精品解析：山东省淄博市博山区第六中学2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试卷

2024-2025学年度第二学期初三数学期中试题 一、单选题（每题4分，合计40分） 1. 已知一元二次方程有一个根为2，则另一根为（ ） A. B. C. 7 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义．设另一根为a，利用根与系数的关系得到关于a的方程，即可求出a的值． 【详解】解：设另一根为a， 则， 解得：， 故选D． 2. 下列二次根式的运算：①；②；③；④；其中运算正确的是（ ） A. ①②③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ①② 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、二次根式的化简；熟练掌握二次根式的化简与运算是解决问题的关键，由二次根式的性质与化简、运算得出①②正确，③④不正确，即可得出结论． 【详解】解：①正确， ②正确， ③不正确， ④不正确； 正确的为：①②； 故选：D． 3. 一元二次方程x2﹣6x﹣5=0配方可变形为（　　） A. （x﹣3）2=14 B. （x﹣3）2=4 C. （x+3）2=14 D. （x+3）2=4 【答案】A 【解析】 【分析】根据配方法解一元二次方程的步骤计算即可. 【详解】解：移项得：x2-6x=5， 两边同时加上9得：x2-6x+9=14， 即（x-3）2=14， 故选A． 【点睛】本题考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的步骤是关键. 4. 已知四边形 是平行四边形， ，相交于点O，下列结论错误的是（ ） A. ， B. 当 时，四边形 是菱形 C. 当时，四边形 是矩形 D. 当且时，四边形 是正方形 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质，菱形，矩形，正方形的判定逐一判断即可． 【详解】解：四边形 是平行四边形， ，故A正确， 四边形 是平行四边形， ， 不能推出四边形 是菱形，故 错误， 四边形 是平行四边形，， 四边形 是矩形，故C正确， 四边形 是平行四边形，，， 四边形 是正方形．故D正确． 故选B． 【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，矩形，菱形，正方形的判定，掌握以上知识是解题的关键． 5. 实数a、b在数轴上对应点的位置如图，则的结果是（ ） A. B. C. b D. 【答案】C 【解析】 【详解】首先由数轴可得，然后利用二次根式与绝对值的性质，即可求得答案． 【解答】解：根据题意得：， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了化简二次根式，实数与数轴，实数的性质等等，正确得到是解题的关键． 6. 已知关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. 且 B. C. D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解得情况，解题的关键是熟知根的判别式的运用． 根据一元二次方程根的判别式的应用，一元一次方程的根，分两种情况讨论即可得到答案． 【详解】解：当时，则， 由于关于的方程有实数根， ，即， ， 的取值范围且， 当时为一元一次方程，方程有一根． 综上所知的取值范围为：． 故选：C． 7. 化简二次根式得（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判断出，再由二次根式的性质即可得出结论． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查的是二次根式的性质与化简，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键． 8. 某市2019年快递业务量比2017年增长，设该市快递业务量2018年与2019年的年平均增长率相同．若该市2017年快递业务量为件，2018年快递业务量为件，则下列关于，的关系式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设该市快递业务量2018年与2019年的年平均增长率为x，则根据题意得，a（1+x）2=(1+21%)a，先求得x的值，再根据b=a(1+x)可得出结果． 【详解】解：设该市快递业务量2018年与2019年的年平均增长率为x，则根据题意得， a（1+x）2=(1+21%)a， 解得x=10%（舍去负值）， ∴b=a(1+x)=1.1a， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，根据题意找出等量关系，列出方程是解题的关键．在增长率问题中，常利用以下公式求解：设a为原来的量，m为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量，则a（1+m）n=b． 9. 如图，在矩形 中，对角线交于点O，过点O作交于点E，交于点F．已知，的面积为5，则 的长为（　　　） A. 2 B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理以及三角形的面积问题．连接 ，由题意可得为对角线 的垂直平分线，可得，，由三角形的面积则可求得 的长，然后由勾股定理求得答案． 【详解】解：连接 ，如图所示： 由题意可得，为对角线 的垂直平分线， ，， ． ， ， ， ， 在中，由勾股定理得， 故选：D． 10. 如图，正方形 中，在的延长线上取点E，F，使，，连接分别交于H，G下列结论，下列结论：①；②；③；④图中有8个等腰三角形．其中正确的是（ ） A. ①③ B. ②④ C. ①④ D. ②③ 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查对三角形的内角和定理，等腰三角形的性质和判定，正方形的性质，平行四边形的性质和判定等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键． 根据正方形的性质和已知推出四边形是平行四边形，得到，无法证出G为 的中点；，推出，求出，得到，求出即可；根据三角形的面积公式推出和四边形的面积相等；可得有9个等腰三角形． 【详解】解：∵正方形 ，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 要使，只要G为 的中点即可， 但， ∴， 即 和不全等， ∴G不是 中点， ∴①错误； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴②正确； ∵， ， ∴， ∴， 要使和四边形的面积相等，只要和的面积相等即可，根据已知条件， ∴③；正确， 等腰三角形有； ∴④错误； 故选：D． 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 已知，则__________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，求不等式组的解集，先根据二次根式有意义的条件求出x的值，进而求出y的值，然后代入计算即可． 【详解】解：由题意，得 ， 解得， ∴， ∴， 故答案为：6． 12. 若最简二次根式与能合并，则__________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据两最简二次根式能合并，得到被开方数相同，然后列一元一次方程求解即可． 【详解】解：根据题意得，， 移项合并：， 故答案为：4. 【点睛】本题考查了最简二次根式，利用好最简二次根式的被开方数相同是解题的关键． 13. 已知，，则______． 【答案】4 【解析】 【分析】将提取公因式，再把，代入进行计算求解． 【详解】解：，， ． 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了代数值求解，平方差公式以及二次根式的乘法和减法的运算，掌握二次根式乘法和减法的运算法则是解答关键． 14. 已知是方程的两个实数根，则的值是________． 【答案】2018 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程根与系数的关系，由题意得出，，将变形为，整体代数计算即可得出答案，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解此题的关键． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，正方形ABCD的边长为10，AG=CH=8，BG=DH=6，连接GH，则线段GH的长为_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：如图，延长BG交CH于点E， ∵AG=CH=8，BG=DH=6，AB=CD=10， ∴AG2+BG2=AB2，CH2+DH2=DC2，△ABG≌△CDH， ∴∠AGB=∠CHD=90°，∠1=∠5，∠2=∠6， ∴∠1+∠2=90°，∠5+∠6=90°， 又∵∠2+∠3=90°，∠4+∠5=90°， ∴∠1=∠3，∠2=∠4， 又∵AB=BC， ∴△ABG≌△BCE， ∴BE=AG=8，CE=BG=6， ∴GE=BE-BG=8-6=2，HE=CH-CE=8-6=2，BE2+CE2=CD2， ∴∠BEC=90°， ∴HG= 故答案为： 16. 如图，在边长为6的菱形 中，，E为 的中点，F是 上的一动点，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称−最短路线问题，三角形三边关系，菱形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，确定F点位置在何处时，取得最小值是解答本题的关键．连接，交 于，连接 交 于，由菱形的对角线互相垂直平分，可得B、D关于 对称，则，根据三角形三边关系，进而得到，由此得到当点与重合时，取得最小值 ，根据等腰三角形三线合一性质和勾股定理，即可求得 ． 【详解】解：连接，交 于，连接 交 于， 由菱形的对角线互相垂直平分，可得B、D关于 对称，则， ， 当点与重合时，取得最小值 ． 四边形 是边长为6的菱形，， ，是等边三角形， ， ， 在中，， 的最小值为． 故答案为． 三、解答题（共86分） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的运算法则，包括除法法则、乘法法则以及完全平方公式、平方差公式的运用． （1）先将除法转化为乘法，再根据二次根式乘法法则进行计算，最后化简合并． （2）分别利用平方差公式和完全平方公式展开式子，然后进行化简计算． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 用适当的方法解方程： （1）． （2）． 【答案】（1）方程无实数根 （2） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的求解，解题的关键是根据方程特点选择合适的解法，如判别式判断根的情况，因式分解法等． （1）对于一元二次方程，可通过判别式判断根的情况； （2）先将方程进行变形，再通过因式分解求解． 【小问1详解】 解：对于一元二次方程，其中． 根据判别式，将代入可得： 因为，所以此方程无实数根； 【小问2详解】 解： 即或， 解得：． 19. 如图，四边形 为平行四边形，E，F分别在，上，连接 交 于点O，且． （1）求证：； （2）若 平分，证明：四边形为菱形． 【答案】（1） 证明：四边形 是平行四边形， ， ． 在和中， ， （AAS）； （2） 证明：， ， 四边形 为平行四边形， ， 四边形为平行四边形， 平分， ， ， ， ， ， 四边形为菱形． 【解析】 【分析】本题主要考查三角形全等的判定，平行四边形的判定与性质，全等三角形的性质，菱形的判定． （1）根据AAS证明是解题的关键； （2）证出，，得出四边形为平行四边形，证明是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 已知关于的一元二次方程． （1）当为何值时，方程有两个不相等的实数根？ （2）若边长为5的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，求的值． 【答案】（1）当m＞﹣时，方程有两个不相等的实数根；（2）m的值为﹣4． 【解析】 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=4m+17＞0，解之即可得出结论； （2）设方程的两根分别为a、b，根据根与系数的关系结合菱形的性质，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再根据a+b=﹣2m﹣1＞0，即可确定m的值． 【详解】（1）∵方程x2+（2m+1）x+m2﹣4=0有两个不相等的实数根， ∴△=（2m+1）2﹣4（m2﹣4）=4m+17＞0， 解得：m＞﹣． ∴当m＞﹣时，方程有两个不相等的实数根． （2）设方程的两根分别为a、b， 根据题意得：a+b=﹣2m﹣1，ab=m2﹣4． ∵2a、2b为边长为5的菱形的两条对角线的长， ∴a2+b2=（a+b）2﹣2ab=（﹣2m﹣1）2﹣2（m2﹣4）=2m2+4m+9=52=25， 解得：m=﹣4或m=2． ∵a＞0，b＞0， ∴a+b=﹣2m﹣1＞0， ∴m=﹣4． 若边长为5的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，则m的值为﹣4． 考点：1.根的判别式；2.根与系数的关系；3.菱形的性质． 21. 用一面足够长的墙为一边，其余各边用总长42米的围栏建成如图所示的生态园，中间用围栏隔开．由于场地限制，垂直于墙的一边长不超过7米．（围栏宽忽略不计） （1）若生态园的面积为144平方米，求生态园垂直于墙的边长； （2）生态园的面积能否达到150平方米？请说明理由． 【答案】（1）6米 （2）不能达到，理由见解析 【解析】 【分析】（1）设生态园垂直于墙的边长为x米，则可得生态园平行于墙的边长，从而由面积关系即可得到方程，解方程即可； （2）方法与（1）相同，判断所得方程有无解即可． 【小问1详解】 设生态园垂直于墙的边长为x米，则x≤7，生态园平行于墙的边长为(42－3x)米 由题意得：x(42－3x)=144 即 解得：（舍去） 即生态园垂直于墙的边长为6米. 【小问2详解】 不能，理由如下： 设生态园垂直于墙的边长为y米，则生态园平行于墙的边长为(42－3y)米 由题意得：y(42－3y)=150 即 由于 所以此一元二次方程在实数范围内无解 即生态园的面积不能达到150平方米. 【点睛】本题考查了一元二次方程在实际生活中的应用，理解题意并根据等量关系正确列出方程是解题的关键． 22. 【阅读理解】 爱思考的小名在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的： ，． ，即． ． ． 请你根据小名的分析过程，解决如下问题： （1）计算： ； （2）计算： ； （3）若，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）仿照题目的方法利用平方差公式分母有理化即可； （2）利用分母有理化可得，然后合并同类二次根式即可； （3）利用分母有理化可得，进而得到，，然后将所求代数式变形，代入计算即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：， ， ，即， ． 23. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作于点E，延长BC至F，使．连接DF． （1）求证：四边形ADFE为矩形； （2）连接OF，若，，，求OF的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）证△ABE≌△DCF（SAS），得AE=DF，∠AEB=∠DFC=90°，再证AE∥DF，得四边形ADFE是平行四边形，即可得出结论； （2）由矩形的性质得到EF=AD=3，进而求得BE=CF=1，BF=4，再由直角三角形的性质得AB=2BE=2，然后由勾股定理可求得BD的长度，最后由直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案． 【小问1详解】 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC且AB=DC， ∴∠ABE=∠DCF， 在△ABE和△DCF中， ， ∴△ABE≌△DCF（SAS）， ∴AE=DF，∠AEB=∠DFC=90°， ∴AE∥DF， ∴四边形ADFE是平行四边形， ∵∠DFC=90°， ∴平行四边形ADFE是矩形； 【小问2详解】 由（1）知：四边形ADFE是矩形， ∴EF=AD=3， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC=AD=3，CD=AB，OB=OD， ∴BE=CF=BC-EC=1， ∴BF=BC+CF=4， 在Rt△ABE中，∠ABE=60°， ∴∠BAE=90°-∠ABE=30°， ∴AB=2BE=2， ∴DF=AE= ， ∴BD= ∵∠DFB=90°，OB=OD， ∴OF= BD= ． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定、矩形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线性质等知识；熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 24. 如图①，正方形 中，点E是对角线 上任意一点，连接 、． （1）求证：； （2）当时，求四边形的面积； （3）如图②，过点E作交 于点F，当时，若，求的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质，易证，即可得出结论； （2）连接，交 于点，根据正方形的性质，得到，再根据四边形的面积，即可得到答案； （3）过点 作于点，根据四边形内角和与等角对等边的性质，证明是等边三角形，设，则，再结合正方形的性质，得到，进而求出，即可得到的长． 【小问1详解】 证明：四边形 是正方形， ，， 在和中， ， ， ； 【小问2详解】 解：如图，连接，交 于点， 四边形 是正方形，， ，，，， ， ， 四边形的面积 【小问3详解】 解：如图，过点 作于点， 由（1）可知，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ，， 设，则， ， 四边形 是正方形， ， ， ， ， ， 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，正确作辅助线是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第二学期初三数学期中试题 一、单选题（每题4分，合计40分） 1. 已知一元二次方程有一个根为2，则另一根为（ ） A. B. C. 7 D. 3 2. 下列二次根式的运算：①；②；③；④；其中运算正确的是（ ） A. ①②③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ①② 3. 一元二次方程x2﹣6x﹣5=0配方可变形为（　　） A. （x﹣3）2=14 B. （x﹣3）2=4 C. （x+3）2=14 D. （x+3）2=4 4. 已知四边形 是平行四边形， ，相交于点O，下列结论错误的是（ ） A. ， B. 当时，四边形 是菱形 C. 当时，四边形 是矩形 D. 当且时，四边形 是正方形 5. 实数a、b在数轴上对应点的位置如图，则的结果是（ ） A. B. C. b D. 6. 已知关于 的方程有实数根，则 的取值范围是（ ） A. 且 B. C. D. 且 7. 化简二次根式得（ ） A. B. C. D. 8. 某市2019年快递业务量比2017年增长，设该市快递业务量2018年与2019年的年平均增长率相同．若该市2017年快递业务量为件，2018年快递业务量为件，则下列关于，的关系式正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在矩形 中，对角线交于点O，过点O作交 于点E，交于点F．已知，的面积为5，则的长为（　　　） A. 2 B. C. D. 3 10. 如图，正方形 中，在 的延长线上取点E，F，使，，连接分别交于H，G下列结论，下列结论：①；②；③；④图中有8个等腰三角形．其中正确的是（ ） A. ①③ B. ②④ C. ①④ D. ②③ 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 已知，则__________． 12. 若最简二次根式与能合并，则__________． 13. 已知，，则______． 14. 已知是方程的两个实数根，则的值是________． 15. 如图，正方形ABCD的边长为10，AG=CH=8，BG=DH=6，连接GH，则线段GH的长为_____． 16. 如图，在边长为6的菱形 中，，E为的中点，F是 上的一动点，则的最小值为___________． 三、解答题（共86分） 17. 计算： （1） （2） 18. 用适当的方法解方程： （1）． （2）． 19. 如图，四边形 为平行四边形，E，F分别在 ，上，连接交 于点O，且． （1）求证：； （2）若 平分，证明：四边形为菱形． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）当为何值时，方程有两个不相等的实数根？ （2）若边长为5的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，求的值． 21. 用一面足够长的墙为一边，其余各边用总长42米的围栏建成如图所示的生态园，中间用围栏隔开．由于场地限制，垂直于墙的一边长不超过7米．（围栏宽忽略不计） （1）若生态园的面积为144平方米，求生态园垂直于墙的边长； （2）生态园的面积能否达到150平方米？请说明理由． 22. 【阅读理解】 爱思考的小名在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的： ，． ，即． ． ． 请你根据小名的分析过程，解决如下问题： （1）计算： ； （2）计算： ； （3）若，求的值． 23. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作于点E，延长BC至F，使．连接DF． （1）求证：四边形ADFE为矩形； （2）连接OF，若，，，求OF的长． 24. 如图①，正方形 中，点E是对角线 上任意一点，连接、． （1）求证：； （2）当时，求四边形的面积； （3）如图②，过点E作交于点F，当时，若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $