重庆市大足中学2025-2026学年高二下学期5月期中数学试卷

**基本信息** 立足高二期中学情，融合概率统计、函数导数、排列组合等核心知识，以2021-2025年发电量数据、工厂零件质检等真实情境为载体，考查数学建模、数据分析及逻辑推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|相关关系、古典概型、二项式系数|基础概念辨析，如农田产量与施肥量的相关关系判断| |多选题|3/18|二项式定理、正态分布、函数极值|综合能力考查，如结合正态分布性质判断概率大小| |填空题|3/15|两点分布、切线方程、错位排列|简洁性与技巧性结合，如切线方程中参数求解| |解答题|5/77|线性回归、概率分布、函数证明|情境化与综合性强，如用发电量数据建立回归方程预测2026年产量，体现数学语言表达现实世界|

重庆市大足中学高2027届第四期第二次月考参考答案 第I卷（选择题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C B D A A C B C CD BC BCD 1.【答案】C 【详解】A、D是函数关系；B是不相关关系，也不是函数关系； C是相关关系，一般来说，农田的施肥量越大，小麦产量一般会越多. 2.【答案】B 【分析】根据条件概率计算即可. 【详解】由题意可得， ， 则． 3.【答案】D 【详解】由组合数性质知， 所以，所以，得 4.【答案】A 【详解】将4位老师分配到3个学校去任教， 每位老师都可以去这3个学校中的1个学校， 故每位老师都有3种分配方案， 则这4位老师分配到3个学校去任教共有分配方案为种， 故选择A. 5.【答案】A 6.【答案】C 【分析】将5名志愿者分成4组，再分配到4个项目作答. 【详解】依题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者， 将5名志愿者按分成4组，有种分法，将分得的4组安排到4个项目，有种方法， 所以不同的分配方案共有. 故选：C 7.【答案】B 【分析】函数在区间上单调递增，等价于导函数在此区间恒大于等于0，进而转化成参数小于等于某个函数恒成立，即求函数最值的问题. 【详解】解：由题意知，因为函数在上单调递增， 所以恒成立，即在区间上恒成立. 令，，则，当时，，所以， 因此在上单调递增，则，所以. 8.【答案】C 【详解】由分布列的性质可知，，所以. 因为函数，. 当时，； 当时，； 当时，. 所以. 所以函数的值域为. 9.【答案】CD 【分析】利用展开式的通项公式和赋值法可求解. 【详解】因为的展开式共有6项，所以A不正确； 通项公式为，令可得第三项为，B不正确； 令可得所有项的系数和为0，C正确； 所有项的二项式系数和为，D正确. 故选：CD 10.【答案】BC 【分析】利用正态分布曲线的对称性可以判断BCD，利用方差的变化导致曲线的变化，可判断A． 【详解】由于测量结果服从正态分布，则该测量结果的平均值为10，标准差为， 根据正态分布的概率性质可知，越大，则正态分布曲线越来越矮胖， 则物理量在一次测量中在的概率会越小，故A错误； 根据正态分布的概率性质可知，物理量在一次测量中小于10的概率等于0.5，故B正确； 根据正态分布的对称性质可知，物理量在一次测量中小于9.98与大于10.02的概率相等，故C正确； 根据正态分布的对称性质可知，落在与落在的概率肯定不相等，故D错误； 故选：BC． 11.【答案】BCD 【详解】对于A，令，解得或，所以有两个零点，A错误； 对于B， ， 所以当时，，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以是的极小值点，B正确； 对于C， ， 当时，，所以， 所以当时，，C正确； 对于D，， 所以对于任意的实数，都有两个解， 所以曲线上存在无数多对互相平行的切线，D正确. 第II卷（非选择题） 12.【答案】/ 【分析】直接根据两点分布的期望公式计算即可. 【详解】因为随机变量服从两点分布，且，. . 13.【答案】 14.【答案】15 【详解】四本书放在四个书架上共4！=24种放法，四本书均不在自己所对应编号上的放法有9种，至少有一本书在对应书架上的放法24-9=15种. 15.【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）赋值法，令求解即可； （2）赋值法，令再结合（1）求解即可； （3）赋值法，令和求解即可. 【详解】（1）令，得，故. （2）令，得， 故. （3）令，得， 结合， 故. 16.【答案】(1)，可用线性回归模型拟合与的关系 (2)，（万亿千瓦时） 【详解】（1）因为， 所以， 所以 ， 故可用线性回归模型拟合与的关系； （2）， 则， 则经验回归方程为， 令，则， 故预估2026年我国全口径发电量为（万亿千瓦时） 17.【答案】(1)（i）分布列见解析；（ii） (2)应扩建甲车间 【分析】（1）（ⅰ）写出X的所有可能的取值，分别求出其概率，列出分布列即可.（ⅱ）根据全概率公式及条件，分析求解，即可得答案. （2）分别求出甲、乙车间的平均获利，比较即可得答案. 【详解】（1）（ⅰ）X的所有可能取值为0，1，2. ，，， 故X的分布列为 X 0 1 2 P （ⅱ）用事件A表示“抽取的零件来自甲车间”，用事件B表示“抽取的零件来自乙车间”， 用事件C表示“抽取的零件可以出厂销售”， 则，， ， . . （2）估计甲车间加工100个零件可以出厂销售的有81个， 甲车间加工100个零件的平均获利为（元）， 估计乙车间加工100个零件可以出厂销售的有76个， 乙车间加工100个零件的平均获利为（元）， 因为，所以应扩建甲车间. 18.详解：（1）20件产品中恰有2件不合格品的概率为. 因此 . 令，得.当时，；当时，. 所以的最大值点为. （2）由（1）知，.令表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知，，即.所以. （3） 故或 法二 ，令， 当时，，递增， 当时，，递减， 故或 19.【详解】: (I) 由函数 , 可得 ......................................................................................... 1 分 则 .............................................................................3 分 所以曲线 在点 处的切线的方程为 ..........................................................................4 分 (II) 由函数 ,要证, 只需证 , 令 ............................................5 分 易知 时, ,故 在区间 上单调递增, .....................................................................................6 分 当 时,令 ,可得 , 因为 ,可得 ,所以 在(-1,0)递增,又由 ,此时 ,即 , 故 在区间(-1,0)上单调递减, .......................................................................9 分 所以 ,即 ; ....................................................10 分 (III)由(II)知,当 时, , 令 ,则 , 即 , 可得 ,.................................................. 13 分 所以 ,......................15 分 又由对数的运算性质, 可得 所以对于任意正整数 ,总有 .................................................. 17 分 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市大足中学高2027届半期数学试卷 总分150分；考试时间：120分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．在下列两个量之间的关系中，属于相关关系的是（    ） A．匀速直线运动中时间与位移的关系 B．学生的成绩和身高 C．一块农田的小麦产量与施肥量 D．正n边形的边数与内角度数之和 2．假设书包里仅有4支水笔和6支铅笔，现从该书包中不放回地依次（每次取一支）取出两支笔，记事件表示“第一次取出的笔是铅笔”，事件表示“第二次取出的笔是水笔”，则（    ） A． B． C． D． 3．已知，则（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 4．将4位老师分配到3个学校去任教，共有分配方案（   ） A．81种 B．12种 C．64种 D．256种 5. 已知的展开式中的系数为35，则的值为（ ） A． -3 B．-5 C．3 D．5 6．将5名志愿者分配到游泳、乒乓球、篮球和排球4个项目进行志愿者服务，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（    ） A．60种 B．120种 C．240种 D．480种 7．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知随机变量的分布列为 X -1 0 1 2 3 P 0.3 0.3 0.2 0.1 设函数，若，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，只有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得得部分分，有选错的得0分) 9．在的展开式中，下列说法正确的是（　　） A．一共有5项 B．第3项为 C．所有项的系数和为0 D．所有项的二项式系数和为32 10．某物理量的测量结果服从正态分布，下列选项中正确的是（   ） A．越大，该物理量在一次测量中在的概率越大 B．该物理量在一次测量中小于10的概率等于0.5 C．该物理量在一次测量中小于9.98与大于10.02的概率相等 D．该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等 11．设函数，则（   ） A．有三个零点 B．是的极小值点 C．当时， D．曲线上存在无数多对互相平行的切线 第II卷（非选择题） 三、填空题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分) 12．已知随机变量服从两点分布，且，则__________. 13．直线是曲线的一条切线，则实数的值为 . 14． 将编号为1，2，3，4的四本不同的书随机放入编号为1，2，3，4的书架上，每个书架放一本书，至少有一本书在对应书架上的放法有 种.（用数字作答） 四、解答题(本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．本小题满分分已知，求下列各式的值： (1)； (2)； (3) 16．本小题满分分2025年，我国能源安全保障能力再上新台阶，全口径发电量占全球总发电量的，稳居世界第一，为智能算力的爆发性电力需求持续提供稳定保障.某学习小组收集了2021年至2025年我国全口径发电量相关数据，根据数据制作了如下数据表格和散点图. 年份 2021 2022 2023 2024 2025 年份代码 1 2 3 4 5 我国全口径发电量（单位：万亿千瓦时） 8.52 8.85 9.46 10.09 10.58 (1)由散点图看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明； (2)建立关于的经验回归方程，并预测2026年我国全口径发电量. 参考数据：. 参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，相关系数. 17．本小题满分分某工厂有甲、乙两个车间加工同一种零件，已知加工该零件需要两道工序，每道工序的加工结果相互独立，且只有每道加工工序都合格，该产品才能出厂进行销售.已知甲车间每道加工工序合格的概率均为0.9；乙车间第一、二道加工工序合格的概率分别为0.95，0.8. (1)对6个来自甲车间，4个来自乙车间的零件进行质检. （ⅰ）若从这10个零件中随机抽取2个零件，设其中来自甲车间的零件数为X，求X的分布列； （ⅱ）若从这10个零件中随机抽取1个，求该零件可以出厂销售的概率. (2)甲车间加工的每个零件，销售后可以盈利100元，若不能销售则亏损30元，乙车间加工的每个零件，销售后可以盈利100元，若不能销售则亏损20元.由于市场对这种零件需求旺盛，该工厂计划扩建其中一个车间以增加产量，若以两个车间各加工100个零件的平均获利为决策依据，请判断该工厂应扩建哪个车间. 18.本小题满分分某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品，检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立． ⑴记20件产品中恰有2件不合格品的概率为，求的最大值点； ⑵现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以⑴中确定的作为的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求； (3)若，已知抽取检验的件产品种恰有2件不合格品，试给出的估计值.(表示件产品中不合格的件数，以使得最大的的值作为的估计值.) 19. (本小题满分 17分) 已知函数 . (I)求曲线 在点 处的切线方程； (II) 证明: ; (III) 证明: . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $