命题大赛 重庆2025—2026学年高二下学期期中考试数学试题

**基本信息** 高二下期期中数学试卷以函数、概率统计、导数等核心知识为载体，通过无人驾驶调查、校园信息传播等真实情境设计，考查数学建模与逻辑推理能力，凸显应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|函数最值、两点分布、二项式定理|基础概念与运算，梯度合理| |多项选择|3/18|概率密度、随机变量、路径计数|多选项设计，考查思辨能力| |填空|3/15|展开式系数、线性回归、导数极值|聚焦关键能力，强调应用| |解答|5/77|概率分布列、导数单调性、独立性检验、信息传播模型|以无人驾驶、校园传播为情境，综合考查数学建模与数据分析，体现用数学语言表达现实世界|

高2027届2025—2026学年下期期中考试 数学试题 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。满分150分，考试时间120分钟。 第I卷（选择题 共58分） 1、 单项选择题（本题共8小题, 每小题5分, 共40分．在每个小题给出的四个 选项中, 只有一项是符合题目要求的．） 1．函数在区间的最小值是（   ） A． B． C．0 D． 2．2．若随机变量服从两点分布，其中，则（   ） A． B． C． D． 3．在的展开式中，含的项的系数是（   ） A．35 B．15 C．-15 D．-35 4．设随机变量，，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 5．已知10件产品中可能存在次品，从中抽取2件，设抽出的次品数为X，，且该产品的次品率不超过0.4，则这10件产品中次品的件数是（   ） A．8 B．4 C．2 D．0 6．用模型拟合一组数，若，，设，得变换后的线性回归方程为，则（    ） A． B． C．12 D．7 7．一位飞镖运动员向一个目标投掷三次，记事件“第i次命中目标”（）．已知，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 8．已知函数，对于定义域内的任意恒有，则的最小值为（   ） A． B． C． D．1 二、多项选择题（本题共3小题, 每小题6分, 共18分．在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求．全部选对的得6分, 有选错的得0分, 若只有2个正确选 项，每选对一个得3分, 若只有3个正确选项, 每选对一个得2分．） 9．已知三个密度函数的图象如图所示，则（   ） A． B． C．若，，则 D．若，，则，使得 10．已知a，b，c都为正整数，且，随机变量，则下列结论正确的有（   ） A．符合条件的a，b，c的解共有组 B． C． D． 11．在平面直角坐标系上的一只蚂蚁从原点出发，每次随机地向上、下、左、右四个方向移动1个单位长度，移动6次，则（） A．蚂蚁移动到点的不同走法一共20种 B．蚂蚁回到原点的不同走法一共450种 C．蚂蚁始终未远离原点超过1个单位长度的不同走法一共63种 D．蚂蚁恰好经过一次的不同走法一共640种（最后一次到达不算经过） 第II卷（非选择题 共92分） 3、 填空题（本题共3小题,每小题5分,共15分.） 12．的展开式中的系数是________. 13．若变量和的4对观测数据为，两个变量满足一元线性回归模型（随机误差），则参数的最小二乘估计值为_____. 14．已知函数既有极大值又有极小值，则实数的范围为______. 四、解答题（本题共5小题,共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．学校举行了一次有关语文、数学、英语的三大学科知识竞赛，海量题库中语文、数学、英语三类相关知识题量占比分别为、、.甲同学回答语文、数学、英语这三类问题中每个题的正确率分别为、、. (1)若甲同学在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率； (2)若甲同学从这三类题中各任选一题作答，每一题回答正确得分，回答错误得分.设该同学回答三题后的总得分为分，求的分布列及数学期望. 16．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，恒成立，求的取值范围． 17．无人驾驶被视为推动社会进步和改善生活质量的重要工具，但其安全性和对劳动就业的影响也受到人们的质疑．为了解某大学的学生对无人驾驶的态度，随机调查了该校120名大学生（男女各60人），调查结果如下表所示： 对无人驾驶的态度性别 支持 中立 反对 男 36 18 6 女 24 21 15 用样本的频率分布估计该校每名学生对无人驾驶态度的概率分布，且学生的态度相互独立．为衡量学生对无人驾驶的支持程度，每名支持者得5分，每名中立者得3分，每名反对者得1分． (1)为判断性别对无人驾驶的支持态度是否存在关联，对上面数据重新整理形成下表，请补齐数据，并作出检验判断：能否有的把握认为性别与对无人驾驶的支持态度有关联？ 对无人驾驶的态度性别 支持 不支持 男 女 附：， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 (2)从抽样调查的60名男大学生中，按分层抽样选10名学生进行深度追踪访谈，求选出的3名男大学生对无人驾驶的支持态度各异的概率； (3)从该校任选名学生，其中得分为5的学生人数为，若，利用下面所给的两个结论，求正整数的最小值． 结论一：若随机变量，则随机变量近似服从正态分布； 结论二：若随机变量，则，． 18．已知函数. (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)函数有两个不同的极值点，，且， （ⅰ）求m的取值范围； （ⅱ）证明：. 19．某学校为研究校园信息传播规律，建立如下概率模型：选取n名学生，每人对信息的“易感系数”相同，记为，该值越大越容易被传播.传播按天进行，规则如下：第一天，随机选取其中名学生发布消息，每位被选中的学生真正接收到并相信该消息（称为“知情者”）的概率为p，且相互独立.从第二天起，每天每位“知情者”都会尝试影响每一位“非知情者”，一旦被影响即成为新的知情者，并参与后续传播. (1)若，时，求第一天结束时，至少有2人成为知情者的概率； (2)第一天结束时，知情者人数为奇数的概率； (3)对任意一位非知情者，若某天有k位知情者尝试影响他，则他当天被影响的概率为.当，，时，求两天后学生甲成为知情者的概率（用含a的式子表示）；并基于此模型，简要说明为什么现实中某些热点话题常会出现突然爆发式传播. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高2027届2025—2026学年下期期中考试 双向细目表 数 学 题号 题型 分值 试题内容 易 备注 1 选择题 5分 函数最小值 易 2 选择题 5分 两点分布的方差 易 3 选择题 5分 排列数性质 易 4 选择题 5分 二项分布 易 5 选择题 5分 超几何分布 中 6 选择题 5分 非线性回归方程 中 7 选择题 5分 条件概率 中 8 选择题 5分 导数最值 难 9 选择题 6分 正态分布相关内容 易 10 选择题 6分 分布列相关内容 中 11 选择题 6分 排列组合问题 较难 12 填空题 5分 二项式定理通项 易 13 填空题 5分 最小二乘估计 中 14 填空题 5分 导数与根的分布 难 15 解答题 13分 分布列及数学期望 中 16 解答题 15分 导数单调性和恒成立问题 中 17 解答题 15分 独立性检验 中 18 解答题 17分 导数的综合应用 难 19 解答题 17分 概率的综合应用 较难 命题 思想 达成 目标 优秀率 及格率 平均分 140以上 8％ 35％ 88 30+ 学科网（北京）股份有限公司 $ 高2027届2025—2026学年下期期中考试 数学试题（参考答案） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A C D C C A C D BD AD AD 6.【详解】 【详解】由已知，，所以， ，，所以 ， 由题意，满足线性回归方程为，所以，所以， 此时线性回归方程为，即， 可将此式子化为指数形式，即为， 因为模型为模型，所以，， 所以. 故选：A. 7.【详解】 由全概率公式，第二次命中的概率由“第一次命中”和“第一次未命中”两种情况决定： ， ，， 由，当时，， 由，当时，， ， 第三次命中的概率由“第二次命中”和“第二次未命中”两种情况决定： ， ，， 由，当时，， 由，当时，， ． 故选：C. 8.【详解】 令，由定义域得，记， 题目条件等价于，对任意，恒成立. 设​，，不等式两边同除以得， ，因此的最小值就是函数​的最大值. . 令，恒成立， 则在上单调递增且. 因此当时，，单调递增； 当时，，，单调递减. 因此在处取最大值，故. 即的最小值为. 故选：D. 10.【详解】 已知a，b，c都为正整数，且，随机变量， 利用隔板法，把７个相同的球排成一排，中间６个空隙插入２个隔板， 符合条件的解个数为组，故A正确； 要使最大值为3，需满足，且，其中至少一个等于3， 满足条件的有序组为和，共6组， ，故C错误； 的可能值为3，4，5，对应的组数为： ，共6组， ，排列为，共6组， ，排列为，共3组， 期望为，故B错误； ， ， ， ，故D正确． 11. 【详解】 A． 要到达，需要向右移动3次、向上移动3次，总步数为6次，不能有向左或向下移动.走法数为6步中选3步向右（剩余3步向上），A正确. B． 回到原点意味着向右次数=向左次数，向上次数=向下次数.设向右/向左各次，向上/向下各次，，即，. ： ： ： ： 总走法：种.故B错误. C． 由题意得蚂蚁只能在点、、中移动，不能走到距离原点超过1的位置. 按每一步的位置分类计数： 起点，有4种走法到4个相邻点. 从或出发，下一步只能回到原点 走法只能是：原点→相邻点→原点→相邻点→原点→相邻点→原点，共6步. 第一步：4种选择； 第2、4、6步：只能回原点，各1种； 第3、5步：从原点出发，4种选择 总走法：种.故C错误. D． 设向右次，向上次，从原点到第一次经过所需步数为 则 时，即，从原点到的走法数为 从出发，4步内经过两步回到，走法数为， 4步总走法为种，因此不回到的走法数为种. 此种情况不同走法数为 时，，或，第4步到不同走法数为 其中第二步到的走法数为，故此种情况不同走法数为 综上，恰好经过一次的不同走法一共种，D正确. 12．20; 13．5.1 14． 【详解】 的定义域为， 求导得， 因为函数既有极大值又有极小值， 所以在上有两个不相等的根 记为，即是的两个不相等的正根 ，解得. 15. (1) (2)的分布列见解析；数学期望 【详解】 （1）设事件为“选到的题目是语文题”，事件为“选到的题目是数学题”，事件为“选到的题目是英语题”，事件为“甲同学回答正确”， .............2分 则由题意得，，，，，， 根据全概率公式有 ..............................4分. ..............................5分 （2）设事件为“甲同学答对语文题”，事件为“甲同学答对数学题”，事件为“甲同学答对英语题”， 则由题意得，则答错语文题的概率是， ，则答错数学题的概率是， ，则答错英语题的概率是， .............7分 由于答对的题数可能是，因此的可能取值为， 当时，即语文题、数学题、英语题全答错，则； ..............8分 当时，即语文题、数学题、英语题只答对一个，则 ； 当时，即语文题、数学题、英语题答对两个，则 ； 当时，即语文题、数学题、英语题全答对，则； ...............................................11分 因此，的分布列为 数学期望. ......... .....13分 16. (1)当时，的增区间为，无减区间；当时，函数的减区间为，增区间为 (2) 【详解】 （1）因为，其中， ①当时，恒成立，的增区间为，无减区间；..........3分 ②当时，令，得，由可得， 由可得，.. 此时，函数的减区间为，增区间为； .....................5分 综上所述：当时，的增区间为，无减区间；当时，函数的减区间为，增区间为． ..........................7分 （2）当时，恒成立，即恒成立， 令，则，其中，恒成立，............11分 所以由可得，由可得， 故函数的减区间为，增区间为， .........................14分 所以，即，故的取值范围是．.........................15分 17. (1)数据见解析，有 (2) (3) 【详解】 （1）如表，，，， 对无人驾驶的态度 支持 不支持 男 36 24 女 24 36 ， 有的把握认为性别与对无人驾驶的支持态度有关联．. ...................5分 （2）按分层抽样从60名男生中选10名，其中支持、中立、反对的人数分别为：6、3、1， 故从中选出3人态度各异的概率为； ..................8分 （3）由题可知从该校随机选一名学生得5分的概率为，易知， 设，根据结论一，知． ...................11分 再根据结论二，知． 由条件知， 所以，解得，所以正整数的最小值为11． ...................15分 18. (1) (2)（ⅰ）（ⅱ）证明见解析 【详解】 （1）当时, ，, 所以，所以函数在点处的切线方程为：， 即； ....................................4分 （2）， ，令，则， ....................................6分 令，则， 所以当时，，单调递增， 当时，，单调递减， ...................................8分 所以， 当时，，当时， 因为函数有两个不同的极值点，所以有两个不同的根， 所以，故m的取值范围为； ....................10分 （ⅱ）因为， 所以， 所以， ...................12分 令，则，代入上式得：， 因为，所以 ， ...................................13分 要证，只需证，即证， 令，则， 令，则， ...................................15分 所以即在上单调递减，， 所以在上单调递增，所以， 即成立，故得证. ........................................17分 19. (1) (2) (3)，说明见解析. 【详解】 （1）设第一天结束时成为知情者的人数为，则. 因此第一天结束时至少有人成为知情者的概率为： . 故所求概率为. .......................................3分 （2）设第一天结束时成为知情者的人数为，则. 记为取偶数的概率，为取奇数的概率，则 . 又由二项式展开可知. 联立两式得 ........................................6分 故第一天结束时，知情者人数为奇数的概率为....................................7分 （3）由题意，，，. 第一天随机选取名学生，所以学生甲被选中的概率为，未被选中的概率为. 若学生甲第一天被选中，则甲第一天直接成为知情者的概率为. 若甲第一天未真正接收到并相信该消息，则概率为，此时只有另一名被选中的学生可能在第一天成为知情者， 并在第二天尝试影响甲. 由于只有1个人影响甲，所以甲被影响的概率是. 因此在甲第一天被选中的条件下，甲两天后成为知情者的概率为. .....................................9分 若学生甲第一天未被选中，这时第一天被选中的2个人都不是甲. 这2个人中，每个人成为知情者的概率都是. 所以第一天结束后，可能有0人、1人或2人成为知情者. 分别算： 若有0人成为知情者，那么第二天没人影响甲，甲成为知情者的概率是. 若有1人成为知情者，那么这1个人第二天影响甲，甲被影响的概率是. 若有2人成为知情者，那么2个人都影响甲，甲没有被任何一个人影响的概率是. 所以甲至少被其中一个人影响的概率是. ...................................12分 接下来算这三种情况出现的概率. 第一天选中的2个人中，成为知情者的人数服从二项分布：， 也就是：；；. 所以在“甲第一天没被选中”的条件下，甲两天后成为知情者的概率为: . 化简得. ...................................15分 综上，两天后学生甲成为知情者的概率为. 由模型中可知，尝试影响同一名非知情者的知情者人数越多，该非知情者被影响的概率越大. 当知情者人数增加后，下一天会有更多人参与传播，进一步提高非知情者被影响的概率， 从而形成“人数增加—影响概率增大—人数继续增加”的正反馈， 因此现实中某些热点话题可能会出现突然爆发式传播. ...................................17分 学科网（北京）股份有限公司 $