精品解析：湖北襄阳市樊城区牛首一中等校2025-2026学年下学期八年级数学期中测试

2026年42中教联体八年级数学期中测试 一、单选题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 A. x≥3 B. x≤3 C. x＞3 D. x＜3 2. 下列各曲线中，不能表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，对角线，交于点O，若，且的周长比的周长多2，则的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 2 4. 工人师傅在做门窗或矩形零件时，不仅要测量两组对边的长度是否相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形，其中的道理是（　　） A. 两点之间，线段最短 B. 两点确定一条直线 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 对角线相等的平行四边形是矩形 5. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以点为圆心，长为半径画弧，交轴的正半轴于点，则点的横坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，分别是四边形四条边的中点，要使四边形为矩形，四边形应具备的条件是（ ） A. 一组对边平行而另一组对边不平行 B. 对角线相等 C. 对角线互相垂直 D. 对角线互相平分 7. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作于点H，连接OH，若，OH的长为1.5，则（ ） A. 24 B. 12 C. 8 D. 6 8. 如图，在长方形中，，，动点P沿折线从点B开始运动到点D，设点P运动的路程为x，的面积为y，那么y与x之间的关系图象大致为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，分别是边，上的中线，与相交于点O，则的周长与的周长之比为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，正方形中，点、、分别是、、的中点，、交于，连接、．下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是 A. ①②④ B. ①②③ C. ①②③④ D. ①③④ 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 如图，一个六边形木框显然不具有稳定性，要把它固定下来，至少要钉上_______根木条． 12. “花影遮墙，峰峦叠窗”，苏州园林空透的窗棂中蕴含着许多的数学元素，如图是窗棂中的部分图案．若，则的度数是______． 13. 如图，在菱形中，，则的长为____． 14. 如图，四边形是正方形，以为边作等边三角形，与相交于点，则的度数是________． 15. 如图，把矩形沿对折，使点B与点D重合，折痕交于G，P为上一个动点，若，则的最小值为___________． 三、计算题：本大题共1小题，共6分． 16. 计算． （1）． （2）． 四、解答题：本题共8小题，共69分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 如图，在中，延长至点E，延长至点F，且．求证：是矩形． 18. 如图，在中，过点C作，平分． （1）请用无刻度的直尺和圆规作射线，使，且射线交于点E（保留作图痕迹，不写作法）； （2）证明（1）中得到的四边形是菱形． 19. 如图，在梯形中，，，． （1）求证：； （2）求与之间的距离． 20. 已知用于爆破工程的炸药包的导火线长为，正常情况下，导火线每秒燃烧． 0 5 10 15 20 25 ________ 80 ________ ________ 20 0 （1）写出导火线燃烧时的剩余长度l（单位：）与燃烧时间t（单位：）之间的解析式； （2）点燃导火线________后炸药包爆炸，自变量t的取值范围是________； （3）完成上表； （4）根据表中的对应值画出这个函数的图象． 21. 如图，四边形为某工厂的平面图，经测量，且 （1）求的度数； （2）若直线为工厂的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点D处安装一个摄像头观察车辆进出工厂的情况，已知摄像头能监控的最远距离为，求被监控到的道路长度为多少米． 22. 如图，在四边形中，，，，，，点P从点A出发，以的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为． （1）当t为何值时，四边形是平行四边形？ （2）当t为何值时，？为什么？ 23. 如图，平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴、y轴上，连接，的两条外角平分线、交于第一象限的点P，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为C、D． （1）求证：四边形是正方形； （2）若，，求点B的坐标． 24. 【问题提出】 如图1， E是菱形边上一点， 是等腰三角形，，，探究 与的数量关系． 【问题探究】 （1）先将问题特殊化，如图2， 当时，直接写出的大小：______； （2）再探究一般情形，如图1，求 与的数量关系； 【问题拓展】 （3）将图1特殊化，如图3，当时， ，．求菱形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年42中教联体八年级数学期中测试 一、单选题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 A. x≥3 B. x≤3 C. x＞3 D. x＜3 【答案】A 【解析】 【详解】解：由题意得． 解得x≥3， 故选：A． 2. 下列各曲线中，不能表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的定义，对于的每一个确定的值， 都有唯一确定的值与其对应，据此进行判断即可. 【详解】解：观察可知，只有选项C中对于的每一个值，有两个值与其对应，不符合函数的定义，不是函数，其余选项中，对于的每一个确定的值， 都有唯一确定的值与其对应，是函数. 3. 如图，在中，对角线，交于点O，若，且的周长比的周长多2，则的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行四边形性质，熟练掌握平行四边形性质是解答的关键．先根据平行四边形性质得到，再根据已知得到，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵的周长比的周长多2， ∴，即， ∴， 故选：B． 4. 工人师傅在做门窗或矩形零件时，不仅要测量两组对边的长度是否相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形，其中的道理是（　　） A. 两点之间，线段最短 B. 两点确定一条直线 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 对角线相等的平行四边形是矩形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定，根据对角线相等的平行四边形为矩形，进行判断即可． 【详解】解：由题意，其中的道理是对角线相等的平行四边形为矩形． 故选：D． 5. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以点为圆心，长为半径画弧，交轴的正半轴于点，则点的横坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理，可求得的长度，进而可求得的长度，结合点的坐标，可求得点的坐标． 【详解】根据题意，可知， ， ∴． 又点的坐标为， ∴点的坐标为． 故选：A． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系和勾股定理，牢记在平面直角坐标系中求两点距离的方法是解题的关键． 6. 如图，分别是四边形四条边的中点，要使四边形为矩形，四边形应具备的条件是（ ） A. 一组对边平行而另一组对边不平行 B. 对角线相等 C. 对角线互相垂直 D. 对角线互相平分 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中点四边形，三角形中位线定理，根据三角形中位线定理得到四边形一定是平行四边形，再推出一个角是直角，即可求解，掌握三角形中位线定理是解题的关键． 【详解】解：要使四边形为矩形，四边形应具备的条件是对角线互相垂直，理由如下： 根据三角形的中位线定理得： ，，，， ∴，， ∴四边形一定是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， 故选：C． 7. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作于点H，连接OH，若，OH的长为1.5，则（ ） A. 24 B. 12 C. 8 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形的性质得出AC⊥BD，AO＝OC，BD＝2OH，求出AC，BD，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半可求出答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AO＝OC，OD=OB， ∵OA＝4，OH＝1.5，DH⊥BC， ∴AC＝2OA＝8，BD＝2OH＝3， ∴S菱形ABCD＝AC•BD＝×8×3＝12， 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边上的中线性质等知识点，解决问题的关键是掌握：菱形的对角线互相垂直且平分，菱形的面积等于对角线积的一半． 8. 如图，在长方形中，，，动点P沿折线从点B开始运动到点D，设点P运动的路程为x，的面积为y，那么y与x之间的关系图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别求出，时函数表达式，即可求解． 【详解】解：在长方形中，， 由题意当时， ， 当时，如图所示： ， ∴y与x之间的关系图象大致为D选项的中的函数图象． 故选：D． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 9. 如图，在中，，分别是边，上的中线，与相交于点O，则的周长与的周长之比为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，平行四边形的性质与判定，熟练掌握三角形的中位线的性质与判定是解题的关键． 分别作，的中点，，连接，，，根据三角形的中位线的性质得出，，证明四边形为平行四边形，进而推出，进行求解即可． 【详解】解：分别作，的中点，，连接，，，则，， ∵点，分别是边，上的中点， ∴，， ∵点分别是，的中点， ∴，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，即：的周长的周长的2倍； ∴的周长与的周长之比为； 故选A． 10. 如图，正方形中，点、、分别是、、的中点，、交于，连接、．下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是 A. ①②④ B. ①②③ C. ①②③④ D. ①③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质以及线段垂直平分线的性质、三角形的外角性质等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．可根据正方形的性质和全等三角形的判定与性质判定①，再根据直角三角形斜边的中线性质可判断④，连接，交于，利用①中证明方法可证明，再根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质可判断②，可证得，再证明得，再利用三角形的外角性质可证明，可判断③． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 点、、分别是、、的中点， ， ， ， ， ， ， ，故①正确； 在中，是边的中点， ，故④不正确； 连接，交于， 同理可得：， ， ， 垂直平分， ，故②正确； ， 同理：， ， ， ， ， ．故③正确． 正确的结论有：①②③． 故选：B． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 如图，一个六边形木框显然不具有稳定性，要把它固定下来，至少要钉上_______根木条． 【答案】 3 【解析】 【分析】根据三角形具有稳定性，要使六边形木框稳定，需利用木条将其分割成三角形，从六边形的一个顶点出发引对角线即可确定所需木条数量.  【详解】 解：从六边形的一个顶点出发，连接该顶点与不相邻的顶点，可以引条对角线，这将把六边形分割成个三角形，从而使整个木框具有稳定性； 故至少要钉上根木条. 12. “花影遮墙，峰峦叠窗”，苏州园林空透的窗棂中蕴含着许多的数学元素，如图是窗棂中的部分图案．若，则的度数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查多边形外角和，熟练掌握多边形外角和等于是解题的关键． 根据多边形外角和等于求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为． 13. 如图，在菱形中，，则的长为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、含角的直角三角形的性质“所对直角边等于斜边的一半”以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质“菱形的四条边都相等，菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角”和勾股定理“在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方”是解题的关键． 连接交于点，由菱形的性质得，再由含角的直角三角形的性质得，然后由勾股定理求出的长，即可解决问题． 【详解】如图，连接交于点， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，四边形是正方形，以为边作等边三角形，与相交于点，则的度数是________． 【答案】##60度 【解析】 【分析】首先证明出，得到，然后根据正方形的性质和等边三角形的性质得到，，，，求出，，然后根据三角形内角和定理和等边对等角得到，进而利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：四边形是正方形． ，． 又∵ ． 四边形是正方形 ∴， ∵是等边三角形 ∴， ∴， ∴ ， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查正方形的性质，等边三角形的性质，三角形的外角的性质、三角形全等的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． 15. 如图，把矩形沿对折，使点B与点D重合，折痕交于G，P为上一个动点，若，则的最小值为___________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质，矩形与折叠，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识，得出点P的位置是解答本题的关键． 连接交于点P，由轴对称的性质可知此时的值最小．证明得，先由勾股定理求出，再由勾股定理求出，即可求出的最小值． 【详解】解：如图， 连接交于点P， 由折叠知，点E与点F关于对称， ∴， ∴，即此时的值最小． ∵矩形中，， ∴， ∴． 由折叠知，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即的最小值为． 故答案为：． 三、计算题：本大题共1小题，共6分． 16. 计算． （1）． （2）． 【答案】（1）； （2）4 【解析】 【分析】（1）先根据二次根式的性质化简，根据二次根式的乘法法则进行计算，再根据二次根式的加减进行计算即可； （2）先根据二次根式的除法和乘法进行计算，再根据二次根式的加减进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，能正确根据二次根式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序． 四、解答题：本题共8小题，共69分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 如图，在中，延长至点E，延长至点F，且．求证：是矩形． 【答案】见解析． 【解析】 【分析】此题重点考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、矩形的判定等知识，证明是解题的关键． 由平行四边形的性质得，由，推导出，而，可根据“”证明，得，因为，所以，即可证明是矩形． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴是矩形． 18. 如图，在中，过点C作，平分． （1）请用无刻度的直尺和圆规作射线，使，且射线交于点E（保留作图痕迹，不写作法）； （2）证明（1）中得到的四边形是菱形． 【答案】（1）图见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用尺规作即可； （2）先证明四边形为平行四边形，再根据平行线的性质结合角平分线的定义，推出，即可得证. 【小问1详解】 解：由题意，作图如下： 【小问2详解】 证明：∵，， ∴四边形为平行四边形，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 19. 如图，在梯形中，， ，． （1）求证：； （2）求与之间的距离． 【答案】（1）见解析 （2）4 【解析】 【分析】（1）作交于点，易得四边形为平行四边形，得到，进而得到，得到即可； （2）过点作于点，根据三线合一和勾股定理求出的长即可. 【小问1详解】 证明：作交于点，则， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：过点作于点， 由（1）可知：四边形为平行四边形，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， 故与之间的距离为4． 20. 已知用于爆破工程的炸药包的导火线长为，正常情况下，导火线每秒燃烧． 0 5 10 15 20 25 ________ 80 ________ ________ 20 0 （1）写出导火线燃烧时的剩余长度l（单位：）与燃烧时间t（单位：）之间的解析式； （2）点燃导火线________后炸药包爆炸，自变量t的取值范围是________； （3）完成上表； （4）根据表中的对应值画出这个函数的图象． 【答案】（1）； （2）25；； （3）见解析 （4）见解析 【解析】 【分析】（1）用总长减去每秒燃烧的长度乘以时间，列出函数关系式即可； （2）求出时的自变量的值，即可得出结果； （3）求出对应自变量下的函数值，填写表格即可； （4）描点，连线，画出函数图象即可. 【小问1详解】 解：由题意，； 【小问2详解】 解：∵； ∴当时，，解得； 故点燃导火线秒后，炸药包爆炸，自变量t的取值范围是； 【小问3详解】 解：∵； ∴当时，；当时，；当时，； 填表如下： 0 5 10 15 20 25 100 80 60 40 20 0 【小问4详解】 解：画图如下： 21. 如图，四边形为某工厂的平面图，经测量，且 （1）求的度数； （2）若直线为工厂的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点D处安装一个摄像头观察车辆进出工厂的情况，已知摄像头能监控的最远距离为，求被监控到的道路长度为多少米． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得出，进而利用勾股定理逆定理解答即可； （2）根据轴对称的性质和勾股定理解答即可． 【小问1详解】 解：连接， ，， 是等腰直角三角形， ，， ， 在中，， 是直角三角形，， ； 【小问2详解】 解：过点作于，作点关于的对称点，连接， ， 由轴对称的性质，得：，， 由（1）知，， ， 是等腰直角三角形，， ∴， ， ， 被监控到的道路长度为． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理、轴对称的性质以及等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． 22. 如图，在四边形中，，，，，，点P从点A出发，以的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为． （1）当t为何值时，四边形是平行四边形？ （2）当t为何值时，？为什么？ 【答案】（1） （2）或，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的判定方法，得到当时，四边形是平行四边形，列出方程进行求解即可； （2）分当点在点左侧时和当点在点右侧时两种情况求解即可． 【小问1详解】 解：∵，点P从点A出发，以的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动， ∴，， ∴当时，四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∴； ∴当t为6时，四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：当或时，，理由如下： 作于点， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， 当时，， 分2种情况： ①当点在点左侧时，则，解得； ②当点在点右侧时，则，解得； 综上：当或时，. 23. 如图，平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴、y轴上，连接，的两条外角平分线、交于第一象限的点P，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为C、D． （1）求证：四边形是正方形； （2）若，，求点B的坐标． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是矩形，过点作，根据角平分线的性质定理得到，即可得证； （2）根据三角形的内角和定理，角平分线的定义，外角的定义求出，将绕点旋转，得到，证明，得到，可知，设，正方形的边长为，则，点坐标为，根据勾股定理求出的值即可． 【小问1详解】 证明：∵过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为C、D， ∴， ∴四边形为矩形， 过点作， ∵的两条外角平分线、交于第一象限的点P，， ∴， ∴矩形为正方形； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵的两条外角平分线、交于第一象限的点P， ∴， ∴， ∴， 将绕点旋转，得到， ∴，， ∴三点共线， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，正方形的边长为， 则，点坐标为， ∵， ∴， 即， 在中，， 由勾股定理：， 且， ∴， 解得， ∴． 24. 【问题提出】 如图1， E是菱形边上一点， 是等腰三角形，，，探究 与的数量关系． 【问题探究】 （1）先将问题特殊化，如图2， 当时，直接写出的大小：______； （2）再探究一般情形，如图1，求 与的数量关系； 【问题拓展】 （3）将图1特殊化，如图3，当时， ，．求菱形的面积． 【答案】（1）（2）（3） 【解析】 【分析】（1）在上截取，易得为等腰三角形，进而求出，证明，得到，进而求出的度数即可； （2）在上截取，易得为等腰三角形，进而求出的度数，证明，得到，进而求出的度数即可； （3）过点作，设，证明为等边三角形，三线合一结合勾股定理求出的值，再利用菱形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：（1）在上截取， ∵正方形， ∴， ∴，即：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为： （2）在上截取， ∵菱形， ∴，， ∴， ∴，即：， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）过点作， ∵， ∴设， ∴， ∵菱形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴，， 在中，由勾股定理，得：， ∴， 解得：（负值舍去）； ∴， ∴菱形的面积为． 【点睛】本题考查正方形的性质，菱形的性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造特殊图形和全等三角形，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $