精品解析：河北唐山市丰南区2025-2026学年下学期期中学业质量评估八年级数学试卷

丰南区2025-2026学年度第二学期期中学业质量评估 八年级数学试卷 注意事项： 1．本试卷共6页，总分100分，考试时间90分钟． 2．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，用0.5黑色签字笔在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 一、选择题（本大题共14个小题，每小题2分，共28分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列各式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 以下列各组数为边长的三角形是直角三角形的是（ ） A. 3，4，5 B. 4，5，6 C. 3，7，9 D. 1，1， 3. 如图，在中，若，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 在直角三角形中，斜边，则的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 如图，这是人字梯及其侧面示意图，为支撑架，为拉杆，分别是的中点．若，则两点之间的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 已知一个菱形的对角线的长分别为4和3，则这个菱形的面积为（ ） A. 5 B. 6 C. 9 D. 12 9. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. 等腰三角形 B. 平行四边形 C. 矩形 D. 菱形 10. 已知是整数，则正整数n的最小值为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 11. 在剪纸活动中，轩轩想用一张矩形纸片剪出一个正六边形，其中正六边形的一条边与矩形的一边重合，如图所示，则的度数是（　　） A. B. C. D. 12. 如图，，以点为圆心，任意长为半径画弧，交射线于点，交射线于点，分别以、为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点，连接、，则（ ） A. B. C. D. 13. 如图所示，在数轴上点所表示的数为，则的值为（ ） A. B. C. D. 14. 如图，在的正方形网格中，点，，，，均在格点（小正方形的顶点）上，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分．） 15. 计算：_______． 16. 如图，在四边形中，，，将分别平移到和的位置，若，则的长为______. 17. 如图，，以的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形，则图中阴影部分的面积为__________． 18. 如图（1），图形的密铺指用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间既不留空隙、也不互相重叠地把一部分平面完全覆盖．如图（2），若要用边长相同的正三角形、正六边形两种材料（两种材料都要用到）密铺地面，则必须满足：有公共顶点的个正三角形的内角与个正六边形的内角的和等于， 则__________ 三、解答题（本大题共7个小题，共60分．解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. 计算： （1） （2） 20. 如图，四边形是平行四边形，点分别为的中点．求证：． 21. 如图1，摆钟是一种利用单摆原理工作的计时仪器．摆钟的摆锤可视为质点，摆动的部分轨迹可抽象为图2中的圆弧，摆长（摆长固定不变）．当摆锤摆动到最低点时，它离底座的垂直高度，当摆锤摆动到最高点时，它离底座的垂直高度 ，且与摆锤在最低点时的水平距离为． （1）图2中 ； （2）求钟摆的长度． 22. 定义两种新运算，规定： ，，其中，为实数，且． （1）求的值． （2）求的值． 23. 如图，在四边形中，． （1）求证：四边形是矩形； （2）点E是上一点，点F是的中点，连接，若 求的长． 24. 如图，四边形 和四边形都是正方形． （1）求证：． （2）若 请直接写出正方形的边长为 ． 25. 如图，在，，，点是边上一点，连接，沿折叠，使点落在点处，其中，设线段与相交于点． （1）当点重合时，如图1， ①求证：四边形是菱形； ②设点为线段上一点，请直接写出 的最小值为 ． （2）求面积的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 丰南区2025-2026学年度第二学期期中学业质量评估 八年级数学试卷 注意事项： 1．本试卷共6页，总分100分，考试时间90分钟． 2．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，用0.5黑色签字笔在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 一、选择题（本大题共14个小题，每小题2分，共28分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列各式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义判断，最简二次根式需满足两个条件：1 被开方数不含分母，2 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，满足两个条件即为最简二次根式． 【详解】解：选项A．的被开方数含有分母，不是最简二次根式； 选项B．的被开方数是整数，且不含能开得尽方的因数，符合最简二次根式的定义，是最简二次根式； 选项C．，被开方数是能开得尽方的数，不是最简二次根式； 选项D．，被开方数含有分母，不是最简二次根式． 2. 以下列各组数为边长的三角形是直角三角形的是（ ） A. 3，4，5 B. 4，5，6 C. 3，7，9 D. 1，1， 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理，若三角形三边满足两较小边的平方和等于最大边的平方，则该三角形为直角三角形． 【详解】解：选项A：，符合勾股定理逆定理，能组成直角三角形； 选项B：，不符合勾股定理逆定理，不能组成直角三角形； 选项C：，不符合勾股定理逆定理，不能组成直角三角形； 选项D： ，不符合勾股定理逆定理，不能组成直角三角形． 3. 如图，在中，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵在中，， ∴． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的加减乘除运算法则进行计算即可． 【详解】解：A、不能合并，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算正确，符合题意； 故选：D． 5. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴二次根式的被开方数需满足非负条件，即， 解得． 6. 在直角三角形中，斜边，则的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵是直角三角形，是斜边，且， ∴ ． 7. 如图，这是人字梯及其侧面示意图，为支撑架，为拉杆，分别是的中点．若，则两点之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：如图，连接， ∵分别是的中点，且， ∴， 即、两点之间的距离为． 8. 已知一个菱形的对角线的长分别为4和3，则这个菱形的面积为（ ） A. 5 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形面积等于对角线乘积的一半计算即可． 【详解】解：该菱形的面积为 ． 9. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. 等腰三角形 B. 平行四边形 C. 矩形 D. 菱形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是轴对称图形，熟知如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴)对称是解题的关键． 根据轴对称图形的定义解答即可． 【详解】解：A、图形是轴对称图形，不符合题意； B、图形不是轴对称图形，符合题意； C、图形是轴对称图形，不符合题意； D、图形是轴对称图形，不符合题意， 故选：B． 10. 已知是整数，则正整数n的最小值为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】若最简二次根式的结果为整数，则被开方数是完全平方数，先化简原式，再据此求最小正整数n． 【详解】解：∵，是整数，是正整数， ∴为整数，即是完全平方数， 当时，，是完全平方数，满足条件， ∴正整数的最小值为． 11. 在剪纸活动中，轩轩想用一张矩形纸片剪出一个正六边形，其中正六边形的一条边与矩形的一边重合，如图所示，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求正多边形的外角，由多边形的外角和及正多边形的性质得，即可求解． 【详解】解：六边形是正六边形， ， 故选：C． 12. 如图，，以点为圆心，任意长为半径画弧，交射线于点，交射线于点，分别以、为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点，连接、，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由作图可知是的平分线，，根据角平分线的性质可知 ，根据等边对等角可知 ． 【详解】解：由作图可知是的平分线，， ， ， ， ． 13. 如图所示，在数轴上点所表示的数为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理求出的长，则可得到的长，再用点C表示的数减去的长即可得到a的值． 【详解】解：如图所示，由勾股定理得 ∴， ∴． 14. 如图，在的正方形网格中，点，，，，均在格点（小正方形的顶点）上，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】借助网格判断图形中直线、角、三角形之间的关系．过点作，可知与不平行；根据在中，，由网格可知，不成立；借助网格可知，因为不是直角三角形，所以不成立；借助网格可知，所以可知，利用勾股定理的逆定理可知是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可知． 【详解】解：A选项：如下图所示，， 与不平行， 故A选项错误； B选项：在中，， ， 不成立， 故B选项错误； C选项：如下图所示，， 不是直角三角形， 不成立， 不成立， 故C选项错误； D选项：如下图所示，， ， 由网格可知，，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 故D选项正确； 故选：D． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分．） 15. 计算：_______． 【答案】 【解析】 【分析】先把化简为2，再合并同类二次根式即可得解. 【详解】2-=. 故答案为：. 【点睛】本题考查了二次根式的运算，正确对二次根式进行化简是关键． 16. 如图，在四边形中，，，将分别平移到和的位置，若，则的长为______. 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了图形得平移变换及性质，平行四边形的判定和性质，首先证明四边形，四边形均为平行四边形，从而得，，进而得，据此可得出的长． 【详解】解：根据平移的性质得：， 又∵， ∴四边形，四边形均为平行四边形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：3 17. 如图，，以的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形，则图中阴影部分的面积为__________． 【答案】9 【解析】 【分析】根据图形和题意，可知阴影部分的面积为，然后根据勾股定理可知，进而可以求得图中阴影部分的面积． 【详解】解：由已知可得，阴影部分的面积为， ∵，， ∴， ∴ ． 18. 如图（1），图形的密铺指用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间既不留空隙、也不互相重叠地把一部分平面完全覆盖．如图（2），若要用边长相同的正三角形、正六边形两种材料（两种材料都要用到）密铺地面，则必须满足：有公共顶点的个正三角形的内角与个正六边形的内角的和等于， 则__________ 【答案】或 【解析】 【分析】先计算出正三角形和正六边形的内角，再根据题意列出方程，求解即可． 【详解】解：正三角形每个内角为，正六边形每个内角为， 根据题意可列方程：， 化简，得， ∵、都是正整数， ∴或， ∴或． 三、解答题（本大题共7个小题，共60分．解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】（1）先根据二次根式的性质和二次根式的乘法计算，再计算二次根式的加减； （2）先计算二次根式的乘除，再算二次根式的加减． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 如图，四边形是平行四边形，点分别为的中点．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】由中位线的性质可得，由平行四边形的性质可得，命题得证． 【详解】证明：∵点分别为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 21. 如图1，摆钟是一种利用单摆原理工作的计时仪器．摆钟的摆锤可视为质点，摆动的部分轨迹可抽象为图2中的圆弧，摆长（摆长固定不变）．当摆锤摆动到最低点时，它离底座的垂直高度，当摆锤摆动到最高点时，它离底座的垂直高度 ，且与摆锤在最低点时的水平距离为． （1）图2中 ； （2）求钟摆的长度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）容易证明四边形是矩形，则 ，因此 ； （2）设，则 ，利用勾股定理构造方程并求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，，，， ∴四边形是矩形， ∴ ， ∴ ； 【小问2详解】 解：设，则 ， 在中，， ∴， 解得， 答：钟摆的长度为． 22. 定义两种新运算，规定：，，其中，为实数，且． （1）求的值． （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据新定义列式，利用平方差公式计算即可； （2）根据新定义列式，利用完全平方公式展开，合并同类二次根式计算即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴ ． 【小问2详解】 解：∵，， ∴ ． 23. 如图，在四边形中，． （1）求证：四边形是矩形； （2）点E是上一点，点F是的中点，连接，若 求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可解决问题； （2）根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，进而根据直角三角形斜边上的中线性质即可求解． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 解：∵ ∴， ∴， ∵点F是的中点， ∴． 24. 如图，四边形 和四边形都是正方形． （1）求证：． （2）若 请直接写出正方形的边长为 ． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证明，再根据证明即可得出结论； （2）过点作于点，证明是等腰直角三角形，由 可求出，运用勾股定理可得出即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形 和四边形都是正方形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：过点作于点，如图， ∵四边形是正方形，是对角线， ∴ ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； ∵，， 又， ∴， ∴， 在中，． 即正方形的边长为． 25. 如图，在，，，点是边上一点，连接，沿折叠，使点落在点处，其中，设线段与相交于点． （1）当点重合时，如图1， ①求证：四边形是菱形； ②设点为线段上一点，请直接写出的最小值为 ． （2）求面积的最小值． 【答案】（1）①证明见解析；② （2） 【解析】 【分析】（1）①由折叠的性质可得，，，结合平行四边形的性质可得，因此，命题得证； ②连接、、，容易证明，则，因此，当、、三点共线时，取得最小值．容易计算出，由勾股定理可得； （2）过点作的垂线，交的延长线于点，根据含角的直角三角形的性质和勾股定理可计算出，则，结合可知，当点与点重合时，取得最小值． 【小问1详解】 解：①证明：由折叠的性质可得，，，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； ②如图，连接、、， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，当、、三点共线时，取得最小值， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理可得，， ∴的最小值为； 【小问2详解】 解：如图，过点作的垂线，交的延长线于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 由勾股定理可得，， ∴， 由折叠的性质可得，， ∵， ∴当点与点重合时，取得最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $