因式分解题型练习(面积法探究因式分解、因式分解、字母的求值、错题正解) 2025--2026学年北师大版八年级数学下册

**基本信息** 以数形结合为起点，系统整合因式分解的几何意义、代数应用及易错矫正，形成“原理-方法-应用”三阶训练体系，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |面积法探究|3题|利用图形面积不同表达推导因式分解恒等式|从几何直观（面积）到代数抽象（多项式分解），体现数形结合| |整除问题|3题|将代数式转化为整式乘积形式判断整除性|运用因式分解结果形式解决数论问题，强化运算能力| |求字母值|5题|通过整式乘法与因式分解互逆，比较系数求未知量|建立逆向思维，深化对因式分解与乘法关系的理解| |错题正解|2题|结合错因分析，分离正确a、b值求解|培养批判性思维，巩固因式分解基本原理| |提公因式法|5题|强调符号变形、分步提公因式及合并同类项|从基础方法到复杂变形，形成完整操作流程|

因式分解题型练习(面积法探究因式分解、因式分解、字母的求值、错题正解) 题型1：利用面积法探究多项式的因式分解 · 利用同一图形面积的不同表达形式，可推导出有关多项式的因式分解的恒等式.这是因式分解的几何意义.要注意观察、运用. 练习1. 1. 如图所示，由一个边长为a的正方形与两个长、宽分别为a，b的小长方形拼接成一个大长方形ABCD，利用大长方形ABCD面积的不同求法，写出一个有关多项式的因式分解的等式 . 2. 边长分别为a和b的两个正方形按图的样式摆放，如果阴影部分的面积为58，b－a＝10，则ab＝ ． 3. “数缺形时少直观，形少数时难入微”，在探究“因式分解”时，我们借助直观、形象的几何模型，转化成“几何”形式来求解．运用到了“数形结合”的数学思想．下面，让我们一起来探索其中的规律． 【实践操作】 如图，有若干个边长为a的小正方形纸片(A类)、宽为a长为b的长方形纸片(B类)以及边长为b的大正方形纸片(C类)．我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式． (1)用若干个A类、B类、C类纸片拼成图1中的长方形，根据图形多项式a2＋2b2＋3ab可以因式分解 ． (2)现用x张A卡片、y张B卡片、z张C卡片拼出一个长为3a＋4b，宽为2a＋b的长方形，试求出x＋y＋z的值＝ ； 【知识迁移】 (3)根据图2：若a2＋b2＋c2＝60，ab＋bc＋ac＝42，则a＋b＋c的值＝ . 题型2：利用因式分解判断整除问题 · 要探究该代数式能否被x整除，需看该式能否写成x与一个整式乘积的形式. 练习2. 1. 试探究：817－279－913能被45整除吗? 2. 若k为任意整数，则(k＋3)2－(k－2)2的值总能( ). A.被2整除 B.被3整除 C.被5整除 D.被7整除 3. 已知a是一代数推理个正整数，且a除以3余1，请说明a2＋4a＋4能被9整除. 题型3：利用因式分解与整式乘法的关系求字母的值 · 当知道一个多项式因式分解的结果，求多项式中未知字母的值时要把乘法运算的展开式与因式分解前的多项式比较，根据对应项的系数相等，即可求出多项式中未知的系数. 练习3. 1. 已知关于x的二次三项式2x2＋mx＋n因式分解后的结果为(2x－1)(x＋4)，求m与n的值. 2. 已知(2x－21)(3x－7)－(3x－7)(x－13)可因式分解为(3x＋a)(x＋b)，其中a，b均为整数，则a＋3b＝ . 3. 多项式2x2＋kxy＋2y2可以因式分解为(2x－y)(x－2y)，则系数k＝ . 4. 若多项式x2＋mx＋4能用完全平方公式分解因式，则整数m＝ . 5. 若多项式x2－(1＋m)x＋9能用完全平方公式进行因式分解，则m＝ . 题型4：已知因式分解中错题正解 1. 分解因式x2＋ax＋b，甲看错了a的值，分解的结果是(x－3)(x＋2)，乙看错了b的值，分解的结果是(x－2)(x－3)，那么a＋b＝ . 2. 甲、乙两个同学分解因式x2＋ax＋b时，甲看错了b，分解结果为(x＋2)(x＋4)；乙看错了a，分解结果为(x＋1)(x＋9)，则a－b的值是 . 题型5：利用提公因式法因式分解 · ①写因式分解的结果时，单项式要写在多项式的前面. ②因式分解中常用到以下几个恒等变形：a－b＝－(b－a)；(a－b)2＝(b－a)2；(a－b)3＝－(b－a)3. ③提公因式后，如果剩下的另一个因式中有同类项，要合并同类项，合并后如还有公因式要继续提公因式. 练习4. 把下列各式因式分解： (1)－24x3－12x2＋8x； (2)(2a－b)(3a－2)＋b(2－3a)； (3)(x－y)4＋x(x－y)3－y(y－x)3； (4)4xn+1－12xn＋32xn-1； (5)2(a－3)2－a＋3. 巩固练习： 1. 若a2＋(2t－1)ab＋4b2是完全平方式，则实数t的值为( ). A． B．或－ C．5 D．4 2. 若k为任意整数，则(k＋1)2－(k－1)2的值总能( ). A.被4整除 B.被5整除 C.被6整除 D.被7整除 3. 甲乙两个同学分解因式x2＋ax＋b时，甲看错了b，分解结果为(x＋2)(x＋4)，乙看错了a，分解结果为(x＋1) (x＋9)，则2a＋b＝ ． 4. 按照要求解答： (1)如图①，在边长为a的正方形纸片上剪去一个边长为b(b＜a)的小正方形，通过不同的方法计算图中阴影部分的面积；可以验证乘法公式是 ． (2)类似地，在棱长为a的正方体上挖去一个棱长为b(b＜a)的小正方体(如图②)，通过不同的方法计算图中几何体的体积．由此可以得到的因式分解的等式是 ． (3)结合上述经验，将x3－3x－2因式分解的结果是 ． 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 因式分解题型练习(面积法探究因式分解、因式分解、字母的求值、错题正解) 题型1：利用面积法探究多项式的因式分解 · 利用同一图形面积的不同表达形式，可推导出有关多项式的因式分解的恒等式.这是因式分解的几何意义.要注意观察、运用. 练习1. 1. 如图所示，由一个边长为a的正方形与两个长、宽分别为a，b的小长方形拼接成一个大长方形ABCD，利用大长方形ABCD面积的不同求法，写出一个有关多项式的因式分解的等式 a2＋2ab＝a(a＋2b) . 2. 边长分别为a和b的两个正方形按图的样式摆放，如果阴影部分的面积为58，b－a＝10，则ab＝ 16 ． 3. “数缺形时少直观，形少数时难入微”，在探究“因式分解”时，我们借助直观、形象的几何模型，转化成“几何”形式来求解．运用到了“数形结合”的数学思想．下面，让我们一起来探索其中的规律． 【实践操作】 如图，有若干个边长为a的小正方形纸片(A类)、宽为a长为b的长方形纸片(B类)以及边长为b的大正方形纸片(C类)．我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式． (1)用若干个A类、B类、C类纸片拼成图1中的长方形，根据图形多项式a2＋2b2＋3ab可以因式分解 ___(a＋2b)(a＋b)____． (2)现用x张A卡片、y张B卡片、z张C卡片拼出一个长为3a＋4b，宽为2a＋b的长方形，试求出x＋y＋z的值＝____21____； 【知识迁移】 (3)根据图2：若a2＋b2＋c2＝60，ab＋bc＋ac＝42，则a＋b＋c的值＝____12____. 题型2：利用因式分解判断整除问题 · 要探究该代数式能否被x整除，需看该式能否写成x与一个整式乘积的形式. 练习2. 1. 试探究：817－279－913能被45整除吗? 解：∵817－279－913＝324×45，∴能被45整除. 2. 若k为任意整数，则(k＋3)2－(k－2)2的值总能( C ). A.被2整除 B.被3整除 C.被5整除 D.被7整除 3. 已知a是一代数推理个正整数，且a除以3余1，请说明a2＋4a＋4能被9整除. 解：设：a＝3x＋1(x是非负整数)，∵a2＋4a＋4＝9(x＋1)2，∴a2＋4a＋4能被9整除. 题型3：利用因式分解与整式乘法的关系求字母的值 · 当知道一个多项式因式分解的结果，求多项式中未知字母的值时要把乘法运算的展开式与因式分解前的多项式比较，根据对应项的系数相等，即可求出多项式中未知的系数. 练习3. 1. 已知关于x的二次三项式2x2＋mx＋n因式分解后的结果为(2x－1)(x＋4)，求m与n的值. 解：m＝7，n＝－4. 2. 已知(2x－21)(3x－7)－(3x－7)(x－13)可因式分解为(3x＋a)(x＋b)，其中a，b均为整数，则a＋3b＝－31. 3. 多项式2x2＋kxy＋2y2可以因式分解为(2x－y)(x－2y)，则系数k＝ －5 . 4. 若多项式x2＋mx＋4能用完全平方公式分解因式，则整数m＝ ±4 . 5. 若多项式x2－(1＋m)x＋9能用完全平方公式进行因式分解，则m＝ 5或－7 . 题型4：已知因式分解中错题正解 1. 分解因式x2＋ax＋b，甲看错了a的值，分解的结果是(x－3)(x＋2)，乙看错了b的值，分解的结果是(x－2)(x－3)，那么a＋b＝ －11 . 2. 甲、乙两个同学分解因式x2＋ax＋b时，甲看错了b，分解结果为(x＋2)(x＋4)；乙看错了a，分解结果为(x＋1)(x＋9)，则a－b的值是 －3 . 题型5：利用提公因式法因式分解 · ①写因式分解的结果时，单项式要写在多项式的前面. ②因式分解中常用到以下几个恒等变形：a－b＝－(b－a)；(a－b)2＝(b－a)2；(a－b)3＝－(b－a)3. ③提公因式后，如果剩下的另一个因式中有同类项，要合并同类项，合并后如还有公因式要继续提公因式. 练习4. 把下列各式因式分解： (1)－24x3－12x2＋8x； (2)(2a－b)(3a－2)＋b(2－3a)； (3)(x－y)4＋x(x－y)3－y(y－x)3； (4)4xn+1－12xn＋32xn-1； (5)2(a－3)2－a＋3. 解：(1)－4x(6x2＋3x－2)；(2) 2(3a－2)(a－b)；(3)2x(x－y)3；(4)4xn-1(x2－3x＋8)；(5)(a－3)(2a－7) 巩固练习： 1. 若a2＋(2t－1)ab＋4b2是完全平方式，则实数t的值为( B ). A． B．或－ C．5 D．4 2. 若k为任意整数，则(k＋1)2－(k－1)2的值总能( A ). A.被4整除 B.被5整除 C.被6整除 D.被7整除 3. 甲乙两个同学分解因式x2＋ax＋b时，甲看错了b，分解结果为(x＋2)(x＋4)，乙看错了a，分解结果为(x＋1) (x＋9)，则2a＋b＝ 21 ． 4. 按照要求解答： (1)如图①，在边长为a的正方形纸片上剪去一个边长为b(b＜a)的小正方形，通过不同的方法计算图中阴影部分的面积；可以验证乘法公式是___ a2－b2＝(a＋b)(a－b)___． (2)类似地，在棱长为a的正方体上挖去一个棱长为b(b＜a)的小正方体(如图②)，通过不同的方法计算图中几何体的体积．由此可以得到的因式分解的等式是___ a3－b3＝(a－b)(a2＋b2＋ab)___． (3)结合上述经验，将x3－3x－2因式分解的结果是___(x－2)(x＋1)2___． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $