重庆市巴蜀教育集团2025-2026学年高二下学期5月期中考试数学试题

高2027届高二下半期数学 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 A C 0 B C D B B l.【解析】因为f(x)=x(lnx+a), 则f'(x)=lnx+a+1,故f'(e)=2+a=0,则a=-2; 2.【解析】一般的，如果变量x与变量y具有正相关，平移后的散点坐标同号的居多，故散点大多 分布在第一、三象限 3.【解析】因为Sn=2×32m1-t,则4=S=24-t,a2=S2-S,=96-t-24+1=72, 易知该等t数列的公q=4,则？-24-1，旋=6。 4.【解析】因为P(X≤40)=0.3，故P(X≥60)=0.3，则P(X≤60)=0.7，故选B. 5.【解析】假设AE=x,则BF=3x,AB=4x, 根据双曲线的定义得AF引=x+2a,BF=3x+2a, 因为O4=FE,放aR1AS,侧则B那=AB+A, 即(3x+2a2=(x+2a)2+16x2,即9x2+12ax+4a2=x2+4ax+4a2+16x2, 解得x=a,在Rt△AFE，因为AE=a,AF=3a,又FF=2c, 则r+9g=4c,将e-9,则e= 2 6【解折】因为f创=e-吉式-如2-x+a在0回)上举明莲端， 又f'(x)=e-x2-ax-l,故xe0,+o)时，f'(x)=e-x2-ax-1≥0恒成立， 当x=0时，不等式恒成立，当x>0时，a≤-x-上恒成立， 令g=x士g到-cg-1+2--e-x-. x2 故xe(0,1)时，g(x)≤0，xe(1,+o∞)时，g(x)≥0， 高二数学答案共10页第1页 故g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，+oo)上单调递减，故g(x)在x=1处取最小值g(1)=e-2. 故实数a的取值范围是a≤e-2,故实数a的最大值是e-2. 7.【解析】因为13步走完15级台阶，故13步有11步是走一级台阶，2步走两级台阶， 故事件A包含的样本空间数为C=78,AB包含的样本空间数为12， P国-号后则Pa=I-P小-吕 8.【解析】方法一分类讨论：当x=1时，y+z≤7，有1+2+3+4+5+6=C=21个， 当x=2时，y+z≤6，有1+2+3+4+5=C2=15个， 当x=3时，y+z≤5，有1+2+3+4=C=10个， 当x=4时，y+z≤4，有1+2+3=C=6个， 当x=5时，y+z≤3，有1+2=C3=3个， 当x=6时，y+z≤2，有1=C个， 共有1+3+6+10+15+21=C3+C+…C=C=56个： 方法二：构造x+y+z+m=8,则m为自然数，则m+1为正整数， 故x+y+z+(m+1)=9,利用隔板法，将9个数量分成4个正整数的方法是C=56个 题号 0 10 11 12 13 14 答案 ACD BD BCD 42 100 15 16 9.【解析】样本中心为(3,5)，代入回归方程得b=2,，故A选项正确： 因为b=2,故变量x与变量y正相关，故B选项错误； 因为y=2x-1,令x=6,故y=11,故C选项正确： 当x=5时，解得y,=9,又y=8,故残差为y-y=8-9=-1,故选项D正确 10.【解析】因为二项展开式中只有第7项的二项系数最大，故n=12,故A项错误： 12 -3 展开的第5项是C(-3)为常数项正确，故B选项正确： 高二数学答案共10页第2页 因为二项式系数和为22，各项系数和(1-3)=22，故两者相等，故C选项错误； 12 因为 -3 展开的奇数项为正，偶数项系数为负，只需讨论奇数项即可 记a,为第i项的系数，则a<a<a5<a,又a,=C$×3，a,=C×3,a1=C×3, a=C×32,因为a,>a,，a,>a1>a,故二项展开式的第9项的系数最大，故选项D正确， 故答案为BD. 山.【解折】因为DX)=DY,故6X×2三6×PxL-p,解得2三或p3 33 3 故E(Y)=2或E(Y)=4,故选项A不正确； ,E(2X+1)=2E(X)+1=5,故选项B正确： 又D(3Y+=9D(y)=9D(X)=9x6×号-12，故选项C正确 因为E(Y)=2或E(Y)=4,故E(3Y+1)-10=3, 又E(X+1)=3,故E(3Y+1)-10=E(X+1)成立，故选项D正确 12.【解析】因为a2+a3+a,=3a4=18,则a4=6,又S,=7a4=42. 13.【解折15个人的不同分组数是CCS+CCC=25, A 而3组同学分配到三个小组的分配方法是25×C2×A=100,故不同的分配方法是100 14.【解析】设A(x,y),B(x2,y2),C(x,y3),D(x4,y4),F(1,0), 因为O1.0丽=0，故5+%=0，：2+5，=0，%=-16，xx,=16, 16 因为直线AC经过焦点F(L0),故x=1y=4,则飞=，y=-4, y 同理x=1,以=-4 X, 则0C0而=x+⅓y=1+16=-15 V2 xx2y·y216 四、解答题（本大题共77分，解答题应写出文字说明，证明过程和验算步骤） 高二数学答案共10页第3页 15.【答案】(1)见解析：(2)见解析，(3) 12 125 【解析】(1)完成表格如下 数学成绩 学校 合计 优秀 不优秀 甲校 10 40 50 乙校 15 35 50 合计 25 75 100 (2)H。:假设甲乙两校学生的数学成绩优秀率无差异 则X2=10(15×75-25×354 25×75×50×50 =4≈1.33<2.706=x01, 3 根据小概率值a=0.1的X独立性检验，没有充分的证据推断H。不成立，因此可以认为H。成立， 即认为两校的数学成绩优秀率没有差异， （3)因为甲校学生数学成绩优秀率p=10=， 5051 甲校3名学生数学成绩恰好有两名学生数学成货就的概辞为州P=G日×号。 故甲校的3名学生中怡好有两名学生数学成绩优秀的概率 125 16.【答案】(1)见解析：(2)a,=m-3,3)S,=2n- 2x3”+ 4 【解析】(1)因为an2=6an1-9an,则an2-3an1=3(an+1-3an）, 因为a1=1,a2=6,则a2-3a1=3≠0，故an1-3an≠0， 则92-3aL=3,故{a,1-3a}是首项为3，公比为3的等比数列： an1-3a Q》由知am-如=，做号=景-行 故仔}是以写为首项，}为公差的等笼数列， 则导-，即a=n3 高二数学答案共10页第4页 (3)因为Sn=a1+a2+…+an-1+an=1×3°+2×3+…+(n-1)×3"-2+n×3"-, 则3Sn=1×3+2×32+…+(n-1)×3-1+n×3”,两式相减得： -28.=3°+3++3-n3-31-n-3,解得3=2nm-×3”+ 2 4 41 1n.【答案1)+父=1：(2sA<1. 43 3 【解析】(1)因为等边三角形△FPF的面积为V5, 故三角形△FPF,的边长为2，故2c=2,a=2, 解得a2=4,c2=1,b2=3, x2y2 故椭圆E的标准方程为。+ =1; 43 2)当直线的斜率为0时，AM=6,BM=2,故入=3： 当直线斜率不为0时，假设直线l的方程为：x=y+4,A(x,),B(x2y2), [x=my+4 联立椭圆得： y2-1，消去x整理得(3m2+4y2+24my+36=0, =1 43 由△=(24m)2-4×363m2+4>0,解得得m2>4, -24m 36 又y+%3m+4,为43m+4,入={ BM y: AM 不妨假设0<为2<片，所以入=业， 将y=入y代入韦达定理消去y,得： (2+1216m2 3m2+41 16m 解法一：因为m2>4,故 4的城是[49) 3m2+ 1 故4≤（入+1<名，解得<A<1 高二数学答案共10页第5页 综上实数入的取值范围是≤入<1. 3 解法二：因为m2= 4(入+1)2 -3λ2+10入- 3>4,即，1+ -3A2+10以-3>1 (1+1)2-32+10A- >0所以 4(入-1)2 即 -3入2+10入-3-3入2+10入- 32+101-3>0,所以A1, 且-32+10入-3>0，即<入<3，且A≠1,0<A<1, 3 综上实数入的取值范围是≤入<1. 3 解法：因为1-女，根据求根公式湘：为=-12m+64,=12m64 4 （3m2+4 3m2+4 所以入=-12m-6Nm2-4。-2m-Vm2-4 ,0<<y2,所以m<0 -12m+6Vm2-4-2m+Vm2-4 4 -2+,1- 同除以m得：入= =,令t= -2-,h-4 m,0<1<1 m2 所以入=2+ ,所以在0<t<1单调递减，故，<入<1. -2-t 综上实数入的取值范围是≤入<1. 18.【答案】(1)a>e:(2)见解析 【解析】(1)因为f(x)=e-ax,故f'(x)=e-a, 当a≤0时，x∈(（-o,+o)时，f'(x)≥0，故f(x)在(-oo,+∞)上单调递增， 故x∈(-o,+o)时，f(x)至多一个零点，故a≤0时不成立， 当a>0时，xe(-oo,na)时，f'(x)<0,xe(lna,+oo)时f'(x)>0, 故f(x)在(-oo,lna)上单调递减，在(lha,+oo)上单调递增， 则f(x)在x=lna处取最小值，f(lna)=a-alna=a(1-lna), 当l-lna=0时，即a=e时，f(x)有且只有一个零点x=1,不成立， 高二数学答案共10页第6页 当1-lna>0时，即0<a<e时，f(x)≥f(na)>0,不成立， 当l-lna<0时，即a>e时，f(na)=a-alna=a(1-na)<0, 又f(0)=1,故存在xe(0,na),使得f(x)=0, 因为e>x,故e2a>2a,两边平方得：ea>4a2, 故f(4a)=eo-4a2>0,故存在x2e(na,4a）,使得f(x2)=0, 故当a>e时，f(x)存在两个不同的零点x,x2. (2)由(1)知，a>e, 因为f(x)=ei-ax=0,即e=ax,即x=lna+nx,同理x2=lna+nx2, n支 两式作差得：x2-x=hx-血x=n立，即X=1, x2-x1 14支 要证x+x>2,只需5+n点>2，即证n点>2， x2-x x 五-1 令1=点，则>1，等价证明n1>2-=2-4 t+1 t+1 令g)=ln+42,g'间)=4=+-_- t+1 t(t+1)2t(t+12(t+1)2 故t>1时，g'(t)>0,即g(t)在(1，+o∞)上单调递增，又g(1)=0, 故r>1时，g)=nt+4-2>0恒成立， t+1 故x+x2>2成立， 下面证明：x+x2<2ha,因为x=lna+lnx,x2=lna+lnx2, 两式相加得：x+x2=2lna+Inxx2,要证x+x2<2ha,等价证明lnxx2<0, 即证xx<1,等价证明石<1，即证Y五n立<1， x2-为为 高二数学答案共10页第7页 m1m2m 故h(m)在(1，+o∞)上单调递减，又h(1)=0,故xx2<1, 综上所述：2<x+x2<2lna成立 9【1P)-子a)P)=忍(8)见解折 【解析】(1)记M=“停止从A箱子取球时A箱子恰好剩一个球的概率” 则P(w)=CS=2或PM)-CC￡-3 C23 43 (2)因为停止从B箱子取球时，B箱子不剩红球的概率； 即将A箱子剩余的球混入B箱子后，最后一个位置一定是白球， 记Y表示停止从A箱子取球时A箱子放入B箱子i个红球(i=0,1,2), P)是5P)--P)-- 记N=“停止从B箱子取球时，B箱子不剩红球” 又PWNI)-是-Pwx)-是=号PN)-号-号或PwX)-号- 又PNIg)-是-g或PWI)-是 放P)=P)PNI)+P)PNIX+Pg)PwX)-[+号副- (3)因为Y表示停止从A箱子取球时A箱子放入B箱子i个红球(i=0,1,2), 且P)-P)-是-Pg)-是号 高二数学答案共10页第8页 故X的可能取值是X=0,1,2,3,4 PX=-0x)-是-号P(K=01)-号- Px=01)=是-号或PX=0X)-号- Px=o1)-是-PK=01)-是- 故Px=0-0引-是度PX=0=1-P=10--是 Px=1-号-号Px=1)-紧-号 Px=1-号-号成Px=I)-鉴- PK=g)-g-装或PX=1)-装-8 =56 PK-2-号-P心K-2)-鉴- Px-2)-是高我px=21-话- Px-2)-8-6Px-21g)-装- 4发56 Px-2到-[会++- PX=3X)-号-减P(K=3)-S4- 435 PX=3)-号-第或Px=3X)-登- 高二数学答案共10页第9页 -或Px=3)-是6 P(X=31,)=会56 37 PK=4)=安5或Px=4x)-素5 P(X=4|Y)=0,P(X=4|Y2)=0; 放PX=到-[5t0+0s 故X的分布列为： X 0 3 13 47 1 37 1 24 168 840 105 高二数学答案共10页第10页 高二数学试题 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分共40分，在每小题的四个选项中只有一项是符合题目要求的） 1．函数在处的切线与轴平行，则实数（ ） A．-2 B．-1 C．0 D．1 2．已知变量与变量正相关，样本数据中，，…，和，，…，的均值分别是，，将成对数据按照平移后绘制散点图，关于该散点图说法正确的是（ ） A．大部分散点位于第一、四象限 B．大部分散点位于第二、三象限 C．大部分散点位于第一、三象限 D．大部分散点位于第二、四象限 3．等比数列的前项和为，若，则实数（ ） A．1 B．2 C．3 D．6 4．随机变量服从正态分布，若，则（ ） A．0.8 B．0.7 C．0.3 D．0.2 5．双曲线（，）的左右焦点分别是，，是坐标原点，，两个点在双曲线上满足，，则该双曲线的离心率（ ） A． B．2 C． D． 6．若在上单调递增，则实数最大值是（ ） A．2 B． C．1 D． 7．学校一楼到二楼共有15级台阶，某同学每一步可以走一级或两级台阶，事件表示“用13步走完15级台阶”，事件表示“走楼梯的过程没有连续2步走两级台阶”，则（ ） A． B． C． D． 8．向量，其中，且，，均为正整数，则满足条件的的个数是（ ） A．84 B．56 C．36 D．21 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有错误选项得0分） 9．变量与变量有较强的线性相关性，由下列表格得到经验回归方程是，则（ ） 1 2 3 4 5 2 4 5 6 8 A． B．变量与变量负相关 C．当时，预测值 D．当时，样本点对应的残差是-1 10．若的二项展开式中只有第7项的二项系数最大，则下列说法正确的是（ ） A． B．二项展开式中存在常数项 C．二项系数之和与各项系数之和不相等 D．二项展开式的第9项的系数最大 11．随机变量，，若，则下列说法正确的是（ ） A． B． C． D． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．等差数列的前项和是，若，则________． 13．现有五名同学报名参加数学，物理，化学三个兴趣小组讲解员，每个小组至少需要一名同学，每名同学只能报名其中一个小组（每个同学都参加了小组），已知甲同学不参加化学小组，则不同的分配方法数量是________． 14．抛物线：的焦点是，不过原点的直线与抛物线相交于，两点，且，直线与抛物线相交于点，直线与抛物线相交于点，则________． 四、解答题（本大题共77分，解答题应写出文字说明，证明过程和验算步骤） 15．为了比较甲，乙两所学校学生的数学水平，采用简单随机抽样的方法抽取了100名学生，通过测验得到了如下数据：甲校50名学生中有10名数学成绩优秀，乙校50名学生中有15名数学成绩优秀． （1）请将列联表补充完整； （2）依据小概率值的独立性检验，能否据此推断两校学生的数学成绩优秀率有差异． （3）用甲校数学成绩样本的优秀率作为甲校数学成绩总体的优秀率，估计甲校的3名学生中恰好有两名学生数学成绩优秀的概率． 学校 数学成绩 合计 优秀 不优秀 甲校 10 乙校 15 合计 100 参考数据： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16．数列满足，，且． （1）证明是等比数列； （2）求数列的通项公式； （3）求数列的前项和． 17．椭圆：（）的焦点分别为，，上顶点是，是面积为的等边三角形． （1）求椭圆的标准方程； （2）过的直线与椭圆相交于，两点，且，求实数的取值范围． 18．函数，存在两个不同的零点，（）（其中是自然对数的底数）． （1）求实数的取值范围； （2）证明：． 19．现有两个不透明的，箱子装有大小质地一样，只有颜色不同的若干小球，其中箱子中装有2个红球，1个白球，箱子中装有3个红球，3个白球．先从箱子采取不放回的方式依次取球，当箱子内的小球颜色只剩一种时，停止从箱子取球，并将箱子剩余的球混入箱子后再从箱中采取不放回的方式依次取球，当箱子内的小球颜色只剩一种时，停止从箱子取球，记为停止从箱子取球时，箱子内剩余的白球个数． （1）停止从箱子取球时箱子恰好剩一个球的概率； （2）停止从箱子取球时箱子不剩红球的概率； （3）求的分布列． 学科网（北京）股份有限公司 $