精品解析：山东省淄博市博山中学（五四制）2025-2026学年八年级下学期期中数学试题

博山中学2025-2026学年度第二学期期中考试 初三数学试题 一、选择题：（每题4分，共48分） 1. 给出下列命题，不正确的是（    ） A. 平行四边形的对边平行且相等 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 有一个内角为直角的平行四边形是矩形 D. 有一组邻边相等的矩形是正方形 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 4. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 5. 在函数中，自变量x的取值范围是（ ）． A. B. C. 且 D. 且 6. 在，，，中最简二次根式的个数是（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 7. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. D. 的平方根是 8. 如图，菱形的边长为2，，则点A的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于O点，若，则的度数为（ ） A. 42° B. 52° C. 46° D. 56° 10. 若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ） A. B. 1 C. D. 3 11. 已知a，b是方程的两个实数根，则的值是（ ） A. 2026 B. 2024 C. 2022 D. 2020 12. 如图，四边形中，，是边的中点，如果平分，那么下列结论中不一定成立的是（ ） A. 平分 B. C. D. 二、填空题：（每题4分，共40分） 13. 四边形ABCD中，①四边形ABCD是平行四边形；②AC＝BD；③AC⊥BD；④AB＝BC．从这四个条件中任选两个，可以判定四边形ABCD是菱形的概率是____． 14. 若最简二次根式与是同类二次根式，则a的值是______ 15. 方程，其中二次项系数为_____，一次项系数为_____． 16. 设＝m，＝n，用含m，n的式子表示＝______． 17. 如图所示，在正方形ABCD中，AC，BD相交于点O，AOE绕点O逆时针旋转90°后与BOF重合，AB＝2，则四边形BEOF面积是________． 18. 如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM＝CN，MN与AC交于点O，连接BO．若∠DAC＝26°，则∠OBC的大小为_______． 19. 一元二次方程的解是______. 20. 菱形中，，边长为，则对角线的长为________． 21. 已知，关于x的方程有两个不相等的整数根，则的整数值是 ___________． 22. 已知等腰三角形（不是等边三角形）的三边长均满足方程，则这个等腰三角形的周长为___________， 三、解答题：（23-26题每题8分，27-29题每题10分，共62分） 23. 计算． （1）． （2）． 24. 解方程： （1）； （2）． 25. 已知：关于x的一元二次方程，求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根． 26. 如图，在菱形中，过点作于点，过点作于点，求证：． 27. 如图，在平行四边形中，，M、N分别是和的中点． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求平行四边形的面积． 28. 关于的方程 （1）若这个方程有两个不等实根，且一个根为，求的值； （2）若以方程的两个根、为横坐标、纵坐标的点恰有点在函数的图像上，求满足条件的的值． 29. 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动，有一位同学操作过程如下： 操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点P，沿折叠，使点A落在正方形内部点M处，把纸片展平，连接、，延长交于点Q，连接． （1）如图1，当点M在上时，______度； （2）如图2，改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合）． ①判断与的数量关系，并说明理由； ②若，（点Q在下方），则的长为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 博山中学2025-2026学年度第二学期期中考试 初三数学试题 一、选择题：（每题4分，共48分） 1. 给出下列命题，不正确的是（    ） A. 平行四边形的对边平行且相等 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 有一个内角为直角的平行四边形是矩形 D. 有一组邻边相等的矩形是正方形 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形、菱形、正方形判定方法，一一判断即可． 【详解】A. 平行四边形的对边平行且相等，故该命题正确，不符合题意； B. 对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故该命题不正确，符合题意； C. 有一个内角为直角的平行四边形是矩形，故该命题正确，不符合题意； D. 有一组邻边相等的矩形是正方形，故该命题正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查命题与定理，矩形、菱形、正方形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握正方形的判定方法． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用二次根式的混合运算法则，分别计算得出答案． 【详解】A． 和无法合并，不正确，故此选项不合题意； B． ，正确，故此选项符合题意； C． ，不正确，故此选项不合题意； D． ，不正确，故此选项不合题意； 故选：B． 【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键． 3. 下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，通过化简后，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程，根据一元二次方程的定义逐项判断即可，熟练掌握一元二次方程的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、，是一元二次方程，符合题意； B、，是二元一次方程，不符合题意； C、，是分式方程，不符合题意； D、，是一元一次方程，不符合题意； 故选：A． 4. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先把中，常数项移到右边，再把中配成完全平方公式，即可． 【详解】解： 故选：C． 【点睛】本题考查一元二次方程的知识，解题的关键掌握配方法解一元二次方程． 5. 在函数中，自变量x的取值范围是（ ）． A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 【详解】解：根据题意得：， 解得：且． 故选：D． 6. 在，，，中最简二次根式的个数是（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用最简二次根式的定义分析得出答案． 【详解】解：， ∴在，，，中最简二次根式是，共1个， 故选：D 【点睛】此题主要考查了最简二次根式，正确把握最简二次根式的定义是解题关键． 7. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. D. 的平方根是 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质、平方根，根据二次根式的性质以及平方根的意义逐项分析即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：A、若，则，故原说法错误，不符合题意； B、若，则，故原说法错误，不符合题意； C、，故原说法正确，符合题意； D、，故的平方根是，故原说法错误，不符合题意； 故选：C． 8. 如图，菱形的边长为2，，则点A的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据坐标意义，点A坐标与垂线段有关，过点A向x轴垂线段AE，求得OE、AE的长即可知点A坐标． 【详解】过点A作AE⊥x轴，垂足为E，则∠AEO=90°， ∵，∠AEO=90° ∴， ∴ ∵菱形的边长为2即AO=2，∠AEO=90°， ∴，即 解得：． ∴点A坐标为， 故选：D． 【点睛】本题考查了坐标与图形性质、菱形的性质，等角对等边，勾股定理等，正确添加辅助线是解题的关键． 9. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于O点，若，则的度数为（ ） A. 42° B. 52° C. 46° D. 56° 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形的对角线互相平分且相等可得OB=OC，再根据等边对等角可得∠OBC=∠ACB，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解． 【详解】解：∵矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O， ∴OB=OC， ∴∠OBC=∠ACB=28°， ∴∠AOB=∠OBC+∠ACB=28°+28°=56°． 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等边对等角的性质以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解题的关键． 10. 若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ） A. B. 1 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义．根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行分析即可． 【详解】解：依题意可得，， 解得， 故选：B． 11. 已知a，b是方程的两个实数根，则的值是（ ） A. 2026 B. 2024 C. 2022 D. 2020 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解及根与系数的关系可得出a2+a=3，a+b=−1，将其代入即可求出结论． 【详解】解：∵a，b是方程x2+x−3=0的两个实数根， ∴a2+a=3，a+b=−1， ∴b=-a-1， =2026 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解及根与系数的关系，代数式求值问题，熟练掌握和运用一元二次方程的解及根与系数的关系是解决本题的关键． 12. 如图，四边形中，，是边的中点，如果平分，那么下列结论中不一定成立的是（ ） A. 平分 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】延长交延长线于，求出，推出，，，即可推出A，B正确，根据梯形中位线与三角形的面积公式即可判断D；根据含度角的直角三角形的性质判断C选项． 【详解】解：延长交延长线于， ∵， ， ， ， ， 为中点， ， ， ， ，， ， ，， ；平分； ∴， 故A，B选项正确， 取中点，连接， ，分别是，的中点， 是梯形是中位线 ， ， ， ，故D选项正确， 当时，，故C选项不一定成立 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判断，平行线的性质，等腰三角形的性质和判定的应用，梯形的性质，关键是推出是等腰三角形． 二、填空题：（每题4分，共40分） 13. 四边形ABCD中，①四边形ABCD是平行四边形；②AC＝BD；③AC⊥BD；④AB＝BC．从这四个条件中任选两个，可以判定四边形ABCD是菱形的概率是____． 【答案】 【解析】 【分析】画树状图得出所有等可能的情况数，找出能判定四边形ABCD是菱形的情况数，即可求出所求的概率． 【详解】画树状图如图所示， 由树状图得知，从中任选两个作为已知条件共有12种等可能结果，能判定四边形ABCD是菱形的有4种：①③，③①，①④，④①， ∴能判定四边形ABCD是菱形的概率＝， 故答案为：． 【点睛】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 14. 若最简二次根式与是同类二次根式，则a的值是______ 【答案】6 【解析】 【分析】根据同类二次根式的定义：化成最简二次根式后被开方数相同的，即为同类二次根式，即可解答． 【详解】解：由题意得：2a-9=3， 解得：a=6， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 15. 方程，其中二次项系数为_____，一次项系数为_____． 【答案】 ①. ； ②. ． 【解析】 【分析】直接利用多项式乘法将方程转换为一般式即可得出答案． 【详解】方程 化为一般形式是：， ∴二次项系数为，一次项系数为， 故答案为：，． 【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，正确利用多项式乘法计算是解题关键． 16. 设＝m，＝n，用含m，n的式子表示＝______． 【答案】m2n 【解析】 【分析】分解，用含，的式子表示，再用m，n代替即可． 【详解】解：∵，，， ∴． 【点睛】本题考查了二次根式的乘法，熟悉二次根式的乘法法则是解决本题的关键． 17. 如图所示，在正方形ABCD中，AC，BD相交于点O，AOE绕点O逆时针旋转90°后与BOF重合，AB＝2，则四边形BEOF面积是________． 【答案】1 【解析】 【分析】由旋转的性质可得S△AOE＝S△BOF，可得四边形BEOF面积＝S△AOB，即可求解． 【详解】解：∵△AOE绕点O逆时针旋转90°后与△BOF重合， ∴△AOE≌△BOF， ∴S△AOE＝S△BOF， ∴四边形BEOF面积＝S△AOB＝S正方形ABCD＝×22＝1， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键． 18. 如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM＝CN，MN与AC交于点O，连接BO．若∠DAC＝26°，则∠OBC的大小为_______． 【答案】64° 【解析】 【分析】根据菱形的性质可得∠BAC=∠DAC=∠DCA=∠BCA=26°，AB=BC，利用AAS可证明△AOM≌△CON，可得OA=OC，根据等腰三角形“三线合一”的性质可得OB⊥AC，根据直角三角形两锐角互余的性质即可得答案． 【详解】∵四边形ABCD是菱形， ∴∠BAC=∠DAC=∠DCA=∠BCA=26°，AB=BC， 在△AOM和△CON中，， ∴△AOM≌△CON， ∴OA=OC， ∵AB=BC， ∴OB⊥AC， ∴∠OBC=90°-∠BCA=90°-26°=64°， 故答案为：64° 【点睛】考查菱形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 19. 一元二次方程的解是______. 【答案】 【解析】 【分析】利用公式法求解即可． 【详解】因为, 且， 所以， 所以一元二次方程的解是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握公式法解方程是解题的关键． 20. 菱形中，，边长为，则对角线的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了菱形的性质，勾股定理，以及等边三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的性质是解本题的关键．由四边形为菱形，得到四条边相等，对角线垂直且互相平分，根据得到三角形为等边三角形，在直角三角形中，利用勾股定理求出的长，即可确定出的长． 【详解】解：如图，连接交于点． 四边形为菱形， ，，，， ， 为等边三角形， ，， 在中，根据勾股定理得：， 则． 故答案为： 21. 已知，关于x的方程有两个不相等的整数根，则的整数值是 ___________． 【答案】或##或 【解析】 【详解】根据方程有两个不相等的实数根得到且，即且，求出的取值范围，再解方程即可求出的整数值． 【解答】解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴且，即且， ∴且， ， ， 解得， ∵关于x的方程有两个不相等的整数根， ∴k的整数值为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根，也考查了一元二次方程的定义． 22. 已知等腰三角形（不是等边三角形）的三边长均满足方程，则这个等腰三角形的周长为___________， 【答案】7 【解析】 【分析】根据题意由等腰三角形的底和腰是方程的两根，解此一元二次方程即可求得等腰三角形的腰与底边的长，注意需要分当1是等腰三角形的腰时与当3是等腰三角形的腰时讨论，然后根据三角形周长的求解方法求解即可． 【详解】解：， 解得：或， ∵等腰三角形的底和腰是方程的两根， ∴当1是等腰三角形的腰时，，不能组成三角形，舍去； 当3是等腰三角形的腰时，，则这个三角形的周长为． 故答案为：7. 【点睛】本题考查等腰三角形的性质和三边关系以及解一元二次方程．解题的关键是注意分类讨论思想的应用． 三、解答题：（23-26题每题8分，27-29题每题10分，共62分） 23. 计算． （1）． （2）． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）首先根据零指数幂、绝对值的意义及二次根式的除法计算，然后求解即可； （2）首先根据二次根式的性质化简，然后把根据二次根式的运算法则求解即可． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ． 【点睛】本题主要考查零指数幂、绝对值的意义和二次根式混合运算，解题的关键是要熟练掌握以上运算法则． 24. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）方程无实数解 （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法，准确计算． （1）用公式法解一元二次方程即可； （2）用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：， ∵，，， ∴， ∴方程无实数解； 【小问2详解】 解：， 移项得：， ∴， ∴或， 解得：，． 25. 已知：关于x的一元二次方程，求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，要证明方程总有两个不相等的实数根就是证明其判别式永远都是一个正数，因此只需要证明判别式大于0即可；对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根． 【详解】证明：∵ ， ∴不论m取何值，方程总有两个不相等实数根． 26. 如图，在菱形中，过点作于点，过点作于点，求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质．熟知菱形的性质证全等是解题的关键．根据菱形的性质和垂线的定义，证明即可解答． 【详解】证明：四边形是菱形， ，． ，， ． 在与中， ． ． 27. 如图，在平行四边形中，，M、N分别是和的中点． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求平行四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质得出，，由已知条件得出，，证出四边形是平行四边形，由等腰三角形的性质得出，即可得出四边形是矩形； （2）根据，，即可得到和的长，再根据等腰三角形的性质即可得到的长，进而得出平行四边形的面积． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵M、N分别是和的中点， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴平行四边形的面积为． 【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、等腰三角形“三线合一”的性质、含30°角的直角三角形的性质及勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质，由等腰三角形的性质得出是解决问题的关键． 28. 关于的方程 （1）若这个方程有两个不等实根，且一个根为，求的值； （2）若以方程的两个根、为横坐标、纵坐标的点恰有点在函数的图像上，求满足条件的的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据方程有两个不等实根，结合判别式公式，列出关于得一元一次不等式，解之，根据方程的一个根为，把代入原方程，得到关于得一元二次方程，解之，结合得取值范围，即可得到得值， （2）根据“、为横坐标、纵坐标的点恰有点在函数的图像上”，得到和的关系式，根据韦达定理，列出关于的方程，解之，结合（1）中得取值范围，即可得到答案． 【小问1详解】 解：根据题意得： ， 整理得：， 解得：， 把代入原方程得： ， 整理得：， 解得：，（舍去）， 即的值为； 【小问2详解】 解：根据题意得： ， ， 整理得：， 根据韦达定理可知： ，， 则， 整理得：， 解得：（符合题意）， 即满足条件的的值为． 【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程的解，一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键：（1）正确掌握根的判别式公式和解一元二次方程的方法，（2）正确掌握韦达定理和代入法． 29. 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动，有一位同学操作过程如下： 操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点P，沿折叠，使点A落在正方形内部点M处，把纸片展平，连接、，延长交于点Q，连接． （1）如图1，当点M在上时，______度； （2）如图2，改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合）． ①判断与的数量关系，并说明理由； ②若，（点Q在下方），则的长为______． 【答案】（1）30 （2）①，理由见解析；② 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质结合折叠的性质可得出，，进而可求出，即得出； （2）①由正方形的性质结合折叠的性质可证，即得出； ②设，则，．求出，，根据勾股定理得出，求出x的值即可． 【小问1详解】 解：∵对折正方形纸片，使与重合，得到折痕， ∴，， ∵在上选一点P，沿折叠，使点A落在正方形内部点M处， ∴， 在中，， ∴． 故答案为：． 【小问2详解】 解：①，理由如下： ∵四边形是正方形， ，． 由折叠可得：，， ，． 又， ， ∴． ②设，则，． ∵， ∴， ∴，． 在中，由， 得， 解得， ∴的长为． 故答案为． 【点睛】本题主要考查正方形的性质、折叠的性质、解直角三角形、三角形全等的判定和性质、勾股定理等知识点．熟练掌握上述知识并利用数形结合的思想是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $