 解：设反比例函数关系式为． 把代入得，， ． 【小问2详解】 解：把代入得，， 把代入得，， ． 答：提前8天完成此项工程． 18. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点．的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺按下列要求画图，保留作图痕迹． （1）在图①中作边上的中线； （2）在图②中的边上找到一点，使； （3）在图③中作的角平分线． 【答案】（1）见解析； （2）见解析； （3）见解析 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，矩形的性质，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）根据矩形的对角线互相平分即可得到答案； （2）根据相似三角形的判定和性质即可作图； （3）根据等腰三角形三线合一和勾股定理即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图①，即为所求； 【小问2详解】 如图②，点F即为所求． 【小问3详解】 的角平分线，如图③即为所求， 19. 如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂长为，灯罩长为，底座厚度为，灯臂与底座构成的．使用发现，光线最佳时灯罩与水平线所成的角为，此时灯罩顶端到桌面的高度是多少？（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，过点作于点，作于点，进而求出的长，再求出的长，即可得出答案．熟练应用锐角三角函数关系是解题的关键． 【详解】解：过点作于点，作于点， ∵，，， ∴， ∴四边形矩形， ∴， 在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 答：此时灯罩顶端到桌面的高度是． 20. 在一条笔直的公路上依次有三地，小明、小红两人同时出发．小明从地骑自行车匀速去地拿东西，停留一段时间后，再以相同的速度匀速前往地，小红步行匀速从地至地．小明、小红两人距地的距离（米）与时间（分）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题： （1）求小明、小红两人的速度． （2）求小明从地前往地过程中关于的函数表达式． （3）请求出经过多少时间后，小明与小红相距600米． 【答案】（1）小明骑自行车速度是 （米/分），小红步行速度是 （米/分） （2） （3）或或 【解析】 【分析】（1）根据图象，得到，小红走完用时间为，计算速度即可；根据图象，得到，小明走完用时间为，计算速度即可． （2）根据题意，小明从地前往地用时间为，故直线经过点和，设解析式，代入解答解答即可． （3）分类求解即可． 【小问1详解】 解：根据图象，得到，小红走完用时间为， 故小红的速度为：； 根据图象，得到，小明走完用时间为， 故小明的速度为：． 【小问2详解】 解：根据题意，小明从地前往地用时间为， 故直线经过点和， 设解析式， 故 ， 解得， 故解析式为． 【小问3详解】 ① ， 解得 ； ②，解得 ； ③ ， 解得 . 综上所述，经过分钟或分钟或分钟，符合题意. 【点睛】本题考查了函数图象信息的读取与应用，待定系数法求解析式，分类思想解答，熟练掌握待定系数法是解题的关键. 21. 如图，在矩形中，，连接，．点P从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿线段向终点D运动；同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线向终点C运动，以为邻边作平行四边形．设运动时间为x秒，平行四边形和矩形重叠部分的图形面积为y． （1）______； （2）当点E在CD上时，______； （3）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 分析】（1）直角解直角三角形即可求解； （2）利用矩形的性质及平行线的性质证明，即可求解． （3）根据x的取值范围，利用矩形和平行四边形的性质与判定，求解分段函数解析式即可． 【小问1详解】 解：四边形是矩形， ，， ，， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图，当点E在上时， 由（1）知， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得． 故答案为：； 【小问3详解】 解：如图， 点Q在线段运动时间为， 当时， ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∴y与x的函数关系式为， 当时，延长与交于点H， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴y与x的函数关系式为， ∵点P在上的运动时间是， 点Q从点B到A再到点C运动时间为， ∴当 时，设与交于点N，与交于点M， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， 在中，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， 在中，， ． y与x的函数关系式为， 综上所述，． 【点睛】本题考查了四边形的综合应用，矩形的性质，平行四边形的判定与性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，二次函数的应用．熟练掌握分类讨论的思想是解题的关键． 22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、B两点，点A在点B左侧，与轴交于点，抛物线的顶点为D，作直线，点P是抛物线上的一个动点，且点P在抛物线对称轴左侧，过点P作轴的垂线，与直线交于点E，点C关于直线的对称点为，连接，设点P的横坐标为． （1）求抛物线的解析式； （2）当点的纵坐标与顶点D的纵坐标相等时，求的值； （3）当此抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而增大或随的增大而减小时，求的取值范围； （4）连接，当与相等时，直接写出的值． 【答案】（1） （2） （3）或 （4）或 【解析】 【分析】（）利用待定系数法即可求解； （）先求出顶点的坐标为，再根据题意得点的纵坐标为，然后代入解析式即可求解； （）时，时，时三种情况分析即可； （）先求出直线的表达式为，过作轴于点，设与轴交于点，设，求出，则，，又，故有，然后得出方程，然后求解并检验即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于，与轴交于点， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：由（）得：抛物线的解析式为， ∴顶点的坐标为， ∵点的纵坐标与顶点的纵坐标相等， ∴点的坐标为， ∴点的纵坐标为， 当时，， 解得：或， ∵点在对称轴左侧， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：由题意可知，点在对称轴左侧， ∴， 当时，抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而增大； 当时，在内部不存在抛物线图象； 当时，抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而减小； 综上可知：的取值范围为或； 【小问4详解】 解：设直线的表达式为， 由，当时，， 解得：，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴直线的表达式为， 如图，过作轴于点，设与轴交于点， ∴，， 设， ∵轴， ∴点纵坐标为， ∵点在直线上， ∴，解得：， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：或或或， ∵点在对称轴左侧， ∴， ∴或， ∴的值为或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求解析式，解一元二次方程，三角函数，熟练掌握以上内容并能运用分类讨论的数学思想和数形结合的思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $