精品解析：湖北荆州市松滋市2025-2026学年下学期八年级期中数学试卷

湖北省荆州市松滋市2025-2026学年下学期八年级期中数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题只有唯一正确答案，每小题3分，共30分） 1. 若二次根式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组数，能作为直角三角形的三边的是（ ） A. 1，2，3 B. C. D. 4. 若把中根号外的因式移入根号内，则转化后的结果是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，为△的中位线，点在上，且∠=90°．若=7，，则的长为（　 ） A. B. C. D. 6. 下列计算中，正确的是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，两张等宽的纸条交叠放在一起，重合部分构成的四边形一定是一个（ ） A. 正方形 B. 矩形 C. 梯形 D. 菱形 8. 实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，正方形的边长为，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，并以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…，按照此规律继续下去，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形中，对角线、相交于点O，点E、F分别在边、上，连接交于点G，连接交于点H，连接．若，则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 若一个多边形的每一个外角都等于，则这个多边形共有______条对角线． 12. 如图，在数轴上点A表示的实数是__________． 13. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B=25°，D是AB的中点，则∠ADC＝____． 14. 如图，以点O为圆心，为半径的圆，把以为半径的大圆O的面积二等分，则________． 15. 如图，在四边形中，，，，，．点P是线段上一点，，点Q从点C出发，以的速度向点D运动，到达D点后运动立即停止，则t为________秒时，为直角三角形． 三、解答题．（共9小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 已知，，分别求下列代数式的值： （1）； （2）． 18. 如图，四边形是平行四边形，，且分别交对角线于点E、F，连接，．求证：． 19. 如图，正方形网格中的每个小正方形边长都为1，每个小正方形的顶点叫格点，分别按下列要求画以格点为顶点三角形和平行四边形． （1）三角形三边长分别为5，5，； （2）平行四边形有一锐角为，且面积为6． 20. 如图，连接四边形的对角线，已知，，，，． （1）求的长； （2）求四边形的面积． 21. 如图，菱形的对角线，相交于点O，E是的中点，点F，G在上，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 22. 武汉光谷中央生态大走廊大草坪上，不仅有空轨旅游专线，而且视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所．某校801班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米． （1）求风筝的垂直高度； （2）如果小明站在原地想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？ （3）小亮想一边收线，一边后退，也使风筝沿方向下降12米，且让收线的长度和后退的距离相等．试问小亮的想法能否实现，如果能实现，请求出收线的长度；如果不能实现，请说明理由． 23. 问题：已知，求的值． 小明是这样分析与解答的： ，， ，． 请你根据小明的分析与解答过程，解决如下问题： （1）________； （2）计算：； （3）若，求的值． 24. 在平面直角坐标系中，O是原点，矩形的顶点A、C分别在x轴、y轴上，已知B点坐标为，且a，b满足，若点M沿线段从C向B以每秒的速度运动至B，同时动点N沿线段从A向O以同样的速度运动，当其中一个点停止时，另一个也停止运动，设运动时间为t秒，连接 （1）求B点坐标； （2）如图1，当t为何值时，四边形是菱形? （3）如图2，将矩形沿着折叠，点O的对应点D恰好落在边上，连接，求的值； （4）如图3，点P是对角线上一动点，点Q是上一动点，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖北省荆州市松滋市2025-2026学年下学期八年级期中数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题只有唯一正确答案，每小题3分，共30分） 1. 若二次根式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数必须非负，据此求解即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴． 故选：B． 2. 下列根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 最简二次根式的被开方数不含能开尽方的因数或因式，且不含分母，据此逐项判断即可． 【详解】解：选项A、，被开方数含能开尽方的因数，不是最简二次根式； 选项B、，被开方数含分母，不是最简二次根式； 选项C、，被开方数不含能开尽方的因数，是最简二次根式； 选项D、 ，被开方数含能开尽方的因数，不是最简二次根式； 故选：C． 3. 下列各组数，能作为直角三角形的三边的是（ ） A. 1，2，3 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、三角形的三边关系，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键．根据勾股定理的逆定理、三角形的三边关系逐项判断即可得． 【详解】解：A、，不能构成三角形，则此项不符合题意； B、，能作为直角三角形的三边，则此项符合题意； C、，不能作为直角三角形的三边，则此项不符合题意； D、因为，所以，不能构成三角形，则此项不符合题意； 故选：B． 4. 若把中根号外的因式移入根号内，则转化后的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据二次根式有意义的条件判断的正负，再利用二次根式的性质将根号外的因式移入根号内化简，得到结果． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴， ∴． 5. 如图，为△的中位线，点在上，且∠=90°．若=7，，则的长为（　 ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理求出，根据直角三角形的性质求出，结合图形计算，得到答案． 【详解】解：为的中位线， ， 在中，是的中点， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的中线，解题的关键是掌握三角形的中位线等于第三边的一半、直角三角形的性质． 6. 下列计算中，正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意． 【详解】解：，故选项A错误，不符合题意； ，故选项B正确，符合题意； ，故选项C错误，不符合题意； ，故选项D错误，不符合题意； 故选：B． 7. 如图，两张等宽的纸条交叠放在一起，重合部分构成的四边形一定是一个（ ） A. 正方形 B. 矩形 C. 梯形 D. 菱形 【答案】D 【解析】 【分析】由纸条的对边平行，证明四边形是平行四边形，再利用纸条等宽，证明 从而可得答案. 本题考查的是平行四边形的性质，菱形的判定，掌握有一组邻边相等的平行四边形是菱形是证题的关键. 【详解】解：如图，由纸条的对边平行，可得： 四边形是平行四边形， 过作于 作于如图所示： 由纸条等宽可得： 四边形是菱形. 故选：D 8. 实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，二次根式的性质，化简绝对值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先观察数轴得，则，再化简，即可作答． 【详解】解：观察数轴得， 则， ∴ ， 故选：A． 9. 如图，正方形的边长为，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，并以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…，按照此规律继续下去，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理．根据等腰直角三角形的性质结合勾股定理以及三角形的面积公式可得出部分、、、的值，根据面积的变化即可找出变化规律“”，依此规律即可解决问题． 【详解】解：如图所示， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 即等腰直角三角形的直角边为斜边的倍， ， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 10. 如图，在正方形中，对角线、相交于点O，点E、F分别在边、上，连接交于点G，连接交于点H，连接．若，则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，根据图形找出全等三角形是解题关键．根据正方形的性质，证明，得到，可判断①结论；证明，可判断②结论；证明是等腰直角三角形，得到，而与的数量关系无法确定，可判断③④结论；证明，可判断⑤结论． 【详解】解：如图，令与的交点为， 四边形是正方形， ，，，，， 在和中， ， ， ， ， ， ， ，①结论正确； 在和中， ， ， ，②结论正确； ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 与的数量关系无法确定， 不成立，③结论错误； ∴不成立， 不成立，④结论错误； ，， ，，， ， ， ， ，⑤结论正确； 正确的个数有3个， 故选：B 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 若一个多边形的每一个外角都等于，则这个多边形共有______条对角线． 【答案】 【解析】 【分析】根据任意多边形的外角和为，可求出该多边形的边数，再利用多边形对角线条数公式计算即可得到结果． 【详解】解：∵任意多边形的外角和为，该多边形每个外角都为， ∴该多边形的边数， 将代入多边形对角线条数公式得：． 12. 如图，在数轴上点A表示的实数是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴的关系，根据勾股定理求出斜边的长是解答本题的关键．在直角三角形中，求得斜边的长，即可求解． 【详解】解：在直角三角形中，由勾股定理可得：斜边长， ∴点A表示的实数是， 故答案为：． 13. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B=25°，D是AB的中点，则∠ADC＝____． 【答案】50°##50度 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线求出CD＝BD，根据等腰三角形的性质求出∠DCB＝∠B，再根据三角形的外角性质求出答案即可． 【详解】解：∵∠ACB＝90°，D为AB的中点， ∴CD＝BD， ∴∠DCB＝∠B， ∵∠B＝25°， ∴∠DCB＝25°， ∴∠ADC＝∠B+∠DCB＝50°， 故答案为：50°． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质等知识点，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键． 14. 如图，以点O为圆心，为半径的圆，把以为半径的大圆O的面积二等分，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正多边形与圆，算术平方根，圆的面积的应用，根据圆的面积公式得出方程，，即可得出答案． 【详解】解：以半径的圆的面积是，则以半径的圆的面积是， ∵以点O为圆心，为半径的圆，把以为半径的大圆O的面积二等分， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 如图，在四边形中，，，，，．点P是线段上一点，，点Q从点C出发，以的速度向点D运动，到达D点后运动立即停止，则t为________秒时，为直角三角形． 【答案】6或 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，矩形的判定和性质，平行线的性质，分两种情况：当时，当时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：∵，， ∴， 当时，如图所示： ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴此时点Q运动的时间为：（秒）； 当时，过点P作于点E，如图所示： ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， 设，则， 在中，根据勾股定理得： ， 在中，根据勾股定理得：， 在中，根据勾股定理得：， ∴， 即， 解得：， ∴， ∴此时点Q运动的时间为：（秒）； 综上分析可知：t为6秒或秒时，为直角三角形． 故答案为：6或． 三、解答题．（共9小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（）根据二次根式乘除法法则分别计算，然后合并即可； （）先运用完全平方公式计算、二次根式的性质化简，然后合并即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 已知，，分别求下列代数式的值： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）由已知可得，，再利用平方差公式计算即可； （）由已知可得，，再把原式转化为，进而代入计算即可求解； 本题考查了二次根式的求值，平方差公式的应用，完全平方公式的应用，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵，， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴，， ∴ ． 18. 如图，四边形是平行四边形，，且分别交对角线于点E、F，连接，．求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质，得到，，再根据平行线和互补的性质，推出，易证，进而证明四边形是平行四边形，得到，即可证明结论． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，， ． ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题关键． 19. 如图，正方形网格中的每个小正方形边长都为1，每个小正方形的顶点叫格点，分别按下列要求画以格点为顶点三角形和平行四边形． （1）三角形三边长分别为5，5，； （2）平行四边形有一锐角为，且面积为6． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，平行四边形的判定，等腰直角三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键． （1）如图所示，取格点A、B、C，顺次连接A、B、C，则即为所求； （2）如图所示，取格点A、B、C、D，顺次连接A、B、C、D，则四边形即为所求． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求， 由勾股定理可得； 【小问2详解】 解：如图所示，四边形即为所求； 由网格的特点可得，则四边形是平行四边形，且四边形的面积为6； ，则． 20. 如图，连接四边形的对角线，已知，，，，． （1）求的长； （2）求四边形的面积． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（）直接根据勾股定理即可求解； （）先证明是直角三角形，然后根据求解即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∴的长为； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴ ， ∴四边形的面积为． 21. 如图，菱形的对角线，相交于点O，E是的中点，点F，G在上，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）的长为2 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质得，，再由三角形中位线定理得，得四边形是平行四边形，然后证明即可得出结论． （2）由三角形的中位线定理得，再由矩形的性质得，，，然后由勾股定理求出的长，即可得出的长． 【小问1详解】 证明：四边形是菱形， ，， 是的中点， 是的中位线， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形． 【小问2详解】 四边形是菱形， ， 由（1）得：，四边形是矩形， ，，， 是的中点， ， 在中，由勾股定理得： ， ． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、三角形的中位线定理、勾股定理．熟练掌握菱形的性质和三角形中位线定理，证明四边形为矩形是解题的关键． 22. 武汉光谷中央生态大走廊大草坪上，不仅有空轨旅游专线，而且视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所．某校801班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米． （1）求风筝的垂直高度； （2）如果小明站在原地想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？ （3）小亮想一边收线，一边后退，也使风筝沿方向下降12米，且让收线的长度和后退的距离相等．试问小亮的想法能否实现，如果能实现，请求出收线的长度；如果不能实现，请说明理由． 【答案】（1）21.6米 （2）8米 （3）4.2米 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键． （1）根据勾股定理求出的长即可得出结果； （2）设他应该往回收线米，根据勾股定理得出方程求解即可； （3）设收线的长度为米，根据勾股定理得出方程求解即可． 【小问1详解】 解：在中，由勾股定理得， （米）， （米）； 风筝的垂直高度为21.6米． 【小问2详解】 解：设他应该往回收线米， 根据勾股定理得，， 解得， 答：他应该往回收线8米． 【小问3详解】 解：设收线的长度为米，如图， 则米，（米，米， 根据勾股定理得，， 解得， 答：收线的长度为4.2米． 23. 问题：已知，求的值． 小明是这样分析与解答的： ，， ，． 请你根据小明的分析与解答过程，解决如下问题： （1）________； （2）计算：； （3）若，求的值． 【答案】（1） （2）22 （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化． （1）根据例题可得：对每个式子的分子和分母中同时乘以与分母中的式子相乘符合平方差公式的根式，去掉分母，然后合并同类二次根式即可求解； （2）将式子中的每一个分式进行分母有理化，问题随之得解； （3）先求出，变形求出，然后将变形求值即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴ ． 24. 在平面直角坐标系中，O是原点，矩形的顶点A、C分别在x轴、y轴上，已知B点坐标为，且a，b满足，若点M沿线段从C向B以每秒的速度运动至B，同时动点N沿线段从A向O以同样的速度运动，当其中一个点停止时，另一个也停止运动，设运动时间为t秒，连接 （1）求B点坐标； （2）如图1，当t为何值时，四边形是菱形? （3）如图2，将矩形沿着折叠，点O的对应点D恰好落在边上，连接，求的值； （4）如图3，点P是对角线上一动点，点Q是上一动点，求的最小值． 【答案】（1） （2）时，四边形是菱形 （3） （4）的最小值为 【解析】 【分析】1）利用非负数的性质得出，的值，即可得出B点的坐标； （2）四边形是菱形，则，即，进而求解； （3）在中利用勾股定理即可求出、的长度，设，则，求得，再根据四边形的面积分为两个三角形的面积之和可求得四边形的面积，由于四边形的对角线相互垂直，故其面积又可表示为对角线乘积的一半，可得答案； （4）作点关于的对称点，作交于，交于，根据垂线段最短，此时，有最小值，最小值为，利用三角函数求解即可． 【小问1详解】 解：，满足， ∴，则，于是， ，，点坐标为， 【小问2详解】 ∵四边形是矩形， ，， 四边形是菱形， ，即， 解得：， 当时，四边形是菱形； 【小问3详解】 ①解：如图，设与相交于点H．    矩形沿着折叠，点的对应点恰好落在边上， ，， 在中， ， ， 设，则， 在中， ，即， 解得：， ， 矩形沿着折叠，点的对应点恰好落在边上， ；同时， ∴， ∴． 【小问4详解】 解：作点关于的对称点，作交于，交于，根据垂线段最短，此时，有最小值，最小值为，    ，， ， ， ， 点、点关于的对称， ，， ， ， ， ， 的最小值为． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了折叠的性质，矩形的性质，菱形的性质，锐角三角函数，勾股定理，垂线段最短等知识，解题的关键是学会利用对称把问题转化为垂线段最短． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $