精品解析：湖北省荆州市松滋市2024-2025学年下学期八年级数学期中考试试卷

2024-2025学年度第二学期期中质量监测 八年级数学试卷 注意事项： 1太卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2．本卷是试题卷，不能答题，答题必须写在答题卡上．解题中的辅助线和标注角的字母、符号等务必添在答题卡的图形上． 3．在答题卡上答题，选择题必须用2B铅笔填涂，非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔效果色墨水钢笔作答． ★祝考试顺利★ 一、选择题（本大题共10小题，每小题只有唯一正确答案，每小题3分，共30分） 1. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 2. 下列各式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各组数据不是勾股数的是（ ） A. 2，3，4 B. 3，4，5 C. 5，12，13 D. 6，8，10 5. 下列命题中正确的是（ ） A. 平行四边形一定是轴对称图形 B. 菱形的对角线相等 C. 矩形的对角线互相垂直 D. 正方形是轴对称图形，有4条对称轴 6. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D为斜边AB上的中点，则CD为（ ） A. 5 B. 3 C. 2.5 D. 2.4 7. 如图，圆柱体的底面圆周长为8cm，高AB为3cm，BC是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，则爬行的最短路程为（　　） A. 4cm B. 5cm C. cm D. cm 8. 已知，化简二次根式的正确结果是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，四边形是菱形，过点A作的平行线交的延长线于点E，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 如图，中，，点为边上一动点（不与点，重合），于点，点，若，，则的最小值为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 当______时，最简二次根式与是同类二次根式． 12. 已知是有理数，且，则化简的结果为______． 13. 如图，在四边形中，点是对角线的中点，点、分别是、的中点，，，则的度数是________． 14. 如图，将长为，宽为的长方形纸片折叠，使点落在边的中点处，压平后得到折痕，则线段的长为________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形的两边在坐标轴上，以它的对角线为边作正方形，再以正方形的对角线为边作正方形…以此类推，则正方形的顶点的坐标是_____． 三、解答题（共9题，共75分） 16. 计算：． 17. 已知，求下列各式的值． （1）； （2）． 18. 已知，如图，中，，分别是和的平分线，，相交于点． （1）求证：． （2）试判断与有何数量关系、并说明理由． 19. 如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1． （1）求△ABC的周长； （2）求证：∠ABC＝90°； （3）若点P为直线AC上任意一点，则线段BP的最小值为　 　．（直接填写结果） 20. 如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端A的绳子垂到地面多出一段的长度为3米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点C处，到旗杆底部B的距离为9米． （1）求旗杆的高度； （2）小明在C处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的2米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点E处，问小明需要后退几米（即的长）？ 21. 如图，在四边形中，，对角线与相交于点O，M、N分别是边、的中点． （1）求证：； （2）当，，时，求的长． 22. 如图，在中，F是的中点，E是线段的延长线上一动点，连接，过点C作，与线段的延长线交于点D，连接． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，则在点E的运动过程中， ①当为何值时，四边形是菱形，说明理由． ②当为何值时，四边形是矩形，请直接写出结论． 23. 阅读理解：如何根据坐标求出两点之间的距离？ 如图，在坐标系中，，构造，则，， ∴ 若，，则 ∴ 这就是两点间的距离公式，例如， ∴ （1）根据上述材料，老师让同学们求代数式的最小值． 小明同学的思路是：如图，可以看成是点与点的距离，可以看成是点与点的距离． 请完成如下填空： 作点B关于x轴的对称点（____，___），当A、C、三点共线时最小，连接，则的最小值等于，由两点间的距离公式得=______________， ∴的最小值是_____________． （2）借助上面的思考过程，画图说明并求出代数式： ①最小值． ②的最大值． 24. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点在轴上，．动点从点出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向点匀速运动，同时点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度向点匀速运动．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．过点作于点，连接，．设点，两点运动的时间是秒． （1）填空：点坐标为______，的长为______； （2）四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的值；如果不能，请说明理由； （3）当为何值时，为直角三角形？请说明理由； （4）为第二象限内一点，且为等边三角形．连接．当为何值时，恰好等于？（计算结果保留根号，不取近似值） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第二学期期中质量监测 八年级数学试卷 注意事项： 1太卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2．本卷是试题卷，不能答题，答题必须写在答题卡上．解题中的辅助线和标注角的字母、符号等务必添在答题卡的图形上． 3．在答题卡上答题，选择题必须用2B铅笔填涂，非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔效果色墨水钢笔作答． ★祝考试顺利★ 一、选择题（本大题共10小题，每小题只有唯一正确答案，每小题3分，共30分） 1. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据题意得出，求出结果即可． 【详解】解：二次根式在实数范围内有意义， ， ， 故选：B． 2. 下列各式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义判断即可． 本题考查了最简二次根式，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：A. ，是最简二次根式，符合题意； B. ，不符合题意； C. ，不符合题意； D. ，不符合题意； 故选：A． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的加减计算，乘法计算，熟知二次根式的乘法和加减计算法则是解题的关键． 根据运算法则逐一判断各选项的正确性即可． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意； D、与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意； 故选：B． 4. 下列各组数据不是勾股数的是（ ） A. 2，3，4 B. 3，4，5 C. 5，12，13 D. 6，8，10 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股数的知识，解答此题要用到勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知的三边满足，则是直角三角形．判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方． 【详解】解：A、，不是勾股数，故本选项符合题意； B、，是勾股数，故本选项不符合题意； C、，是勾股数，故本选项不符合题意； D、，是勾股数，故本选项不符合题意． 故选：A． 5. 下列命题中正确的是（ ） A. 平行四边形一定是轴对称图形 B. 菱形的对角线相等 C. 矩形的对角线互相垂直 D. 正方形是轴对称图形，有4条对称轴 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，菱形的性质，矩形的性质，正方形的性质，轴对称图形的定义，根据相关性质内容进行逐一分析各选项的正确性． 【详解】解：A、普通平行四边形没有对称轴，只有菱形（2条对称轴）和矩形（2条对称轴）等特殊类型才有，因此“一定是轴对称图形”错误，故该选项不符合题意； B、菱形的对角线互相垂直且平分，但长度不一定相等，仅当菱形为正方形时对角线相等，故该选项不符合题意； C、矩形的对角线相等且平分，但互相垂直仅当矩形为正方形时成立，故该选项不符合题意； D、正方形既是轴对称图形，对称轴有4条（两条对角线、两条对边中点连线），描述正确，故该选项符合题意； 故选：D 6. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D为斜边AB上的中点，则CD为（ ） A. 5 B. 3 C. 2.5 D. 2.4 【答案】C 【解析】 【分析】先根据勾股定理求得的长度，再根据中斜边上的中线等于斜边的一半，即可求得． 【详解】∠ACB=90°，AC=4，BC=3， , 点D为斜边AB上的中点, ． 故选C． 【点睛】本题考查了勾股定理，中斜边上的中线等于斜边的一半，掌握以上知识是解题的关键． 7. 如图，圆柱体的底面圆周长为8cm，高AB为3cm，BC是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，则爬行的最短路程为（　　） A. 4cm B. 5cm C. cm D. cm 【答案】B 【解析】 【分析】先把圆柱体沿AB剪开，则AD的长为圆柱体的底面圆周长的一半，在Rt△ACD中，利用勾股定理即可求出AC的长． 【详解】解：如图所示，圆柱体的侧面展开图： ∵底面圆周长为8cm， ∴AD=BC=4cm， 又∵AB=3cm， ∴在Rt△ABC中，AC=(cm)， ∴蚂蚁爬行的最短路程为5cm． 故选：B． 【点睛】本题考查了平面展开图---最短路径问题，解题的关键是会将圆柱的侧面展开，并利用勾股定理解答． 8. 已知，化简二次根式的正确结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查化简二次根式，根据二次根式的性质，进行化简即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴； 故选D． 9. 如图，四边形是菱形，过点A作的平行线交的延长线于点E，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查平行四边形的判定和性质，菱形的基本性质：菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角． 依题意推出四边形是平行四边形，然后得出，，，即可得到结论． 【详解】如图， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴，故①正确； ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，故②正确； ∵，， ∴，故③正确； 无法证明，故④错误； 故选C． 10. 如图，中，，点为边上一动点（不与点，重合），于点，点，若，，则的最小值为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，由平行四边形的性质可得，，由可得，由勾股定理可得，由，可得，，由此可证得四边形是矩形，于是可得，因而当最小时，最小，由垂线段最短可知，当时，最小，此时，进而可得，由此即可求出的最小值． 【详解】解：如图，连接， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ，， ，， 四边形是矩形， ， 当最小时，最小， 由垂线段最短可知，当时，最小， 此时，， ， 的最小值为， 故选：． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，矩形的判定与性质，垂线段最短，三角形的面积公式等知识点，添加适当辅助线，将求的最小值转化为求的最小值是解题的关键． 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 当______时，最简二次根式与是同类二次根式． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式，同类二次根式，先化简，再根据同类二次根式的定义可得，解之即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：， ∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 已知是有理数，且，则化简的结果为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、利用二次根式的性质进行化简，先由二次根式有意义的条件得出，从而得出，代入结合二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：由题意得：，， 解得：， 将代入得， ， 故答案为：． 13. 如图，在四边形中，点是对角线的中点，点、分别是、的中点，，，则的度数是________． 【答案】##30度 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的中位线定理和等腰三角形的性质，根据已知条件证明是解题关键． 根据题中所给的中点关系，由中位线定理可得，，进而可得，即是等腰三角形，由此即可求解． 【详解】点是对角线的中点，点分别是的中点， 是的中位线，即， 同理，， ， ， 是等腰三角形， 故答案为：． 14. 如图，将长为，宽为的长方形纸片折叠，使点落在边的中点处，压平后得到折痕，则线段的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，连接，，，折叠得到，设，则，在和中，，进而得到，列出方程进行求解即可． 【详解】解：如图①，连接，，， ∵将长为，宽为的长方形纸片折叠，使点B落在边的中点E处，压平后得到折痕， ∴垂直平分，，， ∴，， 设，则， 在和中， ∴， 即， 解得． 故线段的长为． 故答案为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形的两边在坐标轴上，以它的对角线为边作正方形，再以正方形的对角线为边作正方形…以此类推，则正方形的顶点的坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了规律型：点的坐标．根据题意，可以从各个B点到原点的距离变化规律和所在象限的规律入手． 【详解】解：由图形可知，， ， ， , 每一个B点到原点的距离依次是前一个B点到原点的距离的倍，同时，各个B点每次旋转，每八次旋转一周． ∴顶点到原点的距离， ∵， ∴顶点的恰好在x轴的正半轴上， ∴顶点的恰好在第一象限角平分线上， ∴顶点的坐标是． 故答案为：． 三、解答题（共9题，共75分） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，根据平方差公式和二次根式的除法计算，然后再合并同类二次根式即可． 【详解】解： ． 17. 已知，求下列各式的值． （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，平方差公式运算，代数式求值，多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先算出，的值，再利用平方差公式进行计算代入求值即可； （2）先求出，的值，再利用多项式乘以多项式进行计算代入求值即可． 【小问1详解】 解：， ，， 【小问2详解】 ， ，， ． 18. 已知，如图，中，，分别是和的平分线，，相交于点． （1）求证：． （2）试判断与有何数量关系、并说明理由． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵，分别是和的平分线，， ∴， ∴， 即； （2） ，理由如下： ∵， ∴， 又∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， 同理， 又∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质： （1）根据平行四边形的性质可得，再由角平分线定义可得，即可求证； （2）根据平行线的性质可得，再由角平分线定义可得，从而得到，同理，再结合平行线的性质，即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1． （1）求△ABC的周长； （2）求证：∠ABC＝90°； （3）若点P为直线AC上任意一点，则线段BP的最小值为　 　．（直接填写结果） 【答案】（1）； （2）证明：∵AC2=25，AB2=20，BC2=5， ∴AC2=AB2+BC2， ∴∠ABC=90°． （3）2． 【解析】 【分析】（1）运用勾股定理求得AB，BC及AC的长，即可求出△ABC的周长． （2）运用勾股定理的逆定理求得AC2=AB2+BC2，得出∠ABC=90°． （3）过B作BP⊥AC，然后利用三角形的面积公式，即可求出面积． 【详解】解：（1）AB=，BC=，AC=， △ABC的周长=， （2）略； （3）过B作BP⊥AC，如图： ∵△ABC的面积=AB•BC＝AC•BP， 即， 解得BP=2， 故答案为：2 【点睛】本题主要考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，熟记勾股定理是解题的关键． 20. 如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端A的绳子垂到地面多出一段的长度为3米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点C处，到旗杆底部B的距离为9米． （1）求旗杆的高度； （2）小明在C处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的2米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点E处，问小明需要后退几米（即的长）？ 【答案】（1）旗杆的高度为 （2）小明需后退 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键． （1）设旗杆的高度为，则，再由勾股定理计算即可得解； （2）过E作垂足为M，证明四边形为长方形，得出，，由勾股定理得，即可得解． 【小问1详解】 解：设旗杆的高度为，则， 在中，，由勾股定理得：， ∴， 解得：， 答：旗杆的高度为． 【小问2详解】 解：过E作，垂足为M， 则， ∴四边形为长方形， ∴，， ， ，， 在中，， 由勾股定理得：， 答：小明需后退． 21. 如图，在四边形中，，对角线与相交于点O，M、N分别是边、的中点． （1）求证：； （2）当，，时，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接． ，点M、点N分别是边、的中点， ∴，， ∴， ∵N是的中点， ∴是的垂直平分线， ． （2） 【解析】 【分析】（1）连接．由直角三角形斜边上中线的性质可得，由线段垂直平分线的判定即可证明结果； （2）由及可得，再由得，在中由含30度角直角三角形的性质即可求得的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ， ， ， ， ，， ， 在中，， ∴cm， 答：的长是． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上中线的性质，线段垂直平分线的判定，等腰三角形的性质，含30度角直角三角形的性质等知识，其中连接是解题的关键． 22. 如图，在中，F是的中点，E是线段的延长线上一动点，连接，过点C作，与线段的延长线交于点D，连接． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，则在点E的运动过程中， ①当为何值时，四边形是菱形，说明理由． ②当为何值时，四边形是矩形，请直接写出结论． 【答案】（1） 证明：∵， ∴． ∵F是的中点， ∴． 在和中， ， ∴． ∴． 又，即， ∴四边形是平行四边形． （2） 解：①当时，四边形是菱形，理由如下： 当四边形是菱形时，． ∵， ∴． ∴是等边三角形． ∴． ②当时，四边形是矩形，理由如下： 当四边形是矩形时，． ∵， ∴． ∴． ∴. 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定，矩形和菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，掌握相关判定方法和性质是解题的关键： （1）证明，得到，即可得证； （2）①根据菱形的性质，推出是等边三角形，即可得出结果；②根据四边形是矩形，推出，根据含30度角的直角三角形即可得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 阅读理解：如何根据坐标求出两点之间的距离？ 如图，在坐标系中，，构造，则，， ∴ 若，，则 ∴ 这就是两点间的距离公式，例如， ∴ （1）根据上述材料，老师让同学们求代数式的最小值． 小明同学的思路是：如图，可以看成是点与点的距离，可以看成是点与点的距离． 请完成如下填空： 作点B关于x轴的对称点（____，___），当A、C、三点共线时最小，连接，则的最小值等于，由两点间的距离公式得=______________， ∴的最小值是_____________． （2）借助上面的思考过程，画图说明并求出代数式： ①最小值． ②的最大值． 【答案】（1）0，；13；13 （2）①10；② 【解析】 【分析】本题考查的是轴对称-最短路线问题，解答此题的关键是利用数形结合思想解决问题，学会用转化的思想解决问题． （1）根据题目提供的思路解答即可； （2）①按照（1）的思路解答即可； ②若不在同一条直线上可构成一个三角形，则有，当在同一条直线上则有故可得结论 【小问1详解】 解：如图，可以看成是点与点的距离，可以看成是点与点的距离． 作点B关于x轴的对称点，当A、C、三点共线时最小，连接，则的最小值等于，由两点间的距离公式得， ∴的最小值是13． 故答案为：0，；13；13； 【小问2详解】 解：①如图，可以看成是点与点的距离，可以看成是点与点的距离． 作点B关于x轴的对称点，当A、C、三点共线时最小，连接，则的最小值等于， 由两点间的距离公式得， ∴的最小值是10． ②表示, 若点不在直线上，则在中，有， 若点在直线上时，有， 故原代数式的最大值即为线段的长度，当且仅当点在直线上， 此时，, 即的最大值为 24. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点在轴上，．动点从点出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向点匀速运动，同时点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度向点匀速运动．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．过点作于点，连接，．设点，两点运动的时间是秒． （1）填空：点坐标为______，的长为______； （2）四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的值；如果不能，请说明理由； （3）当为何值时，为直角三角形？请说明理由； （4）为第二象限内一点，且为等边三角形．连接．当为何值时，恰好等于？（计算结果保留根号，不取近似值） 【答案】（1），60 （2）能．当秒时，四边形为菱形 （3）当或24秒时，为直角三角形；理由： ， 可分两种情况求解： 当时， ，， 四边形是矩形， ， 由（2）知，， ， ； 当时， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， 解得； 综上所述，当或24秒时，为直角三角形； （4）当，恰好等于 【解析】 【分析】（1）根据含角的直角三角形的性质，及勾股定理即可解答； （2）根据菱形的邻边相等，即可列出方程，求出t的值，在根据菱形的判定即可证明结果； （3）因为，故可分两种情况求解：当时，可证四边形是矩形，根据矩形的性质列方程，即可求得t的值；当时，可求得，根据，列出方程，即可求得t的值； （4）根据等边三角形和平行四边形的性质，可证明是等腰直角三角形，由此可得，在中，,由此得到方程，解方程即得答案． 【小问1详解】 点A的坐标为， ， ，， ， ， ， ， 解得， ，点坐标为； 故答案为：，60． 【小问2详解】 四边形能成为菱形；理由如下： 若四边形是菱形，则， ， ， ， 解得， 此时，，， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 为等边三角形， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， 在中，， , 解得， 当，恰好等于． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，矩形的判定与性质,菱形的判定，平行四边形的判定与性质，勾股定理，对直角三角形分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $