精品解析：山东省济南市历城区2025-2026学年八年级下学期期中数学试题

2025-2026学年度第二学期期中质量检测 八年级数学试题 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 北京时间2025年11月25日12时11分，神舟二十二号飞船在酒泉卫星发射中心成功发射．下列和中国航天有关的部分图案中，属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据中心对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，不符合题意； B．不是中心对称图形，不符合题意； C．是中心对称图形，符合题意； D．不是中心对称图形，不符合题意． 2. 若，根据不等式的性质，下列变形一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查不等式的基本性质，解题的关键是掌握不等式的基本性质：不等式两边同时加上或减去同一个数，不等号方向不变；不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；乘以或除以同一个负数，不等号方向改变．据此依次分析即可． 【详解】解：A．∵， ∴，即， 则原变形不成立，故此选项不符合题意； B．∵，， ∴， 则原变形不成立，故此选项不符合题意； C．∵， ∴， 则原变形成立，故此选项符合题意； D．∵，， ∴， 则原变形不成立，故此选项不符合题意． 故选：C． 3. 下列从左到右的变形属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据因式分解的概念，即把一个多项式转化为几个整式乘积的形式，对各选项依次判断即可得到答案. 【详解】解：A. ，属于整式乘法运算，不符合因式分解的定义，故此选项错误； B. ，右边不是整式的积的形式，不符合因式分解的定义，故此选项错误； C. ，属于整式乘法运算，不符合因式分解的定义，故此选项错误； D. ，属于因式分解，符合题意. 4. 将分式中的，的值都扩大为原来的倍，则分式的值（ ） A. 不变 B. 缩小为原来的 C. 扩大为原来的倍 D. 扩大为原来的倍 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，把原分式中的分别用替换，然后约分即可得到答案，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， ∴缩小为原来的， 故选：． 5. 如图，在中，以点A为圆心，长为半径作弧，交于点F；分别以B，F为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点G；连接并延长，交于点E．若，，则的长为（ ） A. 10 B. 11 C. 14 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】由作图可知平分，由平行四边形可得，，，由平行线的性质，结合等角对等边，等量代换，可得，即可得的长． 【详解】解：由题中作图可知平分， ∴， ∵四边形是平行四边形，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 6. 在四边形中，，，延长，，两线相交于点A，已知，，则的长是（ ） A. 8 B. C. 16 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了含30度角直角三角形的特征，勾股定理，解题的关键是掌握含30度角的直角三角形，30度角所对的边是斜边的一半；直角三角形两直角边平方和等于斜边的一半． 先求出，则，，进而得出，最后根据勾股定理，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 根据勾股定理可得：， 即， 解得：（负值舍去）， 故选：B． 7. 直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，两直线的交点问题，正确理解一次函数与一元一次不等式的关系是解题的关键．先将转化为，再根据函数图象求解即可． 【详解】解：， ， 由图可知，． 故选：C． 8. 将点平移到称为将点P进行“t型平移”，将图形上的所有点进行“t型平移”称为将图形进行“t型平移”．已知点和点，若线段进行“t型平移”后与y轴有公共点，则t的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据“t型平移”的定义，得出关于t的不等式组，据此进行计算即可． 【详解】解：由题知，点A和点B进行“t型平移”后对应点的坐标分别为和， ∵线段进行“t型平移”后与y轴有公共点， ∴点A和点B“t型平移”后的对应点在y轴两侧（包括y轴上）， ∵， ∴， 解得：. 9. 如图，点P，Q是的边，上的点，且，，相交于R，连接，且恰好平分，若，，则点C到的距离为（ ） A. B. C. 3 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】过点C作于点E，于点F，由角平分线的性质可得；可证明，则可推出，由三线合一定理得到的长，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点C作于点E，于点F， ∵平分，，， ∴； ∵四边形是平行四边形，且点P、Q是平行四边形的边上的点， ∴，， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴点C到的距离为． 10. 某中学八年级举办了“精彩思辨”大赛．真真、灵灵、颖颖三位同学进入了最后冠军的角逐．决赛共分为五轮，规定：每轮分别决出第1，2，3名（无并列），对应名次的分数分别为a，b，c（且a，b，c均为正整数）；选手最后得分为各轮得分之和，得分最高者为冠军．表格是三位选手在每轮比赛中的部分得分情况，根据题中所给信息，下列说法不正确的是（ ） 第一轮 第二轮 第三轮 第四轮 第五轮 最后得分 真真 c a 25 灵灵 c c 12 颖颖 b b 13 ①真真可能有一轮比赛获得第二名；②灵灵可能有四轮比赛获得第三名；③颖颖有一轮比赛获得第一名； A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】先根据总得分求出的值，再结合条件确定的具体数值，最后逐一判断三个说法的正误. 【详解】解：∵ 三位选手总得分是 ，共轮，每轮总分为 ∴ ，得，其中，且均为正整数. ∵ 真真总分，已得个和个，剩余轮最高总得分为 ∴ ，即 ， 若，当时，则， ∴的最大值是， ， 当时， 则 ，不成立，因此， 又 （ ），得 ，即， 因此或， 若，则，剩余3轮需要得 ， 3轮最高得分：， ，不成立，舍去， 因此，得. 判断①：真真已得，剩余3轮需要得，每轮最高得，因此剩余3轮均得，即真真共个、个，没有得过第二名，①错误； 判断②：若灵灵四轮得第三名，即四个，得分为，剩余1轮需要得，最大得分，不可能，②错误； 判断③：共个，真真得个，剩余个，若在颖颖处，颖颖已有个，得分为 ，剩余轮至少得，总分至少，不符合； 若在灵灵处，灵灵得个、个、个，总分 ，符合， 颖颖得个、个，总分，符合，因此颖颖没有一轮得第一名，③错误； 综上，①②③都不正确. 二、填空题（本大题共5个小题．每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的横线上．） 11. 要使分式有意义，应满足的条件是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分母不等于0，列式计算即可． 【详解】解：由分式有意义的条件得，分母， 解得， 故答案为． 12. 如图，菊花1角硬币为外圆内正九边形的边缘异形币，则该正九边形的一个内角大小为___________． 【答案】140°##140度 【解析】 【分析】根据正多边形的内角公式：一个内角的度数，代入即可得出答案． 【详解】解：代入正多边形的内角公式得： 正九边形的一个内角度数 故答案为：140°． 【点睛】本题考查了求正多边形内角度数，掌握正多边形内角公式是本题的关键． 13. 已知，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】运用完全平方公式计算，即可求解． 【详解】解：已知， ∴，展开得，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查完全平方公式的运用，掌握完全平方公式是解题的关键． 14. 如图，在中，，将绕点A逆时针旋转，得到，点D恰好落在上，交于点F，则______°． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，由旋转的性质可得，由等腰三角形的性质可求，由三角形的内角和定理可求解． 【详解】解：∵将绕点A逆时针旋转， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 在等腰中，，，点D为直线上一动点，连接，点E为线段的中点，将线段沿直线翻折得到线段，过点D作，交直线于点F，连接，则线段的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】延长到点H，使得，连接，根据题意得出，，再由全等三角形的判定和性质得出，确定，然后利用三角形中位线的性质得出，得出当时，取得最小值，即取得最小值，结合含30度角的直角三角形的性质得出，即可求解 【详解】解：延长到点H，使得，连接，如图所示： ∵，， ∴， ∵线段沿直线翻折得到线段， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点E为线段的中点， ∴， ∵点D为直线上一动点， ∴当时， 取得最小值，即取得最小值， 过点A作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴线段的最小值为：． 三、解答题（本大题共9个小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 16. 分解因式： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）提公因式即可求解； （2）提公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： . 17. 按要求解下列不等式（组）： （1）解关于x的不等式，并将解集在数轴上表示出来． （2）解不等式组：，并求出它的所有整数解之和． 【答案】（1），数轴见解析 （2），所有整数解的和为11 【解析】 【分析】（1）先去括号，再移项，合并同类项，系数化为1，最后在数轴上表示即可； （2）根据解不等式的步骤分别解出①②，得到不等式组的解集，再找出整数解即可． 【小问1详解】 解：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 不等式的解集为：， 不等式的解集在数轴上表示如下： . 【小问2详解】 解：， 解不等式①，得． 解不等式②，得． ∴原不等式组的解集为． ∴整数解为5，6， ∴， ∴所有整数解的和为11. 18. 计算： （1） （2）先化简，再求值：，再从0，1，2中选择一个合适的a值代入求值． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）先通分化为同分母分式，再进一步计算即可； （2）先计算括号内分式的减法运算，再计算除法运算，结合分式有意义的条件，最后代入求值即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ， ∵，， ∴，，． ∴当时，原式． 19. 解分式方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）原方程无解 【解析】 【分析】（1）先去分母把方程化为整式方程，再解整式方程并检验即可． （2）先去分母把方程化为整式方程，再解整式方程并检验即可． 【小问1详解】 解： ， 方程的两边同乘以， 得， ∴， ∴ 解得：．经检验，是原方程的根． 【小问2详解】 解：， 方程的两边同乘以， 得， ∴， ∴， 解得：， 检验：当时，， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解． 20. 如图，在中，点A，E，F，C在同一条直线上，且．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据平行四边形的性质得到，，则有，再证出，根据全等三角形的性质即可证明． 【详解】证明：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴． ∵， ∴，即， ∴， ∴． 21. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，请解答下列问题： （1）若经过平移后得到，已知点的坐标为，作出； （2）将绕点O按顺时针方向旋转得到，作出； （3）若将绕某一点旋转可得到，直接写出旋转中心的坐标为______； （4）在平面直角坐标系中存在一点D，使得以点A，B，C，D为顶点的四边形是以为边的平行四边形，请直接写出点D的坐标． 【答案】（1）图见解析 （2）图见解析 （3） （4）或 【解析】 【分析】（1）根据点，点的坐标为确定平移方式，再画图即可； （2）确定绕点O按顺时针方向旋转的对应点，再顺次连接即可； （3）如图，作的垂直平分线，与的垂直平分线的交点即为旋转中心，再结合图形解答； （4）分两种情况结合平移的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵点，点的坐标为， ∴平移方式为：向右平移个单位，向下平移个单位； 如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问3详解】 解：如图，作的垂直平分线，与的垂直平分线的交点即为旋转中心， 根据作图可得：旋转中心的坐标为； 【小问4详解】 解：如图， 当四边形为平行四边形时，点，，， 由平移可得：， 当四边形为平行四边形时，点，，， 由平移可得：， 综上：或． 22. 根据以下素材，探索完成任务． 为落实《健康中国行动（2019—2030）》等文件精神，某学校准备购进一批排球和足球促进校园体育活动，请你根据以下素材，探索完成任务： 素材1 某体育器材店每个排球的价格比足球的价格少元，用元购买的排球数量与元购买的足球数量相等． 素材2 该学校决定购买排球和足球共个，且购买足球的数量不少于排球的数量，同时该体育器材店为支持该学校体育活动，对排球给折优惠，足球给予8折优惠． 问题解决 任务1 探求商品单价 请求出每个排球和足球的价格． 任务2 确定购买方案 运用数学知识，确定该学校本次购买排球和足球所需费用最少的方案，并求出最少费用． 【答案】任务1：每个排球元，每个足球元；任务2：购买方案为：个排球，个足球时费用最小，最小费用为元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程以及一次函数在实际问题中的营养，正确理解题意是解题关键． 任务1：设排球的单价为x元，则足球的单价是；根据题意，得，据此即可求解； 任务2：设排球购买m个，则足球购买了个，根据题意得，解得 ；设总费用为w元，根据 即可求解； 【详解】任务1解：设排球的单价为x元，则足球的单价是； 根据题意，得， 解得 经检验，是原方程的根， 足球的单价：， 答：每个排球元，每个足球元； 任务2解：设排球购买m个，则足球购买了个， 根据题意得， 解得 设总费用为w元，根据题意 因为，所以w随m的增大而减小， ∴当时，w最小元， 所以购买方案为：个排球，个足球时费用最小，最小费用为元． 23. 如图，中，，，，若动点P从点C开始，按的路径运动，且速度为每秒2个单位长度，设出发的时间为t秒． （1）当点P在线段上运动，______秒时，点P到的距离与点P到的距离相等； （2）若是以为腰的等腰三角形，求t的值； （3）另有一点Q，从点C开始，按的路径运动，且速度为每秒1个单位长度，若P，Q两点同时出发，当P，Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，P，Q两点之间的距离为？请直接写出答案． 【答案】（1） （2）或 （3）当t为1或时，P、Q两点之间的距离为 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求解，过点作于点，证明，可得，进一步利用勾股定理求解即可； （2）分和，两种情况进行讨论求解； （3）分在上，在上；在上，在上；都在上，三种情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， 如图所示， 过点作于点，， ∵点P到的距离与点P到的距离相等； ∴， ∴平分， 在与中， ， ∴， ∴， ∴． 设，则 ． 在中，， 即， 解得：， ∴. 【小问2详解】 解：当是以为腰的等腰三角形，则点在线段上， ①时，如图： ∵动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒， ∴， ∵， ∴， ∴； ②时，如图， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上：是以为腰的等腰三角形，t的值为或. 【小问3详解】 解：由题意，得：点按运动，共需要：； 点按运动，共需要： ； ∵当、中有一点到达终点时，另一点也停止运动， ∴、运动的总时间为：； ①在上，在上时： 由题意，得：， ∵ ， ∴，即：， 解得：或（舍去）； ②当点在上、点在上时，即，如图， ∴，， ∴ ， 当时，最小值为， ∴，不合题意； ③当点、都在上，此时：，， 点在点的左侧时， ， 解得：； 点P在点Q的右侧时， ， 解得：； ∵， ∴不合题意，舍掉； 综上所述，当t为1或时，P、Q两点之间的距离为． 24. 【问题初探】 （1）如图1，在中，，，D为中点，点E是线段上的动点，当时，连接，将线段绕点D逆时针旋转，得到，连接，．请探索，，之间的数量关系． 以下是数学兴趣小组两位同学的发现： ①小明同学：如图2，如果过D作交于点G，那么是等边三角形，通过构造全等三角形可以找到，，之间的数量关系． ②小颖同学：如图3，如果过E作交于点G，那么是等边三角形，也可以构造出全等三角形，找到，，之间的数量关系． 请参考小明和小颖两名同学的解题思路，直接写出，，之间的数量关系为______． 【类比分析】 （2）小明和小颖同学都运用数学的转化思想，将证明三条线段的关系转化为证明两条线段的关系；为了帮助学生更好地感悟转化思想，王老师将图1进行变换并提出了下面问题，请你解答． 如图4，在中，，，D为中点，点E是边上的动点，当时，连接，将绕点D逆时针旋转得到，连接，．请探究线段，，之间的数量关系 【学以致用】 （3）在中，，，点D在边上，点E在边上，连接（不平行），将绕点D逆时针旋转角，得到，连接，．再过D点作交于点G，过点G作交于点H，当，，时，直接写出的周长． 【答案】（1） （2） （3）的周长为20或14 【解析】 【分析】（）若选择小明同学的思路，过作交于点，可证明是等边三角形，得，，再证明是等边三角形，得，，可证明，得，；若选择小颖同学的思路，过作交于点，可证明是等边三角形，推导出，，，再证明是等边三角形，得，，进而证明，得，则； （）取的中点，的中点，连接，则，，因为，，所以，可证明，则，再证明，则，再证明，得，则； （）根据题干条件画出图形，分类讨论即可求解． 【小问1详解】 证明：选择小明同学：如图，过作交于点， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵是中点， ∴， 由旋转得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 选择小颖同学：如图，过作交于点， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∴是等边三角形， ∴ ， ∴，即， 由旋转得，， ∴是等边三角形， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：，理由： 取的中点，的中点，连接，，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵为中点， ∴，， ∴，，， ∴，， 由旋转得，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：的周长为20或14． ①如图所示，当时，则F在下方， ∵，， ∴四边形是平行四边形，， ， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴， 同理：， 由旋转可知，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为：， ②如图所示，当时，则F在上方， 同理可得， 此时的周长为：， 综上，的周长为20或14． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期期中质量检测 八年级数学试题 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 北京时间2025年11月25日12时11分，神舟二十二号飞船在酒泉卫星发射中心成功发射．下列和中国航天有关的部分图案中，属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，根据不等式的性质，下列变形一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列从左到右的变形属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 将分式中的，的值都扩大为原来的倍，则分式的值（ ） A. 不变 B. 缩小为原来的 C. 扩大为原来的倍 D. 扩大为原来的倍 5. 如图，在中，以点A为圆心，长为半径作弧，交于点F；分别以B，F为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点G；连接并延长，交于点E．若，，则的长为（ ） A. 10 B. 11 C. 14 D. 20 6. 在四边形中，，，延长，，两线相交于点A，已知，，则的长是（ ） A. 8 B. C. 16 D. 7. 直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 将点平移到称为将点P进行“t型平移”，将图形上的所有点进行“t型平移”称为将图形进行“t型平移”．已知点和点，若线段进行“t型平移”后与y轴有公共点，则t的取值范围为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点P，Q是的边，上的点，且，，相交于R，连接，且恰好平分，若，，则点C到的距离为（ ） A. B. C. 3 D. 2 10. 某中学八年级举办了“精彩思辨”大赛．真真、灵灵、颖颖三位同学进入了最后冠军的角逐．决赛共分为五轮，规定：每轮分别决出第1，2，3名（无并列），对应名次的分数分别为a，b，c（且a，b，c均为正整数）；选手最后得分为各轮得分之和，得分最高者为冠军．表格是三位选手在每轮比赛中的部分得分情况，根据题中所给信息，下列说法不正确的是（ ） 第一轮 第二轮 第三轮 第四轮 第五轮 最后得分 真真 c a 25 灵灵 c c 12 颖颖 b b 13 ①真真可能有一轮比赛获得第二名；②灵灵可能有四轮比赛获得第三名；③颖颖有一轮比赛获得第一名； A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 二、填空题（本大题共5个小题．每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的横线上．） 11. 要使分式有意义，应满足的条件是___________． 12. 如图，菊花1角硬币为外圆内正九边形的边缘异形币，则该正九边形的一个内角大小为___________． 13. 已知，则___________． 14. 如图，在中，，将绕点A逆时针旋转，得到，点D恰好落在上，交于点F，则______°． 15. 在等腰中，，，点D为直线上一动点，连接，点E为线段的中点，将线段沿直线翻折得到线段，过点D作，交直线于点F，连接，则线段的最小值为______． 三、解答题（本大题共9个小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 16. 分解因式： （1） （2） 17. 按要求解下列不等式（组）： （1）解关于x的不等式，并将解集在数轴上表示出来． （2）解不等式组：，并求出它的所有整数解之和． 18. 计算： （1） （2）先化简，再求值：，再从0，1，2中选择一个合适的a值代入求值． 19. 解分式方程： （1）； （2）． 20. 如图，在中，点A，E，F，C在同一条直线上，且．求证：． 21. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，请解答下列问题： （1）若经过平移后得到，已知点的坐标为，作出； （2）将绕点O按顺时针方向旋转得到，作出； （3）若将绕某一点旋转可得到，直接写出旋转中心的坐标为______； （4）在平面直角坐标系中存在一点D，使得以点A，B，C，D为顶点的四边形是以为边的平行四边形，请直接写出点D的坐标． 22. 根据以下素材，探索完成任务． 为落实《健康中国行动（2019—2030）》等文件精神，某学校准备购进一批排球和足球促进校园体育活动，请你根据以下素材，探索完成任务： 素材1 某体育器材店每个排球的价格比足球的价格少元，用元购买的排球数量与元购买的足球数量相等． 素材2 该学校决定购买排球和足球共个，且购买足球的数量不少于排球的数量，同时该体育器材店为支持该学校体育活动，对排球给折优惠，足球给予8折优惠． 问题解决 任务1 探求商品单价 请求出每个排球和足球的价格． 任务2 确定购买方案 运用数学知识，确定该学校本次购买排球和足球所需费用最少的方案，并求出最少费用． 23. 如图，中，，，，若动点P从点C开始，按的路径运动，且速度为每秒2个单位长度，设出发的时间为t秒． （1）当点P在线段上运动，______秒时，点P到的距离与点P到的距离相等； （2）若是以为腰的等腰三角形，求t的值； （3）另有一点Q，从点C开始，按的路径运动，且速度为每秒1个单位长度，若P，Q两点同时出发，当P，Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，P，Q两点之间的距离为？请直接写出答案． 24. 【问题初探】 （1）如图1，在中，，，D为中点，点E是线段上的动点，当时，连接，将线段绕点D逆时针旋转，得到，连接，．请探索，，之间的数量关系． 以下是数学兴趣小组两位同学的发现： ①小明同学：如图2，如果过D作交于点G，那么是等边三角形，通过构造全等三角形可以找到，，之间的数量关系． ②小颖同学：如图3，如果过E作交于点G，那么是等边三角形，也可以构造出全等三角形，找到，，之间的数量关系． 请参考小明和小颖两名同学的解题思路，直接写出，，之间的数量关系为______． 【类比分析】 （2）小明和小颖同学都运用数学的转化思想，将证明三条线段的关系转化为证明两条线段的关系；为了帮助学生更好地感悟转化思想，王老师将图1进行变换并提出了下面问题，请你解答． 如图4，在中，，，D为中点，点E是边上的动点，当时，连接，将绕点D逆时针旋转得到，连接，．请探究线段，，之间的数量关系 【学以致用】 （3）在中，，，点D在边上，点E在边上，连接（不平行），将绕点D逆时针旋转角，得到，连接，．再过D点作交于点G，过点G作交于点H，当，，时，直接写出的周长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $